精品解析：江苏省泰州市靖江市八校联盟2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

八校联盟2023-2024学年度第二学期级数学试题 （卷面分值：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列调查适合用普查的是（ ） A. 航天飞机的零件 B. 一批电视机的使用寿命 C. 靖江市居民的年人均收入 D. 长江中现有鱼的种类 2. 如图的两个统计图，女生人数多的学校是（ ） A. 甲校 B. 乙校 C. 甲、乙两校女生人数一样多 D. 无法确定 3. 下列由两个全等的含角的直角三角板拼成的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 4. 对于分式 的值，下列说法一定正确的是（ ） A. 不可能为 B. 比大 C. 可能为 D. 比大 5. 定义：一个四边形中，若有一个角的两边相等，且与它的对角互补，则称这个四边形为“半等边四边形”，则下列四边形一定是“半等边四边形”的是( ) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 6. 已知．若 (n为整数)，则n的值为（ ） A. 123 B. 124 C. 125 D. 126 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，计30分） 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 8. 若，则__________ ． 9. 在对2024个数据进行整理的频数分布表中，各组频率之和等于__． 10. 关于x的分式方程有增根，则a的值为______． 11. 在中，比大20°，则__________°. 12. 如图所示，在中，于点分别是边的中点，连接，当满足条件______时，四边形是菱形．（填一个你认为恰当的条件即可） 13. 如果一个四边形的两条对角线长均为，那么依次连接它的各边中点得到的图形的周长为______． 14. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 15. 菱形的边长为a，面积为b，则的值是__．（用含有a，b的代数式表示） 16. 如图，中，，，点是与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为，，则的最小值为____． 三、解答题（本大题共10小题，共102分） 17. 计算和解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 18. 已知a，b都是实数，k为整数，若，则称a与b是关于k的一组“关联数”． （1）与　　是关于3的一组“关联数”； （2）若，，判断与是否为关于某整数的一组“关联数”，说明理由． 19. 先化简，然后再从、0、1、2四个数中，选择一个合适的数作为a的值代入求值． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 （1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 20. 在长度单位为1的正方形网格中． （1）将平移，使点C与点重合，作出平移后的，并计算平移的距离． （2）将绕点顺时针方向旋转，画出旋转后的，并计算的长． 21. 如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． （1）求证：AF与DE互相平分； （2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由． 22. 2023年国家统计局公布了《2022年国民经济和社会发展统计公报》．公报显示，全国2018年至2022年货物进出口额变化情况，根据国家统计局2022年发布的相关信息，绘制了如下的统计图，请利用统计图中提供的信息回答下列问题： （1）为了更好的表现出货物进出口额的变化趋势，你认为应选择　　　统计图更好（填“条形”或“折线”）； （2）从2018年到2022年，进口额最多的是　　　年； （3）货物进出口差额是衡量国家经济的重要指标，货物出口额超过货物进口额的差额称为货物进出口顺差，2022年我国货物进出口顺差是　　万亿元； （4）下列结论正确的有　　　．（填序号） ①与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升． ②年进口额增长率持续下降． ③与2021年相比，2022年出口额增加了万亿元，出口额年增长率下降了个百分点；（注：1%为1个百分点） 23. 如图，在矩形中，，点P、Q分别是的中点，点E是折线段上一点． （1）点C到直线距离的最大值是　　； （2）沿所在直线折叠矩形，已知点B的对应点为，若点恰好落在矩形的边上，求的长． 24. 一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地．出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前40 min到达目的地，设前一小时行驶的速度为． （1）直接用x的式子表示提速后走完剩余路程的时间为______h； （2）求汽车实际走完全程所花的时间； （3）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以a km/h的速度行驶，另一半路程以的速度行驶，则用时小时，若用一半时间以的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较、的大小，并说明理由． 25. 背景知识： 我们在八年级用折叠和数学推理的方法得到结论“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”，进一步研究“在斜边上是否只有中点到直角顶点的距离等于斜边的一半?” 问题： （1）若在中，，是斜边上的中线，则有，请利用尺规作图的方法在斜边AB上另找一点E，使（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下, 求的长． （3）若在中，，斜边上只存在一个点到点C的距离等于试求边的取值情况． 26. 已知，点是边长为（为常数）的正方形内部一动点，于，于，连结，，，，记，，的面积分别为，，，令，． （1）若， ①当点在上时，x=　　　；（用含有的代数式表示） ②当点在内部（不含边界）时（如图1），求的取值范围； （2）如图2，若点在对角线上． ①求；（用含、的代数式表示，并将结果化简） ②是否存在实数，使的值与点在上的位置无关．若存在，请求出的值，并求出此时的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八校联盟2023-2024学年度第二学期级数学试题 （卷面分值：150分 时间：120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分） 1. 下列调查适合用普查的是（ ） A. 航天飞机的零件 B. 一批电视机的使用寿命 C. 靖江市居民的年人均收入 D. 长江中现有鱼的种类 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查和全面调查的区别，根据实际需要灵活选择普查还是抽样调查是解题的关键． 根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断即可． 【详解】解：A、对航天飞机的零件的检查，涉及安全性，事关重大，应采用全面调查，符合题意； B、调查一批电视机的使用寿命，应采用抽样调查，不符合题意； C、对靖江市居民的年人均收入的调查，应采用抽样调查，不符合题意； D、对长江中现有鱼的种类的调查，应采用抽样调查，不符合题意． 故选A． 2. 如图的两个统计图，女生人数多的学校是（ ） A. 甲校 B. 乙校 C. 甲、乙两校女生人数一样多 D. 无法确定 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，一般不能直接从图中得到具体的数量， ∴甲校女生人数甲校总人数，乙校女生人数乙校总人数， ∵题目中未给出甲、乙两校的学生总人数， ∴无法计算并比较两校女生的具体人数. 3. 下列由两个全等的含角的直角三角板拼成的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 4. 对于分式 的值，下列说法一定正确的是（ ） A. 不可能为 B. 比大 C. 可能为 D. 比大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质，分式的值为零逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握分式的性质． 【详解】、当，当时，分式的值为，原选项说法错误，不符合题意； 、，可能比小，原选项说法错误，不符合题意； 、当时，，此时分母为零，原选项说法错误，不符合题意； 、，比大，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 5. 定义：一个四边形中，若有一个角的两边相等，且与它的对角互补，则称这个四边形为“半等边四边形”，则下列四边形一定是“半等边四边形”的是( ) A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质．根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、平行四边形的邻边不一定相等，故本选项不符合题意； B、矩形的邻边不一定相等，故本选项不符合题意； C、菱形的对角不一定互补，故本选项不符合题意； D、正方形的邻边相等，对角互补，故本选项符合题意； 故选：D 6. 已知．若 (n为整数)，则n的值为（ ） A. 123 B. 124 C. 125 D. 126 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数大小的估算，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵，而 (n为整数)， ∴， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，计30分） 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 解得， 故答案为：． 8. 若，则__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根，先根据有理数的乘方将已知转化为，再根据平方根定义求解即可．解题的关键是掌握平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根（或二次方根）， 即如果，那么叫做的平方根． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9. 在对2024个数据进行整理的频数分布表中，各组频率之和等于__． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，掌握各组的频率之和等于1成为解题的关键． 根据各小组频率之和等于1即可解答． 【详解】解：根据各组的频率之和等于1，可知在对2024个数据进行整理的频数分布表中，各组频率之和等于1． 故答案为：1． 10. 关于x的分式方程有增根，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据方程有增根求出x的值，再将原分式方程去分母，最后将代入求值即可． 【详解】解：关于的方程有增根，则是增根， 将原分式方程去分母得， ， 而是方程的解， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 11. 在中，比大20°，则__________°. 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 比大， ，， ， 故答案为：80． 12. 如图所示，在中，于点分别是边的中点，连接，当满足条件______时，四边形是菱形．（填一个你认为恰当的条件即可） 【答案】（或） 【解析】 【分析】解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍，运用发散思维，多方思考，探究问题在不同条件下的不同结论，挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展，从而寻找出添加的条件和所得的结论． 可根据等腰三角形的性质、菱形的判定，分析得出当满足条件AB=AC或时，四边形是菱形． 【详解】解：要使四边形是菱形，则应有， ∵，分别为，的中点 ∴，， ∴， ∴应是等腰三角形， ∴应添加条件：或 则当△ABC满足条件或时，四边形AEDF是菱形． 故答案为：（或）． 13. 如果一个四边形的两条对角线长均为，那么依次连接它的各边中点得到的图形的周长为______． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半是解题的关键． 如图：根据三角形中位线定理分别求出四边形的各边长，然后再求和即可． 【详解】解：如图，∵E、F、G、H分别是边的中点， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：36． 14. 用反证法证明“已知，，则”时，应假设：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键．反证法的步骤先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：原命题的结论是，其反面为，因此应假设． 故答案为：． 15. 菱形的边长为a，面积为b，则的值是__．（用含有a，b的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理，完全平方公式等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键. 设菱形的对角线的交点为O，根据菱形对角线性质得到，根据，得到，根据，得到，即 ，推出． 【详解】解：设菱形的对角线的交点为O，则， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， ∴． 故答案为． 16. 如图，中，，，点是与点不重合的动点，以为一边作正方形．设，点、与点的距离分别为，，则的最小值为____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，证明，可得，当当、、、在同一直线上时，可得最小值为，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接，，， 在中，， 四边形是正方形， ，， ， 即， 在与中， ， ， ， ， 当、、、在同一直线上时，最小即为， 中，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，将转化为是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共102分） 17. 计算和解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2）方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、解分式方程等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据二次根式的乘方运算法则、完全平方公式、绝对值进行计算，然后再合并同类二次根式即可解答； （2）先将分式方程化成整式方程，然后按整式方程求解，然后计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 经验，是增根，即原分式方程无解． 18. 已知a，b都是实数，k为整数，若，则称a与b是关于k的一组“关联数”． （1）与　　是关于3的一组“关联数”； （2）若，，判断与是否为关于某整数的一组“关联数”，说明理由． 【答案】（1） （2） 与是关于整数3的一组“关联数”；理由如下： ∵，， ∴ ， ∴与是关于整数3的一组“关联数”． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，对新概念的理解，理解新概念是解题的关键． （1）根据“关联数”的意义列式，即可求解； （2）根据“关联数”的意义判断即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴当，时， ； 【小问2详解】 略 19. 先化简，然后再从、0、1、2四个数中，选择一个合适的数作为a的值代入求值． 下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 （1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②；③ （2） 解：选择甲同学， 原式 ； ∵，， ∴取，原式； 选择乙同学， 原式 ； ∵，， ∴取，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值． （1）根据题意直接得到答案即可； （2）选择甲同学，原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把合适的x的值代入计算即可求出值． 选择乙同学，利用乘法分配律去括号，约分化简得到最简结果，把合适的x的值代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解：甲同学解法的依据是②分式的基本性质；乙同学解法的依据是③乘法分配律； 故答案为：②；③； 【小问2详解】 略 20. 在长度单位为1的正方形网格中． （1）将平移，使点C与点重合，作出平移后的，并计算平移的距离． （2）将绕点顺时针方向旋转，画出旋转后的，并计算的长． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换、勾股定理，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、勾股定理是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可；利用勾股定理求出的长，即为平移的距离． （2）根据旋转的性质作图即可；利用勾股定理计算的长即可． 【小问1详解】 解：连接， 由勾股定理得，， 平移的距离为． 【小问2详解】 由勾股定理得，． 21. 如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线． （1）求证：AF与DE互相平分； （2）当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线， ∴D，E，F分别是AB，AC，BC的中点， ∴线段DF与EF也为△ABC的中位线， ∴DFAC，EFAB， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴AF与DE互相平分． （2） AF=BC，理由如下： 当AF=BC时，四边形ADFE为矩形，理由如下： ∵线段DE为△ABC的中位线， ∴DE=BC， 由（1）知四边形ADFE为平行四边形，若ADFE为矩形，则AF=DE， ∴当AF=BC时，四边形ADFE为矩形． 【解析】 【分析】（1）易知点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，所以线段DF与EF也为△ABC的中位线，由中位线定理证得四边形ADFE是平行四边形，因为平行四边形的对角线相互平分，此题可证； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形，结合已知条件可知，当AF=BC时，平行四边形ADFE为矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】此题考查了中位线定理，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质；解题的关键是数形结合，熟练运用上述知识． 22. 2023年国家统计局公布了《2022年国民经济和社会发展统计公报》．公报显示，全国2018年至2022年货物进出口额变化情况，根据国家统计局2022年发布的相关信息，绘制了如下的统计图，请利用统计图中提供的信息回答下列问题： （1）为了更好的表现出货物进出口额的变化趋势，你认为应选择　　　统计图更好（填“条形”或“折线”）； （2）从2018年到2022年，进口额最多的是　　　年； （3）货物进出口差额是衡量国家经济的重要指标，货物出口额超过货物进口额的差额称为货物进出口顺差，2022年我国货物进出口顺差是　　万亿元； （4）下列结论正确的有　　　．（填序号） ①与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升． ②年进口额增长率持续下降． ③与2021年相比，2022年出口额增加了万亿元，出口额年增长率下降了个百分点；（注：1%为1个百分点） 【答案】（1）折线 （2）2022 （3） （4）① 【解析】 【分析】本题主要考查了折线统计图和条形统计图，正确读懂统计图是解题的关键． （1）根据统计图的特点进行选择即可； （2）根据条形统计图的信息进行求解即可； （3）根据条形统计图中信息进行计算即可； （4）根据折线统计图所给的信息进行求解即可． 【小问1详解】 解：为了更好的表现出货物进出口额的变化趋势，应选择折线统计图更好． 【小问2详解】 解：由条形统计图可知，年的进口额最多． 故答案为：2022； 【小问3详解】 解：（万亿元）， 2022年我国货物进出口顺差是万亿元； 【小问4详解】 解：的进口额为万亿元，进口额的年增长率为， 的进口额为万亿元，进口额的年增长率为， ∴与年相比，年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升，故①正确； 由折线统计图可知，年进口额增长率先下降再上升再下降，故②错误； 与年相比，年出口额增加了万亿元，出口额年增长率下降了个百分点，故③错误； 故答案为：①． 23. 如图，在矩形中，，点P、Q分别是的中点，点E是折线段上一点． （1）点C到直线距离的最大值是　　； （2）沿所在直线折叠矩形，已知点B的对应点为，若点恰好落在矩形的边上，求的长． 【答案】（1）5 （2）或3 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的斜边大于直角边进行判断、计算即可解答． （2）分点E在上和边上两种情况，再分别根据矩形的性质、折叠的性质、勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：过点C作交的延长线于点M， ∴， ∴时，取得最大值， ∵，Q是的中点， ∴． 故答案为：5． 【小问2详解】 解：如图当点E在上时，取的中点N，则,, 由折叠的性质可得： ∴,即， 在中，，解得：． 如图，当点E在边上时， 连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 综上所述，或3． 24. 一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地．出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前40 min到达目的地，设前一小时行驶的速度为． （1）直接用x的式子表示提速后走完剩余路程的时间为______h； （2）求汽车实际走完全程所花的时间； （3）若汽车按原路返回，司机准备一半路程以a km/h的速度行驶，另一半路程以的速度行驶，则用时小时，若用一半时间以的速度行驶，另一半时间以的速度行驶，则用时小时，请比较、的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2）汽车实际走完全程所花的时间为h； （3） ，理由： ∵，， ∴ ， ∵a，b均为正数，且， ∴，， ∴， 即 ， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据时间=路程÷速度，可找出提速后走完剩余路程的时间； （2）根据提速后比原计划提前40min到达目的地，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入中即可求出结论； （3）利用时间=路程÷速度，分别找出两种方案所需时间，比较（做差）后即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵设前一小时行驶的速度为，且提速后的速度为原来速度的倍， ∴提速后走完剩余路程的时间为（h）， 【小问2详解】 依题意，得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：汽车实际走完全程所花的时间为h； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，求出提速后走完剩余路程的时间；（2）找准等量关系，正确列出分式方程；（3）根据各数量之间的关系，用含a，b的代数式表示出两种方案所需时间． 25. 背景知识： 我们在八年级用折叠和数学推理的方法得到结论“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”，进一步研究“在斜边上是否只有中点到直角顶点的距离等于斜边的一半?” 问题： （1）若在中，，是斜边上的中线，则有，请利用尺规作图的方法在斜边AB上另找一点E，使（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下, 求的长． （3）若在中，，斜边上只存在一个点到点C的距离等于试求边的取值情况． 【答案】（1）如图，点E即为所求； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、圆的性质、切线的性质等知识点，灵活运用相关性质解决问题是解题的关键． （1）以C为圆心，长为半径画弧交于E，据此作图即可； （2）由勾股定理可求的长，由面积法可求的长，由勾股定理可求的长，由等腰三角形的性质可求解即可； （3）利用特殊位置求出特殊值及分类讨论即可解答． 【小问1详解】 解：以C为圆心，长为半径画弧交于E； 【小问2详解】 解：如图：过C作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴的长为． 【小问3详解】 解：如图，作的中线， ∴， 则点D在以C为圆心，为半径的圆上运动， 当与线段相切时，则斜边上只存在一个点到点C的距离等于，此时， ∴； 当与过点B时，则， ∴， 当且时，线段存在两个点到C的距离等于, 当，线段只存在一个点到C的距离等于． 综上，或． 26. 已知，点是边长为（为常数）的正方形内部一动点，于，于，连结，，，，记，，的面积分别为，，，令，． （1）若， ①当点在上时，x=　　　；（用含有的代数式表示） ②当点在内部（不含边界）时（如图1），求的取值范围； （2）如图2，若点在对角线上． ①求；（用含、的代数式表示，并将结果化简） ②是否存在实数，使的值与点在上的位置无关．若存在，请求出的值，并求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）① ；② （2）①；②存在，，不变，此时的值为 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等角对等边，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质等知识点．掌握矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的性质是解题的关键． （1）①连接，，根据四边形是矩形，，延长交于，作于，证明，得，继而得到，得， ②再根据点在内部（不含边界）可得解； （2）①证明四边形是矩形，得到，，继而得到，，根据等边对等角得到，，再根据三角形的面积即可得解； ②求出，根据题意即可得解． 【小问1详解】 解：连接，，见下图 点是边长为的正方形的对角线上的一点，且，，，，， ， 四边形是矩形， 即， ， 延长交于，作于， ，， ，， ， ，， ， 在中， ， ， ， ， 点在内部（不含边界） 【小问2详解】 解：①点是边长为的正方形的对角线上的一点，且，，，，， ， 四边形是矩形， ，，，， ，， ，，的面积为，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ②四边形是矩形，，， ， ， 的值与点在的位置无关，即与无关 解得： ∴当时，的值为，与点在上的位置无关； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $