湖北省宜昌市当阳市2023-2024学年八年级下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年湖北省宜昌市当阳市八年级（下）期末数学试卷 一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．本大题共10小题，每题3分，计30分） 1．（3分）下列m取值中，能满足在实数范围内有意义的是（　　） A．m＝﹣2 B．m＝2024 C．m＝﹣0.2 D．m＝﹣1 2．（3分）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）已知△ABC的边长分别是，b＝2，，则该三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 4．（3分）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的正半轴交点P所表示的数是（　　） A．2.2 B． C．1+ D． 5．（3分）四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则下列结论不一定正确的是（　　） A．∠A＝∠B B．AD∥BC C．AB＝CD D．对角线互相平分 6．（3分）甲、乙、丙、丁四名学生准备参加学校英语口语比赛，他们4次模拟训练成绩的平均数都是95分，这四名学生4次训练成绩的方差依次为如表： 学生 甲 乙 丙 丁 方差 1.7 2.6 3.8 5.2 根据表中数据，可以判断发挥最稳定的学生是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 7．（3分）关于正比例函数y＝﹣3x，下列说法正确的是（　　） A．图象经过第一、三象限 B．图象经过原点 C．y随x增大而增大 D．点（2，﹣4）在函数的图象上 8．（3分）一次函数y＝x﹣4的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣4）到原点的距离为（　　） A．2 B．4 C． D． 10．（3分）在下列命题中，真命题是（　　） A．有两边平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形 二．填空题．（本大题满分15分，共5小题，每小题3分） 11．（3分）某市在一次空气污染指数抽查中，收集到5天指数数据如下：61，75，81，56，81．则该组数据的众数是 　 　． 12．（3分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝1，那么菱形ABCD的周长是　 　． 13．（3分）已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 　 　． 14．（3分）如图，把两条等宽都为4的长方形纸条重叠在一起，重合部分构成的四边形ABCD是何种特殊的平行四边形，请填写在横线上 　 　． 15．（3分）将直线y＝2x+1向下平移2个单位，得到的直线解析式是 　 　． 三．解答题．（本大题满分75分，共9小题） 16．（6分）计算：． 17．（6分）如图，直线y＝kx+2（k≠0）经过点A（2，6）． （1）求k的值； （2）求直线与x轴、y轴的交点坐标． 18．（6分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市部分教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了统计表： 组别 步数 频数 频率 1 0≤x＜4000 6 a 2 4000≤x＜84000 14 0.28 3 8000≤x＜12000 15 b 5 12000≤x＜16000 10 0.2 6 16000≤x＜20000 c 0.06 7 20000≤x＜24000 2 0.04 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的教师人数为 　 　人，a＝　 　； （2）这组数据的中位数落在第 　 　组内； （3）本市约有2000名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？ 19．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AO＝CO，AD∥BC． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若AB＝10，OA＝6，BD＝16． ①求∠BOA的度数； ②求四边形ABCD的面积． 20．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的6×6的网格，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上． （1）如图1，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）请按要求在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，在图2中的BC上找一点D，画线段AD，使AD⊥BC，保留作图痕迹，不写画法． 21．（8分）A超市在星期天进行某种水果优惠促销活动，该种水果的标价为10元/kg，如果一次购买5kg以上的该种水果，超过5kg的部分按标价6折售卖． x（单位：kg）表示购买该种水果的重量，y（单位：元）表示付款金额． （1）小明购买4kg该种水果需付款 　 　元；购买6kg该种水果需付款 　 　元； （2）求付款金额y关于购买该种水果的重量x的函数解析式； （3）当天，隔壁的B超市也在进行该种水果优惠促销活动，同样的该种水果的标价也为10元/kg，且全部按标价的8折售卖．小明如果要购买9kg该种水果，请问她在哪个超市购买更划算？ 22．（10分）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠CAB＝∠EAD＝90°，△ADE绕着顶点A旋转． （1）如图1，若D点恰好落在BC边上，连接CE． ①求证：BD＝CE； ②若G为AC中点，连接GE，当点D在直线BC上运动时，若AC＝10，求线段GE的最小值； （2）若D不在BC边上，DE交AC于点F，且AB＝10，AD＝6．当△CEF是直角三角形时，求BD长．（图2，图3是备用图） 23．（11分）已知，在矩形ABCD中． （1）若点F是矩形ABCD边上一点，点E在边AB上，连接CE，AE＝BC． ①如图1，点F在边AD上，且AF＝BE，连接EF．求∠CFE的度数； ②如图2，点F在边BC上，且BE＝CF，连接AF交CE于点G，过C作CH∥AF交AD于H．求∠AGE的度数． （2）如图3，在矩形ABCD中，若E是边DC上一动点，将△CBE沿BE折叠后得到△NBE，点N在矩形ABCD内部（不含边），射线BN分别交射线BC，射线DC于点M，F，AB＝8，AD＝6． ①当点E是DC的中点时，求线段DF的长； ②点E在运动过程中，求出△DEN的周长的最小值． 24．（12分）如图1，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线AC交x轴于点C，△AOC沿直线AC折叠，点O恰好落在直线AB上的点D处． （1）求点C的坐标； （2）如图2，直线AC上的两点E，F，△BEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点E的坐标； （3）如图3，若OD交AC于点G，在线段AB上是否存在一点H，使△ADC与△AGH的面积相等，若存在求出H点坐标；若不存在，请说明理由． 2023-2024学年湖北省宜昌市当阳市八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号．本大题共10小题，每题3分，计30分） 1．（3分）下列m取值中，能满足在实数范围内有意义的是（　　） A．m＝﹣2 B．m＝2024 C．m＝﹣0.2 D．m＝﹣1 【分析】根据被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， m≥0， 则在四个选项中只有B项符合题意； 故选：B． 2．（3分）下列计算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【解答】解：﹣＝2﹣，故A错误，不符合题意； ×＝，故B正确，符合题意； 与不是同类二次根式，不能合并，故C错误，不符合题意； ÷＝＝2，故D错误，不符合题意； 故选：B． 3．（3分）已知△ABC的边长分别是，b＝2，，则该三角形一定是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【分析】根据a2+c2＝b2，推出该三角形一定是等腰直角三角． 【解答】解：， ∴a2+c2＝b2， ∴该三角形一定是等腰直角三角． 故选：D． 4．（3分）如图，Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝1，点O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的正半轴交点P所表示的数是（　　） A．2.2 B． C．1+ D． 【分析】直接利用勾股定理得出OB的长，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：OB＝＝＝， 故弧与数轴的交点C表示的数为：． 故选：B． 5．（3分）四边形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，则下列结论不一定正确的是（　　） A．∠A＝∠B B．AD∥BC C．AB＝CD D．对角线互相平分 【分析】由题中结论可得四边形ABCD是平行四边形，再结合平行四边形的性质即可得出结论． 【解答】解：∵∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴可得四边形ABCD是平行四边形， ∴B、C、D均正确， 而A选项∠A+∠B＝180°，但并不一定∠A＝∠B，故该选项错误，符合题意， 故选：A． 6．（3分）甲、乙、丙、丁四名学生准备参加学校英语口语比赛，他们4次模拟训练成绩的平均数都是95分，这四名学生4次训练成绩的方差依次为如表： 学生 甲 乙 丙 丁 方差 1.7 2.6 3.8 5.2 根据表中数据，可以判断发挥最稳定的学生是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小最稳定． 【解答】解：∵他们4次模拟训练成绩的平均数都是95分， 甲的方差＜乙的方差＜丙的方差＜丁的方差， ∴发挥最稳定的学生是甲， 故选：A． 7．（3分）关于正比例函数y＝﹣3x，下列说法正确的是（　　） A．图象经过第一、三象限 B．图象经过原点 C．y随x增大而增大 D．点（2，﹣4）在函数的图象上 【分析】分别利用正比例函数的性质分析得出即可． 【解答】解：A、正比例函数y＝﹣3x，图象经过第二，四象限，不正确，不合题意； B、正比例函数y＝﹣3x，图象经过原点，正确，符合题意 C、正比例函数y＝﹣3x，y随x增大而减小，故此选项错误，不合题意； D、当x＝2时，y＝﹣6，故点（2，﹣6）在函数的图象上不正确，不合题意； 故选：B． 8．（3分）一次函数y＝x﹣4的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据k，b的符号判断一次函数y＝x﹣4的图象所经过的象限． 【解答】解：由题意，得：k＞0，b＜0，故直线经过第一、三、四象限．即不经过第二象限． 故选：B． 9．（3分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣4）到原点的距离为（　　） A．2 B．4 C． D． 【分析】利用勾股定理计算可得结论． 【解答】解：由题意得，点P到坐标原点的距离为： ＝＝2． 故选：D． 10．（3分）在下列命题中，真命题是（　　） A．有两边平行的四边形是平行四边形 B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 C．有一个角是直角的四边形是矩形 D．有一个角是直角且有一组邻边相等的四边形是正方形 【分析】根据平行四边形的判定方法对A进行判断；根据菱形的判定方法对B进行判断；根据矩形的判定方法对C进行判断；根据正方形的判定方法对D进行判断． 【解答】解：A、有两组对边平行的四边形是平行四边形，所以A选项错误； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，所以B选项正确； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以C选项错误； D、有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，所以D选项错误． 故选：B． 二．填空题．（本大题满分15分，共5小题，每小题3分） 11．（3分）某市在一次空气污染指数抽查中，收集到5天指数数据如下：61，75，81，56，81．则该组数据的众数是 　81　． 【分析】根据众数的定义判断． 【解答】解：数据：61，75，81，56，81.81次数出现最多，该组数据的众数是81． 故答案为：81 12．（3分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝1，那么菱形ABCD的周长是　8　． 【分析】根据三角形的中位线定理求出BC，再根据菱形的四条边都相等解答． 【解答】解：∵E、F分别是AB、AC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴BC＝2EF＝2×1＝2， ∴菱形ABCD的周长＝2×4＝8． 故答案为：8． 13．（3分）已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 　5或　． 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长． 【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时： 第三边的长为：＝； ②长为3、4的边都是直角边时： 第三边的长为：＝5； 综上，第三边的长为：5或． 故答案为：5或． 14．（3分）如图，把两条等宽都为4的长方形纸条重叠在一起，重合部分构成的四边形ABCD是何种特殊的平行四边形，请填写在横线上 　菱形　． 【分析】根据题意可以得到AD∥BC，AB∥DC，从而可以判断四边形ABCD是平行四边形，再根据矩形的性质、全等三角形的判定和性质，可以得到AD＝AB，从而可以判定四边形ABCD是菱形． 【解答】解：由题意可得， AD∥BC，AB∥DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 作DE⊥BA交BA的延长线于点E，作BF⊥DA交DA的延长线于点F，如图所示， 则∠AED＝∠BFA＝90°，AF＝DE， ∵AD∥BC， ∴∠EAD＝∠FBA， 在△AED和△BFA中， ， ∴△AED≌△BFA（AAS）， ∴AD＝AB， ∴平行四边形ABCD是菱形， 故答案为：菱形． 15．（3分）将直线y＝2x+1向下平移2个单位，得到的直线解析式是 　y＝2x﹣1　． 【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“左加右减”的原则可知：直线y＝2x+1向下平移2个单位，得到直线的解析式为：y＝2x+1﹣2，即y＝2x﹣1． 故答案为：y＝2x﹣1． 三．解答题．（本大题满分75分，共9小题） 16．（6分）计算：． 【分析】先对二次根式进行化简和对二次根式的除法进行计算；再按照二次根式混合运算的计算法则进行计算． 【解答】解： ＝2 ＝2﹣． 17．（6分）如图，直线y＝kx+2（k≠0）经过点A（2，6）． （1）求k的值； （2）求直线与x轴、y轴的交点坐标． 【分析】（1）直接把A点坐标代入y＝kx+2可求出k的值； （2）由（1）得到直线解析式为y＝2x+2，然后根据坐标轴上点的坐标特征确定直线与坐标轴的交点坐标． 【解答】解：（1）把A（2，6）代入y＝kx+2得2k+2＝6， 解得k＝2； （2）直线解析式为y＝2x+2， 令y＝0得，2x+2＝0，解得x＝﹣2 所以直线与x轴交点坐标为（﹣1，0）； 令x＝0得，y＝2， 所以直线与y轴交点坐标为（0，2）． 18．（6分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市部分教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了统计表： 组别 步数 频数 频率 1 0≤x＜4000 6 a 2 4000≤x＜84000 14 0.28 3 8000≤x＜12000 15 b 5 12000≤x＜16000 10 0.2 6 16000≤x＜20000 c 0.06 7 20000≤x＜24000 2 0.04 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的教师人数为 　50　人，a＝　0.12　； （2）这组数据的中位数落在第 　8000≤x＜12000　组内； （3）本市约有2000名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？ 【分析】（1）用10除以0.2可得总人数，频率＝频数÷总数可得求得a的值； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）用样本中超过12000步（包含12000步）的频率之和乘以总人数可得答案． 【解答】解：（1）本次调查的教师人数为（人），， 故答案为：50，0.12； （2）∵本次调查的教师人数为50人， ∴中位数等于第25及第26个数的平均数， ∴这组数据的中位数落在第8000≤x＜12000组内， 故答案为：8000≤x＜12000； （3）2000×（0.2+0.06+0.04）＝600， ∴估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有600名． 19．（8分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AO＝CO，AD∥BC． （1）求证：四边形ABCD为平行四边形； （2）若AB＝10，OA＝6，BD＝16． ①求∠BOA的度数； ②求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）证△ADO≌△CBO（ASA），得AD＝BC，再由平行四边形的判定即可得出结论； （2）①由勾股定理得逆定理得△AOD是直角三角形，∠ADO＝90°，即可得出结论； ②由平行四边形的性质得BD＝2OD＝10，再由平行四边形面积公式即可求解． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC．， ∴∠DAO＝∠BCO， 在△ADO和△CBO中， ， ∴△ADO≌△CBO（ASA）， ∴AD＝BC， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形； （2）解：①∵OA＝6，OB＝8，AB＝10，OB＝BD＝8， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△AOB是直角三角形， ∴∠BOA＝90°； ②由①可知，AC垂直平分BD， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴AC＝2OA＝12， ∴S四边形ABCD＝AC•BD＝×12×16＝96． 20．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的6×6的网格，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上． （1）如图1，判断△ABC的形状，并说明理由； （2）请按要求在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，在图2中的BC上找一点D，画线段AD，使AD⊥BC，保留作图痕迹，不写画法． 【分析】（1）结论：△ABC是等腰直角三角形．利用勾股定理已经勾股定理的逆定理证明即可； （2）取格点T，连接AT交BC与点D，点D即为所求． 【解答】解：（1）结论：△ABC是等腰直角三角形． 理由：∵AB＝＝，AC＝＝，BC＝＝， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形． （2）如图，线段AD即为所求． 21．（8分）A超市在星期天进行某种水果优惠促销活动，该种水果的标价为10元/kg，如果一次购买5kg以上的该种水果，超过5kg的部分按标价6折售卖． x（单位：kg）表示购买该种水果的重量，y（单位：元）表示付款金额． （1）小明购买4kg该种水果需付款 　40　元；购买6kg该种水果需付款 　56　元； （2）求付款金额y关于购买该种水果的重量x的函数解析式； （3）当天，隔壁的B超市也在进行该种水果优惠促销活动，同样的该种水果的标价也为10元/kg，且全部按标价的8折售卖．小明如果要购买9kg该种水果，请问她在哪个超市购买更划算？ 【分析】（1）根据题意直接写出购买4kg和6kg所需付款； （2）分0＜x≤5和x＞5两种情况写出函数解析式即可； （3）通过两种付款比较那个超市便宜即可． 【解答】解：（1）由题意可知：购买4kg苹果，不优惠， ∴购买4kg苹果需付款：4×10＝40（元）， 购买6kg水果，5kg不优惠，1kg优惠， ∴购买6kg需付款：5×10+1×10×0.6＝56（元）， 故答案为：40，56； （2）由题意得： 当0＜x≤5时，y＝10x， 当x＞5时，y＝5×10+（x﹣5）×10×0.6＝6x+20， ∴付款金额y关于购买苹果的重量x的函数解析式为：y＝； （3）小明在甲超市购买9kg水果需付费：6×9+20＝74（元）， 小明在乙超市购买9kg水果需付费：10×9×0.8＝72（元）， ∴小明应该在B超市购买更划算． 22．（10分）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠CAB＝∠EAD＝90°，△ADE绕着顶点A旋转． （1）如图1，若D点恰好落在BC边上，连接CE． ①求证：BD＝CE； ②若G为AC中点，连接GE，当点D在直线BC上运动时，若AC＝10，求线段GE的最小值； （2）若D不在BC边上，DE交AC于点F，且AB＝10，AD＝6．当△CEF是直角三角形时，求BD长．（图2，图3是备用图） 【分析】（1）①由∠CAB＝∠EAD＝90°，得∠CAE＝∠BAD，又AE＝AD，AC＝AB，故△CAE≌△DAB（SAS），即得BD＝CE； ②由△CAE≌△DAB，得∠ECA＝∠DBA＝45°，知EC⊥CB，即E的轨迹是过C与BC垂直的一条直线，故当EG⊥EC时，GE最小，此时△GCE是等腰直角三角形，从而得EG＝CG＝×5＝； （3）证明△CAE≌△DAB（SAS），可得BD＝CE；分两种情况：①当∠CFE＝90°时，证明△AEF是等腰直角三角形，可得AF＝EF＝＝6，从而CF＝AC﹣AF＝4，故BD＝CE＝＝2； ②当∠CEF＝90°时，过A作AH⊥DE于H，证明B、D、F共线，求出DE＝AD＝12，AH＝DH＝DE＝6，可得BH＝＝8，从而BD＝BH﹣HD＝2． 【解答】（1）①证明：∵∠CAB＝∠EAD＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD， ∵AE＝AD，AC＝AB， ∴△CAE≌△DAB（SAS）， ∴BD＝CE； ②解：如图： 由①知△CAE≌△DAB， ∴∠ECA＝∠DBA＝45°， ∴∠ECB＝∠ECA+∠ACB＝90°， ∴EC⊥CB， ∴E的轨迹是过C与BC垂直的一条直线， ∴当EG⊥EC时，GE最小，此时△GCE是等腰直角三角形， ∴EG＝CG， ∵G为AC中点，AC＝10， ∴CG＝CG， ∴EG＝×5＝， ∴GE最小值为； （3）解：∵∠CAB＝∠EAD＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD， ∵AE＝AD，∠CAE＝∠BAD，AC＝AB ∴△CAE≌△DAB（SAS）， ∴BD＝CE； ①当∠CFE＝90°时，如图， ∵△ADE是等腰直角三角形， ∴∠AEF＝45°， ∵AF⊥DE， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AF＝EF＝＝6， ∴CF＝AC﹣AF＝10﹣6＝4， ∴BD＝CE＝＝＝2； ②当∠CEF＝90°时，过A作AH⊥DE于H，如图， ∵∠AED＝45°， ∴∠AEC＝∠AED+∠CEF＝135°， ∵△CAE≌△DAB， ∴∠CEA＝∠BDA＝135°， ∵∠ADE＝45°， ∴∠ADE+∠BDA＝180°， ∴B、D、F共线， ∵△ADE是等腰直角三角形，AD＝6，AH⊥DE， ∴DE＝AD＝12，AH＝DH＝DE＝6， ∴BH＝＝＝8， ∴BD＝BH﹣HD＝8﹣6＝2， 综上所述，BD的长为2或2． 23．（11分）已知，在矩形ABCD中． （1）若点F是矩形ABCD边上一点，点E在边AB上，连接CE，AE＝BC． ①如图1，点F在边AD上，且AF＝BE，连接EF．求∠CFE的度数； ②如图2，点F在边BC上，且BE＝CF，连接AF交CE于点G，过C作CH∥AF交AD于H．求∠AGE的度数． （2）如图3，在矩形ABCD中，若E是边DC上一动点，将△CBE沿BE折叠后得到△NBE，点N在矩形ABCD内部（不含边），射线BN分别交射线BC，射线DC于点M，F，AB＝8，AD＝6． ①当点E是DC的中点时，求线段DF的长； ②点E在运动过程中，求出△DEN的周长的最小值． 【分析】（1）①证明FEC是等腰直角三角形即可得出∠CFE＝45°；②证明△HEC是等腰直角三角形即可得出∠AGE＝45°； （2）①根据勾股定理求DF的长度；②当DN最小时，△DEN的周长最小． 【解答】解：（1）①∵AE＝BC，∠A＝∠B，AF＝BE， ∴△FAE≌△EBC（SAS）， ∴FE＝EC，∠AFE＝∠BEC， ∵∠AFE+∠AEF＝90°， ∴∠BEC+∠AEF＝90°， ∴∠FEC＝90°， ∴△FEC是等腰直角三角形， ∴∠CFE＝45°； ②∵CH∥AF，AH∥CF， ∴四边形HAFC是平行四边形， ∴CF＝AH， ∵CF＝BE， ∴BE＝AH， ∵BE＝AH，∠EBC＝∠HAE＝90°，AE＝BC， ∴△HAE≌△EBC（SAS）， 同①△HEC是等腰直角三角形，则∠HCE＝45°， ∵AF∥HC， ∴∠AGE＝∠HCE＝45°； （2）①连接EF， ∵E是DC的中点， ∴DE＝EC， ∵△CBE沿AE折叠后得到△NBE， ∴CE＝EN， ∴DE＝EN， ∵在矩形ABCD中， ∴∠C＝90°， ∴∠ENB＝90°， ∵DE＝EN，EF＝EF， ∴Rt△DFE≌Rt△NFE（HL）， ∴DF＝FN， 设DF＝x，则BF＝6+x，FA＝6﹣x， 在Rt△AFB中，82+（6﹣x）2＝（6+x）2， 解得， ∴； ②由折叠知，∠C＝∠ENB＝90°，EC＝NE， ∴DE+EN＝DE+CE＝DC＝8， ∴当DN最小时，△DEN的周长最小， ∵∠ENB＝90°， ∴点B、N、D在同一条直线上时，DN最小， ∴DN＝BD﹣BN＝10﹣6＝4， 此时，∠DNE＝90°， ∴△DNE的周长＝DN+DE+EN＝8+4＝12． 24．（12分）如图1，直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线AC交x轴于点C，△AOC沿直线AC折叠，点O恰好落在直线AB上的点D处． （1）求点C的坐标； （2）如图2，直线AC上的两点E，F，△BEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，求点E的坐标； （3）如图3，若OD交AC于点G，在线段AB上是否存在一点H，使△ADC与△AGH的面积相等，若存在求出H点坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）在Rt△BCD中，BC＝8﹣x，CD＝x，BD＝10﹣6＝4，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得：x＝3，即可求解； （2）证明△EMB≌△BNF（AAS），则EM＝m+8＝BN＝﹣2n﹣6且BM＝2m+6＝FN＝n+8，解得：m＝﹣2，即可求解； （3）过点C作CH∥OD，则△DGH和△DGC面积相等，而△ADC与△AGH的面积相等，故点H为所求点，即可求解． 【解答】解：（1）直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，则点A、B的坐标分别为：（0，6）、（﹣8，0），则AB＝10， ∵△AOC沿直线AC折叠，点O恰好落在直线AB上的点D处， 故设CD＝x＝OC， 则Rt△BCD中，BC＝8﹣x，CD＝x，BD＝10﹣6＝4， 由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2， 即（8﹣x）2＝x2+42，解得：x＝3， 即点C（﹣3，0）； （2）由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝2x+6， 过点B作y轴的平行线交过点E和x轴的平行线于点M，交过点F和x轴的平行线于点N，如图2， 设点E、F的坐标分别为：（m，2m+6）、（n，2n+6）， ∵△BEF是以EF为斜边的等腰直角三角形，则BE＝BF，∠EBF＝90°， ∵∠EBM+∠FBN＝90°，∠FBN+∠BFN＝90°， ∴∠MBE＝∠BFN， ∵∠EMB＝∠BNF＝90°， ∴△EMB≌△BNF（AAS）， ∴EM＝m+8＝BN＝﹣2n﹣6且BM＝2m+6＝FN＝n+8， 解得：m＝﹣2， 即点E（﹣2，2）； （3）如图3， ∵S△BCD＝×CD•BD＝BC•yD， 即3×4＝5yD，则yD＝， 则点D（﹣，）； 由点D的坐标得，直线OD的表达式为：y＝﹣x， 过点C作CH∥OD，交AB于点H， 则△DGH和△DGC面积相等， 而△ADC与△AGH的面积相等， 故点H为所求点， 则CH的表达式为：y＝﹣（x+3）， 联立上式和直线AB的表达式得：x+6＝﹣（x+3）， 解得：x＝﹣6， 即点H（﹣6，）． 学科网（北京）股份有限公司 $$