第03讲 直线的两点式方程（三大题型归纳+易错+分层练）-2024年新高二数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（苏教版2019选修一）

第03讲 直线的两点式方程 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 直线的两点式方程 2 题型02 直线的截距式方程 5 题型03 直线方程的灵活应用 7 易错归纳 11 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 17 创新拓展 23 一、直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ____________________________叫作直线的两点式方程． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等 二、直线的截距式方程 方程＋＝1，其中______称为直线在y轴上的截距，______称为直线在x轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的______________． 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的非零截距，可以直接代入截距式求直线的方程．与坐标轴平行或重合，以及过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 题型01直线的两点式方程 【解题策略】 利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程． (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 【典例分析】 【课本例3】　已知直线l经过两点A(a,0)，B(0，b)(如图)，其中a≠0，b≠0，求直线l的方程． 【例1】（2024高二·全国·专题练习）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 ． 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 题型02 直线的截距式方程 【解题策略】 　截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用． 【典例分析】 【课本例4】　已知三角形的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)(如图)，分别求这个三角形三边所在直线的方程． 【例2】求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 【变式演练】 【变式1】（21-22高二上·浙江·期中）直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）过定点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线截距式方程为 ． 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 题型03 直线方程的灵活应用 【解题策略】 直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 【典例分析】 【例3】在平面直角坐标系中，过点P(3,1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B. (1)若＝，求直线l的截距式方程； (2)求当·取得最小值时直线l的方程． 【变式演练】 【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）直线l过点，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为 . 【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）已知三角形的顶点是，求这个三角形三边所在直线的方程. 【变式3】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线的方程； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 易错点1 忽略直线的斜率不存在致错 1.求经过两点的直线的斜率. 易错点2 忽略直线截距可正、可负、可为0的情况而致误 2.直线过点，且它在轴上的截距是它在轴上的截距的3倍，求直线的方程. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·广西·阶段练习）直线在x轴的截距为（    ） A． B． C． D．1 2．（23-24高二上·全国·课后作业）直线l过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线在轴与轴上的截距相等，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2024高二上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．过任意两点，的直线方程可以写成 B．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为﹣1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 6．（23-24高二上·河北石家庄·期中）下列说法正确的有（    ） A．过点和的直线l的一个方向向量为 B．过点且倾斜角为的直线方程为 C．过两点的直线方程为 D．过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 三、填空题 7．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）一条光线从点射出，经直线y轴反射后过点，则反射光线所在的直线方程为 ． 8．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 . 9．（23-24高二上·江苏·期中）已知两条直线和都过点，则过两点、的直线的方程为 ． 四、解答题 10．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）已知三角形的三个顶点为，，，求： (1)BC所在直线的方程； (2)BC边上的中垂线的方程. 11．（2024高二上·全国·专题练习）求经过点的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 2．（22-23高二上·广西河池·阶段练习）过点在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（22-23高二上·浙江温州·期末）过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 二、多选题 5．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程能表示平行于轴的直线 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点的直线方程为 6．（23-24高二上·吉林松原·期中）下列说法错误的是：（    ） A．直线恒过定点． B．直线在轴上的截距为 C．过点和的直线可以用两点式方程来表示 D．如果两条直线垂直，则他们的斜率之积一定为 三、填空题 7．（23-24高二上·福建厦门·期中）若三点，，在同一条直线上，则的值为 . 8．（23-24高二上·重庆·期中）已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 9．（23-24高二上·湖北·期中）求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ． 四、解答题 10．（23-24高二上·山西·开学考试）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程. 11．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线经过点. (1)若的斜率为2，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为6，求的截距式方程. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 2．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．点到直线的最大距离为 D．直线一定经过第四象限 三、填空题 3．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点，的直线在轴上的截距为 ． 四、解答题 4．（23-24高二上·全国·单元测试）已知直线：，直线：. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若，求直线的方程. 【下节预览】 一、选择题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（2024高二·全国·专题练习）已知，在中， (1)求边的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 直线的两点式方程 【苏教版2019选修一】 目录 题型归纳 1 题型01 直线的两点式方程 2 题型02 直线的截距式方程 5 题型03 直线方程的灵活应用 7 易错归纳 11 分层练习 12 夯实基础 12 能力提升 17 创新拓展 23 一、直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝叫作直线的两点式方程． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等 二、直线的截距式方程 方程＋＝1，其中b称为直线在y轴上的截距，a称为直线在x轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程． 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的非零截距，可以直接代入截距式求直线的方程．与坐标轴平行或重合，以及过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 题型01直线的两点式方程 【解题策略】 利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程． (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 【典例分析】 【课本例3】　已知直线l经过两点A(a,0)，B(0，b)(如图)，其中a≠0，b≠0，求直线l的方程． 解　直线l经过两点A(a,0)，B(0，b)，其中a≠0，b≠0，由直线的两点式方程，得直线l的方程为＝， 即＋＝1. 【例1】（2024高二·全国·专题练习）经过两点的直线方程都可以表示为（    ） A．＝ B．＝ C． D．＝ 【答案】C 【分析】利用直线方程的两点式即可得出. 【详解】当时，由两点式可得直线方程为：＝， 化为：， 对于或时上述方程也成立， 因此直线方程为：. 故选：C. 【变式演练】 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点的直线的两点式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点式方程的定义结合已知条件求解 【详解】因为直线经过点， 所以由方程的两点式可得直线方程为，即． 故选：A 【变式2】（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）过点和点的直线的两点式方程是 ． 【答案】 【分析】直接由直线方程的两点式得出答案 【详解】由题意，不和坐标轴垂直，符合两点式方程的使用条件， 当直线经过时，两点式方程为：， 于是直线的两点式方程为：. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）求过下列两点的直线的两点式方程： (1)，； (2)，． 【答案】(1)；(2). 【分析】由直线两点式方程的定义即可得解. 【详解】（1）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为； （2）因为直线过点，， 所以该直线的两点式方程为 题型02 直线的截距式方程 【解题策略】 　截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用． 【典例分析】 【课本例4】　已知三角形的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)(如图)，分别求这个三角形三边所在直线的方程． 【解析】解　直线AB过A(－5,0)，B(3，－3)两点，由直线的两点式方程，得 ＝， 即3x＋8y＋15＝0， 这就是直线AB的方程． 直线BC在y轴上的截距为2，斜率是k＝＝－， 由直线的斜截式方程，得y＝－x＋2， 即5x＋3y－6＝0， 这就是直线BC的方程． 直线AC在x轴、y轴上的截距分别是－5,2，由直线的截距式方程，得＋＝1， 即2x－5y＋10＝0， 这就是直线AC的方程. 【例2】求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 【解析】解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.又l过点A(3,4)，所以＋＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为＋＝1， 即x－y＋1＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝，所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 【变式演练】 【变式1】（21-22高二上·浙江·期中）直线的截距式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据截距式方程的形式变形． 【详解】方程化为，即为截距式方程． 故选：A． 【变式2】（22-23高二上·江苏连云港·阶段练习）过定点且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线截距式方程为 ． 【答案】/ 【分析】求出所求直线的斜率，可得出所求直线的点斜式方程，化为截距式方程即可得解. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 故所求直线的倾斜角为，所求直线的斜率为， 所求直线方程为，即，截距式方程为. 故答案为：. 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知直线l经过点和点． (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积． 【答案】(1)， ；(2)16 【分析】（1）根据两点式直线写出直线方程，再转化为截距式； （2）由（1）得出直线在两坐标轴上的截距，然后直接计算三角形面积． 【详解】（1）由已知得直线l的两点式方程为，即， 整理得．所以截距式方程为． （2）由（1）知直线l在两坐标轴上的截距分别为4和8， 所以围成的图形的面积为 题型03 直线方程的灵活应用 【解题策略】 直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 【典例分析】 【例3】在平面直角坐标系中，过点P(3,1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B. (1)若＝，求直线l的截距式方程； (2)求当·取得最小值时直线l的方程． 【解析】解　设A(a,0)，B(0，b)，其中a>0，b>0. (1)∵＝， ∴(3－a,1)＝(－3，b－1)， 即解得 ∴直线l的截距式方程为＋＝1. (2)∵A，P，B三点共线， ∴＝， 整理得＋＝1， ∴·＝(3－a,1)·(－3，b－1)＝3a＋b－10＝(3a＋b)－10＝＋≥2＝6，当且仅当＝，即a＝b＝4时，等号成立． ∴当·取得最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0. 【变式演练】 【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）直线l过点，且与x轴、y轴分别交于A，B两点，若点P恰为AB的中点，则直线l的方程为 . 【答案】. 【分析】设,由中点坐标公式可得A，B两点坐标，从而求出直线截距式方程. 【详解】设, 因为点P恰为AB的中点，则，， 所以，即A，B两点的坐标分别为, 由截距式得直线l的方程为，即. 故答案为： 【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）已知三角形的顶点是，求这个三角形三边所在直线的方程. 【答案】答案见解析 【分析】根据已知条件作出图形，利用直线的两点式方程即可求解. 【详解】由题意可知，作出图形如图所示 直线过， 其两点式方程为，整理，得， 这就是边所在直线的方程. 直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为. 直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为 【变式3】（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且． (1)求直线的方程； (2)已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两直线垂直的关系求得直线的斜率，再利用直线的斜截式即可得解； （2）联立与的直线方程，求得它们的交点，再利用截距式与待定系数法即可得解. 【详解】（1）由直线的方程为，，可得直线的斜率为， 又在轴上的截距为， 所以直线的方程为. （2）联立，解得， 因为直线在轴上截距是在轴上的截距的2倍，且过点， 当直线过原点时，方程为：， 当直线不过原点时，设方程为，， 则，解得， 故方程为，即； 综上所述：的方程为或. 易错点1 忽略直线的斜率不存在致错 1.求经过两点的直线的斜率. 【解析】当，即时，直线垂直于轴，其斜率不存在； 当，即时，直线的斜率. 易错点2 忽略直线截距可正、可负、可为0的情况而致误 2.直线过点，且它在轴上的截距是它在轴上的截距的3倍，求直线的方程. 【错解】设直线的方程为，又直线过点，解得，直线的方程为，即. 【错因分析】忽略横、纵截距都为0的情况 【正解】当直线在轴上的截距不为零时，设直线的方程为，又直线过点，解得，.直线的方程为，即. 当直线在轴上的截距为零时，则直线过原点，设其方程为，直线过点，解得，直线的方程为，即. 综上所述，所求直线的方程为或. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二下·广西·阶段练习）直线在x轴的截距为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】令，求出即得． 【详解】根据题意直线， 令，得，所以在x轴的截距为1. 故选：D 2．（23-24高二上·全国·课后作业）直线l过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的两点式方程运算求解. 【详解】因为，则线l的方程为，整理得， 所以直线l的方程为. 故选：D. 3．（23-24高二上·重庆·期末）已知直线在轴与轴上的截距相等，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】就直线过原点与不过原点分类讨论求解. 【详解】当直线过原点时，不成立， 当直线不过原点时，直线的斜率为，即，所以， 故选：D 4．（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解. 【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点，，都在直线l上，点不在直线l上． 故选：D． 二、多选题 5．（2024高二上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（    ） A．过任意两点，的直线方程可以写成 B．若直线在x轴和y轴上的截距相等，则直线的斜率为﹣1 C．若直线的斜率为1，则直线在x轴和y轴上的截距之和为0 D．若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为1 【答案】ABD 【分析】根据直线的各种位置判断A，由截距的概念、斜率的概率判断BCD． 【详解】当或时，直线方程不能写成，故A错误； 当直线过原点时，在x轴和y轴上的截距相等，但斜率不一定为﹣1，故B错误； 设直线在y轴上的截距为b，则直线方程为．令， 得直线在x轴上的截距为，于是，故C正确； 若直线与两坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，则直线的斜率为±1，故D错误． 故选：ABD． 6．（23-24高二上·河北石家庄·期中）下列说法正确的有（    ） A．过点和的直线l的一个方向向量为 B．过点且倾斜角为的直线方程为 C．过两点的直线方程为 D．过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 【答案】AB 【分析】利用直线的方向向量的定义、直线方程的表示形式一一判断求解. 【详解】对A，,所以, 所以是直线l的一个方向向量，A正确； 对B，过点且倾斜角为的直线方程为，即，B正确； 对C，因为两点式方程中，， 所以过两点的直线不一定能表示为两点式方程，C错误； 对D，过点且在x轴、y轴上截距相等且等于0时，直线方程为； 过点且在x轴、y轴上截距相等且不等于0时，设方程为， 则，解得，所以直线方程为，D错误； 故选:AB. 三、填空题 7．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）一条光线从点射出，经直线y轴反射后过点，则反射光线所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】关于y轴的对称点为，反射光线所在的直线即为经过的直线，求的直线方程即可. 【详解】关于y轴的对称点为， 根据光线反射的性质知，反射光线所在的直线即为经过的直线， 由两点式得直线的方程为：，即. 故答案为： 8．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知直线在两坐标轴上的截距相等，则 . 【答案】或 【分析】利用截距的概念分类讨论计算即可. 【详解】当时，直线方程为，不符合题意， 当时，令时，令时， 依题意有：，解得：或， 综上：或， 故答案为：或. 9．（23-24高二上·江苏·期中）已知两条直线和都过点，则过两点、的直线的方程为 ． 【答案】 【分析】先将点代入得到两条直线方程，再由两点都在直线上得到过该两点的直线. 【详解】将点代入两条直线可得， 所以点都在直线上， 而经过两点的直线只有一条，所以直线方程是， 故答案为：. 四、解答题 10．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）已知三角形的三个顶点为，，，求： (1)BC所在直线的方程； (2)BC边上的中垂线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线的两点式方程即可得解； （2）先求出直线的斜率，进而可求得BC边上的中垂线的斜率，求出线段的中点坐标，再根据点斜式即可得解. 【详解】（1）因为，，所以直线BC的方程为， 化简得； （2）， 则BC边上的中垂线的斜率， 线段的中点为， 所以BC边上的中垂线的方程为， 即. 11．（2024高二上·全国·专题练习）求经过点的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式. 【答案】答案见解析 【分析】直接由直线的两点式写出，并转化为其它式. 【详解】过A，B两点的直线的两点式方程是. 化为点斜式为：， 斜截式为：， 截距式为：. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐标系中，直线在轴上的截距为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】A 【分析】对直线方程，令，即可求得结果. 【详解】对方程，令，解得； 故直线在轴上的截距为. 故选：A. 2．（22-23高二上·广西河池·阶段练习）过点在两坐标轴上的截距相等的直线方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】按截距为0和不为0分类讨论分别求得符合题意的直线方程 【详解】当截距时，设直线方程为， 将，代入得，∴方程为 当截距时，过原点和点的直线方程为 又且在两坐标轴上的截距相等， ∴过点A且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和 故选：D. 3．（22-23高二上·浙江温州·期末）过两点，的直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两点式得出直线方程，令，即可解出直线在轴上的截距. 【详解】过两点，的直线的为， 令，解得：， 故选：A. 4．（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解. 【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意， 又因为直线过点，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即， 当直线不过原点时，设直线方程为， 因为点在直线上， 所以，解得， 所以直线方程为， 故所求直线方程为或.故C项正确. 故选：C. 二、多选题 5．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程能表示平行于轴的直线 C．经过点，倾斜角为的直线方程为 D．经过两点的直线方程为 【答案】BD 【分析】AC选项，可举出反例；B选项，当时，满足要求；D选项，设点是经过两点的直线上任意一点，由得到答案. 【详解】A选项，当截距相等且为0时，不可以用方程表示，A错误； B选项，方程中，当时，变为， 此时与轴平行，B正确； C选项，当倾斜角时，此时无意义，不能用表示，C错误； D选项，设点是经过两点的直线上任意一点， 则，其中， 所以， 故经过两点的直线方程为，D正确. 故选：BD 6．（23-24高二上·吉林松原·期中）下列说法错误的是：（    ） A．直线恒过定点． B．直线在轴上的截距为 C．过点和的直线可以用两点式方程来表示 D．如果两条直线垂直，则他们的斜率之积一定为 【答案】BCD 【分析】根据直线方程的性质逐项判断即可得结论. 【详解】直线恒过定点，故A正确； 直线在轴上的截距为，故B错误； 过点和的直线横坐标相同，不可以用两点式方程来表示，故C错误； 如果两条直线垂直，则他们的斜率之积为或一条直线的斜率为另一条直线的斜率不存在，故D错误. 故选：BCD. 三、填空题 7．（23-24高二上·福建厦门·期中）若三点，，在同一条直线上，则的值为 . 【答案】 【分析】求出直线的方程，将代入直线方程，求出答案. 【详解】由题意得直线的方程为，即， 将代入直线中，则，解得. 故答案为： 8．（23-24高二上·重庆·期中）已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为 . 【答案】 【分析】求得点关于轴的对称点的坐标，再用两点式求得反射光线所在的直线的方程． 【详解】由题意利用反射定律可得，点关于轴的对称点在反射光线所在的直线上，故反射光线所在直线的方程为，化简可得. 故答案为：． 9．（23-24高二上·湖北·期中）求经过且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】注意直线过原点的情况，直线不过原点时用截距式结合题意列方程即可求解 【详解】当直线过原点时，方程为， 当直线不过原点时，设直线方程为， 则有，解得， 故直线方程为，即， 综上所述，所求直线方程为或． 故答案为：或． 四、解答题 10．（23-24高二上·山西·开学考试）已知的三个顶点分别为，，. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得直线的斜率，利用点斜式求得边上的高所在直线的方程. （2）先求得点坐标，再根据两点式求得边上的中线所在直线的方程. 【详解】（1），所以直线的斜率为， 所以直线的方程为 （2）线段的中点， 所以直线所在直线方程为.    11．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知直线经过点. (1)若的斜率为2，求的斜截式方程； (2)若在轴上的截距为6，求的截距式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点斜式得到直线的方程，再转换为斜截式； （2）利用截距式得到直线的方程； 【详解】（1）由题意得的方程为，其斜截式方程为. （2）设的截距式方程为. 由题意得，得，所以的截距式方程为. 【创新拓展】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）若过点的直线与坐标轴交于两点，围成三角形的面积为16，则符合条件的直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意可设直线的方程为：，则满足关系式，化简得，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由题意直线显然不过原点，所以不妨设直线：，， 又点在直线上，所以，， 又三角形的面积为16，所以，， 所以，整理得； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 当时，方程变为，解得或满足题意， 将和分别代入，解得对应的分别为； 综上所述：满足题意的直线为：，共有4条. 故选：D. 二、多选题 2．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线：，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴的对称直线为 C．点到直线的最大距离为 D．直线一定经过第四象限 【答案】ABC 【分析】化简直线方程，联立方程组，可判定A正确；由直线，结合对称性和直线方程，可判定B正确；结合直线时，点到直线的距离最大，可判定C正确；根据直线不一定经过第四象限，可判定D错误. 【详解】对于A，由直线，可得， 联立方程组，解得，所以直线过定点，所以A正确； 对于B，当时，直线， 在直线上取两点，则点关于轴对称的点， 点关于轴对称的点， 所以关于轴对称直线为，即，所以B正确； 对于C，由A项知直线过定点， 则当直线时，点到直线的距离最大， 最大距离为，所以C正确； 对于D， 直线不一定经过第四象限，比如：当时，直线：不经过第四象限，所以D错误.   故选：ABC. 三、填空题 3．（23-24高二上·全国·课后作业）经过点，的直线在轴上的截距为 ． 【答案】27 【分析】先求得经过两点和的直线方程，然后求得横截距. 【详解】经过两点和的直线方程为， 即，令，得. 故答案为：27. 四、解答题 4．（23-24高二上·全国·单元测试）已知直线：，直线：. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线过原点与不过原点讨论求得直线方程； （2）根据求出值，再逐一验证. 【详解】（1）①若直线过原点，则在坐标轴的截距都为，显然满足题意， 此时则，解得， ②若直线不过原点，因为直线在两坐标轴上的截距相等， 则斜率为，解得. 因此所求直线的方程为或 （2）若，则解得或. 当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足，故舍去； 当时，直线：，直线：，满足题意； 因此所求直线： 【下节预览】 一、选择题 1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线的倾斜角为，且在轴上的截距为，则直线的一般式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由斜截式方程求解即可. 【详解】由直线的倾斜角可得直线的斜率， 所以直线的方程为，即直线的一般方程为：. 故选：D. 二、解答题 2．（2024高二·全国·专题练习）已知，在中， (1)求边的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由直线的两点式方程化简得. （2）首先得中点，然后结合点坐标，由两点式化一般式即可得解. 【详解】（1）边过两点 由两点式，得，即， 故边的方程是． （2）设的中点为， 则，， 所以， 又边的中线过点， 所以，即， 所以边上的中线所在直线的方程为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$