精品解析：2024年湖南省益阳市沅江市中考三模数学试题

2024年湖南省益阳市初中学业水平考试三模数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 已知，，且，则的值为（　　） A. B. 或 C. 或 D. 或 2. 如图，两个直角三角板的直角顶点C重合，下列结论不一定成立的是（） A. B. C. D. 3. 如图，是等腰直角三角形，．若，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（　　） A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 0 5. 如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 6. 把分解因式时，提出公因式后，另一个因式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，在中，点为 的中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间 的函数关系如图2所示，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线 可由抛物线 平移得到，那么平移的步骤是（ ） A. 右移 个单位长度，再下移 个单位长度 B. 右移 个单位长度，再上移 个单位长度 C. 左移 个单位长度，再下移 个单位长度 D. 左移 个单位长度，再上移 个单位长度 9. 如图， 是的直径，过圆上一点作的切线，交 的延长线于点，若，的半径为2，则 的长是（ ） A. B. C. D. 2 10. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面得到的视图是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 11. 若是关于 的方程的解，则关于 的不等式的最小整数解为_____． 12. 如图，点，在反比例函数的图象上，轴，垂足为， ，垂足为．若四边形 的面积为8，，则的值为________． 13. 若关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围为___________． 14. 中，，相交于点 ，且，若，则 的长为_____ 15. 若时，的值为______________. 16. 如图， 是的直径，，点A在上， ，B为弧 的中点，P是直径 上一动点， 则的最小值为_________． 17. 公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子 长为（直线 过底面圆心），则小山包的高为____________（取）． 18. 在平面直角坐标系中，若点，均在反比例函数的图象上，则_______．（填“＞”“＝”或“＜”） 三、解答题（本大题共8小题，共66.0分） 19. 先化简，再求值： ，其中，． 20. 解方程组：． 21. 如图，点，，，在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 22. 网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求与 的函数解析式． （2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？ 23. “鄂尔多斯羊绒衫，温暖全世界”，某专卖店为换季大酬宾，将原价每件500元的羊绒衫连续两次降价后以每件 320元售出，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每件羊绒衫盈利 10元，每天可售出500件，经市场调查发现，在进货价不变的情况下专卖店决定采取适当的涨价措施，若每件涨价5元， 日销售量将减少100件，现该专卖店要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每件羊绒衫应涨价多少元？ （3）在（2）的条件下，若使专卖店每天的盈利达到最大值，应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少元？ 24. 如图， 是半圆O的直径，过 的延长线上的一点P作半圆O的切线，切点为点C，连接 ，过弦上的点E（不与点C重合）作于D，交直线于F. （1）请判断的形状，并说明理由； （2）若，，求弦 的长． 25. 如图所示，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于P，Q两点，已知点的坐标为． （1）求函数与的解析式； （2）求点的坐标； （3）求的面积． 26. 在边长为1的正方形中，点为线段上一动点，连接 ． （1）如图①，过点作于点，交直线 于点．以点为直角顶点在正方形的外部作等腰，连接．求证：是等腰直角三角形； （2）如图②，在（1）的条件下，记分别交 于点，连接． ①试探究之间的数量关系； ②设，中边上的高为，请用含 的代数式表示．并求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年湖南省益阳市初中学业水平考试三模数学试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 已知，，且，则的值为（　　） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的绝对值，有理数的减法法则，绝对值的非负性，正确理解绝对值的含义是解题的关键．由绝对值的意义可得，由绝对值的非负性可知，于是可得x，y的值，再计算即可求解． 【详解】解：，， ， 又， 则或， 或， 故选：D． 2. 如图，两个直角三角板的直角顶点C重合，下列结论不一定成立的是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角的计算，解题的关键是掌握角的和差； 利用角的和差判断即可； 【详解】由题意得， ； ， ， ， ∴A、C、D选项成立， 故选：B． 3. 如图， 是等腰直角三角形，．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是角的和差运算，平行线的性质，先证明，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选B 4. 若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（　　） A. ﹣3 B. ﹣2 C. ﹣1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】方程组中的两个方程相减得出x-y=3m+2，根据已知得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：， ①-②得：x-y=3m+2， ∵关于x，y的方程组的解满足x-y＞-， ∴3m+2＞-， 解得：m＞， ∴m的最小整数解为-1， 故选C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 5. 如图，，记，，当时，与之间的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 通过全等三角形的性质，得 ，，推得，，利用平行线的性质，得，推得，整理后即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ，， ∴， ∴在 中，， ∵， ∴， ∴， 整理得：． 故选：D． 6. 把分解因式时，提出公因式后，另一个因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式．将提取公因式，据此即可求解． 【详解】解： 故选：A． 7. 如图1，在中，点 为 的中点，动点 从点 出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间 的函数关系如图2所示，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、勾股定理，当时，点 在点 处，此时，则，当时，，求出，由勾股定理得出，求出，再由计算即可得解． 【详解】解：当时，点 在点 处，此时，则， 当时，， ， 则， ， ， ， 故选：C． 8. 抛物线 可由抛物线 平移得到，那么平移的步骤是（ ） A. 右移 个单位长度，再下移 个单位长度 B. 右移 个单位长度，再上移 个单位长度 C. 左移 个单位长度，再下移 个单位长度 D. 左移 个单位长度，再上移 个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规律，可得答案． 【详解】解：抛物线 可由抛物线 右移 个单位长度，再下移个单位长度得到， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键． 9. 如图， 是的直径，过圆上一点作的切线，交 的延长线于点 ，若，的半径为2，则 的长是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质，三角函数，勾股定理，连接，利用切线的性质得，再根据三角函数的性质由求出，即可解决问题． 【详解】解：连接， 是的切线， ， ， ， 在中，， ， 故选：A． 10. 五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从左面得到的视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看，一共有两列，从左到右小正方形的个数分别为2、1． 故选：A． 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分） 11. 若是关于 的方程的解，则关于 的不等式的最小整数解为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】把代入方程，即可求得 的值，然后把 的值代入求解即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：． 则 解得：． 所以，最小整数解为2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了方程的解的定义，一元一次不等式的解法，熟练的解一元一次不等式是解本题的关键． 12. 如图，点， 在反比例函数的图象上，轴，垂足为， ，垂足为．若四边形 的面积为8，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设点，可得，，从而得到，再得出轴，可得点，从而得到，然后根据四边形 的面积为8，列出方程，即可求解． 【详解】解：设点， 轴， ，， ， ， ， ，轴， 轴， 点， ， ∵四边形 的面积为8， ， 解得：． 13. 若关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求不等式组的解集，然后根据整数解确定的取值范围即可． 【详解】解：， ， 去分母得，， 去括号得，， 移项合并得，， ∴不等式的解集为， ， 移项合并得，， ∴不等式的解集为， 由题意知，不等式组的解集为， ∵不等式组有3个整数解， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解．解题的关键在于正确的运算． 14. 中，，相交于点 ，且，若，则 的长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，勾股定理，作于点，延长到点，使，连接，可得 是的垂直平分线，得，，再根据三角形的外角定义可得，得，设 ，根据平行四边形的对角线互相平分可得，再根据勾股定理即可求出 的长，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作于点，延长到点，使，连接，则 是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∵四边形平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴， 解得或 (不合，舍去)， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 若时，的值为______________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式的值，变形整体代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图， 是的直径，，点A在上， ，B为弧 的中点，P是直径 上一动点， 则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，解题的关键是确定点 的位置．作点关于 的对称点，连接 交 于点 ，连接，则 点就是所求作的点．此时最小，且等于 的长，连接 ，，由，可得，根据为的中点，推出，根据垂径定理可推出，得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作点关于 的对称点，连接 交 于点 ，连接，则 点就是所求作的点． ∵ ∴此时最小，且等于 的长． 连接 ，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， 则，又， 则， 故答案为：． 17. 公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子 长为（直线 过底面圆心），则小山包的高为____________（取）． 【答案】 【解析】 【分析】此题为平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高． 【详解】连接 ，过 作于， 由题意可知， ∴ ∵圆锥底面周长为． ∴，解得， ∵, ∴ ∴小山包的高为． 故答案为：． 【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为 的长进行求解． 18. 在平面直角坐标系中，若点，均在反比例函数的图象上，则_______．（填“＞”“＝”或“＜”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数中，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：＞ 三、解答题（本大题共8小题，共66.0分） 19. 先化简，再求值： ，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先去括号，然后合并同类项，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式 20. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】将方程②进行变形，用代入法即可解答． 【详解】解： 由②得： ③ 把代入 ①，得：， 把代入 ③，得：， ∴方程组的解为： 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，解题的关键是用代入消元法和加减消元法进行消元． 21. 如图，点，，，在一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 在 和中， ， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（ ）由可证； （ ）先证明四边形是菱形，可得，，，由菱形的面积公式可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于点 ， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是菱形， ∴，， 在中， ∴， ∴， ∴． 22. 网络销售已经成为一种热门的销售方式，某果园在网络平台上直播销售荔枝．已知该荔枝的成本为6元/kg，销售价格不高于18元/kg，且每售卖1kg需向网络平台支付2元的相关费用，经过一段时间的直播销售发现，每日销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间满足如图所示的一次函数关系． （1）求与 的函数解析式． （2）当每千克荔枝的销售价格定为多少元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，待定系数法求解析式即可求解； （2）设销售销这种荔枝日获利元，由二次函数的性质求出的最大利润，即可求解． 【小问1详解】 解：设与 的函数解析式为 ， ∵改函数图象经过点和点 ∴ 解得： ∴与 的函数解析式为； 【小问2详解】 解：设销售销这种荔枝日获利元， 根据题意，得， ，对称轴为直线， ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大， ∵销售价格不高于18元/kg， 当时，有最大值为元， 当销售单价定为时，销售这种荔枝日获利最大，最大利润为元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，求出函数关系式是本题的关键． 23. “鄂尔多斯羊绒衫，温暖全世界”，某专卖店为换季大酬宾，将原价每件500元的羊绒衫连续两次降价后以每件 320元售出，若每次下降的百分率相同． （1）求每次下降的百分率． （2）若每件羊绒衫盈利 10元，每天可售出500件，经市场调查发现，在进货价不变的情况下专卖店决定采取适当的涨价措施，若每件涨价5元， 日销售量将减少100件，现该专卖店要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每件羊绒衫应涨价多少元？ （3）在（2）的条件下，若使专卖店每天的盈利达到最大值，应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）应涨价5元 （3）件应涨价元，该商场双节期间盈利最多6125元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答． （1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：，即可求解； （2）设每件应涨价x元，由题意得：，进而求解； （3）设每天的盈利为y，由题意得：，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为a，根据题意， 得：， 解得：或（舍去，不符合题意）， 答：每次下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设每件应涨价x元，由题意得：， 即， 解得：，（舍去，不符合题意）， 答：应涨价5元； 【小问3详解】 解：设每天的盈利为y，由题意得：， ， ， 当时，y有最大值为6125； 答：每件应涨价元，该商场双节期间盈利最多6125元． 24. 如图， 是半圆O的直径，过 的延长线上的一点P作半圆O的切线，切点为点C，连接 ，过弦上的点E（不与点C重合）作于D，交直线于F. （1）请判断的形状，并说明理由； （2）若，，求弦 的长． 【答案】（1）是等腰三角形， 证明：连接． ∵是切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ , ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）连接OC．证明则，即可得到结论； （2）连接，证明，则， 进一步得到，，，由勾股定理得到，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ∵， ∴， ∵ 是直径， ∴， ∴, ∴, ∵， ∴， ∴, 又， ∴， ， 又∵, ，， ∴， 又，即  , ∴． 25. 如图所示，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于P，Q两点，已知点 的坐标为． （1）求函数与的解析式； （2）求点的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2） （3）3 【解析】 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解本题的关键． （1）点 的坐标分别代入与，列出方程即可求得，的值，进而即可求解； （2）联立与，即可求解； （3）设直线 与 轴交于点，求得，再根据即可求解． 【小问1详解】 解：将点 的坐标分别代入与中得， 解得， 因此所求解析式为：，． 【小问2详解】 根据题意，联立，解得，， 因此点的坐标是． 【小问3详解】 如图，设直线 与 轴交于点， 由（1）得，直线 的解析式为，令 得，， ． 26. 在边长为1的正方形中，点为线段 上一动点，连接 ． （1）如图①，过点作于点，交直线 于点．以点为直角顶点在正方形的外部作等腰，连接．求证：是等腰直角三角形； （2）如图②，在（1）的条件下，记分别交 于点，连接． ①试探究之间的数量关系； ②设，中边上的高为，请用含 的代数式表示．并求的最大值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （2）①；②，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定与性质得出，进而利用平行四边形的判定和性质解答即可； （2）①将绕点顺时针旋转 得到，则共线，利用全等三角形的性质证明，即可得出结论；②利用相似三角形的性质构建二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①结论：． 理由：如图②中，将绕点顺时针旋转 得到，则共线． 图② ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点到的距离的长， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴ ∵ ， ∴时，的值最大，最大值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建二次函数解决最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $