四川省内江市第六中学（创新班）2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题

试卷第 1页，共 4页 高二（下）期高 2025 届第一次月考数学试题（创新班） 考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分 一、单选题（满分 40 分，每小题 5分） 1．已知数列 na 为等差数列， 4 85, 29a a  ，则 na 的公差为（ ） A．2 B．6 C．1 D．14 2．已知   3 2 3 2 2 , 0 , 0 x x xf x x ax x        为奇函数，则 a （ ） A． 2 B．2 C．1 D． 1 3．已知函数   3f x x ，则函数  1 1y f x   的图象（ ） A．关于点  1,1 对称 B．关于点  1,1 对称 C．关于点  1,0 对称 D．关于点  1,0 对称 4．若函数    ln e 1xf x ax   为偶函数，则实数 a的值为（ ） A． 1 2  B．0 C． 12 D．1 5．已知 1.53, ln15, ea b c   ，则（ ） A． a b c  B． c a b  C．b a c  D． a c b  6．已知二次函数  2y x b a x ab     的图象与 x轴交于A、 B两点，图象在A、 B两点处的切线相交于 点 P．若 1ab  ，则 ABP 的面积的最小值为（ ） A．1 B． 2 C． 2 D．4 7．已知定义在R上的函数  f x 满足    sin cos 0xf x xf x  ，则（ ） A． π π3 3 6 f f         B． π π3 6 3 f f         C． π π3 3 6 f f           D． π π3 6 3 f f           8．已知函数  f x 的定义域为R ，且  2 2f x   为奇函数，  3 1f x  为偶函数，  1 0f  ，则   2024 1k f k   =（ ） A．4036 B．4040 C．4044 D．4048 二、多选题（满分 20 分，每小题 5分，选对但不全得 2分，有错得 0分，全对得 5分） 9． 7 2( )x x  的展开式中，下列结论正确的是（ ） A．展开式共 7项 B． x项系数为 280 C．所有项的系数之和为 2187 D．所有项的二项式系数之和为 128 10．函数  f x 是定义在R 上的奇函数，满足      1 1 , 1 1f x f x f     ，以下结论正确的是（ ） A．  3 0f  B．  4 0f  C． 2023 1 ( ) 0 k f k   D． 2023 1 (2 1) 0 k f k    11．已知正项数列 na 满足 1 , 2 3, n n n n n a a a a a       当 为偶数时 当 为奇数时 ，则下列结论一定正确的是（ ） A．若 1 10a  ，则 2024 1a  B．若 3 16a  ，则 1a 的值有 3种情况 C．若数列 na 满足 2n na a  ，则 1 3a  D．若 na 为奇数，则 1 2n na a  （ 2n  ） 12．已知定义域为R 的函数  f x 满足        2 2 ,f x y f x f y x y xy f x     为  f x 的导函数，且  1 2f   ，则（ ） A．  0 0f  B．  f x 为奇函数 C．  2 7f    D．设   *nb f n n N ，则 2024 2023 2025 2b    三、填空题（满分 20 分，每小题 5 分） 13．已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且 2 2n na S  ，则 7 9a S  . 14．第 33届奥运会于 2024年 7月 26日至 8月 11日在法国巴黎举行，某高校需要选派 4名大学生去当志 愿者，已知该校现有9名候选人，其中4名男生，5名女生，则志愿者中至少有2名女生的选法有 种 （用数字作答）. 试卷第 2页，共 4页 15．在平面直角坐标系 xOy中，点A在曲线 lny x 上，且该曲线在点A处的切线经过点  e, 1  （ e为自然 对数的底数），则点A的坐标是 ，切线方程为 ． 16．已知直线 y kx b  与函数   21 ln 2 f x x x  的图象相切，则 k b 的最小值为 ． 四、解答题（满分 70 分） 17．（本小题满分 10 分）设数列 na 的前 n项和为 nS ，已知 2 17S  ， 5 7 nS n      是公差为 1 2 的等差数列． (1)求 na 的通项公式； (2)设 1 1 n n n b a a   ，求数列 nb 的前 n项和 nT ． 18．（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 P ABC中， 2, 2     AB BC PA PB PC AC ，O为 AC的 中点．点M 在棱 BC上 (1)证明：平面 POM 平面 ABC； (2)若 2MC MB ，求点C到平面 POM 的距离． 试卷第 3页，共 4页 19．（本小题满分 12 分）2024年元旦期间，辽宁省推出了将冰雪温泉、民俗文化与体育活动深度融合的冬 季主题系列活动．现主委会要招募一批志愿者，应聘者需参加相关测试，测试合格者才能予以录用．测试 备选题中关于冰雪温泉内容的有 3道，关于民俗文化内容的有 4道，关于体育活动内容的有m道．已知应 聘者甲随机抽出 2道题都是关于冰雪温泉内容的概率为 1 15 ． (1)求m的值； (2)招募方案规定：每位应聘者要从备选题中随机抽出 3道题进行测试，至少答对 2道题者视为测试合格．已 知应聘者甲能答对备选题中的 6道题，应聘者乙答对每道备选题的概率都是 3 5 ． （ⅰ）求应聘者甲答对题的数量 X 的分布列和数学期望； （ⅱ）试估计甲、乙两名应聘者谁被录用的可能性大，并说明理由． 20．（本小题满分 12 分）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计 算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检 测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两 个点  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，则曼哈顿距离为：   1 2 1 2,d A B x x y y    ，余弦相似度为：   1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 cos , x x y yA B x y x y x y x y         ，余弦距离为  1 cos ,A B . (1)若  1, 2A  ， 3 4, 5 5 B      ，求 A，B之间的曼哈顿距离  ,d A B 和余弦距离； (2)已知  sin ,cosM   ，  sin ,cosN   ，  sin , cosQ   ，若   1cos , 5 M N  ，   2cos , 5 M Q  ，求 tan tan  的值. 试卷第 4页，共 4页 21．（本小题满分 12 分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yL a b a b     的左顶点  3 0A  , 和下顶点 B，焦距为 4 2，直 线 l交椭圆 L于 C，D（不同于椭圆的顶点）两点，直线 AD交 y轴于 M，直线 BC交 x轴于 N，且直线 MN交 l于 P. (1)求椭圆 L的标准方程； (2)若直线 AD，BC的斜率相等，证明：点 P在一条定直线上运动. 22．（本小题满分 12 分）已知函数   1ln 1f x x a x        ． (1)若 ( ) 0f x  恒成立，求实数 a的值； (2)证明：  1 1 1sin sin sin ln 21 2 2 nn n n       N ．