精品解析：上海市彭浦第三中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题

2023－2024学年 上海彭浦第三中学九下4月份月考测试卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 一．选择题（共24分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法和幂的乘方，根据同底数幂的乘法除法法则和幂的乘方判断即可． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2. 下列四个选项中，不正确的是（ ） A. 0的相反数是0 B. 0的倒数是0 C. 0的绝对值是0 D. 0的立方根是0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值和倒数，立方根的定义．根据相反数，绝对值，倒数和立方根的定义求解即可． 【详解】解：A、0的相反数是0，说法正确，不符合题意； B、0没有倒数，说法错误，符合题意； C、0的绝对值是0，说法正确，不符合题意； D、0的立方根是0，说法正确，不符合题意； 故选：B． 3. 上海发布微信公众号可查询到上海市实时空气质量状况．下面是三月某一周连续七天的空气质量指数（）28，26，26，37，33，40，117，这组数据的下列统计量中，能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，众数，方差的意义，平均数可以反映一组数据的平均水平，但是容易受极端值的影响，方差能反映一组数据的波动程度，众数只能反映一组数据中出现次数最多的数据，中位数能反映一组数据中处在最中间的数据，不受极端值影响，据此可得答案． 【详解】解：根据题意可得，平均数和中位数都能反映这一周空气质量平均水平，但是平均数容易受极端值影响，中位数不受极端值影响， ∴能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是中位数， 故选：B． 4. 下列用于证明勾股定理的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、B、D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意； C中的图形是轴对称图形，故C符合题意； 故选：C． 5. 探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．①~③是其作图过程：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点A为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D；③连接，则四边形即为所求作的图形．在小明的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理． 根据作图步骤可知，得出，从而可以判断． 【详解】解：根据作图得，， ∴四边形为平行四边形， 判定四边形为平行四边形的条件是：两组对边分别相等， 故选：B． 6. 如果某函数图像上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，下列关于x的函数：①，②，③，④中，是“H函数”的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数图像上点的特征，熟练掌握图像上点的特征是解题的关键．根据“函数”的定义即可得到答案． 【详解】解：函数图像上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“函数”， 是“函数”，故①正确； 是“函数”，故②正确； 不是“函数”，故③错误； 是“函数”，故④正确； 正确的是①②④， 故选：C 二．填空题（共48分） 7. 函数 的定义域为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不为零、三次根式的被开方数可以是负数成为解题的关键，根据分式的分母不等于0求解即可． 【详解】解：∵函数 ， ∴，即， ∴函数 的定义域为为， 故答案为：． 8. 不等式：的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式解法，掌握不等式的解法是解题关键． 根据不等式的运算法则和解集的表示方法解题． 【详解】解：， 移项：， 系数化为：， 故答案为：． 9. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为120°时，重物上升___cm（结果保留π）． 【答案】π 【解析】 【详解】分析：求得半径为10cm，圆心角为120°的弧长，即可得出答案． 详解：观察图象，可知重物上升的高度就是旋转的角度为所对应的弧长, 故答案为:. 点睛：考查弧长的计算，旋转的性质，熟记弧长公式是解题的关键. 10. 如图，是直径，若，连接，则的度数是_________ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，连接，，圆周角定理，得到，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 11. 如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查三角形中线的性质和相似三角形的判定和性质的理解及运用．利用该定理时要注意线段之间的对应关系． 由点G是重心，得出是的边上的中线，确定，，再由相似三角形的判定和性质得出，即可求解． 【详解】解：∵点G是重心， ∴是的边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴故答案为：． 12. 如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C，都可使小奵泡发光．现随机从A，B，C，D中抽取一个字母（每个字母被抽到的可能性相等）并闭合对应开关，则小灯泡发光的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用概率公式计算事件发生的概率，熟练掌握概率公式：是解题的关键． 所有可能的结果共有4种可能，而让小灯泡发光的只有抽到D，一种可能，由概率公式即可求解． 【详解】解：小灯泡发光的概率为． 故答案为：． 13. 如图，点是的重心，如果，，那么向量用向量和表示为______． 【答案】## 【解析】 【分析】由是的重心，推出，，求出，可得结论． 【详解】解：∵G是的重心， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的重心，三角形法则等知识，解题的关键是掌握重心的性质，学会利用三角形法则解决问题． 14. 有6个正整数，其平均数是5，中位数是4，将这6个正整数之中的最大数记为a，那么a的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平均数，中位数的含义，先计算总和为，结合中位数与为最大数，进一步解答即可得到答案． 【详解】解：∵6个正整数，其平均数是5， ∴6个数好和为， ∵中位数是4， ∴中间两个数的和为， ∴剩余4个数的和为， ∵将这6个正整数之中的最大数记为a， ∴6个数分别为：，，，，，， ∴， 故答案为： 15. 如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于______． 【答案】7 【解析】 【分析】由根据三角形的面积公式，由得，进而求得DE=2，从而求得底边EC的长，于是可求得CD的长，进而求得梯形ABCD的中位线． 【详解】解：过点B作BM⊥CE于点M，如下图， ∵，， ∴∠ADC=180°-∠A=180°-90°=90°， ∵， ∴， ∵， ∴DE=2， ∵BM⊥CE， ∴∠BMD=90°， ∴四边形ABMD是矩形， ∴DM=AB=4， ∴EM=2+4=6， ∵将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处， ∴BE=BC， ∵BM⊥CE， ∴EC=2EM=12， ∴CD=12-2=10， ∴梯形ABCD的中位线为：， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了梯形的中位线，平行线的性质，矩形的性质，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 16. 新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为P，且抛物与x轴相交于M、N两点，点P关于x轴的对称点为Q，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线新定义问题，正确理解定义，熟练掌握平行坐标轴直线上两点间距离计算方式是解题的关键．根据定义，得到抛物线的表达式，然后利用公式求出顶点坐标和对称点坐标，根据四边形是正方形求出距离，然后利用两点间距离公式和一元二次方程根与系数的关系求出的值，即可求解． 【详解】解： ， “关联抛物线”为：， 设抛物线的顶点，则 ，， 抛物线的顶点， 点P关于x轴的对称点， 连接交轴于，如图所示， 四边形是正方形， ， ， 设抛物线：与轴交点，，，即为方程的根， 则，， ， 解得， 抛物线的表达式为，即， 故答案为：． 17. 如图，已知在中，，，动点N从点C出发，沿着方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点M从点A出发，沿着方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（），以M为圆心，长为半径的与的另一个交点为点D，连接，当与线段只有一个公共点时，t的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】先由勾股定理求出，分两种情况：①当与相切时，证明，得出，求出，得出即可；②恰好过点时，证明，再证明，得出，求出，再由，得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当与线段只有一个公共点时，分两种情况： ①点从运动开始一直到与相切时： 当与相切时，则， 由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； ∴当时，与只有一个交点； ②当恰好过点时，如图，连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴当时，满足题意； 综上所述，t的取值范围为或； 故答案为或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的性质，证明三角形相似是解题的关键． 18. 在平面直角坐标系中，若点P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线所在的直线分别与x轴或y轴垂直，则称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．如图为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为，点B的坐标为，如果点A，B的“相关菱形”为正方形，那么b的值是______． 【答案】或6 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形、菱形的性质等知识点，审清题意、明确各线段之间的关系是解题的关键． 根据“相关菱形”的定义可知，且，，据此即可解答． 【详解】解：如图，过点A作轴于M， 根据“相关菱形”的定义可知M为“相关菱形”的对角线的交点， ∴， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，轴于M， ∴，，， ∴，解得：或6． 故答案为：或6． 三．解答题（共78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合运算，牢记常见特殊角的三角函数值成为解题的关键． 先根据特殊角的三角函数值代入，然后再计算即可． 【详解】解： ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，先根据二次根式的运算法则，进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且． （1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； （2）点E是直线l上方抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求a的值； 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）令，求出的坐标，过点作轴于，平行线分线段成比例，求出点的横坐标为，进而求出点坐标，待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）过点作轴交于点，设，则，所以，利用三角形面积公式得到的面积，接着根据二次函数的性质得到的面积有最大值为，所以，然后解关于的方程即可． 【小问1详解】 解：过点作轴于，如图， 当时，，解得，， ，， ， ， ， ∴， 把，代入，得： ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：过点作轴交于点，如图， 设，则， ， 的面积的面积的面积， 的面积， 当时，的面积有最大值为， ， 解得． 22. （1）问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． 填空： ①∠AEB的度数为　 　； ②线段AD，BE之间的数量关系为　 　． （2）拓展探究 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由． （3）解决问题 如图3，在正方形ABCD中，CD=3，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离． 【答案】（1）①60°；②AD=BE；（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM，理由见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数． （2）仿照（1）中解法可求出∠AEB的度数，证出AD=BE；由△DCE为等腰直角三角形及CM为△DCE中DE边上的高可得CM=DM=ME，从而证到AE=2CH+BE． （3）由PD=1可得：点P在以点D为圆心，1为半径的圆上；由∠BPD=90°可得：点P在以BD为直径的圆上．显然，点P是这两个圆的交点，由于两圆有两个交点，接下来需对两个位置分别进行讨论．然后，添加适当的辅助线，借助于（2）中的结论即可解决问题． 【详解】（1）∠ACB=∠DCE，∠DCB=∠DCB ∠ACD=∠BCE 在△ACD和△BCE中 AD=BE，∠CEB=∠ADC=180°-∠CDE=120° ∠AEB=∠CEB-∠CED=60°. ②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．答案为：AD=BE． （2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM． 理由：如图 2， ∵△ACB 和△DCE 均为等腰直角三角形， ∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°． ∴∠ACD=∠BCE． 在△ACD 和△BCE 中， ∴△ACD≌△BCE．∴AD=BE，∠ADC=∠BEC． ∵△DCE 为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°． ∵点 A，D，E 在同一直线上，∴∠ADC=135°． ∴∠BEC=135°．∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°． ∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME． ∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM． ∴AE=AD+DE=BE+2CM． （3）点A到BP的距离为或 理由如下： ∵PD=1， ∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上。 ∵∠BPD=90∘， ∴点P在以BD为直径的圆上。 ∴点P是这两圆的交点。 ①当点P在如图3①所示位置时， 连接PD、PB、PA,作AH⊥BP,垂足为H, 过点A作AE⊥AP，交BP于点E，如图3①。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADB=45∘.AB=AD=DC=BC=3,∠BAD=90∘. ∴BD=2. ∵DP=1， ∴BP=. ∵∠BPD=∠BAD=90∘， ∴A、P、D. B在以BD为直径的圆上， ∴∠APB=∠ADB=45∘. ∴△PAE是等腰直角三角形。 又∵△BAD是等腰直角三角形，点B. E. P共线，AH⊥BP， ∴由(2)中的结论可得：BP=2AH+PD. ∴=2AH+1. ∴AH= . ②当点P在如图3②所示位置时， 连接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足为H， 过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，如图3②。 同理可得：BP=2AH−PD. ∴=2AH−1. ∴AH=. 综上所述：点A到BP的距离为或. 【点睛】本题主要考查正方形的性质、圆的综合题、全等三角形的判定与性质，解题关键是求出∠AEB的度数． 23. 如图所示，，分别是正方形的边，上的点，且，以为边作正方形，与交于点，连接． （1）求证：； （2）若是的中点，求证：为的中点； （3）在（2）的条件下，连接，设，，，请直接写出三者的数量关系 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用即可得证； （2）先证出，再证明，得出比例式，证出，即可得出结论； （3）先证明，得出，得出面积比等于相似比的平方，再由勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵正方形， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； ∴是的中点． 【小问3详解】 ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴，． ∴． 在中，由勾股定理，得， ∴，即． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和相似，是解题的关键． 24. 如图，已知抛物线y＝x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF． （1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式； （2）在（1）的条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标； （3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值． 【答案】（1）；（2）；（3）0 【解析】 【分析】（1）在Rt△ADC中，设OC=x，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝，即可求解； （2）求出点D的坐标为（，），如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF，进而求解； （3）求出点D的坐标为（，），由DE＝CE，即可求解． 【详解】解：（1）对于y＝﹣x+4①，令y＝﹣x+4＝0，解得x＝3，令x＝0，则y＝4， 故点A、B的坐标分别为（0，4）、（3，0）， 由点A、B的坐标知，OA＝4，OB＝3，则AB＝5， 连接BC，如下图， ∵点C在∠ABO的平分线上，则OC＝CD， ∵BC＝BC， ∴Rt△BCD≌Rt△BCO（HL）， 故BD＝OB＝3，则AD＝5﹣3＝2， 设OC＝CD＝x，则AC＝4﹣x， 在Rt△ADC中，由勾股定理得：（4﹣x）2＝x2+4，解得x＝， 故点C的坐标为（0，）， 则抛物线的表达式为y＝x2+； （2）如上图，过点C作CH∥x轴交AB于点H，则∠ABO＝∠AHC， 由AB得表达式知，tan∠ABO＝＝tan∠DHC，则tan∠DCH＝， 故直线CD的表达式为y＝x+②， 联立①②并解得，故点D的坐标为（，）， 如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，则DE∥y轴，且DE＝CF， 故DE＝yD＝， 则yF＝yC+DE＝， 故点F的坐标为（0，）； （3）∵点E是BO的中点，故点E（，0）， 由（2）知，直线CD的表达式为y＝x+m③， 联立①③并解得，点D的坐标为（，）， 而点E、C的坐标分别为（，0）、（0，m）， ∵▱CEDF是菱形，则DE＝CE， 即（﹣）2+（）2＝（）2+m2， 即9m2﹣36m＝0， 解得m＝4（舍去）或0， 故m＝0． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、解直角三角形等． 25. 如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB． （1）求证：AB＝AD； （2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长； （3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）2；（3）不发生变化， 【解析】 【分析】（1）先判断出△AOB≌△AOC（SAS），得出AB＝AC，即可； （2）过A作AM⊥BD于M，再判断出△ADM∽△FDA可求AD＝，则CD＝； （3）不变，过D作DH⊥y轴于H，作DQ⊥x轴于Q，再证△DHA≌△AOC（AAS），得DH＝AO，AH＝OC，进而得出HO＝BQ，所以DQ＝BQ，即△DBQ等腰直角三角形即可． 【详解】（1）证明：∵OA⊥BC，且OA过圆心点P， ∴OB＝OC， 在△AOB和△AOC中， ， ∴△AOB≌△AOC（SAS）， ∴AB＝AC， ∵以AC为直角边作等腰Rt△ACD， ∴AD＝AC， ∴AB＝AD； （2）如图1，过点A作AM⊥BD于M， 由（1）知，AB＝AD， ∴DM＝BD， ∵BF＝4，DF＝6， ∴BD＝10， ∴DM＝5， ∵∠AMD＝90°＝∠DAF，∠ADM＝∠FDA， ∴△ADM∽△FDA， ∴， ∴， ∴AD＝， 在等腰直角三角形ADC中，CD＝AD＝2； （3）的值是不发生变化， 理由：如图2，过点D作DH⊥y轴于H，作DQ⊥x轴于Q， ∴∠AHD＝90°＝∠COA， ∴∠ADH+∠DAH＝90°， ∵∠CAD＝90°， ∴∠CAO+∠DAH＝90°， ∴∠ADH＝∠CAO， ∵AD＝AC， ∴△ADH≌△ACO（AAS）， ∴DH＝AO，AH＝OC， ∵∠OHD＝∠QOH＝∠OQD＝90°， ∴四边形OQDH是矩形，DH＝OQ，DQ＝OH， 又∵HO＝AH+AO＝OC+DH＝OB+DH＝OB+OQ＝BQ， ∴DQ＝BQ， ∴△DBQ为等腰直角三角形， ∴∠DBQ＝45°， ∴∠DEH＝∠BEO＝45°， ∴sin∠DEH＝， ∴＝， ∴， ∴． 【点睛】本题是属于圆的综合题，主要考查了垂径定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识点，根据题意正确构造全等三角形是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024学年 上海彭浦第三中学九下4月份月考测试卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 一．选择题（共24分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个选项中，不正确的是（ ） A. 0的相反数是0 B. 0的倒数是0 C. 0的绝对值是0 D. 0的立方根是0 3. 上海发布微信公众号可查询到上海市实时空气质量状况．下面是三月某一周连续七天的空气质量指数（）28，26，26，37，33，40，117，这组数据的下列统计量中，能比较客观地反映这一周空气质量平均水平的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 4. 下列用于证明勾股定理的图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 探究课上，小明画出，利用尺规作图找一点D，使得四边形为平行四边形．①~③是其作图过程：①以点C为圆心，长为半径画弧；②以点A为圆心，长为半径画弧，两弧交于点D；③连接，则四边形即为所求作的图形．在小明的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 6. 如果某函数图像上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“H函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H点”，根据该约定，下列关于x的函数：①，②，③，④中，是“H函数”的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共48分） 7. 函数 的定义域为___________ 8. 不等式：解集为________ 9. 一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度为120°时，重物上升___cm（结果保留π）． 10. 如图，是的直径，若，连接，则的度数是_________ 11. 如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则__________． 12. 如图，电路图上有四个开关A，B，C，D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A，B，C，都可使小奵泡发光．现随机从A，B，C，D中抽取一个字母（每个字母被抽到的可能性相等）并闭合对应开关，则小灯泡发光的概率为__________． 13. 如图，点是的重心，如果，，那么向量用向量和表示为______． 14. 有6个正整数，其平均数是5，中位数是4，将这6个正整数之中的最大数记为a，那么a的最大值为______． 15. 如图，梯形ABCD中，，，将线段CB绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在CD延长线上的点E处．联结AE、BE，设BE与边AD交于点F，如果，且，那么梯形ABCD的中位线等于______． 16. 新定义：我们把抛物线，（其中）与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线“关联抛物线”为．已知抛物线的“关联抛物线”为，抛物线的顶点为P，且抛物与x轴相交于M、N两点，点P关于x轴的对称点为Q，若四边形是正方形，那么抛物线的表达式为__________． 17. 如图，已知在中，，，动点N从点C出发，沿着方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点M从点A出发，沿着方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为t秒（），以M为圆心，长为半径的与的另一个交点为点D，连接，当与线段只有一个公共点时，t的取值范围是__________． 18. 在平面直角坐标系中，若点P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线所在的直线分别与x轴或y轴垂直，则称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．如图为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为，点B的坐标为，如果点A，B的“相关菱形”为正方形，那么b的值是______． 三．解答题（共78分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且． （1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； （2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求a的值； 22. （1）问题发现 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． 填空： ①∠AEB的度数为　 　； ②线段AD，BE之间数量关系为　 　． （2）拓展探究 如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由． （3）解决问题 如图3，在正方形ABCD中，CD=3，若点P满足PD=1，且∠BPD=90°，请直接写出点A到BP的距离． 23. 如图所示，，分别是正方形的边，上的点，且，以为边作正方形，与交于点，连接． （1）求证：； （2）若是的中点，求证：为的中点； （3）在（2）条件下，连接，设，，，请直接写出三者的数量关系 24. 如图，已知抛物线y＝x2+m与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4与y轴和x轴分别交于点A和点B，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设点E在x轴上，以CD为对角线作▱CEDF． （1）当点C在∠ABO的平分线上时，求上述抛物线的表达式； （2）在（1）条件下，如果▱CEDF的顶点F正好落在y轴上，求点F的坐标； （3）如果点E是BO的中点，且▱CEDF是菱形，求m的值． 25. 如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，交y轴于点A，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，连接BD分别交y轴和AC于E、F两点，连接AB． （1）求证：AB＝AD； （2）若BF＝4，DF＝6，求线段CD的长； （3）当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$