精品解析：辽宁省本溪市2023-2024学年九年级下学期6月月考数学试题

2023－2024年度（下）九年级模拟检测 数学试卷 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 考生注意：请在答题卡上各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 1 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上透空的感觉和艺术享受，以下四幅剪纸作品中，其图案既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. “清霜醉枫叶，淡月隐芦花”，2023年“十一”节日期间，本溪市推出“秋然丹黄畅游辽宁”枫叶节活动．据同程旅行大数据平台显示，本溪水洞景区接待旅客人次，旅客量创历年“十一黄金周”最高记录，较2019年同期增长．数据人次用科学记数法表示为（ ） A. 人次 B. 人次 C. 人次 D. 人次 6. 如图，点为某光源，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票，根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 8. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 9. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以A为圆心，，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积为（ ） A B. C. D. 10. 如图，矩形中，，，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，以的长为半径作弧，交于点E，连接交于点E；②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧交于点Q，作射线交于点H，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 4 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一元一次不等式的解集是______ 12. 如图，在中，．以点A为圆心，以的长为半径作弧交边于点D．分别以点D，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，则的值为________． 13. 目前，我市很多小区都设置了智能垃圾回收机，居民按要求分类投递垃圾，就能获取可提现的“环保金”，已知某小区智能回收机早晚高峰时段环保金发放标准为0.8元/kg，其他时段为1元/kg，新手注册赠送3.88元环保金．李阿姨注册后的一周内分不同时段共投递6.7物品，共得环保金10.3元．若设李阿姨在高峰时段投递的物品重量为，则x满足的方程为______ 14. 四书五经是“四书”与“五经”的合称，四书之名始于南宋朱熹，五经之名则早始于汉武帝之时，向为历代儒学子首要研学之书经．“五经”是指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，它们是儒家思想的瑰宝，是中国传统文化的重要组成部分．若从这五部著作中随机抽取两部，则抽取的两部恰好是《诗经》和《春秋》的概率是________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P在y轴移动上，连接BP，过A点作直线BP的垂线，垂足为E，交x轴于点F，若，则点P的坐标为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 某超市从厂家购进两种型号水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 型水杯（个） 型水杯（个） 总费用（元） 一 二 （1）求两种型号的水杯进价各是多少元？ （2）第三次进货用元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个型水杯可获利元，售出一个型水杯可获利元，超市决定每售出一个型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐元用于购买防控物资．若、两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？ 18. 近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛通知》，本届大赛以“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为A，B，C，D）．为了解同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图（均不完整）． “中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷 请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后【 】内画“○”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作． A．“诵读中国”经典诵读【 】 B．“诗教中国”诗词讲解【 】 C．“笔墨中国”汉字书写【 】 D．“印记中国”印章篆刻【 】 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）计算本次问卷调查的总人数； （2）请补全条形统计图； （3）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目，由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据题目要求进行诗词讲解，请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率． 19. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 20. 如图，内接于，为直径，过点C作的切线，过点A作的垂线交于点D，平分交于点E． （1）求证：平分． （2）若，，求的长． 21. “人间烟火气，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．青年创业者小王以每件元的价格批发一种玩具，经过一段时间的销售发现，该玩具的每天销售额y（元）与销售单价x（元）之间满足我们学过的某种函数关系，其中部分对应数据如下表： 销售单价x/元 …… …… 每天销售额y/元 …… …… （1）求y与x之间的函数关系式，并指出销售量随销售单价作怎样的变化； （2）小王认为，当销售额最大时，利润有最大值，请你通过计算判断小王的说法是否正确． 22. 如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． （1）求杯体所在抛物线的解析式； （2）将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围； （3）将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3） ①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标__________； ②请直接写出此时杯子内液体最大深度__________． 23. 【概念呈现】： 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． （1）【概念理解】如图①，若，则四边形______（填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； （2）【性质应用】如图①，如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，______； （3）【深度理解】如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明与的数量关系； （4）【拓展提高】如图③，已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，若正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且，，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023－2024年度（下）九年级模拟检测 数学试卷 试卷满分：120分 考试时间：120分钟 考生注意：请在答题卡上各题目规定答题区域内作答，答在本试卷上无效． 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法，根据减法法则计算即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， ， 故选：． 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上透空的感觉和艺术享受，以下四幅剪纸作品中，其图案既是中心对称又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、既是轴对称图形又是中心对称图形，，故C选项合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘、相除、积的乘方、合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、。故该选项是错误的； B、不是同类项，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D 4. 如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先细心观察原立体图形中正方体的位置关系，从正面看去，一共三列，左边的1列最高有1行，中间的1列最高有1行，右边的1列最高有2行，结合四个选项选出答案． 【详解】解：从正面看去，一共三列，左边的1列最高有1行，中间的1列最高有1行，右边的1列最高有2行，故主视图是： 故选． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图及空间想象能力． 5. “清霜醉枫叶，淡月隐芦花”，2023年“十一”节日期间，本溪市推出“秋然丹黄畅游辽宁”枫叶节活动．据同程旅行大数据平台显示，本溪水洞景区接待旅客人次，旅客量创历年“十一黄金周”最高记录，较2019年同期增长．数据人次用科学记数法表示为（ ） A. 人次 B. 人次 C. 人次 D. 人次 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值大于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵ 故选：C 6. 如图，点为某光源，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点F为焦点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平行线的性质求出，再由三角形内角和的性质即可求出． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， 故选：． 7. 九（1）班采用民主投票方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票，根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（ ） A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握平均数、众数、中位数、方差的意义． 根据众数的实际意义求解即可． 【详解】解：班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是众数， 故选：B． 8. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度，密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度 D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； B. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项正确，符合题意； D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 9. 如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以A为圆心，，夹角为，的长为，扇面的长为，则扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形的面积公式，熟知扇形面积公式并能够将不规则图形的面积转化为已学图形的面积是解决本题的关键．根据扇形的面积公式，利用减去即可得扇面的面积． 详解】解：，， ， ． 故选：C． 10. 如图，矩形中，，，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，以的长为半径作弧，交于点E，连接交于点E；②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于长为半径画弧交于点Q，作射线交于点H，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质等；由勾股定理得 ，由等腰三角形的性质得，由勾股定理得 ，即可求解；掌握性质，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， 由①作法得：， ， ， ， ， ， ， ； 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 一元一次不等式的解集是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在中，．以点A为圆心，以的长为半径作弧交边于点D．分别以点D，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点E，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质；连接，过作交射线于，由可判定 ，由全等三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由等腰三角形的判定及性质得 ，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意构建相似三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作交射线于， ， 由作法得：， ， 和中 ， ()， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 13. 目前，我市很多小区都设置了智能垃圾回收机，居民按要求分类投递垃圾，就能获取可提现的“环保金”，已知某小区智能回收机早晚高峰时段环保金发放标准为0.8元/kg，其他时段为1元/kg，新手注册赠送3.88元环保金．李阿姨注册后的一周内分不同时段共投递6.7物品，共得环保金10.3元．若设李阿姨在高峰时段投递的物品重量为，则x满足的方程为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据“注册后的一周内分不同时段共投递6.7物品，共得环保金10.3元”即可列出一元一次方程． 【详解】设李阿姨在高峰时段投递的物品重量为，则其他时段为， 根据题意得． 故答案为：． 14. 四书五经是“四书”与“五经”的合称，四书之名始于南宋朱熹，五经之名则早始于汉武帝之时，向为历代儒学子首要研学之书经．“五经”是指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，它们是儒家思想的瑰宝，是中国传统文化的重要组成部分．若从这五部著作中随机抽取两部，则抽取的两部恰好是《诗经》和《春秋》的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图得出所有等可能的情况数，找出抽取的两部恰好是《诗经》和《春秋》的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：设《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》分别为“A，B，C，D，E”， 列树状图如下： 由列表可知，共有20种等可能的结果，其中恰好选中《诗经》和《春秋》的结果有2种， ∴恰好选中《诗经》和《春秋》的概率 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点P在y轴移动上，连接BP，过A点作直线BP的垂线，垂足为E，交x轴于点F，若，则点P的坐标为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的几何综合应用，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，分类讨论点P在不同位置时的情形是解题的关键．设点P的坐标为，先求出点A和点B的坐标，分点P在y轴负半轴上，在线段上和在的延长线上三种情况讨论，分别证明，求出的长，再根据，即可列方程求解答案． 【详解】解：设点P的坐标为， 令，则， ， ，， 令，则， 解得， ， ， 当点P在y轴负半轴上时， 如图，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ； 当点P在线段上时， 如图，同理可证 ， ， ， ， ， ， ， 方程无解，不合题意，舍去； 当点P在的延长线上时， 如图，同理可证 ， ， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ； 综上所述，点P的坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（）；（），． 【解析】 【分析】（）利用平方差公式，化简立方根，计算负整数次幂，再算乘法，然后再合并即可； （）根据解一元二次方程的解法即可求解； 此题考查了二次根式的混合运算和解一元二次方程，熟练掌握运算法则和解一元二次方程的解法是解题的关键． 【详解】（）解：原式， ， ； （）方法1：解：将原方程化为一般形式，得， 这里，， ∴， ∴， 即，； 方法2：解：原方程可变形为， ， ， 或， ∴，． 17. 某超市从厂家购进两种型号的水杯，两次购进水杯的情况如表： 进货批次 型水杯（个） 型水杯（个） 总费用（元） 一 二 （1）求两种型号的水杯进价各是多少元？ （2）第三次进货用元钱购进这两种水杯，如果每销售出一个型水杯可获利元，售出一个型水杯可获利元，超市决定每售出一个型水杯就为当地“新冠疫情防控”捐元用于购买防控物资．若、两种型号的水杯在全部售出的情况下，捐款后所得的利润始终不变，此时为多少？利润为多少？ 【答案】（1）种型号的水杯进价为元，种型号的水杯进价为元 （2）为元，利润为元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，一次函数的实际应用，整式加减中的无关型问题，解题的关键在于能够正确理解题意． （1）设种型号的水杯进价为x元，种型号的水杯进价为y元，然后根据表格列二元一次方程组，求解即可； （2）设总利润为元，购进种水杯个，根据题意可以得到，再由捐款后所得的利润始终不变，可知值与值无关，所以，得到的值，再代入可得，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：（1）设种型号的水杯进价为x元，种型号的水杯进价为y元， 根据题意得：， 解得：． 答：种型号的水杯进价为元，种型号的水杯进价为元； 【小问2详解】 ∵设总利润为元，购进种水杯个， 依题意，得：， ∵捐款后所得的利润始终不变， ∴值与值无关， ∴， 解得：， ∴， 答：捐款后所得的利润始终不变，此时为元，利润为元． 18. 近日，教育部印发了《关于举办第三届中华经典诵写讲大赛的通知》，本届大赛以“传承中华经典，庆祝建党百年”为主题，分为“诵读中国”经典诵读，“诗教中国”诗词讲解，“笔墨中国”汉字书写，“印记中国”印章篆刻比赛四类（依次记为A，B，C，D）．为了解同学们参与这四类比赛的意向，某校学生会从有意向参与比赛的学生中随机抽取若干名学生进行了问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图（均不完整）． “中华经典诵写讲大赛”参赛意向调查问卷 请在下列选项中选择您有参赛意向的选项，在其后【 】内画“○”（每名同学必选且只能选择其中一项），非常感谢您的合作． A．“诵读中国”经典诵读【 】 B．“诗教中国”诗词讲解【 】 C．“笔墨中国”汉字书写【 】 D．“印记中国”印章篆刻【 】 请根据图表提供的信息，解答下列问题： （1）计算本次问卷调查的总人数； （2）请补全条形统计图； （3）学校“诗教中国”诗词讲解大赛初赛的规则是：组委会提供“春”“夏”“秋”“冬”四组题目，由电脑随机给每位参赛选手派发一组，选手根据题目要求进行诗词讲解，请用列表或画树状图的方法求甲，乙两名选手抽到的题目在同一组的概率． 【答案】（1）200人 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）根据“A”的圆心角度数算出占比，从而算出总人数； （2）根据总人数减去其他三组对应的人数算出“C”的人数，再画图即可； （3）列表，根据概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：本次问卷调查的总人数为， 答：计算本次问卷调查的总人数是200人； 【小问2详解】 解：“C”的人数为（人）； 补全条形统计图如图： 【小问3详解】 解：列表如下： 春 夏 秋 冬 春 （春，春） （春，夏） （春，秋） （春，冬） 夏 （夏，春） （夏，夏） （夏，秋） （夏，秋） 秋 （秋，春） （秋，夏） （秋，秋） （秋，冬） 冬 （冬，春） （冬，夏） （冬，秋） （冬，冬） 总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，甲、乙两名选手抽到的题目在同一组的结果有4种：（春，春），（夏，夏），（秋，秋），（冬，冬）， 所以． 19. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度．（参考数据：，，） 【答案】（1）酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6 （2）线段的长度为21.8 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． （1）过点作于点，根据题意可得，，利用三角函数可得（），易得，即可获得答案； （2）过点作于点H，于点，过点作于点，利用三角函数可解得，的值，再证明为等腰直角三角形，并解得，然后由求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，如下图， ∵，， ∴，， ∵， ∴（）， ∴， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为19.6； 【小问2详解】 如图，过点作于点H，于点，过点作于点， 则（），（）， ∵， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴（）， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（）， 答：线段的长度为21.8 ． 20. 如图，内接于，为直径，过点C作的切线，过点A作的垂线交于点D，平分交于点E． （1）求证：平分． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，求得，得到，根据角平分线的定义得到结论； （2）由（1）知，，等量代换得到，根据三角函数的定义得到，于是得到结论； 【小问1详解】 连接为直径， ∵为直径， ∴， ∴， ∵过点C作的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 21. “人间烟火气，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．青年创业者小王以每件元的价格批发一种玩具，经过一段时间的销售发现，该玩具的每天销售额y（元）与销售单价x（元）之间满足我们学过的某种函数关系，其中部分对应数据如下表： 销售单价x/元 …… …… 每天销售额y/元 …… …… （1）求y与x之间的函数关系式，并指出销售量随销售单价作怎样的变化； （2）小王认为，当销售额最大时，利润有最大值，请你通过计算判断小王的说法是否正确． 【答案】（1），销售量随着销售单价的增长而降低，即每长1元，销售量减少2件 （2）错误 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）由表格可知，y是x的二次函数，且顶点坐标为．设表达式为，代入即可求解； （2）设销售该玩具每天获利w元．可得利润与销售单价的函数关系式，即可求解； 【小问1详解】 解：由表格可知，y是x的二次函数，且顶点坐标为． 设表达式为，代入， 解得． ∴表达式为，化为一般式为． ∵销售量为， ∴销售量随着销售单价的增长而降低，即每长1元，销售量减少2件． 【小问2详解】 解：设销售该玩具每天获利w元． 则． ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为200. 而时，销售额有最大值，此时利润为元，小于元． ∴销售额最大时，利润不是最大，小王的说法是错误的． 22. 如图（1）是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． （1）求杯体所在抛物线的解析式； （2）将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图（2），过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围； （3）将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处（），如图（3） ①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，并求出与轴的交点坐标__________； ②请直接写出此时杯子内液体的最大深度__________． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）； （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，，设抛物线的解析式为，代入计算即可； （2）先确定平移后的解析式为，再计算直线的解析式和直线的解析式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，确定范围即可． （3）①根据题意，画出符合题意的坐标系即可，设与轴的交点为，计算的长即可得到坐标． ②设点是抛物线上的一点，且，；过点作轴，交于点，过点作轴于点，确定，计算得最大值，且最大值为，过点作于点，则． 【小问1详解】 解：，杯子高度（即，之间的距离）为． ，， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线的解析式为， 平移后的解析式为． 抛物线的对称轴为直线，， 的对称点为， ， 平移后， 设直线的解析式为， ， 解得； ； 设直线的解析式为， ， 解得； ， 根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点， ∴； 【小问3详解】 解：①根据题意，建立直角坐标系如下，设与轴的交点为，直线与轴的交点为， ，杯子的高度（即，之间的距离）为． ，， 水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转， ，， ∵， ， ， ， ． 故答案为：； ②抛物线的解析式为， 设点是抛物线上一点，且，； 过点作轴，交于点， 水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转， ，， ∵， ， 过点作轴于点， ∵轴， ，， ， ， ， ， ，， 时，取得最大值，且最大值为， 过点作于点， 则， 故的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正切函数的应用，构造二次函数求最值，特殊角的三角函数值，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，构造二次函数求最值是解题的关键． 23. 【概念呈现】： 当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”；当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形，若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”． （1）【概念理解】如图①，若，则四边形______（填“是”或“不是”）真等腰直角四边形； （2）【性质应用】如图①，如果四边形是真等腰直角四边形，且，对角线是这个四边形的真等腰直角线，当，时，______； （3）【深度理解】如图②，四边形与四边形都是等腰直角四边形，且，，，对角线、分别是这两个四边形的等腰直角线，试说明与的数量关系； （4）【拓展提高】如图③，已知：四边形是等腰直角四边形，对角线是这个四边形的等腰直角线，若正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且，，，请直接写出的长． 【答案】（1）是，理由见解析； （2）或； （3），理由见解析； （4）． 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，读懂题意，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意问题设置的层次性。 （1）利用勾股定理的逆定理证明从而是等腰直角三角形，又因为 是等腰三角形，即可得出结论； （2）由题意知是等腰三角形，当时，由勾股定理可求得，当时，由勾股定理可求得； （3）利用证明得； （4）当时，作交直线于点H，证明四边形是凹四边形，不合题意舍去；当时，构造等腰直角三角形，利用（3）中全等进行转化，从而解决问题． 【小问1详解】 解： ，， ， ， 是等腰直角三角形， 是等腰三角形， ∴四边形是真等腰直角四边形． 故答案为：是； 【小问2详解】 解：∵对角线是这个四边形的真等腰直角线， 因为，，， 是等腰三角形， 当时， 由勾股定理得： 当时，由勾股定理得： 综上：或． 故答案为：2或4； 【小问3详解】 解：由题意知∶和都是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴ ∴． 【小问4详解】 解：由题意知：是等腰直角三角形，当时，如图，作交直线于点H， ，， ， ，即点H在线段上， ， ， 四边形是凹四边形，不合题意舍去； 当时， 如图， 由（3）同理得 是等腰直角三角形， 由勾股定理得 ， 综上：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$