第2.3节 匀变速直线运动的规律（3）：等间隔-【帮课堂】2024-2025学年高一物理同步学与练（沪科版2020上海必修第一册）

第二章 匀变速直线运动 第2.3节 匀变速直线运动的规律（3）：等间隔 课程标准 ①会用匀变速直线运动的规律推导出等时间间隔的速度比、位移比公式，并能分析解决实际问题； ②会用匀变速直线运动的规律推导出等位移间隔的速度比、时间比公式，并能分析解决实际问题； ③知道上述等时间间隔公式和等位移间隔公式的适用前提条件。 物理素养 物理观念：通过对匀加速直线运动等时间间隔和等位移间隔的速度、位移、时间比公式的推导强化匀变速直线运动观念； 科学思维：数学知识和物理规律的有机结合； 科学探究：通过基本物理知识，探索运动的内在规律； 科学态度与责任：感悟物理规律的内在美；培养探索物理规律的兴趣。 一、初速度为零的匀加速直线运动的特殊规律：比例法 1. 等时间间隔 (1) ts末、2ts末、3ts末…nts末的瞬时速度之比为：v1：v2：v3：…：vn＝1：2：3：…：n； 推导：由vt＝at知v1＝at，v2＝2at，v3＝3at，…，vn＝nat； 则可得：v1：v2：v3：…：vn＝1：2：3：…：n； (2) ts内、2ts内、3ts内…nts内的位移之比为：x1：x2：x3：…：xn＝12：22：32：…：n2； 推导：由x＝at2知x1＝at2，x2＝a(2t)2，…，xn＝a(nt)2； 则可得：x1：x2：x3：…：xn＝12：22：32：…：n2； (3) 连续相等时间内的位移之比为：x1：x2：x3：…：xn＝1：3：5：…：(2n﹣1) 推导：由x＝at2知x1＝at2，x2＝a(22﹣12)t2，…，xn＝a[n2﹣(n﹣1)12]t2， 则可得：x1：x2：x3：…：xn＝1：3：5：…：(2n﹣1)； 2. 等位移间隔 (4) xm末、2xm末、3xm末…nxm末的瞬时速度之比为：v1：v2：v3：…：vn＝1：：：…：； 推导：由v2＝2ax知v1＝，v2＝，…，vn＝； 则可得：v1：v2：v3：…：vn＝1：：：…：； (5) 前一个x、前两个x、前三个x …所用的时间之比为：t1：t2：t3：…：tn＝1：：：…： 推导：由x＝at2知t1＝，t2＝，…，tn＝； 则可得：t1：t2：t3：…：tn＝1：：：…：； (6) 连续相等位移所用的时间之比为：t1：t2：t3：…：t3＝1：（﹣1）：（﹣）：…：（） 由(5)依次相减可得：t1：t2：t3：…：tn＝1：（﹣1）：（﹣）：…：（）． 3. 逆向思维 通常运用逆向思维把匀减速问题转化为初速度为0的匀加速问题。 例如，竖直上抛可看成自由落体的逆过程，则上述公式可以利用；刹车问题也可以看出初速度为0的匀加速运动的逆过程。 例1. 自由落体运动的物体，在第10s内的位移和在第1s内的位移之比是（　　） A．10：1 B．19：1 C．99：1 D．100：1 例2. 一观察者发现，每隔一定时间有一滴水自8m高的屋檐落下，而且看到第五滴水刚要离开屋檐时，第一滴水正好落到地面．那么，这时第2滴水离地的高度是　 　． 例3. 一颗子弹垂直穿过三块紧挨在一起的木块后，速度刚好为零，设子弹在各木块中运动的加速度大小恒定．（1）若子弹穿过每块木板的时间相等，则三块木板的厚度之比为　 　； （2）若三块木板的厚度相等，则子弹先后射入三木块前的速度之比为 　，子弹穿过这三个木板所用时间比又为　 　． 二、追赶问题 1. 三类基本追加问题 【题型1】匀加速追匀速：同地出发，速度小者（初速度为零的匀加速）追速度大者（匀速）。 ①能追及，且只能相遇一次； ②当v1＝v2时，A、B距离最大； ③以及知道两车相遇时，位移相等。 【题型2】匀加速追匀速：速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）。 ①当v1＝v2时，A未追上B，则A、B永不相遇，此时两者间有最小距离； ②当v1＝v2时，A恰好追上B，则A、B相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件； ③当v1＞v2时，A已追上B，则A、B相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。 【题型3】：被追赶的物体做匀减速运动的追击。 ①明确2个关系、1个条件； ②一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 3. 解题思路点拨 (1)．相遇的实质：研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 (2)．基本方法： ①根据对两物体运动过程的分析，画出两物体运动的情景图； ②根据两物体的运动性质，分别列出其位移方程，注意要将两物体运动时间关系反映在方程中； ③由运动示意图找出两物体位移间的关联方程，这是关键； ④联立方程求解，并对结果进行简单分析。 (3)．注意事项： ①理清两个关系、一个条件。 时间关系：tA＝tB±t0；位移关系：sA＝sB±s0．速度条件：两者速度相等。 它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 ②若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已停止运动。 ③解决问题时需要注意二者是否同时、同地出发； ④注意关键字包含的隐含条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态。 (4)．解决追及和相遇问题的方法： ①公式法（代数法）：列出方程或方程组，判断有无节，求极值等方法求解； ②图像法（几何法）：利用v﹣t图象进行分析，通过面积计算等方法求解。 例4. 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求： （1）汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ （2）汽车多长时间后能追及自行车？追上时汽车的速度是多大？ 例5. 甲、乙两车在平直公路上同向行驶，两车的v-t图像如图所示。已知t=6s时两车并排行驶，则t=0~6s时间内：两车两次并排行驶的位置之间的距离为_______m，两车相距最远的距离为______m。 二、匀变速直线运动规律的公式总结 （1）三大基本公式 + 二个推论 匀加速直线运动 自由落体 ① 速度公式： v=gt ② 位移公式： ③ 位移—速度公式： v2=2gh ④ 平均速度 (= ) ⑤ (初速度任意) Δs=aT2 同样适用 ※上述公式均是矢量公式：规定一个正方向，和正方向相同为正，相反则为负。 灵活应用平均速度公式④会简化计算。 （2）初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T ) ①1T末、2T末、3T末…瞬时速度之比： 1∶2∶3… ②1T内、2T内、3T内…位移之比： 1∶4∶9… ③第一个T内、第二个T内、第三个T内…的位移之比： 1∶3∶5… （3）初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为x0) ①通过x0、2x0、3x0…所用时间之比：t1∶t2∶t3…＝1∶∶… ②通过第一个x0、第二个x0、第三个x0…所用时间之比：1∶(－1)∶(－)… ③x0末、2x0末、3x0末…的瞬时速度之比：1∶∶… 例6. 两木块自左向右运动，现有高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下木块每次曝光时的位置，如图所示，连续两次曝光的时间间隔是相等的，由图可知（　　） A．在时刻t2以及时刻t5两木块速度相同 B．在时刻t3两木块速度相同 C．在时刻t3和时刻t4之间某瞬时两木块速度相同 D．在时刻t4和时刻t5之间某瞬时两木块速度相同 例7. 在一个倾斜的长冰道上方，一群孩子排成队，每隔1s有一个小孩从某一起始线开始往下滑，一游客对着冰道上的孩子拍下一张照片，如图所示，照片上有甲、乙、丙、丁四个孩子，他根据照片与实物的比例推算出甲与乙两个孩子间距离为12m、丙与丁两个孩子间距离为20m，不考虑一切阻力，请你据此求解下列问题．（g＝10m/s2） （1）乙丙两小孩之间的距离是多少？ （2）小孩小滑的加速度大小是多少？ （3）拍照时，最下面的小孩子的速度是多大？ （4）拍照时，在小孩甲上面的冰道上正在下滑的小孩有几个？ 1．A、B两木块自左向右做匀加速直线运动，现用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下木块每次曝光时的位置，如图所示，曝光的时间间隔相等，则（　　） A．t2时刻，A木块速度大于B木块速度 B．t2时刻，A木块速度小于B木块速度 C．t1时刻，A木块速度大于B木块速度 D．t1时刻，A木块速度小于B木块速度 2. 某同学从一塔顶上每隔0.8s由静止释放一个小球，当刚释放第7个小球时，第1个小球恰好落地。不计空气阻力，重力加速度g取，则下列说法中正确的是（　　） A．小球落地时的速度大小为56m/s B．第1个小球落地时，第6个小球下落的距离为3.2m C．第1个小球落地时，第2个小球与第3个小球的间距为16m D．第1个小球落地前瞬间，第1个、第2个和第5个小球的速度大小之比为 3．物体从A点由静止出发，先以加速度a1做匀加速直线运动到某速度v后，立即以加速度大小为a2做匀减速直线运动至B点速度恰好减为零，所用总时间为t。若物体以速度v0匀速通过AB之间，所用时间也为t，则下列表达正确的是（　　） A．v＝v0 B． C． D． 4．在正常情况下，火车以54km/h的速度匀速开过一个小站，现因需要，必须在这个小站停留。火车将要到达该小站时，以﹣0.5m/s2加速度做匀减速运动，停留2min后，又以0.3m/s2的加速度开出小站，一直到恢复原来的速度，则因列车停靠小站而延误的时间为（　　） A．40s B．120s C．160s D．200s 5．平直公路上，一辆山地车以速度v沿公路做匀速直线运动，当它经过某处时，该处有一辆汽车由静止开始沿与同一方向做匀加速直线运动，追赶此山地车。由上述条件，以下物理量中可以求出的是（　　） ①汽车追上山地车时，汽车的速度 ②汽车追上山地车时，汽车走过的路程 ③汽车追上山地车所历经的时间 ④汽车追上山地车前，两车相距最远时汽车的速度 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 6．两辆完全相同的汽车，沿水平道路一前一后匀速行驶，速度均为υ0．若前车突然以恒定的加速度a刹车，在它刚停住时，后车以加速度2a开始刹车。已知前车在刹车过程中所行驶的路程为x，若要保证两辆车在上述情况中不发生碰撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为（　　） A．x B． C．2x D． 7．一物体做加速直线运动，依次经过A、B、C三位置，B为AC的中点，物体在AB段的加速度为a1，在BC段的加速度为a2．现测得B点的瞬时速度vB＝（vA+vC），则a1与a2的大小关系为（　　） A．a1＞a2 B．a1＝a2 C．a1＜a2 D．无法比较 8．一物体沿一直线运动，先后经过匀加速、匀速和匀减速运动过程，已知物体在这三个运动过程中的位移均为s，所用时间分别为2t、t和，则（　　） A．物体做匀加速运动时加速度大小为 B．物体做匀减速运动时加速度大小为 C．物体做匀减速运动的末速度大小为 D．物体在这三个运动过程中的平均速度大小为 9．一辆汽车以速度v在平直公路上匀速行驶，司机忽然发现正前方距车x处，有另一辆汽车以速度匀速运动，于是他立即刹车（不考虑反应时间），为使两车不相撞，则刹车的加速度应该满足的条件是（　　） A． B． C． D． 10．如图所示，一个质点做匀加速直线运动，依次经过a、b、c、d四点，已知经过ab、bc和cd三段所用时间之比为3：2：1，通过ab和cd段的位移分别为x1和x2，则bc段的位移为（　　） A． B． C． D． 11．一物体从A点由静止出发，沿直线运动到B点，A、B两点的距离为s。已知该物体先做加速度为a的匀加速运动，然后匀速运动一段距离，最后以a的加速度减速，到达B点时刚好停下。则该过程的最大速度为　 　，时间为　 　。 12．一质点做匀变速直线运动，如图所示，途中依次先后通过a、b、c、d、e各点，已知ac＝ce，bc＝cd，若ae段平均速度为v1，bd段平均速度为v2，则v1　 　v2．（填大于、小于、等于） 13. 如图所示，冰壶以某一速度沿虚线做匀减速直线运动，垂直进入四个完全相同的矩形区域，离开第四个矩形区域边缘的E点时速度恰好为零。则（　　） A. 冰壶在B点和D点的速度之比为3:1 B. 冰壶在C点速度等于AE过程的平均速度 C. 冰壶在D点的时刻是AE过程的时间中点 D. 冰壶在AC和CE过程的时间之比为1:2 14．质量m＝0.5kg的物体以4m/s的速度从光滑斜面底端D点上滑做匀减速直线运动，途经A、B两点，已知物体在A点时的速度是B点时速度的2倍，由B点再经过0.5秒物体滑到顶点C点时速度恰好为零，已知AB＝0.75m．求： （1）物体在斜面上做匀减速直线运动的加速度； （2）物体从底端D点滑到B点的位移． 15．跳伞运动员做低空跳伞表演，当直升飞机悬停在离地面224m高时，运动员离开飞机做自由落体运动．运动一段时间后，打开降落伞，展伞后运动员以12.5m/s2的加速度匀减速下降．为了运动员的安全，要求运动员落地速度最大不得超过5m/s．求： （1）着地时相当于从多高处自由落下？ （2）运动员在空中的最短时间为多少？此情况下，运动员展伞时，离地面的高度至少为多少？ 16．现在要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内走完一段直道，然后驶入一段半圆形的弯道，但在弯道上行驶时车速不能太快，以免因离心作用而偏出车道，有关数据见表格． 启动加速度a1 4m/s2 制动（刹车）加速度a2 8m/s2 直道最大速度v1 40m/s 弯道最大速度v2 20m/s 直道长度s 218m （1）求从静止起启动加速1s车的位移； （2）若该摩托车在某一笔直的道路上以40m/s行驶，在出现紧急情况后以最大制动加速度减速制动，它在停下前还要行驶多长的路程？ （3）现在需要求摩托车在进入弯道前，在直道上行驶的最短时间． 某同学是这样解的：要使摩托车所用时间最短，应先由静止加速到最大速度，然后再减速到20m/s， t1＝＝…，t2＝＝…，t＝t1+t2＝…，你认为这位同学的解法是否合理，若合理，请完成计算；若不合理，请用你自己的方法算出正确结果． 17．甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的．为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记．在某次练习中，甲在接力区前S0＝13.5m处作了标记，并以v＝9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令．乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒．已知接力区的长度为L＝20m．求： （1）此次练习中乙在接棒前的加速度a； （2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离． 18．甲乙两同学在直跑道上进行4×100m接力，他们在奔跑时有相同的最大速度，最大速度为10m/s，乙从静止开始全力奔跑需跑出25m才能达到最大速度，这一过程可看做是匀加速直线运动，现在甲持棒以最大速度向乙奔来，乙在接力区伺机全力奔出。若要求乙接棒时奔跑的速度达到最大速度的80%，则： （1）接力的过程甲做什么运动，乙又是做什么运动？平均速度之比是多少？ （2）乙在接力区须奔出多少距离？ （3）如果乙是站着接棒，接到棒后才从静止开始全力奔跑，这样会浪费多少时间？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 匀变速直线运动 第2.3节 匀变速直线运动的规律（3）：等间隔 课程标准 ①会用匀变速直线运动的规律推导出等时间间隔的速度比、位移比公式，并能分析解决实际问题； ②会用匀变速直线运动的规律推导出等位移间隔的速度比、时间比公式，并能分析解决实际问题； ③知道上述等时间间隔公式和等位移间隔公式的适用前提条件。 物理素养 物理观念：通过对匀加速直线运动等时间间隔和等位移间隔的速度、位移、时间比公式的推导强化匀变速直线运动观念； 科学思维：数学知识和物理规律的有机结合； 科学探究：通过基本物理知识，探索运动的内在规律； 科学态度与责任：感悟物理规律的内在美；培养探索物理规律的兴趣。 一、初速度为零的匀加速直线运动的特殊规律：比例法 1. 等时间间隔 (1) ts末、2ts末、3ts末…nts末的瞬时速度之比为：v1：v2：v3：…：vn＝1：2：3：…：n； 推导：由vt＝at知v1＝at，v2＝2at，v3＝3at，…，vn＝nat； 则可得：v1：v2：v3：…：vn＝1：2：3：…：n； (2) ts内、2ts内、3ts内…nts内的位移之比为：x1：x2：x3：…：xn＝12：22：32：…：n2； 推导：由x＝at2知x1＝at2，x2＝a(2t)2，…，xn＝a(nt)2； 则可得：x1：x2：x3：…：xn＝12：22：32：…：n2； (3) 连续相等时间内的位移之比为：x1：x2：x3：…：xn＝1：3：5：…：(2n﹣1) 推导：由x＝at2知x1＝at2，x2＝a(22﹣12)t2，…，xn＝a[n2﹣(n﹣1)12]t2， 则可得：x1：x2：x3：…：xn＝1：3：5：…：(2n﹣1)； 2. 等位移间隔 (4) xm末、2xm末、3xm末…nxm末的瞬时速度之比为：v1：v2：v3：…：vn＝1：：：…：； 推导：由v2＝2ax知v1＝，v2＝，…，vn＝； 则可得：v1：v2：v3：…：vn＝1：：：…：； (5) 前一个x、前两个x、前三个x …所用的时间之比为：t1：t2：t3：…：tn＝1：：：…： 推导：由x＝at2知t1＝，t2＝，…，tn＝； 则可得：t1：t2：t3：…：tn＝1：：：…：； (6) 连续相等位移所用的时间之比为：t1：t2：t3：…：t3＝1：（﹣1）：（﹣）：…：（） 由(5)依次相减可得：t1：t2：t3：…：tn＝1：（﹣1）：（﹣）：…：（）． 3. 逆向思维 通常运用逆向思维把匀减速问题转化为初速度为0的匀加速问题。 例如，竖直上抛可看成自由落体的逆过程，则上述公式可以利用；刹车问题也可以看出初速度为0的匀加速运动的逆过程。 例1. 自由落体运动的物体，在第10s内的位移和在第1s内的位移之比是（　　） A．10：1 B．19：1 C．99：1 D．100：1 【答案】B 【解析】根据初速度为零的匀加速直线运动的结论可知，第10s内的位移和在第1s内的位移之比是 （2×10﹣1）：1＝19：1；故B正确。 例2. 一观察者发现，每隔一定时间有一滴水自8m高的屋檐落下，而且看到第五滴水刚要离开屋檐时，第一滴水正好落到地面．那么，这时第2滴水离地的高度是　 　． 【答案】3.5m 【解析】初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内位移之比为：X1：X2：X3：X4＝1：3：5：7，故第2滴水离地的高度是 例3. 一颗子弹垂直穿过三块紧挨在一起的木块后，速度刚好为零，设子弹在各木块中运动的加速度大小恒定．（1）若子弹穿过每块木板的时间相等，则三块木板的厚度之比为　 　； （2）若三块木板的厚度相等，则子弹先后射入三木块前的速度之比为 　，子弹穿过这三个木板所用时间比又为　 　． 【答案】（1）5：3：1 （2）；（﹣）：（﹣1）：1． 【解析】（1）将子弹的运动看成沿相反方向的初速度为0的匀加速直线运动，则利用等时间间隔的位移比公式得到三木板厚度之比为5：3：1； （2）若三块木板厚度相等，利用等位移的速度比得到射入三木块前的速度之比为：：1， 则子弹通过穿过木板时间之比为（﹣）：（﹣1）：1． 二、追赶问题 1. 三类基本追加问题 【题型1】匀加速追匀速：同地出发，速度小者（初速度为零的匀加速）追速度大者（匀速）。 ①能追及，且只能相遇一次； ②当v1＝v2时，A、B距离最大； ③以及知道两车相遇时，位移相等。 【题型2】匀加速追匀速：速度大者（匀减速）追速度小者（匀速）。 ①当v1＝v2时，A未追上B，则A、B永不相遇，此时两者间有最小距离； ②当v1＝v2时，A恰好追上B，则A、B相遇一次，也是避免相撞刚好追上的临界条件； ③当v1＞v2时，A已追上B，则A、B相遇两次，且之后当两者速度相等时，两者间有最大距离。 【题型3】：被追赶的物体做匀减速运动的追击。 ①明确2个关系、1个条件； ②一定要注意追上前该物体是否已经停止运动。 3. 解题思路点拨 (1)．相遇的实质：研究的两物体能否在相同的时刻到达相同的空间位置的问题。 (2)．基本方法： ①根据对两物体运动过程的分析，画出两物体运动的情景图； ②根据两物体的运动性质，分别列出其位移方程，注意要将两物体运动时间关系反映在方程中； ③由运动示意图找出两物体位移间的关联方程，这是关键； ④联立方程求解，并对结果进行简单分析。 (3)．注意事项： ①理清两个关系、一个条件。 时间关系：tA＝tB±t0；位移关系：sA＝sB±s0．速度条件：两者速度相等。 它往往是物体间能否追上或（两者）距离最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。 ②若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已停止运动。 ③解决问题时需要注意二者是否同时、同地出发； ④注意关键字包含的隐含条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等，往往对应一个临界状态。 (4)．解决追及和相遇问题的方法： ①公式法（代数法）：列出方程或方程组，判断有无节，求极值等方法求解； ②图像法（几何法）：利用v﹣t图象进行分析，通过面积计算等方法求解。 例4. 一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s2的加速度开始加速行驶，恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车。试求： （1）汽车从路口启动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ （2）汽车多长时间后能追及自行车？追上时汽车的速度是多大？ 【答案】（1）2s， 6m； （2）4s， 12m/s。 【解析】方法一（公式法）： （1）设汽车在追上自行车之前经t时间两车速度相等，此时两车相距最远， 即at＝v自，解得：t＝＝s＝2s， 此时距离△s＝s2﹣s1＝v自t﹣at2，△s＝6×2﹣×3×22＝6m； （2）汽车追上自行车时，二车位移相等， 则有vt′＝ at′2，带入数据得：6t′＝×3t′2， 解得：t′＝4s， 所以汽车的速度v′＝at′＝3×4＝12m/s 方法二（图像法）： （1）画出自行车和汽车的速度﹣时间图线，自行车的位移s1等于其图线与时间轴围成的矩形的面积，而汽车的位移s2则等于其图线与时间轴围成的三角形的面积。两车之间的距离则等于图中矩形的面积与三角形面积的差，不难看出，当速度相等时矩形与三角形的面积之差最大。 v﹣t图象的斜率表示物体的加速度，由a＝tanα＝＝3m/ s 2， 知t0＝2s， 故当t＝2s时两车的距离最大，。 t=2s时自行车和汽车相距6m，根据图像对称性，再过2s，汽车和自行车相遇。 例5. 甲、乙两车在平直公路上同向行驶，两车的v-t图像如图所示。已知t=6s时两车并排行驶，则t=0~6s时间内：两车两次并排行驶的位置之间的距离为_______m，两车相距最远的距离为______m。 【答案】 ①. 80 ②. 15 【详解】[1]根据v-t图像与时间轴所围的面积表示位移，可知，2～6s内甲、乙两车的位移相等如图所示 在t=6s时两车并排行驶，所以两车在t=2s时也并排行驶。t=2s时，乙车的速度为15m/s，t=6s时乙车的速度为25m/s，两车两次并排行驶的位置之间的距离等于2～6s内乙车的位移大小，即为 [2]两车在t=2s时第一次并排行驶，由图可知，0-2s内乙车的位移比甲车大，且 则t=0时甲、乙两车相距15m。2-4s内乙车与甲车的位移之差为 可知，两车相距最远的距离为15m。 二、匀变速直线运动规律的公式总结 （1）三大基本公式 + 二个推论 匀加速直线运动 自由落体 ① 速度公式： v=gt ② 位移公式： ③ 位移—速度公式： v2=2gh ④ 平均速度 (= ) ⑤ (初速度任意) Δs=aT2 同样适用 ※上述公式均是矢量公式：规定一个正方向，和正方向相同为正，相反则为负。 灵活应用平均速度公式④会简化计算。 （2）初速度为零的匀加速直线运动，按时间等分(设相等的时间间隔为T ) ①1T末、2T末、3T末…瞬时速度之比： 1∶2∶3… ②1T内、2T内、3T内…位移之比： 1∶4∶9… ③第一个T内、第二个T内、第三个T内…的位移之比： 1∶3∶5… （3）初速度为零的匀加速直线运动，按位移等分(设相等的位移为x0) ①通过x0、2x0、3x0…所用时间之比：t1∶t2∶t3…＝1∶∶… ②通过第一个x0、第二个x0、第三个x0…所用时间之比：1∶(－1)∶(－)… ③x0末、2x0末、3x0末…的瞬时速度之比：1∶∶… 例6. 两木块自左向右运动，现有高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下木块每次曝光时的位置，如图所示，连续两次曝光的时间间隔是相等的，由图可知（　　） A．在时刻t2以及时刻t5两木块速度相同 B．在时刻t3两木块速度相同 C．在时刻t3和时刻t4之间某瞬时两木块速度相同 D．在时刻t4和时刻t5之间某瞬时两木块速度相同 【答案】C 【解析】下面的物体做匀速直线运动，运动的速度v＝，上面木块在相等时间内的位移差是恒量，知上面木块做匀加速直线运动，匀变速运动某段时间的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，知t3时刻上面木块的速度．t4时刻上面木块的速度，则在时刻t3和时刻t4之间某瞬时两木块速度相同。故C正确，A、B、D错误。 例7. 在一个倾斜的长冰道上方，一群孩子排成队，每隔1s有一个小孩从某一起始线开始往下滑，一游客对着冰道上的孩子拍下一张照片，如图所示，照片上有甲、乙、丙、丁四个孩子，他根据照片与实物的比例推算出甲与乙两个孩子间距离为12m、丙与丁两个孩子间距离为20m，不考虑一切阻力，请你据此求解下列问题．（g＝10m/s2） （1）乙丙两小孩之间的距离是多少？ （2）小孩小滑的加速度大小是多少？ （3）拍照时，最下面的小孩子的速度是多大？ （4）拍照时，在小孩甲上面的冰道上正在下滑的小孩有几个？ 【答案】（1）16m； （2）4m/s2； （3）22m/s； （4）2个． 【解析】（1）甲与乙两个孩子间距离为12m、丙与丁两个孩子间距离为20m， 根据 ， 得 ， 则 （2）根据△x＝aT2 得 （3）丙的速度 则最下面小孩的速度v丁＝v丙+aT＝18+4×1m/s＝22m/s． （4）丙的运动时间， 根据知，丙上面有4个小孩，则甲上面有2个小孩． 1．A、B两木块自左向右做匀加速直线运动，现用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下木块每次曝光时的位置，如图所示，曝光的时间间隔相等，则（　　） A．t2时刻，A木块速度大于B木块速度 B．t2时刻，A木块速度小于B木块速度 C．t1时刻，A木块速度大于B木块速度 D．t1时刻，A木块速度小于B木块速度 【答案】D 【解析】AB、根据图象可知，A、B两木块在t1到t3时间内运动了相同的位移，故两木块在整段时间内的平均速度相等，根据匀加速直线运动情况下一段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度可知，在t2时刻两木块的速度相等。故AB错误； CD、由图象可知，对于A木块，t1到t2时间内的位移与t2到t3时间内的位移之差较大，由△x＝aT2可知，A木块的加速度较大，且t2时刻两木块速度相等，故t1时刻A木块速度更小。故C错误，D正确。 2. 某同学从一塔顶上每隔0.8s由静止释放一个小球，当刚释放第7个小球时，第1个小球恰好落地。不计空气阻力，重力加速度g取，则下列说法中正确的是（　　） A．小球落地时的速度大小为56m/s B．第1个小球落地时，第6个小球下落的距离为3.2m C．第1个小球落地时，第2个小球与第3个小球的间距为16m D．第1个小球落地前瞬间，第1个、第2个和第5个小球的速度大小之比为 【答案】B 【详解】小球在空中的点迹如图 A．自由落体运动的小球做匀变速直线运动，落地的速度为 ，故A错误； B．第1个小球落地时，第6个小球下落的距离为 ，故B正确； C．第1个小球落地时，第2个小球距离释放点的距离为 第3个小球距离释放点的距离为 第2个小球与第3个小球的间距为 ，故C错误； D．根据速度时间公式，可得第1个小球落地前瞬间，第1个、第2个和第5个小球的速度大小之比为 ，故D错误。 3．物体从A点由静止出发，先以加速度a1做匀加速直线运动到某速度v后，立即以加速度大小为a2做匀减速直线运动至B点速度恰好减为零，所用总时间为t。若物体以速度v0匀速通过AB之间，所用时间也为t，则下列表达正确的是（　　） A．v＝v0 B． C． D． 【答案】B 【解析】A、由运动学公式有：，解得v＝2v0，故A错误； 或：由面积相等，用图像法v>v0 BCD、由，得： 即：，故B正确，CD错误。 4．在正常情况下，火车以54km/h的速度匀速开过一个小站，现因需要，必须在这个小站停留。火车将要到达该小站时，以﹣0.5m/s2加速度做匀减速运动，停留2min后，又以0.3m/s2的加速度开出小站，一直到恢复原来的速度，则因列车停靠小站而延误的时间为（　　） A．40s B．120s C．160s D．200s 【答案】C 【解析】根据题意可知v0＝54km/h＝15m/s 火车匀减速驶入小站t1＝＝30s 位移：x1＝＝225m 火车在站内停留t2＝120s，x2＝0 火车匀加速开出小站t3＝＝50s 位移：x3＝＝375m t总＝t1+t2+t3＝30s+120s+50s＝200s 若火车匀速驶过小站＝40s 列车停靠小站而延误的时间△t＝t总﹣t总'＝200s﹣40s＝160s，故C正确、ABD错误。 5．平直公路上，一辆山地车以速度v沿公路做匀速直线运动，当它经过某处时，该处有一辆汽车由静止开始沿与同一方向做匀加速直线运动，追赶此山地车。由上述条件，以下物理量中可以求出的是（　　） ①汽车追上山地车时，汽车的速度 ②汽车追上山地车时，汽车走过的路程 ③汽车追上山地车所历经的时间 ④汽车追上山地车前，两车相距最远时汽车的速度 A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【答案】C 【解析】作出两车的速度﹣时间图线如图所示： ， 从图象可以看出，当汽车的速度等于山地车的速度v时，两车的距离是最远的， 当汽车追上山地车时，两车位移相等，则有：vt＝at2， 所以此时，汽车的速度为：v1＝at＝2v， 由于题中不知道汽车的加速度，所以不能求解出汽车追上山地车所历经的时间，也不能求解出汽车追上山地车时，汽车走过的路程，所以可以求出的是①④，故C正确，ABD错误。 6．两辆完全相同的汽车，沿水平道路一前一后匀速行驶，速度均为υ0．若前车突然以恒定的加速度a刹车，在它刚停住时，后车以加速度2a开始刹车。已知前车在刹车过程中所行驶的路程为x，若要保证两辆车在上述情况中不发生碰撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为（　　） A．x B． C．2x D． 【答案】B 【解析】由题意知：，后车以加速度2a开始刹车，刹车后滑行的距离为，前车刹车滑行的时间，又，后车匀速运动的距离为，所以两车在匀速行驶时保持的距离至少为．故B正确，A、C、D错误。 7．一物体做加速直线运动，依次经过A、B、C三位置，B为AC的中点，物体在AB段的加速度为a1，在BC段的加速度为a2．现测得B点的瞬时速度vB＝（vA+vC），则a1与a2的大小关系为（　　） A．a1＞a2 B．a1＝a2 C．a1＜a2 D．无法比较 【答案】C 【解析】如果物体从A至C的过程中是做匀加速直线运动，则物体的速度图线如图1所示， ∵ B点是AC的中点，很显然可以看出图线下所对应的面积 s1≠s2，要满足s1＝s2的条件，时间t1必须要向右移至图2所示的位置， 又∵vB＝（vA+vC），这是从A至B匀加速运动过程中的中间时刻的瞬时速度， 即 t1＝t2时刻的瞬时速度，但t1时刻所对应的位置又不是AC的中点（∵s1≠s2）， 要同时满足s1＝s2和vB＝（vA+vC）的条件，将图1中的时刻t1沿t轴向右移至满足s1＝s2位置处，如图2所示，再过vB＝（vA+vC）点作平行于时间轴t的平行线交于B点，连接AB得到以加速度a1运动的图线，连接BC得到以加速度a2运动的图线，比较连线AB和BC的斜率大小， 不难看出a2＞a1，∴C选项正确 8．一物体沿一直线运动，先后经过匀加速、匀速和匀减速运动过程，已知物体在这三个运动过程中的位移均为s，所用时间分别为2t、t和，则（　　） A．物体做匀加速运动时加速度大小为 B．物体做匀减速运动时加速度大小为 C．物体做匀减速运动的末速度大小为 D．物体在这三个运动过程中的平均速度大小为 【答案】C 【解析】A、匀速运动的速度为：v＝ 设匀加速运动的初速度为v1，根据平均速度公式有： 联立解得：v1＝0 对匀加速运动，根据位移﹣时间公式有：s＝ 解得：a＝，故A错误； BC、设匀减速直线运动的末速度为v2，对匀减速直线运动， 根据平均速度公式有： 解得：v2＝ 匀减速直线运动的加速度大小：a'＝ 故B错误，C正确； D、三个过程中的平均速度大小 故D错误； 故选：C。 9．一辆汽车以速度v在平直公路上匀速行驶，司机忽然发现正前方距车x处，有另一辆汽车以速度匀速运动，于是他立即刹车（不考虑反应时间），为使两车不相撞，则刹车的加速度应该满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】两车速度相等时所经历的时间t＝， 此时后面汽车的位移x1＝， 前面汽车的位移x2＝， 由x1＝x2+x得，解得，所以加速度大小满足的条件是，故D正确。 10．如图所示，一个质点做匀加速直线运动，依次经过a、b、c、d四点，已知经过ab、bc和cd三段所用时间之比为3：2：1，通过ab和cd段的位移分别为x1和x2，则bc段的位移为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设质点经过ab、bc和cd三段所用时间分别为3t、2t和t， 设各段时间t内的位移分别为：s1、s2、s3、s4、s5和s6， 由题可得：x1＝s1+s2+s3；x2＝s6…① 设bc段的位移为x，则：x＝s4+s5…② 根据公式：△x＝aT2，则：（x+x2）﹣x1＝（s4+s5+s6）﹣（s1+s2+s3）＝9at2…③ 同时，由于：s2﹣s1＝s3﹣s2， 所以得：s1+s3＝2s2…④ 结合①④可得：x1＝s1+s2+s3＝3s2…⑤ 而：s6﹣s2＝4at2，即：…⑥ 联立③⑥可得：x＝ 故选：B。 11．一物体从A点由静止出发，沿直线运动到B点，A、B两点的距离为s。已知该物体先做加速度为a的匀加速运动，然后匀速运动一段距离，最后以a的加速度减速，到达B点时刚好停下。则该过程的最大速度为　 　，时间为　 　。 【答案】；。 【解析】如果运动的时间最短，应该先加速后减速，匀速运动的时间为零； 设最大速度为v，根据速度﹣位移关系可得：＝s 解得： ，该过程的最短时间为：。 12．一质点做匀变速直线运动，如图所示，途中依次先后通过a、b、c、d、e各点，已知ac＝ce，bc＝cd，若ae段平均速度为v1，bd段平均速度为v2，则v1　 　v2．（填大于、小于、等于） 【答案】小于 【解析】将bd之间的距离无限缩小，那么bd的平均速度v2就是经过C点的速度，因而v2＝vC＝；ae全程的平均速度，由匀变速运动规律的推论得：位移中点的瞬时速度是始终大于时间中点的瞬时速度，故v1＜v2， （极限思想：bd相距为0，即v2为位移中点速度，大于时间中点速度，即平均速度） 13. 如图所示，冰壶以某一速度沿虚线做匀减速直线运动，垂直进入四个完全相同的矩形区域，离开第四个矩形区域边缘的E点时速度恰好为零。则（　　） A. 冰壶在B点和D点的速度之比为3:1 B. 冰壶在C点速度等于AE过程的平均速度 C. 冰壶在D点的时刻是AE过程的时间中点 D. 冰壶在AC和CE过程的时间之比为1:2 【答案】C 【详解】A．设矩形区域宽为d，而E点速为0，则逆向看，有 解得 故A错误； BC．逆向看，根据初速度为0的匀变速直线运动在连续相同时间内的位移比为 则冰壶在D点的时刻是AE过程的时间中点，即D点的速度等于AE过程的平均速度。而冰壶在C点速度为中间位移处的速度，不等于AE过程的平均速度，故B错误，C正确； D．逆向看，根据初速度为0的匀变速直线运动通过连续相同位移的时间比为 可知冰壶在AC和CE过程的时间之比为，故D错误。故选C。 14．质量m＝0.5kg的物体以4m/s的速度从光滑斜面底端D点上滑做匀减速直线运动，途经A、B两点，已知物体在A点时的速度是B点时速度的2倍，由B点再经过0.5秒物体滑到顶点C点时速度恰好为零，已知AB＝0.75m．求： （1）物体在斜面上做匀减速直线运动的加速度； （2）物体从底端D点滑到B点的位移． 【答案】（1）2m/s2，方向平行于斜面向下． （2）3.75m，方向平行于斜面向上． 【解析】（1）设向上的方向为正方向，根据运动学公式，得到 B→C：，解得得：…① A→B：，解得得：…② 由①②：a＝﹣2m/s2 方向：平行于斜面向下． （2）把a代入①得到：＝1 m/s2 方向：平行于斜面向上 15．跳伞运动员做低空跳伞表演，当直升飞机悬停在离地面224m高时，运动员离开飞机做自由落体运动．运动一段时间后，打开降落伞，展伞后运动员以12.5m/s2的加速度匀减速下降．为了运动员的安全，要求运动员落地速度最大不得超过5m/s．求： （1）着地时相当于从多高处自由落下？ （2）运动员在空中的最短时间为多少？此情况下，运动员展伞时，离地面的高度至少为多少？ 【答案】（1）1.25m （2）8.6s，99m． 【解析】（1）设着地时相当于H处高处自由落下，则有：v22＝2gH 得： （2）取竖直向下为正方向，则匀减速运动的加速度为a＝﹣12.5m/s2． 自由下落过程有：v12＝2gh1…① 匀减速运动过程有：v22﹣v12＝2ah2…② 又h1+h2＝h＝224m…③ 据题、有：v2＝5m/s 由①②③联立解得：h2＝99m，h1＝125m，v1＝50m/s 由③得：h1＝125m 由h1＝gt12得：t1＝5s 匀减速运动过程有： 所以运动员在空中运动最短的时间为：t＝t1+t2＝8.6s 16．现在要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内走完一段直道，然后驶入一段半圆形的弯道，但在弯道上行驶时车速不能太快，以免因离心作用而偏出车道，有关数据见表格． 启动加速度a1 4m/s2 制动（刹车）加速度a2 8m/s2 直道最大速度v1 40m/s 弯道最大速度v2 20m/s 直道长度s 218m （1）求从静止起启动加速1s车的位移； （2）若该摩托车在某一笔直的道路上以40m/s行驶，在出现紧急情况后以最大制动加速度减速制动，它在停下前还要行驶多长的路程？ （3）现在需要求摩托车在进入弯道前，在直道上行驶的最短时间． 某同学是这样解的：要使摩托车所用时间最短，应先由静止加速到最大速度，然后再减速到20m/s， t1＝＝…，t2＝＝…，t＝t1+t2＝…，你认为这位同学的解法是否合理，若合理，请完成计算；若不合理，请用你自己的方法算出正确结果． 【答案】（1）2m； （2）100m； （3）不合理，正确结果是11s． 【解析】（1）从静止起启动加速1s车的位移： （2）以最大制动加速度减速制动的初速度等于40m/s，末速度等于0，加速度等于﹣8m/s2， 则： （3）通过摩托车先匀加速到最大速度40m/s的过程中的位移： 然后再减速到：v2＝20m/s，t2＝＝2.5s， 这段时间内的位移为：x4＝×（20+40）×2.5＝75m， 则x3+x4＝275m＞218m，说明汽车不能加速到40m/s． 由以上的分析可知，该同学没有考虑这一种的情况．正确的解答为： 设摩托车加速的最大速度为vm，则加速阶段的位移为：． 随后减速到v2发生的位移为：． 且 代入数据 解得：vm＝36m/s 所以：＝9s， ＝2s， 摩托车在直道上行驶所用的最短时间为：＝11s． 17．甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的．为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记．在某次练习中，甲在接力区前S0＝13.5m处作了标记，并以v＝9m/s的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令．乙在接力区的前端听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒．已知接力区的长度为L＝20m．求： （1）此次练习中乙在接棒前的加速度a； （2）在完成交接棒时乙离接力区末端的距离． 【答案】（1）3m/s2 （2）6.5m 【解析】（1）设经过时间t，甲追上乙， 则根据题意有 vt﹣vt＝13.5m，将v＝9m/s代入得到：t＝3s， 再由 v＝at 解得：a＝3m/s2 即乙在接棒前的加速度为3m/s2． （2）在追上乙的时候，乙走的距离为s，则：s＝at2 代入数据得到 s＝13.5m． 所以乙离接力区末端的距离为△s＝20﹣13.5＝6.5m． 18．甲乙两同学在直跑道上进行4×100m接力，他们在奔跑时有相同的最大速度，最大速度为10m/s，乙从静止开始全力奔跑需跑出25m才能达到最大速度，这一过程可看做是匀加速直线运动，现在甲持棒以最大速度向乙奔来，乙在接力区伺机全力奔出。若要求乙接棒时奔跑的速度达到最大速度的80%，则： （1）接力的过程甲做什么运动，乙又是做什么运动？平均速度之比是多少？ （2）乙在接力区须奔出多少距离？ （3）如果乙是站着接棒，接到棒后才从静止开始全力奔跑，这样会浪费多少时间？ 【答案】（1）甲做匀速直线运动，乙是做匀加速直线运动，5:2 （2）16m （3）2.4s 【解析】（1）据题意知，接力的过程甲匀速直线运动，乙匀加速直线运动。 甲的平均速度为＝10m/s，乙的平均速度为 ＝4m/s，所以 （2）对于乙：设其加速度为a，跑出的距离为x时速度达到最大值v。 由2ax＝v2，2ax1＝（0.8v）2，得：x1＝0.64x＝0.64×25m＝16m （3）乙从静止接棒后25m即可到达最大速度，之后不会浪费时间，故只讨论乙跑25m的过程； ①静止接棒，＝5s； ②以最大速度80%接棒； 第一个过程是加速到100%，设时间为t2，通过路程为s2； 第二过程中以vmax跑完剩余路程，时间为t3； 则有：＝1s， ＝9m ＝1.6s 即总耗时t总＝1+1.6＝2.6s 故浪费的时间为△t＝5﹣2.6＝2.4s 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$