精品解析：山东省枣庄市山亭区2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

山东省枣庄市山亭区2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 最简公分母是( ) A. B. C. D. 3. 若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 4. 下列各式中，无论取何值，分式都有意义的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列代数式变形正确的是（ ） A B. C. D. 6. 下列分式：①；②；③；④，其中最简分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 下列多项式分解因式结果不含因式的是（ ） A. B. C. D. 8. 小林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，，分别对应六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A. 我爱数学 B. 爱祖国 C. 祖国数学 D. 我爱祖国 9. 若分式的值为0，则x的取值是（ ） A. B. C. D. 10. 新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（ ） A. 是的“3分式” B. 若的值为，则是的“2分式” C. 若是“1分式”，则 D. 若与互为倒数，则是的“5分式” 二．填空题（本大题共6小题，每小题填对得3分，共18分．只填写最后结果．） 11. 计算：______． 12. 长方形的长和宽分别为a，b，若长方形的周长为16，面积为12，则值为________． 13. 若，则代数式的值为____________． 14. 函数中，自变量的取值范围是___． 15. 若△ABC三边、、满足，则△ABC是___________三角形． 16. 已知，请计算_______．（用含x的代数式表示） 三．解答题（本大题共7小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 因式分解：． 18 解方程：． 19. 简便计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝﹣4． 21. 先化简分式，再在-3＜x≤2中取一个合适的整数x，求出此时分式的值． 22. 若定义一种运算：，如：． （1）计算：． （2）将（1）计算所得的多项式分解因式； （3）若，求（1）中计算所得的多项式的值． 23. 比较两个数的大小时，我们常常用到“作差法”： 如果，那么； 如果，那么； 如果，那么． （1）已知，且，，试用“作差法”比较、大小，并说明理由； （2）对于正数，，，，如果，则、满足的关系是_____________． 24. 利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； （3）结合本题知识，分解因式：． 25. 八年级（1）班组织同学乘大巴车前往“韶山红色教育基地”开展爱国教育活动，基地离学校有120公里，队伍从学校出发，刘老师因有事情，推迟了半个小时从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前10分钟到达基地，问： （1）大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）刘老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省枣庄市山亭区2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】A选项直接提出公因式a，再利用平方差公式进行分解即可；B选项提公因式x分解因式即可；C选项不能进行分解因式；D选项是和的形式，不属于因式分解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项符合题意； C、不能进行因式分解，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 2. 的最简公分母是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母． 【详解】解：的最简公分母为：． 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 3. 若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】先将视为常数，求解出分式方程的解(包含)，然后根据解的条件判断的取值范围． 【详解】解：去分母，得， 解得 ， ∵关于的分式方程的解为非负数， 且， 解得且， 故选：D． 【点睛】本题考查解含有字母的分式方程，解题的关键是注意最后得到的结果，一定要考虑增根的情况． 4. 下列各式中，无论取何值，分式都有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、无论取何值，，分式都有意义，故本选项符合题意； B、当时，，分式无意义，故本选项不符合题意； C、当时，，分式无意义，故本选项不符合题意； D、当时，，分式无意义，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 5. 下列代数式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分式的基本性质逐个变形得结论． 【详解】解：A、 分式的分子分母都减去1，不符合分式的基本性质，变形不正确； B、，符合分式基本性质，变形正确； C、分式的分子分母都乘以10得，变形错误； D、 分式乘方得，不符合分式的基本性质，变形错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的性质，掌握分式的基本性质是解决本题的关键． 6. 下列分式：①；②；③；④，其中最简分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简分式的定义即可求出答案． 【详解】解：①，故此分式不是最简分式，不符合题意； ②是最简分式，符合题意； ③，故此分式不是最简分式，不符合题意； ④是最简分式，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简分式的判定，解的关键是正确理解最简分式的定义． 7. 下列多项式分解因式结果不含因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，含因式，不符合题意； 、，含因式，不符合题意； 、，不含因式，符合题意； 、，含因式，不符合题意； 故选：． 8. 小林是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，3，，，分别对应六个字：国，爱，我，数，学，祖，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（　　） A. 我爱数学 B. 爱祖国 C. 祖国数学 D. 我爱祖国 【答案】D 【解析】 【分析】将所给的多项式先利用提取公因式法分解因式，再利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止，从而结合密码手册即可得出答案． 详解】解：， 而3对应的是我，对应的是国，对应的是祖，对应的是爱， 结果呈现的密码信息可能是我爱祖国， 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解—综合运用提公因式与公式法，先提取公因式，再利用平方差公式进行计算是解此题的关键． 9. 若分式的值为0，则x的取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得且，即可确定出x的值． 【详解】解：由题意得：， 则且， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 10. 新定义：若两个分式与的差为（为正整数），则称是的“分式”．例如：，则称分式是分式的“1分式”．根据以上定义，下列选项中说法错误的是（ ） A. 是的“3分式” B. 若的值为，则是的“2分式” C. 若是的“1分式”，则 D. 若与互为倒数，则是的“5分式” 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义运算逐个验证正确与否即可． 【详解】A、，A说法正确； B、，B说法正确； C、由已知条件得：，化简得：，C说法错误； D、由已知得：，，D说法正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了新定义运算，解题的关键是正确运用新定义的运算规则． 二．填空题（本大题共6小题，每小题填对得3分，共18分．只填写最后结果．） 11. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】先把各个分式的分子、分母因式分解，根据分式的除法法则、约分法则计算即可． 【详解】解： =2 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分式的化简，熟练掌握约分，灵活进行因式分解是解题的关键． 12. 长方形的长和宽分别为a，b，若长方形的周长为16，面积为12，则值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方形的周长与面积公式确定出与的值，原式分解后代入计算即可求出值． 【详解】解：∵长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为16，面积为12， ∴，， 整理得：，， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了提公因式法，完全平方公式的变形应用，熟练掌握因式分解的方法、正确变形是解本题的关键． 13. 若，则代数式的值为____________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，先把原式变形为，再把整体代入得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：1． 14. 函数中，自变量的取值范围是___． 【答案】且 【解析】 【分析】根据分式有意义条件：分母不为0以及二次根式有意义的条件：被开方数不小于0进行解答即可． 【详解】解：由题意得且，即且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件是解题的关键． 15. 若△ABC三边、、满足，则△ABC是___________三角形． 【答案】等腰 【解析】 【分析】等式左边因式分解后，利用两式相乘积为0，两因式中至少有一个为0即可确定a，b，c的关系，即可作出判断． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴△ABC是等腰三角形， 故答案为：等腰． 【点睛】本题考查因式分解的方法-分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 16. 已知，请计算_______．（用含x的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律与分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．首先把代入，利用x表示出，进而表示出、，即可得到循环关系，进而即可解答． 【详解】解：由题意可知， ， ， ， ∴y的值每3次一个循环． ∵， ∴． 故答案为：． 三．解答题（本大题共7小题，满分72分．解答时，要写出必要的文字说明或演算步骤） 17. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用．先提公因式，然后利用完全平方公式分解，再利用平方差公式继续分解即可解答． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】原方程无解. 【解析】 【分析】根据分式方程的解法去分母把方程化成整式方程即可求解. 【详解】1， 解： ， ， 经检验是方程的增根， ∴原方程无解； 【点睛】此题主要考查分式方程的求解，解题的关键是进行验根. 19. 简便计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，再计算即可； （2）先把前面两个数提取公因式，再计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查的是提公因式法进行简便运算，掌握提公因式的方法是解本题的关键． 20. 先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝﹣4． 【答案】 【解析】 【分析】先将能够分子分母因式分解，再根据分式的运算法则进行化简，最后将x的值带去即可． 详解】原式＝ ＝ ＝ 当x＝﹣4时， 原式＝＝﹣1． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练地掌握分式的运算法则将分式进行约分化简是解题的关键． 21. 先化简分式，再在-3＜x≤2中取一个合适的整数x，求出此时分式的值． 【答案】，当时，原式=8，当时，原式=0 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，根据分式有意义的条件取舍的值，并代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝ ∵ 当时，原式， 当时，原式 【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 22. 若定义一种运算：，如：． （1）计算：． （2）将（1）计算所得的多项式分解因式； （3）若，求（1）中计算所得的多项式的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算，整式混合运算，分解因式，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据定义，列式进行计算即可； （2）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式； （3）将整体代入求值即可． 【小问1详解】 解：由题意，得： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴． 23. 比较两个数的大小时，我们常常用到“作差法”： 如果，那么； 如果，那么； 如果，那么． （1）已知，且，，试用“作差法”比较、的大小，并说明理由； （2）对于正数，，，，如果，则、满足的关系是_____________． 【答案】（1）；理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的性质和分式的加减运算，正确理解题意是解题的关键． （1）把两个分式作差，判断得到分子、分母大于0，再比较大小即可； （2）等式通分，判断得到分母不为0，推出分子，由此即可得到结论． 【小问1详解】 解：， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵为正数， ∴分母不为0， ∴，． 故答案为：． 24. 利用整式乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： （1）用十字相乘法分解因式：； （2）用十字相乘法分解因式：； （3）结合本题知识，分解因式：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可． 【小问1详解】 解： ， ； 【小问2详解】 解： ， ； 【小问3详解】 解： ， ． 25. 八年级（1）班组织同学乘大巴车前往“韶山红色教育基地”开展爱国教育活动，基地离学校有120公里，队伍从学校出发，刘老师因有事情，推迟了半个小时从学校自驾小车以大巴1.5倍的速度追赶，追上大巴后继续前行，结果比队伍提前10分钟到达基地，问： （1）大巴与小车的平均速度各是多少？ （2）刘老师追上大巴的地点到基地的路程有多远？ 【答案】（1）大巴的平均速度为60公里/时，则小车的平均速度为90公里/时 （2）刘老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里 【解析】 【分析】（1）根据“大巴车行驶全程所需时间小车行驶全程所需时间小车晚出发的时间小车早到的时间”列分式方程求解可得； （2）根据“从学校到相遇点小车行驶所用时间小车晚出发时间大巴车从学校到相遇点所用时间”列方程求解可得． 【小问1详解】 解：设大巴的平均速度为x公里/时，则小车的平均速度为公里/时，根据题意，得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴（公里/时）， 答：大巴的平均速度为60公里/时，则小车的平均速度为90公里/时； 【小问2详解】 解：设刘老师赶上大巴的地点到基地的路程有y公里，根据题意得： ， 解得：， 答：刘老师追上大巴的地点到基地的路程有30公里． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系，并依据相等关系列出方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$