精品解析：天津市南仓中学2023-2024学年高一下学期4月期中检测数学试题

天津市南仓中学2023-2024学年高一下学期4月期中检测数学试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷两部分，共120分，考试用时100分钟.第I卷至1页，第II卷至2页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项: 1.每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，共36分. 一、选择题（每小题4分，共36分） 1 已知向量，，则 A. B. C. D. 2. 已知，，，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知为不共线向量，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 4. 已知平面向量与的夹角为，，，则（　　） A. B. C D. 5. (2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛 6. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 7. 如图，在正方体中，截去三棱锥，若剩余的几何体的表面积是，那么正方体的内切球的表面积和其外接球的体积分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 在中，角，，所对边分别为，，，若，，且点满足，则的值为（ ） A. 16 B. 8 C. D. 9. 如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，给出下列判断: ①直线与异面；②平面ABCD；③三棱锥的体积为定值；④的面积与的面积相等;⑤.其中判断正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第II卷 注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上. 2.本卷共11小题，共84分. 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 与向量反向的单位向量是______. 11. 已知a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，若，且则角A的大小为__________；若，的面积是__________. 12. 已知正的边长为4，那么的直观图的面积为 _____． 13. 侧棱长为3，底面边长为正四棱柱体积为_____；外接球表面积为______． 14. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量的坐标是______________． 15. 在平行四边形中，，则__________；点是线段上的一个动点，当最小时，__________． 三、解答题（每题12分，共60分） 16. 已知复数，且为纯虚数（是共轭复数）. （1）求实数的值； （2）设复数，求； （3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 17. 已知向量 （1）向量夹角的余弦值； （2）若向量与垂直，求实数k的值； （3）若向量，且与向量平行，求实数k的值. 18. 在中，角的对边分别为.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 19. 如图：在正方体中，为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为的中点，求证：平面平面. 20. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. （1）求角B的大小； （2）若，且，，求的面积； （3）如图，平面四边形ABCP中，，，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市南仓中学2023-2024学年高一下学期4月期中检测数学试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷两部分，共120分，考试用时100分钟.第I卷至1页，第II卷至2页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题纸上.答卷时，考生务必将答案涂写在答题纸上，答在试卷上的无效. 祝各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项: 1.每小题选出答案后，用铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，共36分. 一、选择题（每小题4分，共36分） 1. 已知向量，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因，所以=（5，7），故选A. 考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题. 2. 已知，，，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件利用两个向量垂直的性质、数量积的定义，求得向量与向量夹角的余弦值，可得向量与向量的夹角. 【详解】设向量与向量的夹角为. 故选：B 3. 已知为不共线向量，，则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】A 【解析】 【分析】运用向量的加法运算，求得，从而得出结论. 【详解】因为，所以三点共线， 故选：A． 4. 已知平面向量与的夹角为，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积公式及模长公式直接求解. 【详解】由，得， 又， 所以， 所以， 所以， 故选：B. 5. (2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式 6. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由已知条件可以得到然后分与两种情况，若可直接判断，若，则得到，结合正弦定理边化角即可判断. 【详解】由已知，得或，即或，由正弦定理得，即，即，∵，均为的内角，∴或，∴或，∴为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响． 7. 如图，在正方体中，截去三棱锥，若剩余的几何体的表面积是，那么正方体的内切球的表面积和其外接球的体积分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】设正方体棱长为，根据剩余几何体的表面积可求出再由正方体的内切球直径为1，外接球直径分别求出内切球的表面积和其外接球的体积即可. 【详解】设正方体棱长为,则剩余几何体的表面积为 所以 则正方体的内切球直径表面积， 正方体的外接球直径，体积， 故选：A. 8. 在中，角，，所对的边分别为，，，若，，且点满足，则的值为（ ） A. 16 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理及条件得到，，再利用向量数量积的运算，即可求出结果. 【详解】因为，所以点为中点，所以，因为，， 在中，由余弦定理得， 所以，， 又为底边上的高， 所以， ， 故选：C. 9. 如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，给出下列判断: ①直线与异面；②平面ABCD；③三棱锥的体积为定值；④的面积与的面积相等;⑤.其中判断正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】连接，利用异面直线的判定即可判断①；利用面面平行的性质可判断②；利用锥体的体积公式可判断③⑤；计算出、的面积，可判断④. 【详解】对①，连接，交于点，因为， 则四点共面，又因为，则平面与平面交于点， 显然平面，且未经过点，则直线与异面，故①正确； 命题①正确； 对②，因为平面平面，平面，则平面，命题②正确； 设，则为的中点，且，即点到平面的距离为， 因为平面，平面，则， 又因为且，故四边形为矩形， 故， 因此，，是定值，命题③正确； 连接、，取的中点，连接，易知是边长为的等边三角形， 所以，，且， 所以，，所以④错误； 因为平面，所以，点、到平面的距离相等， 因为，所以⑤正确； 综上，正确命题的序号为①②③⑤，有个． 故选：C． 第II卷 注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上. 2.本卷共11小题，共84分. 二、填空题（每小题4分，共24分） 10. 与向量反向的单位向量是______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据与反向单位向量为计算可得结果. 【详解】的反向的单位向量是， 故答案为：. 【点睛】本题考查了求单位向量，考查了向量的数乘运算，考查了向量的模长公式，属于基础题. 11. 已知a、b、c分别为三个内角A、B、C的对边，若，且则角A的大小为__________；若，的面积是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由可得等式，再根据正弦定理及余弦定理可得，再由余弦定理及三角形面积公式可求解. 【详解】由，有，化简得，即，从而可得； 当时，， 所以 故答案：； 12. 已知正的边长为4，那么的直观图的面积为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测法的原理进行求解即可. 【详解】如图所示： 在正中，显然， 因此在中，， 过作，垂足为， 因此， 所以的面积为， 故答案为： 13. 侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的体积为_____；外接球表面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由体积公式计算体积，根据正四棱柱的体对角线等于外接球的直径，利用勾股定理计算得到球的直径，进而利用球的表面积公式计算得到表面积. 【详解】如图所示，在已知正四棱柱中，连接. 根据正四棱柱的定义可得底面为正方形且底面， 所以. 该正四棱柱的体积为：; 外接球的直径, ∴外接球的表面积. 故答案为：24；. 14. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量的坐标是______________． 【答案】 【解析】 【分析】两边平方得，利用投影向量的公式求出答案. 【详解】两边平方得，， 即， 故向量在向量上的投影向量的坐标为. 故答案为： 15. 在平行四边形中，，则__________；点是线段上的一个动点，当最小时，__________． 【答案】 ①. ##120°## ②. ##0.5 【解析】 【分析】用和表示，根据即可求出；设，根据用λ表示，根据二次函数性质即可求出最小时λ的值，从而求出． 【详解】 ， ； 设，∵AD∥BC，∴∠ABC=60°， 则 ， ∴当时，取最小值，则． 故答案为：120°；． 三、解答题（每题12分，共60分） 16. 已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. （1）求实数的值； （2）设复数，求； （3）复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法化简复数，根据该复数为纯虚数可求得的值； （2）利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值； （3）利用复数的除法化简复数，利用复数的几何意义可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，则， 所以，为纯虚数， 所以，，解得. 【小问2详解】 解：， 因此，. 【小问3详解】 解：因为， 则， 因为复数在复平面内对应点位于第一象限，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 17. 已知向量 （1）向量夹角的余弦值； （2）若向量与垂直，求实数k的值； （3）若向量，且与向量平行，求实数k的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积以及模的坐标运算，计算即可得出答案； （2）求出向量与的坐标，根据向量垂直的坐标表示列出方程，求解即可得出答案； （3）求出向量与向量的坐标，根据向量共线的坐标表示列出方程，求解即可得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，，，， 所以，向量夹角的余弦值. 【小问2详解】 由已知可得，，. 又向量与垂直， 所以，，即， 解得. 【小问3详解】 由已知可得，. 又与向量平行，， 所以有， 整理可得，，解得. 18. 在中，角的对边分别为.已知. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦边角关系及余弦定理求值即可； （2）由同角三角函数关系及正弦定理求值即可； （3）应用二倍角公式求对应函数值，再由差角正弦公式求值即可. 【小问1详解】 由及正弦定理得：， ∴， 由余弦定理得. 【小问2详解】 由（1）知：， 由正弦定理，得. 【小问3详解】 由，且， ∵，即，∴， ∴. 19. 如图：在正方体中，为的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求证：平面； （3）若为的中点，求证：平面平面. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据锥体的体积公式计算即可； （2）根据线面平行的判定进行证明； （3）根据面面平行的的判定进行证明. 【小问1详解】 显然平面，于是. 【小问2详解】 设，连接， 在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面平面 平面； 【小问3详解】 为的中点，为的中点， ， 四边形为平行四边形，， 又平面平面平面， 由（2）知平面平面平面， 平面平面. 20. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. （1）求角B的大小； （2）若，且，，求的面积； （3）如图，平面四边形ABCP中，，，，动点E，F分别在线段BC，CP上运动，且，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角形的性质即可求解； （2）利用向量求出，利用余弦定理求出，代入面积公式求解即可； （3）建立平面直角坐标系，设出点的坐标，利用数量积的坐标运算表示，利用二次函数知识求出值域即可. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 所以，又，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为，且，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即，解得，或（舍）， 所以的面积； 【小问3详解】 以A为坐标原点，AP所在直线为x轴，垂直AP的直线为y轴建立平面直角坐标系， 则，，，由得， 因为，，，所以设，， 由得， 由得， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为， 当或时，取得最大值，最大值为， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$