精品解析：江苏省淮安市协作体联盟2023-2024学年高二下学期4月期中数学试题

淮安市高中协作体联盟校2023-2024学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 考试时间 120分钟 总分 150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分. 1. 已知向量则（ ） A. B. C. D. 2 A同学准备五一假期从淮安到南京旅游，目前有两种方案可供选择，淮安东站到南京南站有8列高铁可供选择，淮安汽车站到南京汽车站有6辆大巴可供选择，请问该生有多少种方法去南京（ ） A. 14种 B. 48种 C. 196种 D. 2304种 3. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于（　　） A. B. C. D. 或 4. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 的展开式中的系数为（　　） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 6. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，其中一个场馆去1人，一个场馆去2人，一个场馆去3人，则不同的安排方法共有（　　） A. 360种 B. 120种 C. 60种 D. 30种 7. 平行六面体 中，，，， ，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A. 各项系数和为2187 B. 第4项与第5项的系数相等 C. 二项式系数最大为35 D. 的项的系数为21 10. 下列说法正确是（ ） A. 在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 B. 从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有选法种数是35 C. 能被100整除 D. 已知，则， 11. 在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（ ） A. 与共面 B. 与夹角为 C. 平面与平面夹角的正弦值为 D. 若正方体棱长为2，则到直线的距离 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则向量与的夹角为________. 13. 已知随机事件A.B满足，则_____ 14. 某校甲、乙等6位同学五一计划到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园研学，每个地方至少去1人．（用数字表示） （1）有________种不同安排方法； （2）由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去涟水战役烈士纪念馆，有________种不同的安排方法． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求值（用数字表示） （1） （2） （3） 16. 已知点 （1）表示出，并求 （2）证明：与四点共面 17. 4月21号，激情澎湃的2024淮安西游乐园淮安马拉松暨大运河马拉松系列赛（淮安站）盛大开跑，淮安市协作体6所联盟学校每校安排一男一女两位同学共12人参加此次盛事，主办方安排这12位同学中的四位与冠亚季军合影.根据下列条件解答问题：（用数字表示） （1）4人均来之不同学校有多少种安排； （2）4人中有男有女有多少种安排； （3）若4人已经选出请分别解答下列两个问题 ①4名同学不相邻； ②冠军在中间，亚军季军不在冠军同侧. 18. 已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求 （1）与所成角余弦值； （2）与平面所成角的正弦值； （3）直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由. 19. 有编号为1，2，3，4，5的盒子，1号盒子有两个白球和两个黑球，其余盒子中都有两个白球一个黑球. （1）从1号盒子中取出两个球，求颜色不同的概率； （2）从1号盒子中取出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中取出一个球放入3号盒子，依此类推最后从4号盒子中取出一个球放入5号盒子结束，记“n号盒子取出的球是白球”为事件 ①求 ②求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮安市高中协作体联盟校2023-2024学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷 考试时间 120分钟 总分 150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，计40分. 1. 已知向量则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量模长公式求出答案. 【详解】. 故选：D 2. A同学准备五一假期从淮安到南京旅游，目前有两种方案可供选择，淮安东站到南京南站有8列高铁可供选择，淮安汽车站到南京汽车站有6辆大巴可供选择，请问该生有多少种方法去南京（ ） A. 14种 B. 48种 C. 196种 D. 2304种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理进行求解. 【详解】根据分类加法计数原理可得，该生有种方法. 故选：A 3. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于（　　） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面角的向量公式，即可求解. 【详解】设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为， 所以，所以. 故选：C 4. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式即可求解. 【详解】， 故选：D 5. 的展开式中的系数为（　　） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】先求得的展开式的通项为，进而求得展开式中项，即可求解. 【详解】由二项式的展开式的通项为， 则展开式中项为， 所以展开式中的系数为. 故选：B. 6. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，其中一个场馆去1人，一个场馆去2人，一个场馆去3人，则不同的安排方法共有（　　） A. 360种 B. 120种 C. 60种 D. 30种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分组分配，结合排列组合即可求解. 【详解】依题意从6同学中选出1人安排到一个场馆有，再从剩余5人安排2人到一个场馆是，最后剩余3人安排到一个馆， 根据分步乘法原理，不同的安排方法共有种． 故选：A． 7. 平行六面体 中，，，， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量运算法则得到，再利用数量积公式进行运算得到，从而求出. 【详解】因为六面体是平行六面体， 所以， 所以 ， 所以. 故选：B 8. 已知四面体，其中，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将四面体嵌在长方体中，由题意可得长方体的长宽高的大小，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，再求出直线，的方向向量的坐标，进而求出两个向量的夹角的余弦值，最后求出两条直线所成的角的余弦值． 【详解】将四面体放在如图所示长方体中， 因为，， 设长方体的长，宽，高分别为，，， 则，可得，， 以为坐标原点，以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以的中点， 所以，， 所以， ，， 所以． 设直线，所成的角为，,， 所以,． 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A. 各项系数和为2187 B. 第4项与第5项的系数相等 C. 二项式系数最大为35 D. 的项的系数为21 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，利用二项展开式的性质，展开式的通项，以及二项式系数与项的系数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，令，可得，即展开式各项系数和为，所以A正确； 对于B中，二项式展开式通项为， 可得展开式的第4项的系数为，第5项的系数为， 所以展开式的第4项和第5项的系数不相等，所以B不正确； 对于C中，由展开式的二项式系数的性质，可得展开式的第4和5项的二项式系数最大， 二项式系数的最大值为，所以C正确； 对于D中，由二项式展开式的通项为， 可得的项的系数为，所以D错误. 故选：AC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 B. 从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是35 C. 能被100整除 D. 已知，则， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由分类计数原理的概念，可判定A正确；根据题意，分为两类，结合组合数公式和分类计数原理，可判定B不正确；由，结合二项展开式，可得判定C正确；利用条件概率的计算公式，可得判定D正确. 【详解】对于A中，由分类计数原理的概念知，在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事，所以A正确； 对于B中，从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，可得分为两类： ①当1男2女时，有种；②当2男1女时，有种， 由分类计数原理得，共有种不同的选法，所以B错误； 对于C中，由 ， 所以能被整除，所以C正确； 对于D中，由，可得，所以D正确. 故选：ACD. 11. 在正方体 中，点分别是面和面的中心，则下列结论正确的是（ ） A. 与共面 B. 与夹角为 C. 平面与平面夹角的正弦值为 D. 若正方体棱长为2，则到直线的距离 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正方体的性质，可采用平移法来求判断是否共面以及求异面直线所成的角，可利用空间向量法来求两平面夹角的正弦值，可利用平面几何中的等面积法来求点到线的距离. 【详解】对于A，由于，而与显然是共面向量，所以与共面，故A正确； 对于B， 因为，所以异面直线与所成的角就是， 而在三角形中，由正方体和各面对角线长相等，可知它是等边三角形， 所以，即与夹角为，故B错误； 对于C， 如图建系：设正方体的边长为，可知：，，， 则设平面的法向量为 则，令，则， 即 而平面的法向量可以取轴方向上的单位向量 则， 即， 所以平面与平面夹角的正弦值为，故C正确； 对于D， 过点作的垂线，垂足为，由点为中心，可知为的中点， 由正方体可知平面，因为平面， 所以，因为正方体棱长为，所以，， 则由勾股定理得：， 解等腰三角形得：底边边上的高为，所以三角形面积为， 即点到直线的距离等于，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则向量与的夹角为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量夹角的余弦公式可得结果. 【详解】∵，， ∴，，， ∴， ∴. 故答案为：. 13. 已知随机事件A.B满足，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】先利用条件概率公式结合已知条件求出，再利用条件概率公式可求出结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 14. 某校甲、乙等6位同学五一计划到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园研学，每个地方至少去1人．（用数字表示） （1）有________种不同的安排方法； （2）由于特殊情况五一节时甲取消研学且乙不去涟水战役烈士纪念馆，有________种不同的安排方法． 【答案】 ①. 540 ②. 100 【解析】 【分析】（1）首先将6位同学分成三组，分三类计算不同的情况，然后进行全排列.（2）去掉甲同学还有4位同学和乙同学共5位同学.根据乙不去涟水战役烈士纪念馆，可以按照去涟水战役烈士纪念馆的人数分为三类讨论，然后相加可得答案. 【详解】（1）6位同学分为3组可以分三类. 第一类：1人，1人，4人分组，有种； 第二类：1人，2人，3人分组，有种； 第三类：2人，2人，2人分组，有种. 根据分类加法计数原理，共种. 再将3组按照全排列的方式分到涟水战役烈士纪念馆、周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种. 根据分步乘法计数原理，共种. （2）由题意可知，还有乙与4位同学，其中乙不去涟水战役烈士纪念馆. 按照去涟水战役烈士纪念馆的人数可以分为3类. 第一类：恰有1人去涟水战役烈士纪念馆. 第一步，除去乙同学外的4人选取1人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的4位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第一类共种. 第二类：恰有2人去涟水战役烈士纪念馆. 第一步，除去乙同学外的4人选取2人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的3位同学分两组，有种；第三步，两组同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第二类共种. 第三类：恰有3人去涟水战役烈士纪念馆 第一步，除去乙同学外的4人选取3人去涟水战役烈士纪念馆，有种；第二步，含乙在内的2位同学分到周恩来纪念馆、刘老庄八十二烈士陵园，有种.第三类共种. 根据分类加法计数原理，共种. 故答案为：540；100. 【点睛】解决分组分配问题的策略： （1）对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类考虑.在每一类的计数中，又要考虑是分步乘法计数还是分类加法计数，是排列问题还是组合问题. （2）对于整体均分，分组后一定要除以（n为均分的组数），避免重复计数. （3）对于部分均分，若有m组元素个数相等，则分组时应除以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求值（用数字表示） （1） （2） （3） 【答案】（1）64 （2）15 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据排列数公式计算可得； （2）根据组合数公式计算可得； （3）首先确定的值，再由排列、组合数公式计算可得. 小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 依题意可得，又，解得或， 当时，； 当时，. 16. 已知点 （1）表示出，并求 （2）证明：与四点共面 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算即可求解， （2）根据平面向量基本定理，即可根据坐标运算求解. 【小问1详解】 所以，故， 【小问2详解】 设， 解的， ，则共面 又因为为公共点，所以这四个点共面 17. 4月21号，激情澎湃的2024淮安西游乐园淮安马拉松暨大运河马拉松系列赛（淮安站）盛大开跑，淮安市协作体6所联盟学校每校安排一男一女两位同学共12人参加此次盛事，主办方安排这12位同学中的四位与冠亚季军合影.根据下列条件解答问题：（用数字表示） （1）4人均来之不同学校有多少种安排； （2）4人中有男有女有多少种安排； （3）若4人已经选出请分别解答下列两个问题 ①4名同学不相邻； ②冠军在中间，亚军季军不在冠军同侧. 【答案】（1）240 （2）465 （3）①144；②432 【解析】 【分析】（1）在6个学校中选出4个，再在每个学校的2人中再选出1人即可，由分步计数原理计算可得答案； （2）先计算全部的排法，排除其中只有男生和女生的排法，用间接法分析可得答案； （3）①根据题意，先排好冠亚季军，再将4名学生安排在空位中，由分步计数原理计算可得答案；②6人任意排列，排除其中亚军季军在冠军同侧情况，由间接法分析可得答案. 【小问1详解】 根据题意，在6个学校中选出4个，再在每个学校的2人中再选出1人即可，有种安排方法； 【小问2详解】 根据题意，在12人中选出4人，有种排法，其中只有男生的选法有种，只有女生的选法有种, 则4人中有男有女有种， 【小问3详解】 根据题意，先排好冠亚季军，再将4名学生安排在空位中，则有种安排方法； ②根据题意，6人任意排列，排除其中亚军季军在冠军同侧情况即可，有种排法. 18. 已知三棱锥中和所在平面互相垂直，求 （1）与所成角的余弦值； （2）与平面所成角的正弦值； （3）直线上是否存在点使得二面角为，若存在求出BP的长，不存在说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）利用向量法求异面直线所成的角的余弦值； （2）代入向量法求线面角的正弦值； （3）假设存在点，分别求平面和平面的法向量，利用法向量表示二面角的余弦值. 【小问1详解】 在平面ABC内过B作垂直于BC的直线BE，因为平面ABC与平面BDC垂直， 且平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 又，所以BE，BD，BC两两垂直，建立如图空间直角坐标系 则 ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为; 【小问2详解】 平面BCD的法向量， 所以， 则与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 假设存在，设， 设平面CDP的法向量， ，取，则，， 则， 所以或 则点P存在 所以或. 19. 有编号为1，2，3，4，5的盒子，1号盒子有两个白球和两个黑球，其余盒子中都有两个白球一个黑球. （1）从1号盒子中取出两个球，求颜色不同的概率； （2）从1号盒子中取出一个球放入2号盒子，再从2号盒子中取出一个球放入3号盒子，依此类推最后从4号盒子中取出一个球放入5号盒子结束，记“n号盒子取出的球是白球”为事件 ①求 ②求 【答案】（1） （2）①，，；② 【解析】 【分析】（1）直接根据分步计数原理和古典概率公式计算即可； （2）是条件概率公式的乘法形式，则是根据代入条件概率公式计算，需要根据容斥原理计算，因为不互斥，计算则属于马尔科夫链的概率模型，其本质为全概率公式，通过全概率公式计算和即可计算. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ①， ， ， ； ②， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $