1.3 公式法（6大题型提分练）数学鲁教版五四制八年级上册

1.3 公式法 知识点一 公式法 ◆公式法：因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉． 平方差公式 完全平方公式：； 知识点二 分组分解法 ◆分组分解法： 一般地，分组分解大致分为三步： ①将原式的项适当分组； ②对每一组进行处理（“提”或“代”）； ③将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解． 知识点三 十字相乘法 ◆提公因式法的步骤： 已知，那么将因式分解，则结果为． 例：因式分解： 或 ∴原式 问题：二次三项式如何因式分解？ 十字相乘法小口诀：首尾分解，交叉相乘， 实验筛选，求和凑中． 十字相乘法适用类型：二次三项式 二次三项齐次式 例：因式分解： 或 ∴原式 特殊地，如果，则必有因式； 如果，则必有因式． 题型一 公式法 解题技巧提炼 本题型熟练运用平方差公式与完全平方公式． 1. （2024•高青县校级一模）下列各式中，多项式的因式是　　 A． B． C． D． 【分析】将原多项式分解因式即可得解． 【解答】， 多项式的因式是或， 故选：． 2. （2023•济南模拟）因式分解：　　． 【分析】根据平方差公式，进行因式分解． 【解答】解：． 故答案为：． 3. （2023•槐荫区三模）因式分解：　　． 【分析】利用平方差公式直接分解即可． 【解答】解： 故答案为：． 4. （2023•市中区二模）分解因式：　　． 【分析】原式利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式． 故答案为： 5. （2023•历城区二模）分解因式：　　． 【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案． 【解答】解：原式． 故答案为：． 题型二 利用公式法求值 解题技巧提炼 本题型熟练运用平方差公式与完全平方公式，用于求值． 1. （2024春•济南期中）对于任何整数，多项式都能　　 A．被9整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 【分析】多项式利用平方差公式分解，即可做出判断． 【解答】解：原式， 则对于任何整数，多项式都能被整除． 故选：． 2. （2023春•包河区期末）若多项式能分解成，那么　　 A．2 B．4 C．6 D．8 【分析】分解因式得结果利用平方差公式化简，即可确定出的值． 【解答】解：， ． 故选：． 3. （2023秋•广饶县期末）若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则　 　． 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值． 【解答】解：多项式能用完全平方公式进行因式分解， ， 解得：或， 故答案为：9或 题型三 提公因式法与公式法的综合运用 解题技巧提炼 本题型为简单的因式分解，相对比较简单． 1. （2024春•滨城区校级月考）因式分解：　　． 【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 2. （2024•河口区校级模拟）分解因式：　　． 【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解． 【解答】解： ． 3. （2024•台儿庄区二模）分解因式：　　． 【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 4. （2024•河口区校级模拟）因式分解：　　． 【分析】先直接找出公因式，再根据公式法进行解题即可． 【解答】解：． 故答案为：． 5. （2024•兰山区二模）分解因式　　． 【分析】提公因式后利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 6. （2024•东营区校级四模）因式分解：　　． 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答． 【解答】解： ， 故答案为：． 7. （2024•东昌府区二模）因式分解：　　． 【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式进行第二次因式分解． 【解答】解： ． 故答案为：． 题型四 分组分解法 解题技巧提炼 本类型的分组方式不止一种，但不是所有的分组方式都能进行因式分解，所以要进行尝试． 1. （2023秋•肥城市期中）下列各式不是因式的是　　 A． B． C． D． 【分析】首先进行分组分解因式，再提取公因式，再分解因式即可． 【解答】解： ． 不是因式的是． 故选：． 2. （2024•烟台一模）因式分解：　　． 【分析】此题可用分组分解法进行分解，可以将后三项分为一组，即可写成平方差的形式，利用平方差公式分解因式． 【解答】解：， ， ， ． 3. （2023•东港区校级二模）因式分解：　　． 【分析】先根据完全平方公式得到，再利用平方差公式对分解因式即可解答． 【解答】解： ； 故答案为：． 4. （2023•阳谷县一模）分解因式：　　． 【分析】采用分组分解法分解因式即可． 【解答】解： ， 故答案为：． 5. （2023春•定陶区期末）因式分解： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）直接提取公因式，进而分解因式即可； （2）直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）将后三项分组，进而利用完全平方公式以及平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：（1）； （2） ； （3） ． 题型五 十字相乘法 解题技巧提炼 用二次项的系数可常数项，去配一次项的系数． 1. （2023秋•高青县期末）代数式分解因式的结果是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用十字相乘法分解因式即可得出答案． 【解答】解：． 故选：． 2. （2024•沂源县一模）分解因式　　 【分析】利用十字相乘法进行分解因式即可得到结果． 【解答】解：． 故答案为：． 3. （2023秋•沂源县期末）因式分解：　　． 【分析】先提取公因式，然后利用十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：， 故答案为：． 4. （2024春•即墨区期中）阅读下列材料： 材料1、将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 （1）（2） 材料2、因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【分析】（1）利用十字相乘法变形即可得； （2）①根据材料2的整体思想可以对分解因式； ②根据材料1和材料2可以对分解因式． 【解答】解：（1）； （2）①令， 则原式， 所以； ②令， 则原式 ， 所以原式 ． 5. （2024春•天桥区校级月考）阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式 再将“”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：　　； （2）因式分解：； （3）求证：无论为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 【分析】（1）将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得原式； （2）将“”看成整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式； （3）先由，运用整体思想，再即可得到式子的值一定是一个不小于1的数． 【解答】（1）解：令， 原式， 将“”还原，得原式； 故答案为：； （2）解：令， 原式 ， 将“”还原，得： 原式； （3）证明：令， 原式 ， 将 还原， 原式， 因为无论为何值， 所以 即式子 的值一定是一个不小于1的数． 6. （2023秋•龙口市期末）（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： 　　；　　；　　； （2）观察以上三个多项式的系数，我们发现： ，，； ①猜想结论：若多项式是完全平方式，则系数，，一定存在某种关系；请你用式子表示，，之间的关系； ②验证结论：请你写出一个完全平方式（不同于题中所出现的完全平方式），并验证①中的结论； ③解决问题：若多项式是一个完全平方式，求的值． 【分析】（1）根据完全平方公式分解即可． （2）①根据已知等式得出，即可得出答案． ②举例验证即可． ③利用①中的规律进行求解． 【解答】（1）；；． 故答案为：；；． （2）①猜想：． ②， ，，． ，， ． ③若多项式是一个完全平方式， 根据①结论可知：， 解得：． 题型六 因式分解的运用 解题技巧提炼 一提二代三分组． 1. （2024春•滕州市月考）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，5，，，，分别对应下列六个字：滕，爱，我，数，学，州．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是　　 A．我爱学 B．爱滕州 C．滕州数学 D．我爱滕州 【分析】先将因式分解成，再对应密码信息即可． 【解答】解： ， ，，5，，，，分别对应下列六个字：滕，爱，我，数，学，州． 将因式分解，结果呈现的密码信息可能是：我爱滕州， 故选：． 2. （2024•费县校级模拟）已知，，求代数式的值为　　 A．18 B．28 C．50 D．60 【分析】先把代数式分解因式，在整体代入求解． 【解答】解：，， ， 故选：． 3. （2023秋•槐荫区期末）利用因式分解计算　　 A．1 B．2023 C．2024 D． 【分析】提取公因式2023，再化简，整理即可． 【解答】解：． 故选：． 4. （2024•天桥区三模）对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数，若的十位数字分别小于的百位数字与个位数字，则称为“义渡数”，例如最小的“义渡数”是213．当三位自然数为义渡数”时，重新排列各个数位上的数字可得到一个最大数和一个最小数，规定，例如：，因为，，所以524是“义渡数”，且；若三位自然数是“义渡数”（其中，，，、、均为整数），且的个位数字小于百位数字，，求满足条件的所有三位自然数的最大值是　　 A．977 B．978 C．979 D．867 【分析】根据义渡数的定义，排除选项、；然后先验证选项是否满足条件，若不满足再验证选项即可． 【解答】解：不满足义渡数的定义，故选项错误； ．因为，，满足条件，故选项正确； 不满足义渡数的定义，故选项错误； ．因为，，不满足条件，故选项错误； 故选：． 5. （2024•天桥区二模）现定义对于一个数，我们把称为的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有　　个 ①若，则； ②当，时，，那么代数式的值为4； ③方程的解为或或； ④若函数，当时，的取值范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】当，时，根据“邻一数”定义，可得，可判定①；当，时，根据“邻一数”定义，可得，代入计算即可判定②；当时，可解得，当时，可解得，当时，解得，舍去，可判定③；根据“邻一数”定义，得，画出函数图象，根据图象求出的取值范围，即可判定④． 【解答】解：①当，时，则，， ， 若，则错误，故①错误； ②当，时， ， ，即， ，故②正确； ③， 当时， ，解得； 当时， ，解得； 当时， ，解得，舍去； 方程的解为或，故 ③错误； ④， 其图象为： 由图象可得：当时，，故④正确． 综上，正确的有②④，共2个， 故选：． 6. （2024•滕州市校级模拟）已知，，则　　． 【分析】原式提取公因式，把已知等式代入计算即可求出值． 【解答】解：，， 原式． 故答案为：10． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 公式法 知识点一 公式法 ◆公式法：因为因式分解和整式的乘法是互逆的，所以说常见的乘法公式要特别熟悉． 平方差公式 完全平方公式：； 知识点二 分组分解法 ◆分组分解法： 一般地，分组分解大致分为三步： ①将原式的项适当分组； ②对每一组进行处理（“提”或“代”）； ③将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解． 知识点三 十字相乘法 ◆提公因式法的步骤： 已知，那么将因式分解，则结果为． 例：因式分解： 或 ∴原式 问题：二次三项式如何因式分解？ 十字相乘法小口诀：首尾分解，交叉相乘， 实验筛选，求和凑中． 十字相乘法适用类型：二次三项式 二次三项齐次式 例：因式分解： 或 ∴原式 特殊地，如果，则必有因式； 如果，则必有因式． 题型一 公式法 解题技巧提炼 本题型熟练运用平方差公式与完全平方公式． 1. （2024•高青县校级一模）下列各式中，多项式的因式是　　 A． B． C． D． 2. （2023•济南模拟）因式分解：　　． 3. （2023•槐荫区三模）因式分解：　　． 4. （2023•市中区二模）分解因式：　　． 5. （2023•历城区二模）分解因式：　　． 题型二 利用公式法求值 解题技巧提炼 本题型熟练运用平方差公式与完全平方公式，用于求值． 1. （2024春•济南期中）对于任何整数，多项式都能　　 A．被9整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 2. （2023春•包河区期末）若多项式能分解成，那么　　 A．2 B．4 C．6 D．8 3. （2023秋•广饶县期末）若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则　 　． 题型三 提公因式法与公式法的综合运用 解题技巧提炼 本题型为简单的因式分解，相对比较简单． 1. （2024春•滨城区校级月考）因式分解：　　． 2. （2024•河口区校级模拟）分解因式：　　． 3. （2024•台儿庄区二模）分解因式：　　． 4. （2024•河口区校级模拟）因式分解：　　． 5. （2024•兰山区二模）分解因式　　． 6. （2024•东营区校级四模）因式分解：　　． 7. （2024•东昌府区二模）因式分解：　　． 题型四 分组分解法 解题技巧提炼 本类型的分组方式不止一种，但不是所有的分组方式都能进行因式分解，所以要进行尝试． 1. （2023秋•肥城市期中）下列各式不是因式的是　　 A． B． C． D． 2. （2024•烟台一模）因式分解：　　． 3. （2023•东港区校级二模）因式分解：　　． 4. （2023•阳谷县一模）分解因式：　　． 5. （2023春•定陶区期末）因式分解： （1）； （2）； （3）． 题型五 十字相乘法 解题技巧提炼 用二次项的系数可常数项，去配一次项的系数． 1. （2023秋•高青县期末）代数式分解因式的结果是　　 A． B． C． D． 2. （2024•沂源县一模）分解因式　　 3. （2023秋•沂源县期末）因式分解：　　． 4. （2024春•即墨区期中）阅读下列材料： 材料1、将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成 （1）（2） 材料2、因式分解： 解：将“”看成一个整体，令，则原式 再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）根据材料1，把分解因式． （2）结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 5. （2024春•天桥区校级月考）阅读以下材料 材料：因式分解： 解：将“”看成整体，令，则原式 再将“”还原，得原式 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： （1）因式分解：　　； （2）因式分解：； （3）求证：无论为何值，式子的值一定是一个不小于1的数． 6. （2023秋•龙口市期末）（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上： 　　；　　；　　； （2）观察以上三个多项式的系数，我们发现： ，，； ①猜想结论：若多项式是完全平方式，则系数，，一定存在某种关系；请你用式子表示，，之间的关系； ②验证结论：请你写出一个完全平方式（不同于题中所出现的完全平方式），并验证①中的结论； ③解决问题：若多项式是一个完全平方式，求的值． 题型六 因式分解的运用 解题技巧提炼 一提二代三分组． 1. （2024春•滕州市月考）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：，，5，，，，分别对应下列六个字：滕，爱，我，数，学，州．现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是　　 A．我爱学 B．爱滕州 C．滕州数学 D．我爱滕州 2. （2024•费县校级模拟）已知，，求代数式的值为　　 A．18 B．28 C．50 D．60 3. （2023秋•槐荫区期末）利用因式分解计算　　 A．1 B．2023 C．2024 D． 4. （2024•天桥区三模）对于一个各个数位上的数字均不相等且均不为零的三位自然数，若的十位数字分别小于的百位数字与个位数字，则称为“义渡数”，例如最小的“义渡数”是213．当三位自然数为义渡数”时，重新排列各个数位上的数字可得到一个最大数和一个最小数，规定，例如：，因为，，所以524是“义渡数”，且；若三位自然数是“义渡数”（其中，，，、、均为整数），且的个位数字小于百位数字，，求满足条件的所有三位自然数的最大值是　　 A．977 B．978 C．979 D．867 5. （2024•天桥区二模）现定义对于一个数，我们把称为的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有　　个 ①若，则； ②当，时，，那么代数式的值为4； ③方程的解为或或； ④若函数，当时，的取值范围是． A．0 B．1 C．2 D．3 6. （2024•滕州市校级模拟）已知，，则　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！19 学科网（北京）股份有限公司 $$