精品解析：四川省成都市洛带中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

洛带中学2023-2024年学年下期高二年级数学期中考试试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等差数列中，，则（ ） A. 13 B. 16 C. 15 D. 14 2. 已知曲线在处的切线方程是，则为（    ） A. 1 B. C. 0 D. 无法确定 3. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（　　） A. B. C. D. 4. 已知函数的导函数为，若满足对恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. ， B. C. D. 6. 在正项等比数列中，若，则（ ） A. 6 B. 12 C. 56 D. 78 7. 等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在区间上的函数的图象如图所示，函数是的导数，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A. 函数在处有极小值； B. 函数在处有极小值； C. 函数在区间内有4个极值点； D. 函数在上为增函数. 10. 当时，函数取得极大值，则有（ ） A. = B. = C. D. = 11. 已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最大值，则满足的最大的正整数可能为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 对于函数,若,则_______. 13. 已知数列满足 _______,______. 14. 某莲藕种植塘每年固定成本是1万元，每年最大种植量是8万斤，每种植1万斤莲藕，成本增加0.5万元．用x表示莲藕种植量（单位：万斤），销售额（单位：万元）为，则每年种植莲藕_______万斤时，利润最大. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为． （1）若为等差数列，且公差为并满足，，求及； （2）若为等比数列，且满足，且，求. 16. 求下列函数的导数． （1） （2） （3） （4） （5） 17. 已知等比数列的前项和为，若． （1）求的通项公式； （2）求数列前n项和． 18. 设函数=（） （1）当时，求出函数的最小值； （2）讨论的单调性. 19. 已知函数.（其中为自然对数） （1）求的极值； （2）若方程有两个不同的根，求的取值范围． （3）证明在上恒成立 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛带中学2023-2024年学年下期高二年级数学期中考试试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第Ⅰ卷 一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知等差数列中，，则（ ） A. 13 B. 16 C. 15 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件，结合等差数列的通项公式，可求得公差，再代入通项公式，即可求得. 【详解】由，得，故， 所以. 故选：D. 2. 已知曲线在处的切线方程是，则为（    ） A. 1 B. C. 0 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据导数几何意义可得． 【详解】根据导数几何意义可知：． 故选：B. 3. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项. 【详解】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是下降的，由此排除A； 再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时间，故此时有一段函数图象与x轴平行，由此排除D， 之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C正确，B不正确． 故选C． 【点睛】本题考查函数的表示方法，关键是理解坐标系的度量与小明上学的运动特征，属于基础题. 4. 已知函数的导函数为，若满足对恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义知道，在上单调递增，则可得到答案． 【详解】因为，则在上单调递增，则． 故选：C. 5. 若函数，则函数的单调递减区间为（ ） A. ， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求函数的导数，利用导数小于零并结合定义域即可得解. 【详解】因为，定义域为， 所以， 令，解得，则函数的单调递减区间为. 故选：C. 6. 在正项等比数列中，若，则（ ） A. 6 B. 12 C. 56 D. 78 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用等比中项即可求出和的值，代入计算即可. 【详解】由等比数列的性质可知， 又因为为正项等比数列， 所以，所以． 故选：D. 7. 等比数列｛an｝的前n项和为Sn，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，利用“”法求解. 【详解】因为S3 = a2 +10a1， 所以a2 +a3= a2 +10a1， 即a3= 9a1，即= 9a1， 解得= 9， 又因为a5 = 9， 所以= 9， 解得， 故选：C. 8. 已知定义在区间上的函数的图象如图所示，函数是的导数，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象的单调性可得导数符号，再将转化为不等式组或即可得解. 【详解】由图可知，当或时，递增，所以， 当时，递减，所以， 由得或， 解得或， 所以不等式 的解集为. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了由图象解不等式，属于基础题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的导函数在区间上的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A. 函数在处有极小值； B. 函数在处有极小值； C. 函数在区间内有4个极值点； D. 函数在上为增函数. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据导函数的图象、极值点、极值的知识与用导数判断单调性可求得正确答案. 【详解】对于A选项，在左右两侧的，所以不是的极值点，故A选项错误. 对于B选项，在左右两侧，左侧，右侧，且，所以函数在处有极小值，故B选项正确. 对于C选项，根据图象可知，有3个极值点，左右两侧的，所以不是的极值点，故C选项错误. 对于D选项，的图象在上，当且仅当时，，所以在上单调递增，故D选项正确. 故选：BD. 10. 当时，函数取得极大值，则有（ ） A. = B. = C. D. = 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可得，，进而求导可求得，判断AB；进而可得，判断C；求得，判断D. 【详解】对于AB：因为函数定义域为，所以依题可知，，，而， 所以，，即，，故A、B正确； 对于C：， 当，，当，， 所以函数在上递增，在上递减， 时取最大值，满足题意， 所以.故C正确； 对于D：又，，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最大值，则满足的最大的正整数可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意可得，公差，且，，分别求出，讨论的符号即可求解． 【详解】因为当且仅当时，取得最大值， 所以，公差，且，． 所以，，， 故时，． 当时，，则满足的最大的正整数为； 当时，，则满足的最大的正整数为， 故满足的最大的正整数可能为与． 故选：BC． 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 对于函数,若,则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】. 故答案为： 13. 已知数列满足 _______,______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】求出得出周期，按周期性解题即可． 【详解】根据题意，求出，因此数列周期为4,则． 故答案为：；. 14. 某莲藕种植塘每年固定成本是1万元，每年最大种植量是8万斤，每种植1万斤莲藕，成本增加0.5万元．用x表示莲藕种植量（单位：万斤），销售额（单位：万元）为，则每年种植莲藕_______万斤时，利润最大. 【答案】 【解析】 【分析】设销售利润为，则，利用导数说明函数的单调性，求出函数的极大值点，即可得解. 【详解】设销售利润为， 则，， 所以， 所以当时，当时， 函数在上单调递增，在上单调递减． 时，函数取得极大值即最大值， 所以每年种植莲藕万斤时，利润最大. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列的前项和为． （1）若为等差数列，且公差为并满足，，求及； （2）若为等比数列，且满足，且，求. 【答案】（1）， （2）120. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式求出，进而由求和公式求出； （2）设出公比，得到方程，求出公比，根据等比数列求和公式求出. 【小问1详解】 根据等差数列通项公式可得， 【小问2详解】 设的公比为q，则， 故，. 又， ∴. 16. 求下列函数的导数． （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5）. 【解析】 【分析】根据求导四则运算法则和复合函数求导法则进行计算 【小问1详解】 由可得； 【小问2详解】 由可得； 【小问3详解】 由得； 【小问4详解】 由， 则； 【小问5详解】 由， 则. 17. 已知等比数列的前项和为，若． （1）求的通项公式； （2）求数列前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的求和公式及通项公式求出公比及即可得出通项公式； （2）由等比数列、等差数列的求和公式，利用分组求和得解. 【小问1详解】 ∵等比数列满足， ∴， ∴， ∴， 又． ∴， ∴. 【小问2详解】 由（1）知， ∴ =. 18. 设函数=（） （1）当时，求出函数的最小值； （2）讨论的单调性. 【答案】（1）1 （2）时，在上为单调递增， 时，在上单调递减，在上单调递增. 【解析】 【分析】（1）当时，求导可得，判断函数的单调性，进而可求函数的最小值； （2）求导可得，对分类讨论可求的单调性. 【小问1详解】 当时，， ， 令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处有唯一的极小值，也是最小值. 故函数的最小值为 【小问2详解】 因为， 所以， 当时，因为，所以，故此时在上单调递增， 当时，令，得， 当时，，当时，， 故此时在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：时，在上为单调递增， 时，在上单调递减，在上单调递增. 19. 已知函数.（其中为自然对数） （1）求的极值； （2）若方程有两个不同的根，求的取值范围． （3）证明在上恒成立 【答案】（1）极小值为，无极大值. （2）； （3） 要证明在，上恒成立只需证：， 令， ， 设， 则， 所以函数在上单调递增， 因为， 所以函数在上有唯一的零点且 因为所以，， 所以当时，；当时， 故函数在时有唯一的极小值， 即函数的最小值， 又因为，根据双勾函数性质可知函数在上单调递减， 所以， 所以， 即在上恒成立. 【解析】 【分析】（1）求导后，根据极值与导数的关系求解即可； （2）画出图象，根据图象求解即可； （3）要证明，只需证明，令，根据导数求得的最小值，根据，得，再根据双勾函数性质即可得证. 【小问1详解】 因为函数， 所以， 令，得， 当时，，当时，， 所以在处有唯一的极小值，无极大值； 【小问2详解】 由（1）可知的最小值为， 当时，，并且，当时，，并且， 所以的大致图象如下： 由图象可知时，方程有两个不同的根， 故使得方程有两个不同的根的的取值范围为； 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问证明的关键在于由，结合零点存在性定理可得在存在唯一零点，进而得到函数的最小值，根据，，化简得，根据双勾函数性质即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $