精品解析：陕西省安康市高新中学等校2024届高三下学期模拟考试文科数学试题

文科数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义计算得出结果； 【详解】由得，可得，于是． 故选D． 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先化简复数，再求模. 【详解】由可知，， 则. 故选：B 3. 抛物线的焦点坐标是，则焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程的知识求解． 【详解】由题意，，即抛物线标准方程为，所以焦点到准线的距离为， 故选：A． 4. 医院决定对某种病毒性流感的患者拟采用西医疗法和中医疗法治疗．为选择出最好的治疗方案，现按照分层抽样的方法从采用西医疗法的患者中抽取4人，从采用中医疗法的患者中抽取2人，再从这6人中抽取2人留院观察疗效，2人中至少有一名采用中医治疗的患者的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设采用中医治疗法的患者为A，B，采用西医疗法设为a，b，c，d，列举出所有情况及至少有一名采用中医治疗的情况，从而得到概率. 【详解】依题意，采用中医治疗法的患者有2人，设为A，B，采用西医疗法的有4人，设为a，b，c，d， 从这6人中抽取2人共有： ， ，15个结果， 其中至少有一名采用中医疗法的患者的结果有： ，共9种结果， 所以所抽取的2人中至少有一名采用中医疗法的患者的概率为． 故选：D． 5. 设实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ） A. 7 B. 5 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出可行域后，结合目标函数的几何意义计算即可得. 【详解】如图作出可行域，如阴影部分所示： 作出直线，平移直线， 当直线经过点时，有最小值， 令，解得，即点， 则的最小值为. 故选：C． 6. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 30 B. 50 C. 20 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件求等差数列的首项和公差，再根据通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 所以， 则，得， 所以， 所以. 故选：B 7. 半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用表示从开始，晶体管数量随时间变化的函数，，若是以年为单位，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意晶体管数量的倍增期是两年，也就是晶体管数量每两年增加一倍，可得为指数型函数，即可判断. 【详解】晶体管数量的倍增期是两年，也就是晶体管数量每两年增加一倍， 根据时间以年为单位，以及，得. 故选：C． 8. 已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用转化法求得，再利用两个向量夹角的余弦公式即可得解. 【详解】因为向量均为单位向量，即，且，， 则，两边平方可得， 即，所以， 又，所以与的夹角为． 故选：C． 9. 若函数是奇函数，则实数的值是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据得到的方程求解即可 【详解】，因为是奇函数，所以有， ，， 因此， 故选：C． 10. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，求得单调递减区间，进而可得，求解即可. 【详解】； 令，则， 所以在是减函数， 因为在区间单调递减，所以有， 即，又，所以，． 故选：B． 11. 数列的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，是数列的前项和，，，，，则（ ） A. ，且 B. 当，且时，数列是递减数列 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先分别求奇数项和偶数项的通项公式，再根据通项公式，判断选项. 【详解】由，所以， 奇数项的首项为，公比，偶数项的首项，公比， 所以，， A. ，，即，当时，不成立，故A错误； B.，，，所以当，且时，数列不是递减数列，故B错误； C.，故C错误； D.， ，故D正确. 故选：D 12. 正三角形ABC所在的平面垂直于正三角形ABD所在的平面，且A，B，C，D四点在半径为的球的球面上，则CD的长为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】记的中点为，和的重心分别为，然后证明四边形是正方形，再求其边长，即可得到，最后用勾股定理求解即可. 【详解】 如图，记的中点为，和的重心分别为，则分别由，可知垂直于平面，垂直于平面. 从而由和分别在平面和平面内，知，. 而平面垂直于平面，其交线为，在平面内，，故垂直于平面，再由在平面内，知. 所以四边形是矩形，而，故四边形是正方形. 设正方形的边长为，则，. 同时，由已知条件得. 由勾股定理有，故，解得. 最后，由于，，，故，D选项正确. 故选：D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知点和位于直线的两侧，其中为正整数，则满足条件的的个数为______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据条件列出不等式，即可求解. 【详解】由条件可知，， 解得：，又为正整数， 所以，共4个数值. 故答案为：4 14. 已知，则__． 【答案】 【解析】 【分析】 利用余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，即可求解. 【详解】由，又由. 故答案为：． 15. 已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则______. 【答案】 【解析】 【分析】首先设出两个曲线的公共点，再根据导数的几何意义，列式求解. 【详解】设两个函数的图象的公共点为， 所以，则，且， 所以，得，. 故答案为： 16. 已知双曲线的左、右焦点为，点在双曲线的右支上，直线交双曲线左支于点，为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，表示三角形的边长，再在中，结合余弦定理，即可求解离心率. 【详解】设，则，， 所以，所以， 中，， 整理为，， 所以双曲线的离心率为. 故答案为： 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分． 17. 在中，角的对边分别是． （1）求证：； （2）若，面积为1，求边的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题中等式利用同角三角函数商关系公式，两角和的正弦公式，三角和内角和定理，正弦定理化简得到结果； （2）利用（1）的结果计算，再利用三角形面积公式计算出，最后利用余弦定理计算出； 【小问1详解】 证明：根据，以及，， 得，． 所以，即， 根据，得． 所以， 由正弦定理，得，因此． 【小问2详解】 由（1）知，，， ， 所以，得，， 又， 所以由余弦定理得． 18. 某公司为了改进管理模式，决定对销售员实行目标管理，即给销售员确定一个具体的月销售目标，目标是否合适，将直接影响公司的效益和发展，如果目标过高，多数销售员完不成任务，会使销售员失去信心、目标过低，不利于挖掘销售员的工作潜力，该公司统计了100名职工某月的销售额，制成下面频率分布表 销售额范围 （单位：万元） 销售员人数 2 8 25 25 23 17 （1）请在所给的坐标系中画出这些数据的频率分布直方图； （2）求该月销售额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），若标准差的估计值为1.3，请估计销售额在内概率值． （3）若要使的职工能够完成销售目标，则销售目标应定为多少万元． 【答案】（1）频率分布直方图如下： （2）6.8,0.632； （3）7.5万元． 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据可得答案； （2）根据频率分布直方图求出，由、可得答案； （3）求出售额在之间的频率可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ，， 销售额在内概率值就是频率分布直方图中在直线到直线之间长方形的面积，即； 【小问3详解】 销售额在之间的频率为， 因此若要使的销售员能够完成销售目标，销售目标应定在7.5万元． 19. 已知四棱锥中，底面是矩形，，，点是线段的中点． （1）求证：平面； （2）若，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）首先证明，取中点，连接，，即可证明平面，从而得到，即可得证； （2）设与的交点为，连接，即可证明平面，再由锥体的体积公式计算可得． 【小问1详解】 因为点是线段CD的中点且矩形中，所以， 根据，，得， 又根据矩形得，所以． 于是，根据，得， 所以． 取中点，连接，，因为，所以． 因为，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面． 【小问2详解】 设与的交点为，连接． 在中，，，所以． 在中，因为，，，， 所以，，． 在中，，，，所以，于是． 在中，，由余弦定理得， 即，所以． 根据平面，平面，所以， 根据，，所以， 因此有，所以， 又，，平面，所以平面． 所以四棱锥的体积． 20. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的极小值为，求实数的取值集合． 【答案】（1） 当时，在和单调递减，在单调递增； 当时，在单调递增， 在单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在和时单调递增；在单调递减． （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据的不同范围，分别求出函数的单调性； （2）结合（1），由的不同范围确定极小值点，列出方程求解即可． 【小问1详解】 ， ①当时，令，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； ②当时，令，解得或， 当和时，，单调递减； 当时，，单调递增； ③当时，令，解得或， i)当时，即时， 当和时，，单调递增； 当时，，单调递减； ii)当时，即时， 当和时，，单调递增； 当时，，单调递减； iii)当时，即时，，在上单调递增； 综上所述，当时，在和单调递减，在单调递增； 当时，在单调递增， 在单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和单调递增，在单调递减； 当时，在和时单调递增；在单调递减． 【小问2详解】 ①当时，在上单调递增，无极值； ②当时，在和单调递减，在单调递增； 所以的极小值为， 故， 化简得，，解得或（舍去）； ③当时，在和单调递增，在单调递减， 所以的极小值为， 故，解得，符合题意； ④当时，在和时单调递增；在单调递减， 所以得极小值为， 故，解得或（舍去）． 故实数． 21. 已知椭圆的离心率为，一个顶点为，直线交椭圆于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若（是坐标原点）的面积为定值1，求证：直线与直线的斜率之积为定值. 【答案】（1） （2）证明：当直线的斜率为0时，设直线，， 联立，得， ，得， 不妨设，，或，， 此时； 当直线的斜率不为0时，设直线：， 联立，得， ，得， ，， ， ， 化简为：， 即，得， 代入，得，即， ， ， . 综上可知，直线与直线的斜率之积为定值. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求椭圆方程； （2）设直线方程，与椭圆方程联立，利用坐标表示的面积，以及直线与直线的斜率之积，化简后，即可证明. 【小问1详解】 由题意可知，，得， 所以椭圆的标准方程是； 【小问2详解】 略 （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． ［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分） 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），过原点且倾斜角为的直线与曲线交于不同的两点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线和直线的极坐标方程； （2）若，求倾斜角的值. 【答案】（1）曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为； （2）或. 【解析】 【分析】（1）首先曲线的参数方程化简为直角坐标方程，再根据直角坐标与极坐标转化公式，得到曲线的极坐标方程，根据过原点的极坐标方程公式，直接求解直线的极坐标方程； （2）首先联立直线与曲线的极坐标方程，利用韦达定理和条件，即可求解. 【小问1详解】 曲线的参数方程为（为参数）， 所以曲线的直角坐标方程为， 一般方程为 再根据，， 所以曲线的极坐标方程为， 因为直线过原点，且倾斜角为，所以直线的极坐标方程为； 【小问2详解】 联立直线与曲线的极坐标方程得， ，， 由，得，即， 所以，,得， 得，得或， 所以直线的倾斜角为或. ［选修4-5：不等式选讲］（10分） 23. 已知实数，满足. （1）求证：； （2）求的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将两边平方后利用基本不等式证明； （2）将变形后将条件代入，然后利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由得， 当且仅当时等号成立， 所以； 【小问2详解】 由已知，则， 则 ， 当且仅当，即一个为，一个为时等号成立. 所以的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文科数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 3. 抛物线的焦点坐标是，则焦点到准线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 医院决定对某种病毒性流感的患者拟采用西医疗法和中医疗法治疗．为选择出最好的治疗方案，现按照分层抽样的方法从采用西医疗法的患者中抽取4人，从采用中医疗法的患者中抽取2人，再从这6人中抽取2人留院观察疗效，2人中至少有一名采用中医治疗的患者的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设实数x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（ ） A. 7 B. 5 C. 8 D. 6. 等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 30 B. 50 C. 20 D. 40 7. 半导体的摩尔定律认为，集成电路芯片上的晶体管数量的倍增期是两年，用表示从开始，晶体管数量随时间变化的函数，，若是以年为单位，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量为单位向量，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 9. 若函数是奇函数，则实数的值是（ ） A. 2 B. C. D. 10. 已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 数列的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列，是数列的前项和，，，，，则（ ） A. ，且 B. 当，且时，数列是递减数列 C. D. 12. 正三角形ABC所在的平面垂直于正三角形ABD所在的平面，且A，B，C，D四点在半径为的球的球面上，则CD的长为（ ） A. 5 B. C. 4 D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知点和位于直线的两侧，其中为正整数，则满足条件的的个数为______. 14. 已知，则__． 15. 已知函数的图象与函数（且）的图象在公共点处有相同的切线，则______. 16. 已知双曲线的左、右焦点为，点在双曲线的右支上，直线交双曲线左支于点，为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分． 17. 在中，角的对边分别是． （1）求证：； （2）若，面积为1，求边的长． 18. 某公司为了改进管理模式，决定对销售员实行目标管理，即给销售员确定一个具体的月销售目标，目标是否合适，将直接影响公司的效益和发展，如果目标过高，多数销售员完不成任务，会使销售员失去信心、目标过低，不利于挖掘销售员的工作潜力，该公司统计了100名职工某月的销售额，制成下面频率分布表 销售额范围 （单位：万元） 销售员人数 2 8 25 25 23 17 （1）请在所给的坐标系中画出这些数据的频率分布直方图； （2）求该月销售额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），若标准差的估计值为1.3，请估计销售额在内概率值． （3）若要使的职工能够完成销售目标，则销售目标应定为多少万元． 19. 已知四棱锥中，底面是矩形，，，点是线段的中点． （1）求证：平面； （2）若，求四棱锥的体积． 20. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数的极小值为，求实数的取值集合． 21. 已知椭圆的离心率为，一个顶点为，直线交椭圆于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若（是坐标原点）的面积为定值1，求证：直线与直线的斜率之积为定值. （二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． ［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分） 22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），过原点且倾斜角为的直线与曲线交于不同的两点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线和直线的极坐标方程； （2）若，求倾斜角的值. ［选修4-5：不等式选讲］（10分） 23. 已知实数，满足. （1）求证：； （2）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $