精品解析：甘肃省庆阳市宁县第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

高二下学期中考数学试卷 注意事项： 注意事项： 1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题(每小题5分，共40分） 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 2. 若，则可导函数在处的导数为（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 若曲线在点处的切线方程是，则（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 4. 曲线在处的切线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，则（ ） A. -6 B. -3 C. 3 D. 6 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 8. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9. 下列函数求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数有两个极值点，且，则（ ） A. B. C. D. 的图象关于点中心对称 11. 下列关于空间向量的命题中，不正确的是（ ） A. 长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B. 平行且模相等的两个向量是相等向量 C. 若，则 D. 两个向量相等，则它们的起点与终点相同 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 经过两点的直线的方向向量为，求k的值为__________． 13. 已知点，直线l过点，且l的一个方向向量为则点P到直线l的距离为_____. 14. 如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于__________. 四、解答题（满分77分） 15. 已知向量，向量， （1）求向量，，的坐标； （2）求与所成角的余弦值. 16. 已知点，求： （1）点A在平面、x轴上的投影点的坐标； （2）求点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标. 17. 在长方体中，已知，连接，如图，建立空间直角坐标系． （1）求与的坐标； （2）求向量在平面上的投影向量的坐标． 18. 如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点， （1）求证：CF∥平面A1DE； （2）求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值． 19. 在三棱锥中，两两垂直，且为的重心. （1）求点P到的重心G的距离； （2）求直线PG与平面ABC所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下学期中考数学试卷 注意事项： 注意事项： 1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题(每小题5分，共40分） 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均变化率的计算即可求解. 【详解】在区间上的平均变化率为， 故选：A 2. 若，则可导函数在处的导数为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知可得出，然后根据导数的概念，即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，. 根据导数的概念可知，在处的导数. 故选：A. 3. 若曲线在点处的切线方程是，则（ ）． A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数在点处的切线斜率即可得出的值. 【详解】由题意， 在中，， 在点处，， ∵在点处的切线方程是， ∴在点处的斜率为， ∴，解得：， 故选：C. 4. 曲线在处的切线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导得切线的斜率，由点斜式即可求解直线方程. 【详解】，所以，因此切线的斜率为， 又，由点斜式可得切线方程为， 故选：B 5. 设函数，则（ ） A. -6 B. -3 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】 根据瞬时变化率的求解方法求解即可. 【详解】解：根据导数的定义： ， 故选：C. 【点睛】本题考查函数的瞬时变化率的求解问题，是基础题. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件，结合导数的求导法则，即可求解． 【详解】， 则． 故选：D 7. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】求得，令，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，可得，解得. 故选：A. 8. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本函数的导数公式进行求解即可. 【详解】根据导数公式可知选项A、B、D是正确的； 对于C，，故C错误. 故选：C. 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 9. 下列函数求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式判断各项的正误. 【详解】A：，错误； B：，正确； C：，正确； D：，正确． 故选：BCD 10. 已知函数有两个极值点，且，则（ ） A. B. C. D. 的图象关于点中心对称 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数由有两个极值点可得导函数有2个不同的零点即可判断A,B，根据导函数讨论函数的单调性可判断C,根据奇函数与的关系判断D. 【详解】由题可得有两个不相等的实数根， 所以，所以，A错误； 根据题意为的两个根，所以，B正确； 因为，且为的两个根， 所以由得或， 由得， 所以函数在单调递增，单调递减，单调递增， 所以成立，C正确； 因为为奇函数，所以关于对称， 所以关于对称，D正确， 故选:BCD. 11. 下列关于空间向量的命题中，不正确的是（ ） A. 长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B. 平行且模相等的两个向量是相等向量 C. 若，则 D. 两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相等向量的有关概念判断． 【详解】对于选项A：由相等向量的定义知A正确； 对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错； 对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错； 对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错， 故选：BCD． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 经过两点的直线的方向向量为，求k的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】求出，由直线方向向量定义和向量平行得到方程，求出k的值. 【详解】， 由与平行可得，解得. 故答案为：2 13. 已知点，直线l过点，且l的一个方向向量为则点P到直线l的距离为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间中点到直线的距离公式计算 【详解】易知，所以点P到直线l的距离为. 故答案为： 14. 如图，在三棱锥中，是的中点，若，则等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由图可得 . 故答案为：. 四、解答题（满分77分） 15. 已知向量，向量， （1）求向量，，的坐标； （2）求与所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量垂直、平行的条件即可求解； （2）利用向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 因为向量，所以，解得：，， 则，， 又因为，则，解得， 所以 【小问2详解】 由（1）知， 所以，， 则，，， 即与所成角的余弦值 16. 已知点，求： （1）点A在平面、x轴上的投影点的坐标； （2）求点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标. 【答案】（1），. （2），，. 【解析】 【分析】（1）根据空间点的投影特点即可得到坐标； （2）根据空间点关于面、线和点对称的特点即可得到坐标. 【小问1详解】 点A在平面、x轴上的投影点的坐标分别为，. 【小问2详解】 点A关于平面、x轴、原点的对称点的坐标分别为，，. 17. 在长方体中，已知，连接，如图，建立空间直角坐标系． （1）求与的坐标； （2）求向量在平面上的投影向量的坐标． 【答案】（1）；； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的空间直角坐标系，求出点的坐标，再利用向量的坐标表示作答. （2）根据长方体的结构特征，求出线段在平面上射影即可求解作答. 【小问1详解】 在长方体中，已知， 依题意，， 所以，. 【小问2详解】 在长方体中，平面，连接AC，因此线段是线段在平面上射影，如图， 即向量在平面上的投影向量为，而，， 所以向量在平面上的投影向量的坐标为. 18. 如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点， （1）求证：CF∥平面A1DE； （2）求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值． 【答案】 （1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2）， 则， 设平面A1DE的法向量是 则，取， ∴ 所以CF∥平面A1DE． （2） 【解析】 【分析】（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CF∥平面A1DE． （2）求出平面A1DE的法向量和平面A1DA的法向量，利用向量法能求出平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值． 【详解】证明：（1）略 解：（2）是面A1DA的法向量， ∴ 即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为． 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 19. 在三棱锥中，两两垂直，且为的重心. （1）求点P到的重心G的距离； （2）求直线PG与平面ABC所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，根据重心坐标公式即可得的坐标，再利用空间两点距离公式即可； （2）求出平面ABC的法向量，再利用线面夹角的正弦值得向量求法即可. 【小问1详解】 以P为坐标原点，PA，PB，PC所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，且， 则， 所以的重心G的坐标为， 所以点P到的重心G的距离为. 【小问2详解】 由（1）得， 设平面ABC的法向量为，则， 即，令，则. 设直线PG与平面ABC所成的角为，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $