四川省内江市第六中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

试卷第 1 页，共 4 页 高二（下）期高 2025 届第一次月考数学试题 一、单选题 1． ( ) 1 2f x x= − ，则 ( ) ( ) 0 3 3 lim x f x f x →  + − =  （ ） A． 2− B．2 C． 6− D．6 2．已知数列 na ， nb 分别为等差数列、等比数列，若 3 5 4a a+ = ， 3 4 5 8b b b = − ，则 4 4a b+ =（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 3．若从 0，1，2，3，4，5 这六个数字中选 3 个数字，组成没有重复数字的三位奇数，则这样的三位数一共有 A．120 个 B．52 个 C．48 个 D．20 个 4．若点 P 是曲线 2lny x x= − 上任意一点，则点 P 到直线 : 6 0l x y+ − = 的距离的最小值为（ ） A．2 2 B．3 2 C． 5 2 2 D． 9 2 2 5．用 6 种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色， 则不同的涂色方法有（ ） A．240 B．360 C．480 D．600 6．已知等差数列 na 与 nb 的前 n 项和分别为 nS ， nT ，且 2 3 1 n n S n T n + = + ，则 5 10 a b 的值为（ ） A． 13 11 B． 21 10 C． 13 22 D． 21 20 7. 若 f(x)＝ln x＋ax2－2 在区间   1 2 ，2 内存在增区间，则 a 的取值范围是( ) A. （－∞，－2] B.    － 1 8 ，＋∞ C.    －2，－ 1 8 D. (－2，＋∞) 8．拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数 ( )f x 在[a， ]b 上连续，且在 ( , )a b 上可导，则必有 ( , )a b  ，使 得 )()())(( afbfabf −=−  ．已知函数 1 ( ) x x f x e − − = ， a ， [0b ，2]， ( ) ( )f b f a b a  − = − ，那么实数的最大值 为 ( ) A．1 B． e C． 1 e D．0 二、多选题 9．如图是导函数 ( )y f x=  的图象，则下列说法正确的是（ ） A． (0,3)为函数 ( )y f x= 的单调递减区间 B． ( 1,3)− 为函数 ( )y f x= 的单调递增区间 C．函数 ( )y f x= 在 3x = 处取得极大值 D．函数 ( )y f x= 在 5x = 处取得极小值 试卷第 2 页，共 4 页 10．内江六中某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理、化学 5 节课，且该天上午总共 5 节课，下列结论 正确的是（ ） A．若数学课不安排在第一节且不在最后一节课，则有 72 种不同的安排方法 B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有 48 种不同的安排方法 C．若语文课和数学课不能相邻，则有 72 种不同的安排方法 D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有 40 种不同的安排方法 11. 在等差数列 na 中，首项 1 0a  ，公差 0d  ，前n 项和为 ( ) * nS nN ，则下列命题中正确的有（ ） A．若 7 8S S ，则 6 7S S B． 若 7 8S S ，则 8 0a  C．若 3 11S S= ，则 14 0S = D． 若 3 11S S= ，则 7S 是 nS 中的最小项 12．已知函数 ( ) exf x kx= − ， ( ) ln= −g x k x x ， 0k  ，则（ ） A．当 ek  时，函数 ( )f x 有两个零点 B．存在某个 ( )0,k + ，使得函数 ( )f x 与 ( )g x 零点个数不相同 C．存在 ek  ，使得 ( )f x 与 ( )g x 有相同的零点 D．若函数 ( )f x 有两个零点 ( )1 2 1 2,x x x x ， ( )g x 有两个零点 3x ， ( )4 3 4x x x ，一定有 1 4 2 3x x x x= 三、填空题 13．若函数 ( )f x 的导函数为 ( )f x ，且满足 ( ) ( )2 1 lnf x f x x= + ，则 ( )ef = ． 14．已知数列 na 满足 1 3a = ， 1 1 , 1 , n n n a n a n a + −  =    为奇数 为偶数 ，则 7a = ______，数列 na 的前 99 项和为______． 15．某公园新购进 3 盆不同的锦紫苏、2 盆不同的虞美人、1 盆郁金香共 6 盆盆栽，现将这 6 盆盆栽摆成一排， 则郁金香不在两边，任意两盆锦紫苏不相邻的摆法共有 . 16．已知定义在R 上的函数 ( )f x 关于 y 轴对称，其导函数为 ( )f x ，当 0x  时，不等式 ( ) ( ) 1xf x f x+  ．若对 x R ， 不等式 ( ) ( )e e ex x xf axf ax ax−  − 恒成立，则 a 的取值范围是 . 四、解答题 17．记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和．已知， 2 3 = 2 n n n S + (1)求 na 的通项公式； (2)设 1 1 n n n b a a + = ，求数列 nb 的前 n项和． 试卷第 3 页，共 4 页 18．已知曲线 3( )f x x ax b= + + 在点 (2, 6)P − 处的切线方程是13 32 0x y− − = . （1）求 a ，b 的值； （2）如果曲线 ( )y f x= 的某一切线与直线 l： 1 3 4 = − +y x 垂直，求切点坐标与切线的方程. 19．已知函数 ( ) 2ln ( ) m f x x x m x = − + R ． (1)当 3m = − 时，求函数 ( )f x 的单调区间； (2)若不等式 ( ) 0f x  对任意的 [1, )x + 恒成立，求实数 m 的取值范围． 20．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，2 3 2n nS a= − ，其中 *nN ． (1)求数列 na 的通项公式； (2)设 1 2 n nb n a   = −    ，数列 nb 的前 n 项和 nT ，若对任意 *nN 且 2n  ， ( )2 1 ( 1)nT n −  − 恒成立，求实数的 取值范围． 试卷第 4 页，共 4 页 21. 已知函数 ( ) ( )1nf x x ax a= − R ． （1）讨论函数 ( )f x 的单调性； （2）证明不等式 2e ( )x ax f x− −  恒成立． 22. 已知函数 ( ) 1 ln 1f x x a x   = − −    ． (1)若 ( ) 0f x  恒成立，求实数 a 的值； (2)证明： ( ) 1 1 1 sin sin sin ln 2 1 2 2 n n n n + ++   + + N ． 高二（下）期高2025届第一次月考数学试题 答案 一、单选题 1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7. D　8.C 8.解：因为函数f（x）在[a，b]上连续，且在（a，b）上可导，则必有一ξ∈（a，b），使得，又函数，可得，所以f′（ξ），此时， 又，所以λ，因为ξ∈（a，b），且a，b∈[0，2]，所以ξ∈（0，2），不妨设，函数定义域为（0，2），可得，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当1＜x＜2时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以当x＝1时，函数g（x）取得极大值也是最大值，最大值g（1），则当ξ＝1时，λ取得最大值，最大值为．故选：C． 二、多选题 9.BCD 10.AC 11.BC 12.ACD 12.【详解】由，令，令， 即在上单调递减，在上单调递增，即， 对于A项，当时，则，又易知，且时，， 根据零点存在性定理可知函数在和内各有一个零点，故A正确； 对于B项，当时，此时，则有一个零点，当时，，则此时无零点，又易得， 则，函数的零点个数与的零点个数相同，故B错误； 对于C项，由A、B项结论可知：当时，有两个零点，， 同时有两个零点，，则根据单调递增可知，存在唯一的满足成立， 有， 若C正确，因为，则只能有，即，由题意易知：， 令，则时，，时，，故在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，， 设，，因为，时，，， 所以存在，使得，即，所以，， 即存在，使得与有相同的零点，故C正确； 对于D项，由C项结论可知，此时，则由，故D正确. 三、填空题 13. 14．①. ②. 15.120 16. 15．【解析】 使用插空法，先排2盆虞美人、1盆郁金香有A种摆法，然后将3盆锦紫苏放入到4个位置中有A种摆法，根据分步乘法计数原理有AA种摆法．扣除郁金香在两边的情况，排2盆虞美人、1盆郁金香有2A种摆法，再将3盆锦紫苏放入到3个位置中有A种摆法．根据分步乘法计数原理有2AA种摆法．所以共有AA－2AA＝120种摆法． 16.【详解】定义在上的函数关于轴对称，函数为上的偶函数．令，则,为奇函数．．当时，不等式．，在单调递增．函数在上单调递增．对，不等式恒成立，, 即．当时，，则，则；；故在单调递减，在单调递增；可得时，函数取得极小值即最小值，．当时，，则，则则的取值范围是.故答案为：. 四、解答题 17． (1) (2) 【详解】（1）解：由等差数列的前n项和， 可得，，可得，所以公差 ， 所以的首项为2，公差为1，可得通项公式为. （2）解：由（1）知，可得，设数列的前n项和为， 则. 18．（1）；（2）,或. 【详解】（1）∵的导数，由题意可得， ，解得，. （2）∵切线与直线垂直，∴切线的斜率.设切点的坐标为，则， ∴.由，可得，或. 则切线方程为或. 即或. 19． (1)递增区间为，递减区间为 (2) 【详解】（1）当时，，其定义域为，， 令，得（舍去），当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减．所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）方法1：由条件可知，于是，解得．当时，， 构造函数，，， 所以函数在上单调递减，于是，因此实数m的取值范围是． 方法2：由条件可知对任意的恒成立， 令，，只需即可．， 令，则，所以函数在上单调递增， 于是，所以函数在上单调递增， 所以，于是，因此实数m的取值范围是． 20．(1) (2) 【详解】（1）当时，，当时，， 两式相减，得，又，所以数列为等比数列，首项为2，公比为3， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，， 则有， 两式相减得：， 于是得，因为且，， 当时，数列是递增数列，所以的最小值为18，因此. 21. 【详解】（1），当时，，所以在上单调递增； 当时，令，得到，所以当时，，单调递增， 当，，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）设函数，则，可知在上单调递增. 又由，知，在上有唯一实数根，且，则，即. 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，结合，知， 所以，则， 即不等式恒成立. 22. （1）因为，所以， 当时，因为，所以恒成立，则在上单调递增，且，所以恒大于等于零不成立；当时，由得，，易知当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增. 则，若恒成立，则 令，则，在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，所以当时，. 综上，若恒成立，则； （2）由（1）得，当时，恒成立，即，当且仅当时等号成立， 令，则，，，                  所以，，， 令，则恒成立，所以函数在上单调递增， 故当时，，即． 所以，，，所以 . 【点睛】方法点睛：导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和(常常用到裂项相消法求和)达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到. 试卷第2页，共16页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$