第01讲：数与式-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第01讲：数与式 【考点梳理】 考点一、乘法公式 【公式1】平方差公式： 【公式2】完全平方公式： 【公式3】完全立方公式： 【公式4】（完全平方公式） 【公式5】(立方和公式) 【公式6】(立方差公式) 考点二、指数式 当时，. 当时，⑴零指数， ⑵负指数. ⑶分数指数 为正整数). 幂运算法则：.⑷ 考点三、根式 式子叫做二次根式，其性质如下： (1) (2) (3) (4) 如果有，那么叫做的次方根，其中为大于的整数． 当n为奇数时，，当n为偶数时，. 四、分式 当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法： (1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． 【题型归纳】 题型一：乘法公式的应用 1．（23-24高一上·广西南宁）若，则（ ） A．1 B． C．4 D．6 2．（23-24高一上·江苏苏州·开学考试）不论a，b为何实数，的值（ ） A．总是正数 B．可以是负数 C．可以是零 D．一切实数 3．（22-23高一上·浙江杭州·开学考试）若四个互不相等的正实数，，，满足，，则的值为（ ） A．2012 B．2011 C．2012 D．2011 题型二：根式的应用 4．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）已知，则的值是（ ） A．2 B． C． D．0 5．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）设，，则代数式的值为 ． 6．（23-24高一上·山东青岛·强基计划）实数，且满足，，则的值为 . 题型三：指数与指数幂的运算 7．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算 . 8．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 9．（23-24高一上·河南漯河·期末）计算． (1)； (2)． 【专题突破】 一、单选题 10．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）已知实数满足且，则的值为（ ） A． B． C． D．2 11．（23-24高一上·云南保山·开学考试）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）把方程化为的形式，正确的是（ ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·湖北孝感·开学考试）若满足，则等于（ ） A． B．0 C．1 D．2 14．（23-24高一上·重庆沙坪坝·开学考试）已知，，，则的取值不可能是（ ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·广西钦州·开学考试）若，则（） A．4 B．6 C．34 D．36 16．（23-24高一上·湖南长沙·开学考试）已知a是的小数部分，则的值为（ ） A． B．4 C． D． 17．（23-24高一上·甘肃天水·开学考试）如果，，为非零有理数,且，那么的所有可能的值为（ ） A．0 B．1或-1 C．2或-2 D．0或-2 18．（23-24高一上·江苏泰州·开学考试）若实数满足，则实数对应于图中数轴上的点可以是三点中的点（ ） A．A B．B C．C D． 19．（23-24高一上·江苏泰州·开学考试）若长方体的长、宽、高分别是，且，，则长方体的全面积是（ ） A．50 B．164 C．132 D．98 20．（23-24高一上·云南曲靖·开学考试）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，按照上述规律，则第2020个单项式是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 21．（23-24高一上·浙江·阶段练习）下列等式变形正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 22．（23-24高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知均不为0，且，则的值可以是（ ） A．3 B． C． D． 23．（23-24高一上·辽宁抚顺·开学考试）下面的表述中，正确的说法有（ ） A．最小的质数是 B．既不是质数也不是合数 C．可以分解为 D．的两实根积等于 24．（23-24高一上·江苏泰州·开学考试）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为.根据这个法则，下列结论中正确的是（ ）. A． B．若，则 C．方程的根是， D．若m，n是实数，则 三、填空题 25．（23-24高一上·甘肃定西·开学考试）分解因式： ． 26．（2023高一上·安徽芜湖·专题练习）已知，则 . 27．（2023高一上·安徽芜湖·专题练习）在实数范围内因式分解： . 28．（23-24高一上·浙江·阶段练习）若是整数，则点叫整点，若，且，则有 个满足条件的整点. 29．（23-24高一上·浙江·阶段练习）若实数互不相等，且满足，则k的值为 ． 30．（23-24高一上·北京海淀·期中）若是方程组的一组解，则代数式的值为 ． 四、解答题 31．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）（1）计算： （2）已知，，求的值． 32．（23-24高一上·北京顺义·开学考试）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 33．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设x、y、z为互不相同的实数，对于﹐ (1)令，用a、b表示 (2)求的最小值． 34．（23-24高一上·广东潮州·阶段练习）计算题 (1) (2)先化简，再求值：其中 35．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）阅读：对于两个不等的非零实数、，若分式的值为零，则或，又因为，关于的方程有两个解，分别为，，应用以上结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为，，求、的值； (2)的两解为，，求的值； (3)关于的方程有两个解，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲：数与式 【考点梳理】 考点一、乘法公式 【公式1】平方差公式： 【公式2】完全平方公式： 【公式3】完全立方公式： 【公式4】（完全平方公式） 【公式5】(立方和公式) 【公式6】(立方差公式) 考点二、指数式 当时，. 当时，⑴零指数， ⑵负指数. ⑶分数指数 为正整数). 幂运算法则：.⑷ 考点三、根式 式子叫做二次根式，其性质如下： (1) (2) (3) (4) 如果有，那么叫做的次方根，其中为大于的整数． 当n为奇数时，，当n为偶数时，. 四、分式 当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法： (1) 利用除法法则；(2) 利用分式的基本性质． 【题型归纳】 题型一：乘法公式的应用 1．（23-24高一上·广西南宁）若，则（ ） A．1 B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】将两边同时立方，按照 展开可得，代入即可求解. 【详解】由已知得， , 即， 则， 故选：. 2．（23-24高一上·江苏苏州·开学考试）不论a，b为何实数，的值（ ） A．总是正数 B．可以是负数 C．可以是零 D．一切实数 【答案】C 【分析】配方为可得结果. 【详解】因为； 因为， 所以， 当且仅当时取等. 故选：C. 3．（22-23高一上·浙江杭州·开学考试）若四个互不相等的正实数，，，满足，，则的值为（ ） A．2012 B．2011 C．2012 D．2011 【答案】A 【分析】设，则，将已知等式左侧展开，分别作加减处理即可得，进而可得结果. 【详解】令，且， 所以，则， 两式相减得，故①， 两式相加得，将①代入， 所以，故， 而. 故选：A 题型二：根式的应用 4．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）已知，则的值是（ ） A．2 B． C． D．0 【答案】D 【分析】运用根式的运算性质即可得出. 【详解】， 故， ，故与一正一负， 和二者中一个为，另一个为，即， 即. 故选：D. 5．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）设，，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】首先求解出的值，配凑所求式子后，代入即可求得结果. 【详解】，， . 故答案为：. 6．（23-24高一上·山东青岛·强基计划）实数，且满足，，则的值为 . 【答案】 【分析】将问题化为有两个不同根，整理并化为一元二次方程，利用根与系数关系、根式化简求目标式的值. 【详解】由题意与有两个不同交点，横坐标分别为， 所以有两个不同根，故， 所以且，而， 则. 故答案为： 题型三：指数与指数幂的运算 7．（23-24高一上·江苏盐城·期末）计算 . 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 8．（23-24高一上·湖南娄底·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）由完全平方公式以及分数指数幂的运算即可得解. （2）由完全平方公式、立方和公式以及分数指数幂的运算即可得解. 【详解】（1）由题意，所以. （2）由题意， 所以. 9．（23-24高一上·河南漯河·期末）计算． (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则计算即可； （2）先将根式转化为指数幂，利用指数的运算法则计算即可. 【详解】（1） =； （2） . 【专题突破】 一、单选题 10．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）已知实数满足且，则的值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意整理可得，代入运算即可. 【详解】因为，即， 可得，可得或，即或， 且，可得，所以. 故选：A. 11．（23-24高一上·云南保山·开学考试）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的预算性质即可逐一求解. 【详解】对于A， ，故A错误， 对于B，，故B错误， 对于C，，C正确， 对于D，，D错误， 故选：C 12．（23-24高一上·山东日照·阶段练习）把方程化为的形式，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用配方法求解. 【详解】， 所以， 故选：C. 13．（23-24高一上·湖北孝感·开学考试）若满足，则等于（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用给定等式变形计算作答. 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 14．（23-24高一上·重庆沙坪坝·开学考试）已知，，，则的取值不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】将已知三个等式取倒数，再将这三个式子相加即可得解. 【详解】因为，所以①， 因为，所以②， 所以，所以③， 由①②③得，即， 所以. 故选：ABC. 15．（23-24高一上·广西钦州·开学考试）若，则（） A．4 B．6 C．34 D．36 【答案】C 【分析】利用完全平方公式即可得解. 【详解】因为，所以，即，则， 所以，即，则. 故选：C. 16．（23-24高一上·湖南长沙·开学考试）已知a是的小数部分，则的值为（ ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】先确定的范围，再表示出，然后代入中计算即可 【详解】因为，即，所以， 所以， 故选：B 17．（23-24高一上·甘肃天水·开学考试）如果，，为非零有理数,且，那么的所有可能的值为（ ） A．0 B．1或-1 C．2或-2 D．0或-2 【答案】A 【分析】讨论的正负情况，即可求值. 【详解】由已知可知，不可能同为正数或负数，有可能是2负1正，或1负2正， 若是2负1正，不妨设为正数，为负数，则， 若是1负2正，不妨设为负数，为正数，则. 故选：A 18．（23-24高一上·江苏泰州·开学考试）若实数满足，则实数对应于图中数轴上的点可以是三点中的点（ ） A．A B．B C．C D． 【答案】D 【分析】直接去绝对值解方程求得值，再对应图中点即可得解. 【详解】因为，所以，故或. 结合图形可知可以是点. 故选：D. 19．（23-24高一上·江苏泰州·开学考试）若长方体的长、宽、高分别是，且，，则长方体的全面积是（ ） A．50 B．164 C．132 D．98 【答案】C 【分析】利用整体法与三元完全平方公式即可得解. 【详解】因为， 又， 所以， 则， 所以长方体的全面积为. 故选：C. 20．（23-24高一上·云南曲靖·开学考试）观察下列关于x的单项式，探究其规律：，按照上述规律，则第2020个单项式是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别观察各个单项式的符号、系数、的指数幂等关系，即可推出第2020个单项式. 【详解】观察规律可知，奇数项的符号为负，偶数项的符号为正，且的指数幂与单项式的项数相同， 又因为2020为偶数，所以第2020个单项式的符号为正， 偶数项的单项式的系数呈现出第一个为4，且下一个偶数项比前一个大6的规律， 所以第2020个单项式的系数为，即第2020个单项式是. 故选：C 二、多选题 21．（23-24高一上·浙江·阶段练习）下列等式变形正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据不等式的性质逐一分析即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误； 对于B，若，则，则，故B正确； 对于C，若，则或，故C错误； 对于D，若，由，得，故D正确. 故选：BD 22．（23-24高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知均不为0，且，则的值可以是（ ） A．3 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据求出的关系，代入求值，即得答案. 【详解】由题意得， 可得或， 故当时，， 当时，， 故选：BC 23．（23-24高一上·辽宁抚顺·开学考试）下面的表述中，正确的说法有（ ） A．最小的质数是 B．既不是质数也不是合数 C．可以分解为 D．的两实根积等于 【答案】AB 【分析】利用质数、合数的概念可判断AB选项；利用十字相乘法可判断C选项；判断方程的解，可判断D选项. 【详解】对于A选项，最小的质数是，A对； 对于B选项，既不是质数也不是合数，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，对于方程，， 所以，方程无实根，D错. 故选：AB. 24．（23-24高一上·江苏泰州·开学考试）在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为.根据这个法则，下列结论中正确的是（ ）. A． B．若，则 C．方程的根是， D．若m，n是实数，则 【答案】ABD 【分析】根据新定义运算一一分析即可. 【详解】对A，，故A正确； 对B，，则， 则，故B正确； 对C，，即， 即，解得，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 25．（23-24高一上·甘肃定西·开学考试）分解因式： ． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式即可. 【详解】, 故答案为：. 26．（2023高一上·安徽芜湖·专题练习）已知，则 . 【答案】42 【分析】利用一元二次求根公式得到满足的方程，进而对题目要求的式子进行拼凑与满足的方程相近的式子，进而求解出答案. 【详解】由条件得，又 . 故答案为：. 27．（2023高一上·安徽芜湖·专题练习）在实数范围内因式分解： . 【答案】 【分析】根据已知因式，适当陪凑，提出公因式，即可分解. 【详解】 . 故答案为：. 28．（23-24高一上·浙江·阶段练习）若是整数，则点叫整点，若，且，则有 个满足条件的整点. 【答案】3 【分析】根据题意得到，再直接列举所有可能结果并判断是否符合题意即可得到答案. 【详解】由题意得，， 因为均为整数，所以或或， 当时，，，此时不符合题意（舍）， 当时，，，此时符合题意， 当时，，，此时不符合题意（舍）， 当时，，，此时符合题意， 当时，，，此时不符合题意（舍）， 当时，，，此时符合题意， 综上所述，共有3个满足条件的整点，分别为. 故答案为：3 29．（23-24高一上·浙江·阶段练习）若实数互不相等，且满足，则k的值为 ． 【答案】 【分析】由条件推得，同理得，从而得到，由此得解. 【详解】因为， 所以，，， 由，得， 则由，得， 则，即， 同理：， 则，即， 由题意知，实数是互不相等的非零实数， 所以，则. 故答案为：. 30．（23-24高一上·北京海淀·期中）若是方程组的一组解，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】将代入方程组，将所得等量关系代入所求代数式中化简消元即可求得结果. 【详解】，， . 故答案为：. 四、解答题 31．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）（1）计算： （2）已知，，求的值． 【答案】（1）1；（2）11 【分析】（1）由指数幂的运算法则及特殊角的正弦函数值计算即可得； （2）借助因式分解计算即可得. 【详解】（1）原式 ； （2）由、， 则， 故 . 32．（23-24高一上·北京顺义·开学考试）（1）已知，求的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意，化简原式，代入即可求解； （2）先化简原式，代入即可求解. 【详解】解：（1）由， 因为，所以， 即. （2）由， 因为，可得， 即. 33．（23-24高一上·上海浦东新·期中）设x、y、z为互不相同的实数，对于﹐ (1)令，用a、b表示 (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，消去y即可得结果； （2）令，由（1）整理可得，结合常用不等式分析求解. 【详解】（1）因为，可得， 整理得. （2）令，由（1）可得：，即， 因为，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当，等号成立， 即，则， 可得，即， 所以的最小值为. 34．（23-24高一上·广东潮州·阶段练习）计算题 (1) (2)先化简，再求值：其中 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据指数运算、根式运算等知识求得正确答案. （2）化简代数式，进而求得正确答案. 【详解】（1） ； （2）原式 . 将代入得原式． 35．（23-24高一上·上海闵行·阶段练习）阅读：对于两个不等的非零实数、，若分式的值为零，则或，又因为，关于的方程有两个解，分别为，，应用以上结论解答下列问题： (1)方程的两个解分别为，，求、的值； (2)的两解为，，求的值； (3)关于的方程有两个解，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)方程,理解，然后根据题目中已知条件进行计算即可； (2)方程的两个解根据公式可以解出； (3)先求关于x的方程两个解，对原式进行化简即可得出结果． 【详解】（1）应用上面的结论，,,则. （2）的两解为，，则,或,. （3）∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $$