精品解析：山东省泰安市泰山国际学校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题

山东省泰安市泰山国际学校2023-2024学年高一下学期期中联考 数学试题 2024.4 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题 1. 已知等边三角形的边长为1，设，，，那么（ ） A. 3 B. C. D. 2. 若，与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 若向量满足：，且，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 5. 已知的内角A，B，C的对边的长分别为a，b，c，且，向量．若，则角C的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C 第三象限 D. 第四象限 7. 三棱柱中，，，，，侧棱长为，则其侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 不共面的三条定直线，，互相平行，点A在上，点B在上，C、D两点在上，若CD(定值)，则三棱锥A－BCD的体积 A. 由Ａ点的变化而变化 B. 由B点的变化而变化 C. 有最大值，无最小值 D. 为定值 二、多项选择题 9. [多选题]下列命题是真命题的是（ ）． A. 若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量 B. 若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量 C. 若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 D. 若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上 10. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ） A. 球与圆柱的体积之比为 B. 四面体CDEF的体积的取值范围为 C. 平面DEF截得球的截面面积最小值为 D. 若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 11. 已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. z模等于13 B. z在复平面内对应的点位于第四象限 C. z的共轭复数为 D. 若是纯虚数，则 三、填空题 12. 在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为zO=0,zA=2+i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,则实数a-b为________. 13. 向量的夹角为，定义运算“”:，若，，则的值为__________. 14. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有__________斛.（精确到个位） 四、解答题 15. 如图，在三棱柱中，平面，，，. （1）过的截面交于点，若为等边三角形，求出点的位置； （2）在（1）条件下，求四棱锥与三棱柱的体积比. 16. 在中，内角所对的边分别为，，，已知． （1）求角大小； （2）若，，求的值； （3）若，判断的形状． 17. 已知平面向量，的夹角为，且，，． （1）当时，求； （2）当时，求的值． 18. 已知复数，i虚数单位． （1）当z是纯虚数时，求m值； （2）当时，求z的模． 19. 已知的内角的对边分别为，且， （1）若点在边上，且，求的面积； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 山东省泰安市泰山国际学校2023-2024学年高一下学期期中联考 数学试题 2024.4 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题 1. 已知等边三角形的边长为1，设，，，那么（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合等边三角形的特点和向量的夹角公式计算即可． 【详解】在等边三角形中， 有． 故选：D． 2. 若，与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义求解. 【详解】，与的夹角为， 所以. 故选：C 3. 已知直角梯形是边上的一点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】法一：设（），把与表示为与的线性关系，把表示成关于的解析式，求解出取值范围；法二：建立坐标系，写出各点的坐标，进而求出的范围 【详解】法一：因为在上，不妨设， 则（其中） 所以 ， 因为，所以 法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则，，，，其中∠ABC=45°，设点， 其中，， ∴ ∵ ∴ 故选：D. 4. 若向量满足：，且，则的最小值为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量数量积的运算，结合图形以及平面向量的线性运算求解即可. 【详解】设，，，为，的中点， 则，，，， 因为，，所以，， 则， 因为是直角三角形，所以，（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半） 所以， 因为，当且仅当在以为圆心，1为半径的圆上或圆内，且在线段上时取等号，如下图示， 所以， 所以的最小值为2. 故选：B. 5. 已知的内角A，B，C的对边的长分别为a，b，c，且，向量．若，则角C的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，再由，得，从而由的值求出角C的大小. 【详解】因为．所以．即， 因为， 所以，所以 所以由余弦定理得， 因为 所以． 故选：B 6. 复数满足，其中为虚数单位，则在复平面上复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算律求出复数，再求出对应的点即可. 【详解】， 故在复平面内对应的点的坐标为位于第四象限． 故选:D. 7. 三棱柱中，，，，，侧棱长为，则其侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由题中条件，得到侧面和侧面为一般的平行四边形，侧面为矩形，根据题中数据，分别计算三个侧面的面积，即可求出结果. 【详解】如图，由已知条件可知，侧面和侧面为一般的平行四边形，侧面为矩形. 在中，，， ∴，∴. ∵，， ∴点到直线的距离为. ∴. ∴. 故选C 【点睛】本题主要考查棱柱的侧面积，熟记棱柱结构特征以及侧面积公式即可，属于常考题型. 8. 不共面的三条定直线，，互相平行，点A在上，点B在上，C、D两点在上，若CD(定值)，则三棱锥A－BCD的体积 A. 由Ａ点的变化而变化 B. 由B点的变化而变化 C. 有最大值，无最小值 D. 为定值 【答案】D 【解析】 【详解】分析：由三条平行直线是固定的，推出三角形的面积固定，三棱锥顶点到底面的距离是固定的，说明棱锥的体积是定值即可. 详解： 三条平行直线是固定的，到的距离是定值， 三角形的面积是定值， 平面， 到三角形的距离也是定值， 三棱锥的体积为定值，故选D. 点睛：本题考查棱锥的体积公式，同底等高体积相等，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力，属于中档题. 二、多项选择题 9. [多选题]下列命题是真命题是（ ）． A. 若A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量 B. 若A，B，C，D不在一条直线上，则与不是共线向量 C. 若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在一条直线上 D. 若向量与是共线向量，则A，B，C三点必在一条直线上 【答案】AD 【解析】 【分析】向量平行与共线是同一个概念，对四个命题依次判断即可． 【详解】A 项为真命题，A，B，C，D在一条直线上， 则向量，的方向相同或相反，因此与是共线向量； B项为假命题，A，B，C，D不在一条直线上， 则，的方向不确定，不能判断与是否共线； C项为假命题，因为，两个向量所在的直线可能没有公共点， 所以A，B，C，D四点不一定在一条直线上； D项为真命题，因为，两个向量所在直线有公共点A， 且与共线向量，所以A，B，C三点共线． 故选：AD． 10. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则（ ） A. 球与圆柱的体积之比为 B. 四面体CDEF的体积的取值范围为 C. 平面DEF截得球的截面面积最小值为 D. 若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用球、圆柱的体积公式计算判断A；利用建立函数关系判断B；求出球心O到平面DEF距离的最大值判断C；令点P在圆柱下底面圆所在平面上的投影点为Q，设，利用勾股定理建立函数关系，求出值域作答. 【详解】对于A，球的体积为，圆柱的体积，则球与圆柱的体积之比为，A正确； 对于B，设为点到平面的距离，，而平面经过线段的中点， 四面体CDEF的体积，B错误； 对于C，过作于，如图，而，则， 又，于是，设截面圆的半径为，球心到平面的距离为，则， 又，则平面DEF截球的截面圆面积，C错误； 对于D，令经过点P的圆柱的母线与下底面圆的公共点为Q，连接， 当与都不重合时，设，则，当与之一重合时，上式也成立， 因此，， 则， 令，则，而，即， 因此，解得，所以的取值范围为，D正确. 故选：AD 【点睛】思路点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图. 11. 已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. z的模等于13 B. z在复平面内对应的点位于第四象限 C. z的共轭复数为 D. 若是纯虚数，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的模值运算、坐标表示、共轭复数的定义进行逐项判断，即可求解. 【详解】解：由题意得： 对于选项A：，故A错误； 对于选项B：z在复平面内对应的点的坐标表示为，位于第四象限，故B正确； 对于选项C：根据共轭复数的定义z的共轭复数为，故C错误； 对于选项D：，若是纯虚数，则，解得：，故D正确. 故选：BD 三、填空题 12. 在平行四边形OABC中,各顶点对应的复数分别为zO=0,zA=2+i,zB=-2a+3i,zC=-b+ai,则实数a-b为________. 【答案】-4 【解析】 【详解】 因为，所以， 所以，解得，所以． 13. 向量的夹角为，定义运算“”:，若，，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算求出向量的模及夹角余弦，再利用定义求解即得. 【详解】由，，得， ，， 则，所以. 故答案为： 14. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有__________斛.（精确到个位） 【答案】 【解析】 【分析】由弧长和高可计算出米堆体积为立方尺，再根据提供数据换算单位即可得出结果. 【详解】根据可设四分之一圆锥的底面圆半径为， 即，可得尺； 根据锥体的体积公式可得四分之一圆锥的为立方尺； 又1斛米的体积约为1.6立方尺，所以共斛. 故答案为： 四、解答题 15. 如图，在三棱柱中，平面，，，. （1）过的截面交于点，若为等边三角形，求出点的位置； （2）在（1）条件下，求四棱锥与三棱柱的体积比. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解三角形的边长，推出的位置；（2）求出四棱锥与三棱柱的体积，即可得到比值. 【小问1详解】 由题意， 在三棱柱中，由且可得，， 故点的位置为的三等分点，且靠近处 【小问2详解】 由（1）可知，， ， 所以， 所以所求两个几何体的体的体积比为． 16. 在中，内角所对的边分别为，，，已知． （1）求角大小； （2）若，，求的值； （3）若，判断的形状． 【答案】（1）； （2）； （3）正三角形． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中角的范围可以确定的大小； （2）代入余弦定理的公式既可以求得； （3）根据余弦定理和已知条件可以确定，在结合第一问求得的角的大小来确定三角形的形状. 【小问1详解】 因为在三角形中，，，所以； 【小问2详解】 根据余弦定理，，，，解得； 【小问3详解】 因为，， 化简得，则， 又由(1)可知，，所以为正三角形. 17. 已知平面向量，的夹角为，且，，． （1）当时，求； （2）当时，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先得到，然后展开计算即可； （2）由条件知，使用向量内积的坐标表示即可得到关于的方程，进而求出. 【小问1详解】 ，故． 【小问2详解】 由条件知，故， 所以． 18. 已知复数，i为虚数单位． （1）当z是纯虚数时，求m的值； （2）当时，求z的模． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解； （2）根据模长公式即得. 【小问1详解】 由z是纯虚数，有， 解得； 【小问2详解】 当时，， 所以 19. 已知的内角的对边分别为，且， （1）若点在边上，且，求的面积； （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由利用正弦定理可得，结合两角和的正弦公式与诱导公式可得， 再利用正弦定理可得，由余弦定理可得，从而利用三角形面积公式可得结果； （2）由余弦定理可得，结合求得， 由正弦定理结合两角和的正弦公式可得，从而可得结果. 【小问1详解】 在中，，则由正弦定理得，， ， 即， ．由得，． 又由，得， 由正弦定理可得，即， ，由余弦定理有，解得：， ． 【小问2详解】 由知，，得， 又，，． 由正弦定理得，则，， 由为锐角三角形，则，得， ，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$