精品解析：江苏省连云港高级中学2023-2024学年高二下学期第二次阶段性测试数学试卷

高二下第二次阶段性测试（数学试卷） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数定义域及其单调性可得，由绝对值不等式解法可得，再利用并集运算即可得出结果。 【详解】易知不等式的解集为，即可得； 由可得，即，所以； 所以. 故选：B 2. 已知，是两条不同的直线，是平面，且，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行、线线平行、线面垂直、线线垂直的条件逐一判断即可． 【详解】解：依题意，若，则可能， ∴ A错误； 若，则与可能相交、异面、平行， ∴ B错误； 若，则可能，，与相交， ∴ C错误； 由于， ∴平面内存在直线，满足， 若，则，则， ∴ D正确． 故选：D． 3. 在复平面内，复数对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数对应的点的坐标得到，利用复数除法法则计算出答案. 【详解】由题意可知，所以. 故选：C. 4. 在 的展开式中，的系数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】， 展开式的通项公式为， 令，则展开式中含的项的系数为； 令，则展开式中含的项的系数为， 所以展开式中含的项的系数为. 故选：A 5. 给出下列四个命题： ①若存在实数，使，则 与共面； ②若 与共面， 则存在实数， 使 ③若存在实数，使 ，则点共面； ④若点共面， 则存在实数， 使 其中（ ）是真命题． A. ②④ B. ①③ C. ①② D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理依次判断即可. 【详解】①：由共面向量定理知，故①正确； ②：共线，则不与共线， 则不存在实数x，y，使，故②错误； ③：共面向量定理知，故③正确； ④：共线，不与共线， 则不存在实数x，y，使，故④错误． 故选：B 6. 抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，，，则下列判断中错误的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把抛掷两枚硬币的情况均列举出来，利用古典概型的计算公式，把，，算出来，判断四个选项的正误. 【详解】两枚硬币，记为与，则抛掷两枚硬币，一共会出现的情况有四种，A正B正，A正B反，A反B正，A反B反，则，，，所以A错误，BCD正确 故选：A 7. 在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，°，则异面直线与直线所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义作出异面直线所成的角，然后在三角形中由余弦定理计算． 【详解】连接， 在平行六面体中，由与平行且相等得平行四边形，因此，∴是异面直线与直线所成角或其补角， 由已知，，， 由余弦定理得，， ， ∴． 故选：C． 8. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值. 【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式 设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r， 设四边形ABCD对角线夹角为， 则 （当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立） 即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为 又设四棱锥的高为，则， 当且仅当即时等号成立. 故选：C [方法二]：统一变量＋基本不等式 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高， (当且仅当，即时，等号成立) 所以该四棱锥的体积最大时，其高. 故选：C． [方法三]：利用导数求最值 由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则， ，，单调递增， ，，单调递减， 所以当时，最大，此时． 故选：C. 【点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解； 方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值； 方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法． 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在 AB，CD，EF，GH这四条线段中，则线段所在直线是异面直线是 （ ） A. 直线EF和直线CD B. 直线AB和直线HG C. 直线EF和直线HG D. 直线AB和直线CD 【答案】BCD 【解析】 【分析】将正方体还原，从而得到线段所在直线是否为异面直线. 【详解】还原为正方形，如下： A选项，直线EF和直线CD平行，不是异面直线，A错误； B选项，直线AB和直线HG是异面直线，B正确； C选项，直线EF和直线HG是异面直线，C正确； D选项，直线AB和直线CD是异面直线，D正确. 故选：BCD 10. 已知在正四面体中，、、、分别是棱，，，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 、、、四点共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】把正四面体放到正方体里，对于A项根据线面平行的判定定理证明 对于B项，从正方体的角度上看易得 对于D项，证明四边形是平行四边形可验证 对于C项，反证法证明，矛盾点是与的夹角. 【详解】把正四面体放到正方体里，画图为： 对于A项，、分别为，的中点， 又平面且平面 平面，故A正确 对于B项，从正方体的角度上看易得，故B正确. 对于D项，、、、分别是棱，，，的中点 且 且 所以 所以四边形是平行四边形，故、、、四点共面，所以D正确. 对于C项，若平面成立，即平面 又因为平面 所以 又因为、分别为，的中点， 所以 所以 而为等边三角形，与矛盾，所以C不正确. 故选：ABD 11. 一盒中有7个乒乓球．其中5个未使用过，2个已使用过，现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是（ ） A. X的所有可能取值是 B. X最有可能的取值是5 C. X等于3的概率为 D. X的数学期望是 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，由数学期望的计算公式求出E(X)，由此判断四个选项即可. 【详解】记未使用过的乒乓球为A，已使用过的为B， 任取3个球的所有可能是：1A2B，2A1B，3A； A使用后成为B，故X的所有可能取值是3，4，5； ， ， ， 所以X最有可能的取值是4； . 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15 分． 12. 如图，用X，Y，Z三种不同元件连接成系统S，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响．当元件X正常工作且 Y，Z 中至少有一个正常工作时，系统S正常工作． 已知元件 X， Y， Z 正常工作的概率分别为0.85， 0.9， 0.95， 则系统S正常工作的概率___________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】系统S正常工作的概率为. 故答案为： 13. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】##． 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 14. 在棱长为3的正方体中，已知点P为棱上靠近点的三等分点，点Q为棱CD上一动点.若M为平面与平面ABCD的公共点，且点M在正方体的表面上，则所有满足条件的点M构成的区域面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及基本事实1中的推理2和基本事实3得到点M的区域，利用三角形相似及梯形的面积公式即可求解. 【详解】延长DA，交于点N，连接NQ交AB于点E， 则线段EQ为平面与平面ABCD的公共点M的集合， 当Q运动到点D时，E与A重合；当Q运动到点C时， 设此时E点运动到F点，则梯形FADC即为点M构成的区域， 因为∽，所以， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共 77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数， （1）求函数f(x)的单调区间； （2）求函数f(x)在区间上的最大值． 【答案】（1）是的单调增区间，是的单调减区间； （2）. 【解析】 【分析】（1）先求导函数，再根据导函数的正负求出单调区间即可； （2）分两种情况，结合函数单调性求出最大值即得. 【小问1详解】 因为，所以， 单调递增； 单调递减. 是的单调增区间，是的单调减区间； 【小问2详解】 因为，是的单调增区间，是的单调减区间； 当时,是单调增区间,； 当时,是单调增区间,是单调减区间，； . 16. 已知等差数列中，，，设是等差数列的前n项和，若数列满足 （1）求数列，通项； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程求得，得到，再求得，得到，即可求解； （2）由（1）知，利用乘公比错位法求和，即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为，因为，， 可得，解得，所以， 所以，则. 【小问2详解】 解：由（1）知， 可得， 则， 两式相减得 ， 所以. 17. 设甲袋有3个白球和2个红球，乙袋有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球， （1）求从乙袋中取出的是2个红球的概率； （2）用X表示“从乙袋中取到的红球个数”，求随机变量X的概率分布列和期望． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式可求从乙袋中取出的是2个红球的概率； （2）根据全概率公式可求随机变量X的概率分布列，从而可求期望. 【小问1详解】 设为“从甲袋中取出两个白球”，为“从甲袋中取出一红一白”， 为“从甲袋中取出两个红球”，为“从乙袋中取出两个红球”， 则 . 【小问2详解】 由题设可得可取 则， ， 由（1）可得， 综上，的分布列为： 故. 18. 点，是椭圆上的两点，过原点的直线交椭圆于两点，其中点在第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，连接并延长，交椭圆于另一点 ， （1）求椭圆的标准方程； （2）求证 为定值． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分类讨论当椭圆的焦点在、时，设椭圆方程，将点的坐标代入建立方程组，解之即可求解； （2）设，根据两点表示直线斜率公式可得，结合即可求解. 【小问1详解】 当椭圆的焦点在轴时，设椭圆的方程为， 则，解得，所以椭圆的方程为； 当椭圆的焦点在轴时，设椭圆的方程为， 则，解得，所以椭圆的方程为，不符合题意. 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设，则， 可得·. 又，所以，从而，为定值 19. 一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成角的平面所截(如图)，为底面圆的中心，为截面的中心，为截面上距离底面最小的点，到圆柱底面的距离为1，为截面图形弧上的一点，且. （1）过点作一个平面圆(为截面圆的圆心)使得跟底面圆平行，作出平面 和平面圆的交线(并说明理由) ； （2）证明：交线垂直于面； （3）在线段是否存在一点(包括端点)，使得二面角为直角， 如存在求出点的位置，如果不存在请说明理由． 【答案】（1） 如图，过作圆，使得平面圆平行于底面， 过作平行于圆柱的母线，交圆于点，连接， 分别延长，两延长线交于点，连接， 则所在的直线即为平面和平面圆的交线. 证明如下： 因为平面平面，平面即为平面，平面即为平面圆， 所以平面平面圆， 即所在的直线为平面和平面圆的交线. （2） 如图，底面半径为1，截面与底面所成的角为， 作于，则， 所以截面椭圆是以为中心，A为长轴端点的椭圆，其长轴为，短轴为2， 在椭圆所在截面内，以为原点，的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系， 则椭圆方程为. 作于，又，直线的方程为， 设，而在椭圆上，则， 解得，即，所以， 过作， 则，， 由都平行于底面，得平面平行于底面，所以到底面的距离为. 得，又，所以，得， 所以，则， 又， 在中，，有，所以， 在中，，所以， 又平面， 所以平面，而平面即为平面， 所以平面. （3）存在，与重合时满足题意 【解析】 【分析】（1）延长交于点，连接，则所在的直线即为所求的； （2）求出点的坐标，进而求得，利用勾股定理证明和，根据线面垂直的判定定理即可证明； （3）建立如图空间直角坐标系，设，由（2）求出点的坐标,分别求出平面、平面的法向量，结合求出a，即可下结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，，由，解得， 在中，，所以， 建立如图空间直角坐标系，设， 则， 所以， 设平面、平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 又平面平面，所以， 即，解得，此时与重合， 所以在线段存在一点(包括端点)，使得二面角为直角. 【点睛】关键点睛：本题第二问关键在于利截面椭圆方程和直线方程确定点B的位置，结合相似三角形求，利用余弦定理求，然后可利用勾股定理和线面垂直判定定理证明；对于第三问的关键在于结合第二问确定点B坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下第二次阶段性测试（数学试卷） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，是两条不同的直线，是平面，且，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 在复平面内，复数对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 4. 在 的展开式中，的系数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 给出下列四个命题： ①若存在实数，使，则 与共面； ②若 与共面， 则存在实数， 使 ③若存在实数，使 ，则点共面； ④若点共面， 则存在实数， 使 其中（ ）是真命题． A. ②④ B. ①③ C. ①② D. ③④ 6. 抛掷两枚硬币，若记出现“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率分别为，，，则下列判断中错误的是（ ）. A. B. C. D. 7. 在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，°，则异面直线与直线所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在 AB，CD，EF，GH这四条线段中，则线段所在直线是异面直线是 （ ） A. 直线EF和直线CD B. 直线AB和直线HG C. 直线EF和直线HG D. 直线AB和直线CD 10. 已知在正四面体中，、、、分别是棱，，，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 、、、四点共面 11. 一盒中有7个乒乓球．其中5个未使用过，2个已使用过，现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是（ ） A. X的所有可能取值是 B. X最有可能的取值是5 C. X等于3的概率为 D. X的数学期望是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共 15 分． 12. 如图，用X，Y，Z三种不同元件连接成系统S，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响．当元件X正常工作且 Y，Z 中至少有一个正常工作时，系统S正常工作． 已知元件 X， Y， Z 正常工作的概率分别为0.85， 0.9， 0.95， 则系统S正常工作的概率___________________． 13. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 14. 在棱长为3的正方体中，已知点P为棱上靠近点的三等分点，点Q为棱CD上一动点.若M为平面与平面ABCD的公共点，且点M在正方体的表面上，则所有满足条件的点M构成的区域面积为___________. 四、解答题：本大题共5小题，共 77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数， （1）求函数f(x)的单调区间； （2）求函数f(x)在区间上的最大值． 16. 已知等差数列中，，，设是等差数列的前n项和，若数列满足 （1）求数列，通项； （2）求数列的前n项和． 17. 设甲袋有3个白球和2个红球，乙袋有2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球， （1）求从乙袋中取出的是2个红球的概率； （2）用X表示“从乙袋中取到的红球个数”，求随机变量X的概率分布列和期望． 18. 点，是椭圆上的两点，过原点的直线交椭圆于两点，其中点在第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，连接并延长，交椭圆于另一点 ， （1）求椭圆的标准方程； （2）求证 为定值． 19. 一底面半径为1的圆柱，被一个与底面成角的平面所截(如图)，为底面圆的中心，为截面的中心，为截面上距离底面最小的点，到圆柱底面的距离为1，为截面图形弧上的一点，且. （1）过点作一个平面圆(为截面圆的圆心)使得跟底面圆平行，作出平面 和平面圆的交线(并说明理由) ； （2）证明：交线垂直于面； （3）在线段是否存在一点(包括端点)，使得二面角为直角， 如存在求出点的位置，如果不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $