浙江省台州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

台州市 架攀霸高二年级期末质量评估试题 数学 2024.6 一、单项选择题：本题共8小题，母小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.集合A={xx≤3}，集合B={2,3,4,5},则A∩B= A.{x|x≤3} B.{2,3} c.{2,3,4,5 D.{xx≤3或x=4或x=5 2.复数z及其共轭复数z满足z+22=3+2i（其中1是虚数单位)，则z= -3+B3- C.1+2i D.1-2i 3.己知向量a=(L,x),b=(x,4),x∈R.若(a+b)b,则x= A.2 B.2或-2 C.-4 D.-4或-1 4.1 4. 已知a,b为正实数， a+京-,则 A.ab的最小值为4 B.ab的最大值为4 C.ab的最小值为2 D.ab的最大值为2 5.设定义在R上的函数f()=sin2x.记f(x)=f(x),对任意的neN,f1(x)=[f(x， 则f024(x)= A.sin 2x B.-cos2x C.-22023c082x D.22024 sin2x 6.甲、乙等5人站成前排2人、后排3人拍照，其中甲、乙两人在同一排相邻的排法共有 A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 7.现有2道单选题，假定学生张君对每道题有思路与无思路的概率均为0.5.他对题目若有思路， 做对的概率为0.75；若没有思路，做对的概率为0.25.在已知张君恰做对1题的条件下，则其 恰有1题有思路的概率为 16 B. 5 -2 C. D. 8 8.设f(x)=4x+a2x2+4x+a(a,a,a2,4∈R且4≠0)，方程f()=0在复数集C内的 三个根为，x,为，可以将上述方程变形为4(x-龙)x一2)x-x)=0,展开得到 4x-4(伍++为)x2+a(化52+x为+x)x-ax5=0,比较该方程与方程f(x)=0, 可以得到石+名+名=-及，x西+%+为新=及，为=-.已知f0=1+1(i是 a 43 虚数单位)，且tana,tan阝，tany是f(x)=0的三个实根，则tan(a+B+y）= A.1 B.-1 C.2 D.-2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是 符合题目要求的。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题正确的是 人若随机变量X展队二项分布B6明，贴D灯=号 B.若随机变量X服从正态分布N(5,4),则P(X>T)+P(X≥3)=1 C.当事件A,B,C两两独立时，P(ABC)=P(A)P(B)P(C) D.当事件A,B,C两两互斥时，P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C) 10.关于函数f(x)=x的图象的切线，下列说法正确的是 A.在点A(1,1)处的切线方程为y=3x-2 B.经过点A(L,)的切线方程为y=3x-2 C.切线l:y=a+b(k≠0)与y=f(x)的图象必有两个公共点 D.在点P(,x)处的切线过点(x,x)(x卡)，则=-2x I1,已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中a为定值.若△ABC的面积S=二a2, 则 A. anA的最大值为了 B.b2+c2的最小值为2a2 C.△ABC周长的最小值为(N5+1)a 的取值范围是 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(x+2y)的展开式中x3y2的系数是▲（用数字作答）. 8.已知aBe03,ma--29,cseB=日则ma-=人 cos(a+)=▲- 14.在正方体ABCD-ABCD中，P为正方形ADDA的中心，直线lC底面ABCD,则二面 角A一1一P的平面角的正弦值的最大值是▲· 四、解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 15.(13分) 已知函数f()=2sin(@x-p@>0,0<p<),x∈R.给出如下三组条件： ①函数∫)的最小正周期为不，且当x=征时，)取到最大值： 12 ②函数四的单闲递浓区间是[径引keZ,单满递湘区间是 12 @是方程/倒=1的两个根，名-名的最小值为号且了信+习+f爱习=0。 从这三组条件中任选一组作为条件，完成以下问题： (I)求函数f(x)的解析式： (m)若/停+骨子求6+ π 的值. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答给分 16.(15分) 已知函数f()x-a+】 为偶函数。 x-a (I)求实数a的值： (Ⅱ)若不等式f(x)≥bx恒成立，求实数b的取值范围. 17.(15分) 如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥BC,AB=BB=2,A BC=25,点D,E分别是棱AC、CC的中点，点F在线段AE上. (I)若AF=2F2,求证：AF∥平面BDE: (I）若三棱锥F-ABD的体积为 ,求直线BF与平面AACC所成角A B 的正切值. 18.(17分) 已知函数f(x)= x(aER). In(x+a) (I)当a=0时，求函数f(x)的单调区间； (Ⅱ)当a=1时，证明：f(x)<一x+1; (Ⅲ)若f(x)既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围. 19.(17分) 在做抛掷质地均匀硬币的试验过程中，将正面朝上记作1，反面朝上记作0，记录结果得到一 串由0和1构成的序列.在序列中规定：仅有数字0相连的排列称为由0构成的游程；仅有数字1 相连的排列称为由1构成的游程.如在序列000111110100001101110010011000中，共有13 个游程，其中由0构成的游程有7个，分别是000,0,0000,0,00,00,000；由1构成的游程有6个， 分别是11111,1,11,111,1,11. (I)由2个0和3个1随机构成的序列中，求游程个数的分布列与期望： (Ⅱ)由m个0和n个1随机构成的序列，记作4a243…am+m·记事件A={a=1}, A={ak-1=0,ak=1,k=2,3,…,m+n. (1)求P(A),P(42): (ⅱ)求游程个数的期望. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 题号 2 3 6 8 答案 B D B D B 二、 多项选择题： 本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是 符合题目要求的。全部选对得6分， 部分选对得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.40 13.25,言 (第一问3分，第二问2分) 14. 2 四、解答题：本小题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 15.（本小题满分13分) 解：(1)若地择0：由题知T=2红=元，故0=2.…3分 5π 当x二日元时2x 12 -p=2m+,k∈Z, 2 故p-育-2，又0<0<，散p= 4…6分 所以f)=2sin(2x-. …7分 若选择@：由单调区间可知周期为元，故T=2红=元，故0=2. …3分 由题意知当x=-受时，闭取最小值，即2x(-没-9=2狐-受ke2, 12 故p=背-2，又0<p<受故0=子 …6分 所以f(x)=2sin(2x-5). …7分 若选择③：令f(x)=1,即2sin(wx-p)=1, 由国象可知a--(a-后+2片(g+2a小-经 可%-儿一子名-名的最小值为号 故0=2. …3分 由∫（爱+刘+f(后-习=0，可知（号，0）是f)的对称中心， 则2x匹-p=m,keZ,故p= 6 k, 3 仅0<0<元，故0=江，…6分 3 所以f()=2sin(2x-5. 4…7分 (I)由停+冷=2si血%=号，得如 3 …10分 放fk+资-2sn(2%+经-2os2%=20-2m2)-号 14 …13分 16.(本小题满分15分) 解：(I)f(x)的定义域为{xx≠a,… …2分 由f(x)是偶函数，知其定义域关于原点对称，故a=0;…5分 色a=0时，∫心阅+为倍函数，所以a=0.6分 ().f代闭2x恒成立即|到+☆之证（四恒成立. …8分 当x>0时，(*)式恒成立等价于x+二≥bx恒成立， 即b≤1+之恒成立，故b≤1；…11分 当x<0时，(*)式恒成立等价于-x-L≥r恒成立， 1 即b之一1-之恒成立，故b之-1，…14分 综上可得，b的取值范围是[-1,1]. …15分 17.(本小题满分15分) 解：(I)连接CF. 在直三棱柱ABC-AB,C中，A4ICC1,所以∠AAF=∠CEF. 又因为A4=2CE,A4F=2FE, 所以△AAF∽△CEF, 故∠AFA=∠CFE,即A,F,C三点共线。3分 因为点D,E分别是棱AC、CC的中点， 所以DE是△ACC的中位线， 故AFIIDE,又DEC平面BDE,AF丈平面BDE, 所以AF∥平面BDE,…7分 (Ⅱ)过点B作BH⊥AC,垂足为点H,连接FH,FB, B 在直三棱柱ABC-AB,C中，AA⊥平面ABC,又BHc平面ABC,所 以AA⊥BH, 又BH⊥AC,AA∩AC=A,所以BH⊥平面AACC. B 故FH是斜线FB在平面AACC上的射影， 所以∠BFH就是直线BF与平面AACC所成角. 9分 记点F到平面ABC的距离为h, VE-ABD= -h= 3 2 2 所以F为AE的中点，即DF=h= 3 …12分 在△ABC中，BH=ABsi血60°=√3，AH=AB cos60°=1，HD=AD-AH=1.· 求得=VDH2+DF- 2 故an∠BFH=B旺_2V39 ， BF 13 所以直线BF与平面AACC所成角的正切值为 2W39 …15分 13 18.(本小题满分17分) 解：(I)当a=0时，f(x)= , 函数f(x)的定义域为(0,1)U(L,∞)，…1分 Inx f"(x)= Ix-1 ，3分 令f"(x)>0,解得x>e:令f'(x)<0,解得0<x<1或1<x<e, 故函数f(x)的单调递增区间是(C,+oo),函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，(L,e).5分 (Ⅱ)当a=1时，f(x)= In(x+1) 函数f(x)的定义域为(-1,0)U(0,+o), 不等式化闭水x+1就是不等式< 1 x+1（*), n(x+1)2 当-1<x<0时，()式等价于h(x+l)<2 +2 当x>0时，()式等价于h(x+)>2x …8分 x+2 设h(x)=n(x+)- +2h()=1 2x 4 x+1x+2yx+1x+2>0, 故h(x)在(-1，+∞)上单调递增， 故当-1<x<0时，h(x)<h(O)=0,即n(x+)< 2x x+2 当x>0时，()>h(0)=0,即1nx+)>2x x+2 所以原式成立.… ()设t=x+a,令g0=仁e Int f(x)既有极大值又有极小值等价于g()既有极大值又有极小值.12分 Int-!-a g')= 2L,记s0=nt--2=nt+g-1. In2t t 0=1a=-a t22 ①当a≤0时，有s'()20,则s()在(0，)U(1,+oo)上单调递增，故函数s()在(0,1)U(L,+∞)上 至多有1个拳点，不合题意： ②当a=1时，s()在(0，)上单调递减，在(L,+o)上单调递增，且s(①)=0，故s()在 (0,1)U,+o∞)上没有零点，不合题意： ③当a>1时，s()在(0,1)U(L,a)上单调递减，在[a,o)上单调递增， 又)=a-1>0,s(a=na>0,故函数s()在(0，)U(L,fo∞)上没有零点，不合题 意 …15分 ④当0<a<1时，s()在(0，a)上单调递减，在[a,1)U(L+∞)上单调递增， 且有s(g=he+a-1=8>0,s0=a-1<0,s(@=ha<0, 0片=a2_2之1+2-1+2-7-2（这里用不等式当x2≥0时，心≥1+x+ 2 =2+(2+1--2=9>0. aa 2 2 所以s(e)s()<0,s(a)se)<0, 又因为函数s(①的图象分别在区间(0,1)，(L,+∞)上连续， 人3 所以函数s0在(e,a),(L,)内各有1个零点，分别记为和： 故、2分别为函数g()的极大值点、极小值点.即f(x)既有极大值又有极小值， 综上，当0<a<1时，f(x)既有极大值又有极小值. …17分 (用参数分离法求解本小题也给分) 19.(本小题满分17分) 解：（I)设X表示游程的个数，则X∈2,3,4,5}，…2分 由2个0和3个1在排列时，共有C?=10种排列， 当X=2时，有2种排列：11100、00111： 当X=3时，有3种排列：10011、11001、01110； 当X=4时，有4种排列：10110、11010,01011,01101； 当X=5时，只有一种排列：10101. 故X的分布列为： X 2 3 4 5 3 1 P 2 4 10 10 10 期望为Ex=2×2+3x3+4x4+5 ,117 …6分 1010 10 105 (Ⅱ)(i)P(A)= C=” 8分 m+ m+n P(A)= C2= mn ……10分 C 例+a (m+n)(m+n-1) (i)可知当随机事件A发生时，a,就是一个1游程的开始，此时令I= 1,A发生 0,4不发生' 设1游程个数为7，则7=之4， 1…12分 .n,P4)== mn 由(1)可知P(A)= k=2,3,,m+n, m+n m+n (m+n)(m+n-1) 由期望的性质可知， EY-B-P4.) n mn n+mn 一十 …15分 m+n(m+n)(m+n-1) m+n 设0游程个数为Z,类似可得EZ=m+m m+n 因此两类游程数目的数学期望为E(Y+Z)=m+n+2m=1+ 2mn .…17分 m+n m+n