精品解析：2024年广东省汕头市澄海实验学校中考二模数学试题

2024年广东省汕头市澄海实验学校中考数学二检试卷 一、选择题(每小题3分．共30分) 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数的减法，解题的关键是掌握有理数的减法计算法则．减去一个数等于加上它的相反数． 2. 由8个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，中间没有，右边1个小正方形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图的知识，要求同学们掌握主视图是从物体的正面看得到的视图． 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键． 4. 如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据第三象限点的特征，横纵坐标都为负，列出一元一次不等式组，进而即可求解． 【详解】解：∵点P（m，1+2m）在第三象限内， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 故选D． 【点睛】本题考查了第三象限的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键． 5. 正多边形的每个内角为，则它的边数是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72°，再用外角和360°除以72°，计算即可得解． 【详解】解：∵正多边形的每个内角等于108°， ∴每一个外角的度数为180°-108°=72°， ∴边数=360°÷72°=5， 故选D． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求边数更简便． 6. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再结合三角板的特征利用平角定义即可算出的度数． 【详解】解：如下图进行标注， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了平行线性质，三角形平角的定义，利用三角板的特点求出结果是解答本题的关键． 7. 某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：，，9.6，，.关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是 【答案】A 【解析】 【分析】先把5个数据按从小到大的顺序排列，而后用中位数，众数，平均数和方差的定义及计算方法逐一判断． 【详解】解：5个数按从小到大的顺序排列，，，9.6，， A、出现次数最多，众数是，故正确，符合题意； B、中位数是，故不正确，不符合题意； C、平均数是，故不正确，不符合题意； D、方差是，故不正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中位数，众数，平均数和方差，熟练掌握这些定义及计算方法是解决此类问题的关键． 8. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，，且， 解得，，且. 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 9. 如图，在正方体中，的正切值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、正切的定义，由题意得，，设，则，再由正切的定义计算即可得解． 【详解】解：由题意得：，， 设，则， ∴， 故选：A． 10. 如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明△BFC≌△CDE，可得DE=CF=2，再用勾股定理求得CE=，从而可得AD=BC=，最后求得AE的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD，∠ABC=∠D=90°，AD∥BC， ∴∠DEC=∠FCB， ∵， ∴∠BFC=∠CDE， ∵把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处， ∴BC=EC， 在△BFC与△CDE中， ∴△BFC≌△CDE（AAS）， ∴DE=CF=2， ∴， ∴AD=BC=CE=， ∴AE=AD-DE=， 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、折叠的性质，勾股定理的应用，解决本题的关键是熟练掌握矩形中的折叠问题． 二、填空题(每小题3分．共15分) 11. 据报道，2023年我国新能源汽车发展优势不断巩固和扩大，一季度全国新能源汽车销量为159万辆，同比增长．将1590000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：将1590000用科学记数法表示为． 故答案为： 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 12. 把多项式分解因式的结果是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握平方差公式是解题关键．先提公因式，根据平方差公式因式分解即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，在正方形网格中，的顶点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则_________． 【答案】##0.8 【解析】 【分析】如图所示，过点C作CE⊥AB于E，先求出CE，AE的长，从而利用勾股定理求出AC的长，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作CE⊥AB于E， 由题意得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求正弦值，勾股定理与网格问题正确作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 14. 如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为_________．（结果不取近似值） 【答案】 【解析】 【分析】连接BD交AC于点G，证明△ABD是等边三角形，可得BD＝2，然后根据菱形的性质及勾股定理求出AC，再由S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF得出答案． 【详解】解：连接BD交AC于点G， ∵四边形是菱形， ∴AB＝AD＝2，AC⊥BD， ∵， ∴△ABD是等边三角形，∠DAC＝∠BCA＝30°， ∴BD＝2， ∴BG＝， ∴， ∴AC＝， ∴S阴影＝S菱形ABCD－S扇形ADE－S扇形CBF＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式等，在求阴影部分面积时，能够将求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积是解题的关键． 15. 如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________． 【答案】． 【解析】 【分析】首先证明，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧．连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值． 【详解】如图所示，∵边长为6的等边， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧 此时 连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值 ∵，， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴， ∴ 即 故答案为： 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识．关键是学会添加辅助线，该题综合性较强． 三、解答题一（每小题5分，共10分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】代入特殊角三角函数值，利用负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质化简，然后计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，牢记特殊角三角函数值，熟练掌握负整数指数幂，绝对值和二次根式的性质是解题的关键． 17. 如图，中，，． （1）尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，直接写出的面积为：  ． 【答案】（1） 如图，角平分线即为所作， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据角平分线的作法即可完成作图； （2）作于，由角平分线的性质定理得出，再由三角形面积公式计算即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，作于， ， ∵平分，， ∴， ∴． 四、解答题二（每小题7分，共21分） 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元． （1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元； （2）该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？ 【答案】（1）每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元 （2）5 【解析】 【分析】（1）设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据“购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元．”列出方程组，即可求解； （2）设购买m个篮球，则购买排球（10-m）根据“总费用不超过1100元，”列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设每个篮球的价格是x元，每个排球的价格是y元，根据题意得： ，解得：， 答：每个篮球的价格是120元，每个排球的价格是100元； 【小问2详解】 解：设购买m个篮球，则购买排球（10-m）根据题意得： 120m+100（10-m）≤1100， 解得m≤5， 答：最多可以购买5个篮球． 【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是读憧题意，列出方程组和不等式． 20. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； （3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 【答案】（1） 补全统计图如图所示， （2）；． （3） 【解析】 【分析】（1）根据的人数除以占比得到总人数，进而求得的人数，补全统计图即可求解； （2）根据的占比乘以得到圆心角的度数，根据乘以选择的人数的占比即可求解； （3）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为（人） ∴选择大学的人数为． 【小问2详解】 在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为， 选择A大学的大约有（人） 故答案为：；． 【小问3详解】 列表如下， 甲 乙 共有9种等可能结果，其中有3种符合题意， ∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 五、解答题三(每小题8分．共24分) 21. 综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.折一折：把边长为6的正三角形纸片，其沿直线折叠，使点A落在点处，分别得到图①、图②. 填一填，做一做： （1）图①中阴影部分的周长为 . （2）图①中， 若， 则 °. （3）图①中的相似三角形(包括全等三角形)共有 对； （4）如图②， 点落在边上， 若，则 【答案】（1）18 （2）40 （3）4 （4） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质得出，，得出图①中阴影部分的周长的周长； （2）由折叠的性质得出，，求出，得出，即可得出结果； （3）证明，，即可得出结论； （6）设，则，证明，得出，设，，则，，得出，解得，得出． 【小问1详解】 将图①中的沿直线折叠，使点落在点处， ，， 图①中阴影部分的周长的周长； 故答案为：18； 【小问2详解】 解：将图①中的沿直线折叠，使点落在点处， ，， ， ， ， ； 故答案为：40； 【小问3详解】 解：如图， ∵将图①中的沿直线折叠，使点落在点处， ，，， ，， 图①中的相似三角形（包括全等三角形）共有4对， 故答案为：4； 【小问4详解】 解：， 设，则， ， ， ， ∴ ， 设，，则，， ， 解得：， ； 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、折叠变换的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键． 22. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接，如图所示： 是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． （1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 设，则，， ，即， 解得或（舍去）， ． 23. 如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点，连接． （1）求反比例函数的解析式，并直接写出的面积：  ； （2）动直线从原点向右平移，交直线、反比例函数分别于，若以为顶点的四边形是平行四边形，求值． 【答案】（1）， （2）值为或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出、的坐标，得出，再根据即可得出面积，将代入反比例函数解析式得：，求出的值即可得出反比例函数解析式； （2）由（1）可得：，由题意可得，，分两种情况：当直线在点的左侧时，即，此时点在的上方，平行四边形为；当直线在点的右侧时，即，此时点在的上方，平行四边形为；分别利用平行四边形的性质，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：在中，当时，，故， ∴， 当时，，故， ∴ 将代入反比例函数解析式得：， 解得：， ∴反比例函数解析式为， 【小问2详解】 解：由（1）可得：， ∵动直线从原点向右平移，交直线、反比例函数分别于， ∴，， 当直线在点的左侧时，即，此时点在的上方，平行四边形为，则， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） 当直线在点的右侧时，即，此时点在的上方，平行四边形为，则， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） 综上所述，值为或． 六、解答题四(每小题10分，共20分) 24. 下面图片是八年级教科书中的一道题． 如图，四边形是正方形，点是边边上一点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：在上取点，使，连接．） （1）请你思考题中“提示”，并进行证明； （2）如图1，连接、交于，判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）若正方形的边长为4，交于，直接写出的最小值： ． 【答案】（1） 证明：在上取点G，使，连接． ， ， ， ， ， ， 为正方形外角平分线， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， 理由如下： 连接，如图所示： 由（1）得，， 为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四点共圆， ∴，则， ，， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件证明，从而证明； （2）作辅助线，连接，证明，从而判断与的数量关系； （3）作的外接圆，作于点，设的半径为，由，据此可得的最小值为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接与相交于点， ∵正方形的边长为4， ∴， 作的外接圆，连接，作于点，由（2）得，∴，， 设的半径为， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，圆的相关知识以及解直角三角形等知识，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 25. 如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标． 【答案】（1）；A（-1，0）； （2）存在E（0，2）或（0，-1），使得是以为斜边的直角三角形； （3）2或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）先根据中点坐标公式可得点，设点E（0，m），再根据两点坐标公式可得，，，再由勾股定理，即可求解； （3）先求出，再求出直线BC的解析式，然后设点，则，CF=a，可得，再分三种情况讨论：若∠PCM=2∠OBC，过点C作CFx轴交PM于点F；若∠PMC=2∠OBC；若∠CPM=2∠OBC，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC，即可求解． 【小问1详解】 解：把点和点代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， 令y=0，则， 解得：， ∴点A（-1，0）； 【小问2详解】 解：存在，理由如下： ∵点A（-1，0），点，点是线段的中点， ∴点， 设点E（0，m）， ∴， ， ， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， 整理得：， 解得：或-1， ∴点E的坐标为（0，2）或（0，-1）； 【小问3详解】 解：∵点B（4，0），C（0，2）， ∴OB=4，OC=2， ∴， 设直线BC的解析式为， 把点B（4，0），C（0，2）代入得： ，解得：， ∴直线BC的解析式为， 设点，则，CF=a， ∴， 若∠PCM=2∠OBC，过点C作CFx轴交PM于点F，如图甲所示， ∴∠FCM=∠OBC，即， ∴∠PCF=∠FCM， ∵轴， ∴CF⊥PQ， ∴PM=2FM， ∴， ∴，解得：解得：a=2或0（舍去）， ∴点P的横坐标为2； 若∠PMC=2∠OBC， ∵∠PMC=∠BMN， ∴∠BMN=2∠OBC， ∵∠OBC+∠BMN=90°， ∴∠OBC=30°，与相矛盾，不合题意，舍去； 若∠CPM=2∠OBC，如图乙所示，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC， ∵∠PMG=∠BMN， ∴△PMG∽△BMN， ∴∠PGM=∠BNM=90°， ∴∠PGC=90°， ∵PG平分∠CPM，即∠MPG=∠CPG， ∴∠PCM=∠PMC， ∴PC=PM， ∴， 解得：或0（舍去）， ∴点P的横坐标为； 综上所述，点P的横坐标为2或． 　 图甲 图乙 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的综合题，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年广东省汕头市澄海实验学校中考数学二检试卷 一、选择题(每小题3分．共30分) 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 3 2. 由8个相同的立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( ) A. B. C. D. 5. 正多边形的每个内角为，则它的边数是（ ） A. 4 B. 6 C. 7 D. 5 6. 如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 某县“三独”比赛独唱项目中，5名同学的得分分别是：，，9.6，，.关于这组数据，下列说法正确的是（ ） A. 众数是 B. 中位数是 C. 平均数是 D. 方差是 8. 若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，在正方体中，的正切值为（ ） A. B. C. 1 D. 10. 如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(每小题3分．共15分) 11. 据报道，2023年我国新能源汽车发展优势不断巩固和扩大，一季度全国新能源汽车销量为159万辆，同比增长．将1590000用科学记数法表示为______． 12. 把多项式分解因式的结果是______________． 13. 如图，在正方形网格中，的顶点、、都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则_________． 14. 如图，菱形中，分别以点，为圆心，，长为半径画弧，分别交对角线于点，．若，，则图中阴影部分的面积为_________．（结果不取近似值） 15. 如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________． 三、解答题一（每小题5分，共10分） 16. 计算：． 17. 如图，中，，． （1）尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，直接写出的面积为：  ． 四、解答题二（每小题7分，共21分） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某中学要为体育社团购买一些篮球和排球，若购买3个篮球和2个排球，共需560元；若购买2个篮球和4个排球，共需640元． （1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元； （2）该中学决定购买篮球和排球共10个，总费用不超过1100元，那么最多可以购买多少个篮球？ 20. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； （3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 五、解答题三(每小题8分．共24分) 21. 综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.折一折：把边长为6的正三角形纸片，其沿直线折叠，使点A落在点处，分别得到图①、图②. 填一填，做一做： （1）图①中阴影部分的周长为 . （2）图①中， 若， 则 °. （3）图①中的相似三角形(包括全等三角形)共有 对； （4）如图②， 点落在边上， 若，则 22. 如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 如图，直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点，与轴交于点，连接． （1）求反比例函数的解析式，并直接写出的面积：  ； （2）动直线从原点向右平移，交直线、反比例函数分别于，若以为顶点的四边形是平行四边形，求值． 六、解答题四(每小题10分，共20分) 24. 下面图片是八年级教科书中的一道题． 如图，四边形是正方形，点是边边上一点，，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：在上取点，使，连接．） （1）请你思考题中“提示”，并进行证明； （2）如图1，连接、交于，判断与的数量关系，并证明你的结论； （3）若正方形的边长为4，交于，直接写出的最小值： ． 25. 如图，抛物线经过点和点，与轴的另一个交点为，连接、． （1）求抛物线的解析式及点的坐标； （2）如图1，若点是线段的中点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点是第一象限内抛物线上的动点，过点作轴，分别交、轴于点、，当中有某个角的度数等于度数的2倍时，请求出满足条件的点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $