福建省福州市马尾区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期期末学情调研 八年级数学 （全卷共6页，共25题；完卷时间120分钟；满分150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 A．x≥－2 B．x＜－2 C．x≠－2 D．x＞－2 2．下列运算正确的是 A． B． C． D． 3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 A．1，2，3 B．2，3，4 C．13，14，15 D．15，8，17 4．正比例函数的图象经过的象限是 A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、二象限 5．端午前夕，学校食堂调查学生对豆沙粽、蛋黄粽、肉粽这三种粽子的喜爱程度，以决定最终的采购方案．下面统计量中，最值得关注的是 A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 6．若函数y＝ax和函数y＝bx＋c的图象如图所示，则关于x的不等式ax＞bx＋c的解集是 A．x＜2 B．x＜1 C．x＞2 D．x＞1 7．如图是甲、乙两名同学6次射击成绩的折线统计图，甲、乙两人射击成绩的方差分别记作，，下列结论正确的是 A． B． C． D．无法确定 8．顺次连接矩形各边中点所得四边形一定是 A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 9．如图，矩形AOBC的两条边OA，OB分别落在x轴、y轴上，A点坐标为（－8，0），B点坐标为（0，10），点D在线段BC上，沿直线AD将矩形折叠，使点C与y轴上的点E重合．则点D的坐标为 A．（－3，10） B．（－4，10） C．（－5，10） D．（3，10） 10．在同一直角坐标系中，若直线：y＝－x＋1与x轴交于点A，直线：y＝kx－2k－1（k＜0）与x轴交于点B，与交于点C．过点C作x轴的垂线，垂足为点D．若，则k的值是 A．－6 B．－3 C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11．计算：． 12．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为2.4 km，则M，C两点间的距离为________km． 13．在一次演讲比赛中，甲选手的演讲内容、演讲能力、演讲效果成绩如下表所示： 项目 演讲内容 演讲能力 演讲效果 成绩 90 80 90 若按照演讲内容占50％，演讲能力占40％，演讲效果占10％，计算选手的综合成绩．则该选手的综合成绩为________． 14．如下图，直线y＝mx＋n与直线y＝kx＋b的交点为A，则关于x，y的方程组的解是________． 15．如图，在□ABCD中（AB＜AD），用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于F．若BF＝AB＝10，则AE的长为________． 16．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝60°，P为对角线AC上的动点（不与A、C两端点重合），PM⊥AB交AB所在直线于点M，PN⊥BC交BC所在直线于点N，连接DP．则PM＋PN＋PD的最小值是________________． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算：． 18．（8分）如图，在□ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，分别连接AE，EC，CF，FA． 求证：四边形AECF是平行四边形． 19．（8分）已知一次函数图象过点（0，－4），（1，－2）． （1）求此一次函数的解析式，并在图中画出该函数的图象； （2）若点A（2，m）和在该一次函数图象上，试比较m与n的大小，并说明理由． 20．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC交AE于点E． （1）求证：四边形AODE是矩形； （2）若AB＝2，∠ABC＝60°，求四边形AODE的面积． 21．（8分）“双减”政策颁布后，学校开展了延时服务，并增加体育锻炼时间．某体育用品商店抓住商机，购进一批乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其进价和售价如表所示． 进价 售价 乒乓球拍（元/套） 35 a 羽毛球拍（元/套） 40 b 某班甲体育小组购买2套乒乓球拍和1套羽毛球拍共花费160元，乙体育小组购买1套乒乓球拍和2套羽毛球拍共花费170元． （1）求出a，b的值； （2）根据销售情况，商店决定再次购进300套球拍，且购进的乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．若这批球拍的进价和售价均不变，且能够全部售完，如何购货才能获利最大？ 22．（10分）为了迎接第九个“中国航天日”到来，某校在2024年4月24日举行航天知识竞赛．竞赛结束后，随机抽取七年级、八年级各40名学生的成绩，按成绩分为如下5组（满分100分），A组：50≤x＜60，B组：60≤x＜70，C组：70≤x＜80，D组：80≤x＜90，E组：90≤x≤100，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息． 信息1：七年级竞赛成绩的频数分布统计表： 成绩 A B C D E 人数 4 8 13 13 2 信息2：八年级竞赛成绩的频数分布直方图如下图所示： 信息3：七年级学生在70≤x＜80这一组的竞赛成绩是： 70，70，70，71，74，75，75，75，76，76，76，76，78； 信息4：七、八年级成绩的平均分、中位数、众数及方差统计表 班级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 76.2 n 86 162.5 八年级 m 73 82 154.6 请根据以上信息，解决以下问题： （1）补全八年级学生成绩频数分布直方图，并直接写出七年级竞赛成绩的中位数n＝________； （2）请求出八年级的竞赛平均成绩m； （3）在此次竞赛中，你认为________年级的竞赛成绩较好（填“七”或“八”），请给出确定该年级成绩较好的理由：________________，________________．（说出两点即可） 23．（10分）某校八年级数学兴趣小组开展“测量旗杆高度”数学活动． 如图1，甲组利用含30°角的直角三角尺（即Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°）进行测量，小文同学将三角尺水平放置于眼前，使直角边BC垂直于地面l，行走到点P处时，视线透过AB边刚好经过旗杆顶部M．经测得，小文的眼睛离地面AP＝1.6 m，点P离旗杆底部距离PN＝6 m．如图2，乙组发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面后多出一段DN，该绳子长度未知． （1）根据甲组的方案，求旗杆MN的长（结果保留整数，其中）； （2）请利用卷尺，运用所学知识帮助乙组设计一个测量方案，并写出具体的求解旗杆MN长度的过程．（注：卷尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离，卷尺测量得到的长度用a、b、c……表示，方案的相关图示在图2中标注出来，旗杆与绳子间距离忽略不计． 24．（12分）如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形△AMD，过点B作BN⊥MD交MD延长线于点N，连接BM，CN． （1）在图中补全图形； （2）求∠BMD的度数； （3）试探究线段BM，CN之间的数量关系，并证明你的结论． 25．（14分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝（2a－3）x＋5－b的图象为直线l，它与x轴，y轴分别交于A，B两点． （1）如果把l向上平移2个单位后得到直线y＝5x＋1，求a，b的值； （2）当直线l过点（m，6－b）和点（m＋3，4a－7）时，且－3＜b＜8，求a的取值范围； （3）若平面内有动点P（2n－1，4－2n），不论n取何值，点P均不在直线l上，设△PAB的面积为S．求S的值（用含字母b的式子表示）． 2023—2024学年第二学期期末学情调研 八年级数学参考答案 一、选择题：1．A，2．C，3．D，4．B，5．B，6．D，7．A，8．C，9．A，10．B． 二、填空：11．1；12．1.2；13．86；14．；15．；16．． 三、解答题： 17．解：原式， ， ． 得2分，得2分 18．证明：方法一：连接AC交BD于点O， ∵四边形ABCD是□ABCD， ∴AO＝CO，DO＝BO 又∵BE＝DF， ∴OF＝OE． ∴四边形AECF是平行四边形． 方法二：∵四边形ABCD是□ABCD， ∴AD＝BC，AD∥BC ∴∠ADF＝∠CBE 在△ADF和△CBE中 ∴△ADF≌△CBE（SAS） ∴AF＝CE． 同理，CF＝AE． ∴四边形AECF是平行四边形． 19．（1）解：设此一次函数解析式为y＝kx＋b， ∵此一次函数图象过点（0，－4），（1，－2） ∴将这两点坐标代入函数解析式得： 解得：． ∴此一次函数解析式为y＝2x－4 作图准确 （2）n＞m，理由如下： ∵在一次函数y＝2x－4中，k＝2＞0， ∴y随着x的增大而增大 又∵点A（2，m）和在y＝2x－4图象上，， ∴n＞m． 20．（1）证明：∵AE∥BD，DE∥AC， ∴四边形AODE是平行四边形 ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD即∠AOD＝90° ∴□AODE是矩形． （2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°， ∴AC⊥BD，BO＝DO，． ∴，． ∴矩形AODE的面积． 21．解：（1）根据题意得：， 解得：， 答：a、b的值分别是50元、60元； （2）设购进乒乓球拍x套，羽毛球拍（300－x）套．总利润为y元 由题意得：，解得：x≥100， ∵y＝（50－35）x＋（60－40）（300－x） ＝－5x＋6000， ∵－5＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝100时，y最大，且最大值为：－5×100＋6000＝5500（元）， 此时300－x＝200， 答：购进乒乓球拍100套，羽毛球拍200套，获利最大，最大利润为5500元． 22．（1）补全图形， n＝75.5， （2） （3）七；七年级的平均分高于八年级、七年级的中位数比八年级大（答案不唯一） 23．解：（1）延长AC交MN于Q． 由题可知，AC∥l，AP∥BC∥MN， ∴AP∥QN，AQ∥PN． ∴四边形APNQ是平行四边形． 又∵MN⊥l，即∠MNP＝90°， ∴四边形APNQ矩形． ∴∠AQN＝∠AQM＝90°，AQ＝PN＝6， QN＝AP＝1.6． ∵BC∥MN， ∴∠QMA＝∠CBA＝30°． 在Rt△AQM中，∠AMQ＝30°， ∴AM＝2AQ＝12， ∴ ∴MN＝MQ＋QN≈10.38＋1.6＝11.98≈12（m）． ∴旗杆的高约为12 m． （2）解法1：如图，设旗杆高度MN＝x m，用卷尺测得DN＝a m． 将绳子拉直使其末端接触地面于点E， 用卷尺测得EN＝b m． ∴EM＝a＋x． 在Rt△EMN中，由勾股定理得， 即：， 解得， ∴旗杆高度． 解法2：如图，设旗杆高度设旗杆高度MN＝x m，用卷尺测得DN＝a m． 将绳子拉直至点E，用卷尺测得点E离地面点G高度EG＝b m， 用卷尺测得点G至旗杆底部点N的距离GN＝c m， ∴绳长EM＝a＋x． 过E作EF⊥MN于点F，即∠EFN＝90°． 由题可知，EG⊥l，MN⊥l， ∴∠EGN＝∠FNG＝90°， ∴四边形EGNF是矩形， ∴EG＝NF＝b，GN＝EF＝c， ∴MF＝MN－NF＝x－b． 在Rt△EMF中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴旗杆高度． 24．解：（1）如图1，补全图形． （2）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝90° ∵△ADM是等边三角形 ∴AD＝AM，∠MAD＝∠AMD＝60° ∴AB＝AM，∠MAB＝120° ∴∠AMB＝∠ABM ∴2∠AMB＝180°－∠BAM＝30° ∴∠AMB＝15°， ∴∠BMD＝∠AMD－∠AMB＝45°． （3），证明如下： 如图（2），作CE⊥BN于点E，CH⊥MN交MN的延长线于点H， 则∠BEC＝∠CEN＝∠H＝90°， ∵BN⊥MD交MD延长线于点N， ∴∠ENH＝90°， ∴四边形NECH是矩形， ∴∠ECH＝∠BCD＝90°， ∴∠BCE＝∠DCH＝90°－∠DCE， 在△BCE和△DCH中， ， ∴△BCE≌△DCH（AAS）， ∴CE＝CH， ∴四边形NECH是正方形， ∴CE＝NE， 在Rt△ECN中，由勾股定理可得 同理可得 ∵∠ABM＝15°，∠MBN＝45° ∴∠NBC＝30°， ∴BC＝2CE， 在Rt△BCE中，由勾股定理可得 ∴ ∴， ∴ ∴ 方法二：如图（3），以点B为原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，直线BN与直线CD相交与点H． 不妨设正方形的边长为2a，则B（0，0），A（0，2a），C（a，0），D（2a，2a） 易求得点M的坐标，H的坐标为 设直线MN的解析式为y＝kx＋b，可得： 解得 ∴直线MN的解析式为 同理可求直线BH的解析式为 由，解得 ∴点N的坐标 由勾股定理可求 同理可求 ∴ 即 25．解：（1）由题意得：， 解得； （2）由题意得：， 则2a－b＝－4， 即， 当b＝－3时，则a＝﹣3.5，当b＝8时，则a＝2， ∵，故a随b的增大而增大且－3＜b＜8， ∴－3.5＜a＜2， ∵2a－3≠0，即a≠1.5， ∴－3.5＜a＜2且a≠1.5； （3）方法一：设点P（x，y），则，即y＝－x＋3， ∴点P是直线y＝－x＋3上一动点， ∵不论n取何值，点P均不在直线l上， 故上述两条直线平行， 即2a－3＝－1且5－b≠3， 解得 ∴直线l的解析式为y＝－x＋5－b 易知直线l及直线y＝－x＋3与x轴所交锐角为45° ∵平行线间的距离处处相等 ∴不妨设直线y＝－x＋3与x轴交点C， 过点C作CD⊥l于点D ①当5－b＞3，即b＜2时 ②当5－b＜3，即b＞2时 方法二：设点P（x，y），则，即y＝－x＋3， ∴点P是直线y＝－x＋3上一动点， ∵不论n取何值，点P均不在直线l上， ∴关于x，y的方程组无解， 即关于x的方程（2a－2）x＝－2＋b无解， ∴ ∴ ∴直线l的解析式为y＝－x＋5－b 易知直线l及直线y＝－x＋3与x轴所交锐角为45° ∵平行线间的距离处处相等 ∴不妨设直线y＝－x＋3与x轴交点C， 过点C作CD⊥l于点D ①当5－b＞3，即b＜2时 ②当5－b＜3，即b＞2时 学科网（北京）股份有限公司 $$