第一章预备知识单元检测卷-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

2023—2024学年高一上学期单元检测卷 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：必修第一册第一章（预备知识） 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则A中元素的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．无数个 2．命题“有偶数是素数”的否定是（    ） A．任意一个奇数是素数 B．任意一个偶数都不是素数 C．存在一个奇数不是素数 D．存在一个偶数不是素数 3．下列不等式中与不等式同解的是（    ） A． B． C． D． 4．定义行列式，若，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 5．《忠经·广至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在实际生活中，新时代的青年不仅要有自己“不私”的觉悟，也要有识破“诈公”的智慧。近期各种视频平台频繁曝光短斤缺两事件，有关部门在进行核查某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，工作人员欲秤100g黄金，工作人员甲先将50g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给工作人员乙，然后工作人员甲又将50g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给工作人员乙，请问工作人员乙所得黄金（    ） A．大于100g B．小于100g C．等于100g D．以上都有可能 6．我校开展以“笔墨飘香书汉字，文化传承展风采”为主题的校园文化节书法大赛活动，高一年级共有42名同学提交比赛作品。其中，有23人提交楷书作品，有17人提交隶书作品，有15人提交行书作品，同时提交楷书和隶书作品的有4人，同时提交楷书和行书作品的有2人.没有人同时提交三种作品，则同时提交隶书和行书作品的有（ ） A.9人 B.8人 C.7人 D.6人 7．若，，且，则的最小值是（ ） A.18 B.16 C.14 D.12 8．若关于x的不等式在时有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分． 9．如果a,b,c,d∈R，则下列选项不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A．a<0 B．的解集为 C．a+b+c<0 D．c>0 11．设一元二次方程的两个实根为，则（ ） A. B.当时，的最小值为 C.为定值 D.当时，a=-7 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知，，则 . 13．已知，，则的范围是 . 14．正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）集合，． (1)求；(2)求． 16．（本题满分15分）某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）. (1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围； (2)设备占地面积x为多少时，y的值最小？并求出最小值。 17．（本题满分15分）设U=R，对于，都有恒成立，其中n的取值范围组成集合A，． (1)当4∈B时，求实数m的范围； (2)设；，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围． 18．（本题满分17分）如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是AD和BC边上的点.沿EF折叠使C与线段AB上的M点重合（M不在端点A,B处），折叠后CD与AD交于点G. （1）证明：△AMG的周长为定值；（2）求△AMG的面积S的最大值. 19．（本题满分17分）封闭集合是一个对数学知识的重要理论。它可以将一组元素的性质连接起来，让我们更容易分析和理解元素之间的关系。封闭集合被广泛应用于许多不同领域。设A为非空实数集，若，都有x+y，x-y，xy∈A，则称A为封闭集． (1)若集合A为封闭集，且1∈A，求集合A； (2)求证：集合为封闭集； (3)若集合，为封闭集，求证：为封闭集。 数学试题答案 一、单项选择题 1．C 【解析】，故集合A中含有6个元素，故选C. 2．B 【解析】由于存在量词命题，否定为.所以命题“有偶数是素数”的否定是“任意一个偶数都不是素数”，故选B. 3．D 【解析】不等式等价为，即，故C错，D正确； 等价于且，故A，B错，故选D. 4．C 【解析】由定义得，，，由题意得，即，所以，解得，故的取值集合为.故选：C. 5．A 【解析】由于天平两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b(不妨设a>b)，第一次称出的黄金重为，第二次称出的黄金重为，由杠杆平衡定理可得，50a=xb，ya=50b， 则，，，故工作人员乙实际所得黄金大于100g．故选． 6．C 【解析】根据题意，画出韦恩图，如图所示，设同时提交隶书作品和行书作品的有x人，则23+17+15-42=2+4+x，解得x=7，即同时提交隶书作品和行书作品的有7人.故选：C 7．B 【解析】因为，所以，已知，由，得， 则， 当且仅当，则由，解得，即当且仅当时，等号成立.所以的最小值为16.故选：B. 8．A 【解析】不等式在时有解，等价于当时，总有：.由二次函数的图象知，当x=2时，，所以.故选A. 二、多项选择题 9．AC 【解析】A选项，若，则，即，所以A选项正确；B选项，若，如c=0，则，所以B选项不正确；C选项，若，根据不等式的性质可知，所以C选项正确；D选项，若，如a=1,b=-2,c=2,d=-3，此时ac<bd，所以D选项不正确。故选：AC. 10．AD 【解析】由不等式和解集的形式可知，a<0，且方程的实数根为x=1或x=-3，由韦达定理可得：，则有：，所以a+b+c=0，且c=-3a>0，故AD正确，C错误；不等式，即，解得:，所以不等式的解集为，故B错误.故选AD. 11．BD 【解析】因为方程有两个实根，所以，解得，由韦达定理得，，选项A，，故A错误；选项B，当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为，故B正确；选项C，，无意义，故C不正确；选项D，当时，∵，∴，解得a=-7，故D正确。故选：BD。 三、填空题 12． 【解析】由题意可得：，，则：，∴. 13． 【解析】设，其中，则，解得，所以，因为，，则，，由不等式的基本性质可得，即. 14． 【解析】因为不等式恒成立，所以，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号是成立的，所以，所以，即，解得. 四、解答题 15．（1）；（2） 【解析】（1）由等价于，...........................2′ ...........................4′ 解得：，所以，...........................6′ 由得,所以,...........................8′ 所以............................10′ （2）因为，...........................13′ 所以. 16．（1）[11,20]；（2）设备占地面积为时，y的值最小7. 【解析】（1）由题意得,要满足题意,则y≤7.2，...........................2′ 即，解得：............................6′ ...........................4′ 即设备占地面积x的取值范围为[11,20]. （2）...........................8′ ...........................10′ 当且仅当时，等号成立...........................12′ ...........................14′ 解得：x=15 所以设备占地面积为时，y的值最小7............................15′ 17．（1）；（2）...........................2′ 【解析】（1）∵4∈B，则有：，...........................4′ 则； （2）对于，都有恒成立， 则有方程的，...........................6′ 即：...........................8′ 解得：，即: 由题可得B是A的真子集， 当B=∅，则；...........................10′ 当B≠∅，即：，则（等号不同时成立），解得...........................12′ 综上：实数m的范围为：............................15′ 18．（1）见解析；（2）△AMG面积的最大值为 【解析】（1）设BM=x,BF=y，0<x<1，则CF=MF=1-y，...........................2′ 由勾股定理可得， 即，由题意，∠GMF=∠DCF=90°， 即∠AMG+∠BMF=90°，可知Rt△AMG∽Rt△BFM，...........................4′ 设△AMG,△BFM的周长分别为，则............................6′ 又因为， 所以，...........................8′ △AMG的周长为定值，且定值为2. （2）设△BFM的面积为，则，...........................10′ 因为，所以 ，...........................12′ 因为1+x>0，则， 因为，所以，...........................14′ ...........................16′ 当且仅当，即时，等号成立，满足x∈(0,1). 故△AMG面积的最大值为............................17′ 19．（1）A=Z；（2）见解析；（3）见解析 【解析】（1）∵集合A为封闭集， ∴，都有x+y，x-y，xy∈A，...........................4′ ...........................2′ 又∵1∈A，则有：2∈A,0∈A,3∈A,-1∈A，......即A=Z...........................6′ （2）任取，（其中，）， 则有：， ∵，则，∴，即，...........................8′ 同理可证得：，，...........................10′ 所以集合是封闭集；...........................12′ （3），则有，， 又∵集合，为封闭集，...........................14′ ∴，，...........................16′ 即，...........................17′ 因此，为封闭集。 学科网（北京）股份有限公司 $$