精品解析：四川省成都市天府新区综合高级中学2024届高三下学期模拟测试（二）文科数学试题

四川天府新区综合高级中学2024届高三数学模拟测试（二） 文 科 一、单选题 1. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 3. 若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 4. 已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ） A. B. C. D. 5. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 A. 各月的平均最低气温都在0℃以上 B. 七月的平均温差比一月的平均温差大 C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同 D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个 6. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 9. 设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 10. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（ ） A. 该圆锥的侧面积为 B. 该圆锥的体积为 C. 的面积为 D. 11. 在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则该球体积的最大值是 A. B. C. D. 12. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 在单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 三、填空题 13. 若x，y满足约束条件则的最大值是__________． 14. 已知，tanα=2，则=______________． 15. 已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程是_________. 16. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，则三角形的面积为______. 四、解答题 17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点． （1）证明平面； （2）求四面体的体积. 19. 已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 20. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9．95 10．12 9．96 9．96 10．01 9．92 9．98 10．04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10．26 9．91 10．13 10．02 9．22 10．04 10．05 9．95 经计算得，， ，其中为抽取的第个零件的尺寸，． （1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到）附：样本的相关系数 ，． 21. 设函数． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）证明当时，； （Ⅲ）设，证明当时，. 22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为 ． （1）若，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l的距离的最大值为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川天府新区综合高级中学2024届高三数学模拟测试（二） 文 科 一、单选题 1. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 3. 若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 4. 已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可. 【详解】由已知可得：. A：因为，所以本选项不符合题意； B：因为，所以本选项不符合题意； C：因为，所以本选项不符合题意； D：因为，所以本选项符合题意. 故选：D. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力. 5. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃．下面叙述不正确的是 A. 各月的平均最低气温都在0℃以上 B. 七月的平均温差比一月的平均温差大 C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同 D. 平均最高气温高于20℃的月份有5个 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在0℃以上，A正确；由图可知在七月的平均温差大于，而一月的平均温差小于，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B正确；由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在，基本相同，C正确；由图可知平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，所以不正确．故选D． 【考点】统计图 【易错警示】解答本题时易错可能有两种：（1）对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；（2）估计平均温差时易出现错误，错选B． 6. 小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：开机密码的可能有，，共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率是，故选C． 【考点】古典概型 【解题反思】对古典概型必须明确两点：①对于每个随机试验来说，试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等．只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式（其中n是基本事件的总数，m是事件A包含的基本事件的个数）得出的结果才是正确的． 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可. 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：C. 8. 如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于A，利用与直线平行的直线和平面相交，可得直线AB与平面MNQ不平行；对于B，利用面面平行可得直线AB与平面MNQ平行；对于C，利用和平行的直线平行平面，可得平面；对于D，利用和平行的直线平行平面，可得平面. 【详解】对于A，如图取底面中心，连接， 由于为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 因为与平面相交，所以与平面相交，即直线与平面不平行； 对于B，由于，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面； 对于D，如图，连接，则， 因为，分别为棱的中点，所以由三角形中位线定理可得， 所以， 因为平面，平面，所以平面. 【点睛】方法点睛：证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面． 9. 设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】依题作出图象，将只需与双曲线方程联立，求出点，两点坐标，继而由条件得到，最后利用基本不等式即可求得焦距最小值. 【详解】 如图，由可得其渐近线方程为： 直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点 不妨设为在第一象限，在第四象限 由，解得，得 由，解得，得 故，于是，面积为： 则双曲线的焦距,当且仅当取等号 即当时，双曲线的焦距取得最小值. 故选：C. 10. 已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则（ ） A. 该圆锥的侧面积为 B. 该圆锥的体积为 C. 的面积为 D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得底面半径及高，由圆锥的体积公式判断B，由侧面积公式判断B，设是的中点，连接，则是二面角的平面角，求出判断D，再求出的面积判断C. 【详解】依题意，，，所以， 对于A，圆锥的侧面积为，故A错误； 对于B，圆锥的体积为，故B错误； 对于D，设是的中点，连接， 则，所以是二面角的平面角， 则，所以， 故，则，故D正确 对于C，，所以，故C错误； 故选：D 11. 在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则该球体积的最大值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直三棱柱及球的性质求出半径. 【详解】设的内切圆半径为，则， 故球的最大半径为. 12. 已知函数，则（ ） A. 在单调递增 B. 在单调递减 C. 的图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性的判断方法，可判断A，B选项；验证与是否相等可判断C选项；验证是否恒等于可判断D选项． 【详解】由题意可得函数的定义域为， 则， 因为在上单调递增，在上单调递减，且在上单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误； 由题意知，， 所以的图象关于直线对称，故C正确； 因为，不恒等于0 ，所以D错误． 三、填空题 13. 若x，y满足约束条件则的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】在平面直角坐标系内画出不等式组表示的平面区域，然后平移直线，在平面区域内找到一点使得直线在纵轴上的截距最大，求出点的坐标代入目标函数中即可. 【详解】不等式组表示的平面区域为下图所示： 平移直线，当直线经过点时，直线在纵轴上的截距最大， 此时点的坐标是方程组的解，解得：， 因此的最大值为：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了线性规划的应用，考查了数形结合思想，考查数学运算能力. 14. 已知，tanα=2，则=______________． 【答案】 【解析】 【详解】由得，又，所以，因为，所以，因为，所以． 15. 已知为偶函数，当 时，，则曲线在点处的切线方程是_________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则，所以切线方程为，即． 【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义 【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为． 16. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，则三角形的面积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线方程求出焦点，进而得到抛物线方程，与直线方程联立后得到两根之和，进而得到弦长，结合点到直线距离求出面积. 【详解】由题意可知直线过点，即为抛物线的焦点， 所以，抛物线的方程为， 设， 由消去并化简得， 解得，所以， 直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为. 故答案为： 四、解答题 17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，证明：△ABC是直角三角形． 【答案】（1）； （2）因为，所以， 即①， 又②， 将②代入①得，， 即，而，解得， 所以， 故， 即是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）根据诱导公式和同角三角函数平方关系，可化为，即可解出； （2）根据余弦定理可得，将代入可找到关系，再根据勾股定理或正弦定理即可证出． 【详解】（1）因为，所以， 即， 解得，又， 所以； （2）略 【点睛】本题主要考查诱导公式和平方关系的应用，利用勾股定理或正弦定理，余弦定理判断三角形的形状，属于基础题． 18. 如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点． （1）证明平面； （2）求四面体的体积. 【答案】（1）由已知得，取的中点，连接，， 由为中点知，. 又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是. 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证； （2）由条件可知四面体的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，为的中点， 所以到平面的距离为. 取的中点，连接，由得，. 由得到的距离为，故. 所以四面体的体积. 【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积 【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解． 19. 已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）证明：当时，． 【答案】（1）； （2）证明：方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时， ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. （2）方法1，利用（1）的结论求出，，再分奇偶结合分组求和法求出，并与作差比较作答；方法2，利用（1）的结论求出，，再分奇偶借助等差数列前n项和公式求出，并与作差比较作答. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. 【小问2详解】 略 20. 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9．95 10．12 9．96 9．96 10．01 9．92 9．98 10．04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10．26 9．91 10．13 10．02 9．22 10．04 10．05 9．95 经计算得，， ，其中为抽取的第个零件的尺寸，． （1）求的相关系数，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）． （2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ （ⅱ）在之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到）附：样本的相关系数 ，． 【答案】（1）可以； （2）（ⅰ）需要；（ⅱ），. 【解析】 【分析】（1）根据题中所给的相关系数的计算公式求； （2）（i）由，得抽取的第13个零件的尺寸在以外，因此需对当天的生产过程进行检查；（ii）剔除第13个数据，则均值的估计值为，方差为． 【小问1详解】 由样本数据得的相关系数为 . 由于，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小. 【小问2详解】 （i）由于， 由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在以外， 因此需对当天的生产过程进行检查. （ii）剔除离群值，即第个数据， 剩下数据的平均数为， 这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为. ， 剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为 ， 这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为. 【点睛】解答新颖的数学题时，一是通过转化，化“新”为“旧”；二是通过深入分析，多方联想，以“旧”攻“新”；三是创造性地运用数学思想方法，以“新”制“新”，应特别关注创新题型的切入点和生长点． 21. 设函数． （Ⅰ）讨论的单调性； （Ⅱ）证明当时，； （Ⅲ）设，证明当时，. 【答案】（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为. 所以当时，. 故当时，，，即. （Ⅲ）由题设，设， 则，令， 解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 由（Ⅱ）知，，故，又， 故当时，. 所以当时，. 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数，然后通过解不等式或可确定函数的单调性；（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的结论证明，右端将左端的换为即可证明；（Ⅲ）变形所证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理． 试题解析：（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. （Ⅱ）略 （Ⅲ）略 【考点】利用导数研究函数的单调性、不等式的证明与解法 【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明． 22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为 ． （1）若，求C与l的交点坐标； （2）若C上的点到l的距离的最大值为，求． 【答案】（1），；（2）或． 【解析】 【详解】试题分析：（1）直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立解交点坐标；（2）利用椭圆参数方程，设点，由点到直线距离公式求参数． 试题解析：（1）曲线的普通方程为. 当时，直线的普通方程为. 由解得或. 从而与的交点坐标为，. （2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为 . 当时，的最大值为.由题设得，所以； 当时，的最大值为.由题设得，所以. 综上，或. 点睛:本题为选修内容，先把直线与椭圆的参数方程化为直角坐标方程，联立方程，可得交点坐标，利用椭圆的参数方程，求椭圆上一点到一条直线的距离的最大值，直接利用点到直线的距离公式，表示出椭圆上的点到直线的距离，利用三角有界性确认最值，进而求得参数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $