精品解析：江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟2023～2024学年下学期第2次月度抽测 八年级数学试题 （5月）

常青藤学校联盟2023~2024学年度第二学期第2次月度抽测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟，满分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如图四个博物馆标志，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 缩小为原来的3倍 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的9倍 4. 已知代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 反比例函数y＝图象的每条曲线上y都随x增大而增大，则k的取值范围是(　　) A. k＞1 B. k＞0 C. k＜1 D. k＜0 6. 已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题部分（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 7. 已知双曲线经过点，那么k的值等于 _______． 8. 计算：________． 9. 分式与分式的最简公分母是____． 10. 已知菱形的两条对角线长分别是4和7，则菱形的面积为______． 11. 已知代数式的值比代数式大2，则______. 12. 已知，则________． 13. 已知满足，则_____． 14. 饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中，水温与开机时间分满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降(此过程中，水温与开机时间x分成反比例函数关系)，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去(如图所示)．那么开机后分钟时，水的温度是______． 15. 如图，四边形中，，，，点分别为线段上的动点（含端点，但点不与点重合），点分别为的中点，则长度的最大值为______． 16. 如图，A，B两点在反比例函数y=的图象上，C，D两点在反比例函数y=的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1﹣k2的值是_______． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程 （1）； （2）． 19. 已知，，求下列各式的值； （1）； （2）． 20. 如图，在菱形中，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于、两点． （1）求m、n的值； （2）过A、B两点分别作x轴的平行线和垂线，四条直线的另两个交点为C、D，求证：直线CD经过原点． 22. 下面是小余学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某学校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书每本的单价比乙种图书每本的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．求甲、乙两种图书每本的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲图书数量乙图书数量 解法二 设…… 等量关系：甲图书单价乙图书单价20 任务： （1）解法一所列方程中的x表示__________，解法二所列方程中的x表示__________； A． 甲种图书每本单价x元 B． 乙种图书每本单价x元 C． 甲种图书购买x本 （2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价． 23. 先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． （1）请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证； （2）你能只用一个正整数来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律； （3）按此规律，若（，为正整数），则的值为_____． 24. 如图，在中，于点D，，，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是，的中点，连接．设点F运动的时间为t秒． （1）判断与的位置关系和数量关系，并求出的长； （2）若，点F由点A向点C匀速运动的过程中，求线段所扫过区域的面积． 25. 综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量） 任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围． 任务2：求这个空矿泉水瓶的重量． 26. 如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴，x轴的正半轴上，的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，在反比例函数的图象上． （1）求m （2）若，求的度数 （3）如果直线的关系式为且，作反比例函数，过点作x轴的平行线与的图象交于点M，与的图象交于点N，过点N作y轴的平行线与的图像交于点Q，是否存在k的值，使得的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常青藤学校联盟2023~2024学年度第二学期第2次月度抽测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟，满分：150分） 请注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 如图四个博物馆标志，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．根据轴对称图形定义及“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意； C、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A. 是最简二次根式，故此选项符合题意； B. ，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意； C. ，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意； D. ，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 3. 如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　） A. 不变 B. 缩小为原来的3倍 C. 扩大为原来的3倍 D. 扩大为原来的9倍 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质即可求出答案，正确掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解： 即分式的值扩大为原来的3倍， 故选：C． 4. 已知代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式和二次根式有意义的条件列出，，求解即可． 【详解】解：若该代数式有意义则， 解得：且， 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，正确计算是解答本题的关键． 5. 反比例函数y＝图象的每条曲线上y都随x增大而增大，则k的取值范围是(　　) A. k＞1 B. k＞0 C. k＜1 D. k＜0 【答案】A 【解析】 【分析】对于函数y=来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大， ∴1－k＜0， ∴k＞1. 故选A. 【点睛】本题考查反比例函数的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用．易错易混点：学生对解析式y=中k的意义不理解，直接认为k＜0，造成错误． 6. 已知点，，都在反比例函数（a是常数）的图象上，且，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，判断反比例函数的图象所在位置，结合图象分析函数增减性，利用函数增减性比较自变量的大小． 【详解】解：∵， ∴反比例函数（a是常数）的图象在一、三象限， 如图所示： 当时，， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的自变量大小的比较，解题的关键是结合图象，根据反比例函数的增减性分析自变量的大小． 第二部分 非选择题部分（共132分） 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．） 7. 已知双曲线经过点，那么k的值等于 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征∶反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即，从而可得答案． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴， 故答案为：． 8. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数运算，解题的关键是能正确化简各数，根据算术平方根的定义进行化简后再合并即可. 【详解】解：， 故答案为：. 9. 分式与分式的最简公分母是____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了最简公分母，分式与分式的分母都是单项式，因此最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积． 【详解】解：分式与分式的最简公分母是， 故答案为：． 10. 已知菱形的两条对角线长分别是4和7，则菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的面积公式，熟练掌握菱形面积公式是求解的关键．直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，进而得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， 故答案是：． 11. 已知代数式的值比代数式大2，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先根据题意列式，得，解出方程的解，注意要验根，即可作答． 【详解】解：∵代数式的值比代数式大2， ∴， 去分母，得， 解出， 经检验：是原分式方程的解， 故答案为：4． 12. 已知，则________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查分式的加减法，约分．利用整体代入的思想计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：7． 13. 已知满足，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、求代数式的值，根据二次根式有意义的条件得出，代入题目中的式子得出，最后代入计算即可得出答案，正确求出的值是解此题的关键． 【详解】解：由题可知，， 解得， 将代入得， 则． 故答案为：8． 14. 饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热(此过程中，水温与开机时间分满足一次函数关系)，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降(此过程中，水温与开机时间x分成反比例函数关系)，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去(如图所示)．那么开机后分钟时，水的温度是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间x的函数关系式；由点，利用待定系数法即可求出当时，水温与开机时间的函数关系式，再将代入该函数关系式中求出x值即可，由，将代入反比例函数关系式中求出y值即可得出结论． 【详解】解：当时，设水温与开机时间的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 故此函数解析式为：； 在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为：， 依据题意，得：， 解得：， ∴， 当时，， 解得：， ∵， ∴当时，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式． 15. 如图，四边形中，，，，点分别为线段上的动点（含端点，但点不与点重合），点分别为的中点，则长度的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的中位线性质，连接，由勾股定理得，由三角形中位线性质可得，即可得当点与点重合时最大，最大值为，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示， 在中，，，， ∴， ∵点分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 由题意得，当点与点重合时最大，最大值为， ∴长度的最大值为， 故答案为：． 16. 如图，A，B两点在反比例函数y=的图象上，C，D两点在反比例函数y=的图象上，AC⊥y轴于点E，BD⊥y轴于点F，AC=2，BD=1，EF=3，则k1﹣k2的值是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】设点A的坐标为（a，b），结合AC=2，BD=1，EF=3可把点B、C、D的坐标及k1和k2用含a，b的式子表达出来，利用已知条件列出等式即可求得k1-k2的值． 【详解】设点A的坐标为，则由题意可得点C的坐标为，点B的坐标为，点D的坐标为， ∴，BD=， ∵BD=1， ∴，解得：， ∴． 故答案为2． 【点睛】熟悉“反比例函数的图象和性质”及“平行于坐标轴的直线上两点间的距离与它们坐标间的关系”是正确解答本题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，实数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，零指数幂运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解法，通过去分母将分式方程转化为整式方程后求解，再将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母不为零，则整式方程的解是原分式方程的解，否则不是原分式方程的解，掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）方程两边同乘化为整式方程后求解，检验整式方程的根是否使得为零，即可得解； （2）方程两边同乘化为整式方程后求解，检验整式方程的根是否使得为零，即可得解； 【小问1详解】 解： 两边同乘得：， 解这个方程，得， 检验：当，， 所以，是原方程的根． 【小问2详解】 解： 两边同乘得：， 解得， 检验：当，， 所以，不是原方程的解，原方程无解． 19. 已知，，求下列各式的值； （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘法计算法则求解即可，利用整体代入法求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴； ∴． 20. 如图，在菱形中，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：在菱形中，， ， ， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）的长为 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键． （1）由，可得，即，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （2）根据矩形的性质和菱形的性质，以及勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ， ， ， ， 解得， ． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于、两点． （1）求m、n的值； （2）过A、B两点分别作x轴的平行线和垂线，四条直线的另两个交点为C、D，求证：直线CD经过原点． 【答案】（1）， （2） 证明：由（1）可知，，， 根据题意可得，， 设直线解析式为，代入、坐标得： ，解得， 直线解析式为， 故直线经过原点． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求两个函数解析式是关键． （1）将点坐标代入直线解析式可得，根据反比例函数图像上点的坐标特征可得； （2）根据题意可得，，待定系数法求出直线解析式是正比例函数即可． 【小问1详解】 解：当时，一次函数， ， 、两点都在反比例函数图像上． ，即， ． ，． 【小问2详解】 略． 22. 下面是小余学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某学校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书每本的单价比乙种图书每本的单价多20元，用2000元购买甲种图书和用1200元购买乙种图书的数量相同．求甲、乙两种图书每本的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲图书数量乙图书数量 解法二 设…… 等量关系：甲图书单价乙图书单价20 任务： （1）解法一所列方程中的x表示__________，解法二所列方程中的x表示__________； A． 甲种图书每本单价x元 B． 乙种图书每本单价x元 C． 甲种图书购买x本 （2）请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价． 【答案】（1）甲图书单价；甲图书数量或乙图书数量；（2）甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元 【解析】 【分析】本题主要查了分式方程的实际应用： （1）根据题意可得解法一所列方程中的x表示甲图书单价，解法二所列方程中的x表示甲图书数量或乙图书数量； （2）根据解分式方程的基本步骤解答，即可求解． 【详解】解：（1）解法一所列方程中的x表示甲图书单价，解法二所列方程中的x表示甲图书数量或乙图书数量； 故答案为：甲图书单价；甲图书数量或乙图书数量 （2）解法一： 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 所以， 答：甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元； 解法二： 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲图书的单价为50元，乙两种图书的单价为30元． 23. 先来看一个有趣的现象：，这里根号里的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：，等等． （1）请你写一个有“穿墙”现象的数，并验证； （2）你能只用一个正整数来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律； （3）按此规律，若（，为正整数），则的值为_____． 【答案】（1） 有“穿墙”现象的数为，验证如下： ； （2） ， 证明：； （3） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 24. 如图，在中，于点D，，，点F以每秒1个单位长度的速度由点A向点C匀速运动，到达C点即停止运动，G，H分别是，的中点，连接．设点F运动的时间为t秒． （1）判断与的位置关系和数量关系，并求出的长； （2）若，点F由点A向点C匀速运动的过程中，求线段所扫过区域的面积． 【答案】（1），， （2）12 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质等， （1）利用勾股定理及三角形中位线定理即可求解； （2）取的中点M，的中点E，的中点N，线段所扫过区域是四边形，根据中位线的性质可证明四边形是平行四边形，问题即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵G，H分别是，的中点， ∴，， 即； 【小问2详解】 取的中点M，的中点E，的中点N，线段所扫过区域是四边形， ∵，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴线段所扫过区域的面积． 25. 综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量） 任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围． 任务2：求这个空矿泉水瓶的重量． 【答案】任务1：，；任务2：空矿泉水瓶的重量为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握反比例函数的应用，二元一次方程组的应用是解题的关键 任务1：由题意，得，即，由题意知，，，则，即，进而可求的取值范围． 任务2：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】任务1：解：由题意，得， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴． 任务2：解：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为， 依题意得，， 解得， 空矿泉水瓶的重量为． 26. 如图在平面直角坐标系中，O为原点，A、B两点分别在y轴，x轴的正半轴上，的一条内角平分线、一条外角平分线交于点P，在反比例函数的图象上． （1）求m （2）若，求的度数 （3）如果直线的关系式为且，作反比例函数，过点作x轴的平行线与的图象交于点M，与的图象交于点N，过点N作y轴的平行线与的图像交于点Q，是否存在k的值，使得的和始终是一个定值d，若存在，求出k的值及定值d；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）当时，的和是定值． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）把，代入反比例函数解析式求得a的值即可； （2）由等腰直角三角形的性质求出，再由角平分线的定义求得和的度数，进而由三角形内角和求得结果； （3）由已知条件求出M、N、Q的坐标，再求得的表达式，根据是定值求出的值和的值即可． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数的图象上． ∴； 【小问2详解】 如图， ∵，， ∴， ∴， ∵和分别是和的平分线， ∴，， ∴， 【小问3详解】 如图，把代入中，得， ∴， 把代入中，得， ∴， 把代入中，得， ∴， 当时， ∴， 当时，； 当时， ∴， 当时，，但，故此情况舍去， 综上：当时，的和是定值． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形外角的性质等知识，作出合适的辅助线，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $