精品解析：甘肃省兰州市皋兰县第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

皋兰一中2023~2024学年度第二学期期中考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第一册第四章，选择性必修第二册第一章第二章2.3. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理计数判断． 【详解】不同方法的种数是：． 故选：C． 2. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数值直接构造方程求解即可. 【详解】，，解得：. 故选：A. 3. 已知向量，则的值为（ ） A. B. 21 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示计算作答. 【详解】向量，所以. 故选：B 4. 已知函数，则从到的平均变化率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义计算可得. 【详解】. 故选：B. 5. 已知的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（ ） A. 11 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】当n为偶数时，展开式中第项二项式系数最大，当n为奇数时，展开式中第和项二项式系数最大. 【详解】∵只有第7项的二项式系数最大，∴，∴． 故选：C 6. 函数图象连续的函数在区间上（ ） A. 一定存在极小值 B. 一定存在极大值 C. 一定存在最大值 D. 极小值一定比极大值小 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数最值和极值的定义即可得解. 【详解】由函数的最值与极值的概念可知在上一定存在最大值． 故选：C． 7. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用投影向量公式进行求解 【详解】， 故在上的投影向量为． 故选：D． 8. 已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导得到函数单调性，结合得到，由函数单调性得到，故，从而得到，得到答案. 【详解】在上恒成立， 故在上单调递增， 因为，故，所以，故， 所以， 当时，， 故，，则， 故， 综上，，A正确. 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ） A. 若A，不相邻，有72种排法 B. 若A，不相邻，有48种排法 C. 若A，相邻，有48种排法 D. 若A，相邻，有24种排法 【答案】AC 【解析】 【分析】求得A，不相邻时的排法总数判断选项AB；求得A，相邻时的排法总数判断选项CD. 【详解】A，，，，五个人并排站在一起，若A，不相邻， 则先让，，自由排列，再让A，去插空即可， 则方法总数为（种）.则选项A判断正确；选项B判断错误； A，，，，五个人并排站在一起，若A，相邻， 则将A，“捆绑”在一起，视为一个整体，与，，自由排列即可， 则方法总数为（种）.则选项C判断正确；选项D判断错误. 故选：AC 10. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量的共线和垂直的坐标表示，准确计算，即可求解. 【详解】因为向量，可得， 对于A中，由，设，即， 可得，此时方程组无解，所以与不平行，所以A错误； 对于B中，由， 所以，所以B正确； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，由，所以D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极值点为 B. 的最小值为 C. 有两个零点 D. 直线是曲线的一条切线 【答案】BD 【解析】 【分析】利用导数与函数的极值（最值）的关系可判断AB；结合函数的单调性与函数零点的知识可判断C；利用导数的几何意义求得在处的切线方程，从而得以判断. 【详解】因为，所以， 令，得；令，得； 所以在上单调递减；在上单调递增； 所以在处取得唯一极小值，也是的最小值， 所以的极值点为，，故A错误，B正确； 因为，结合在上的单调性，可知是在上的唯一零点； 当时，恒成立，故恒成立，所以在上没有零点； 综上：只有一个零点，故C错误； 因为，， 所以在处的切线方程为，即，故D正确. 故选：BD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：）与时间t（单位：）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为______. 【答案】## 【解析】 【分析】将函数关于求导，再将代入上式的导函数，即可求解． 【详解】因为， 所以， ， 故在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为. 故答案为：. 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据结合数量积与模长的公式求解即可. 【详解】由， 有． 故答案为： 14. 在的展开式中，的系数为______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理分别得到与的展开通项公式即可得解. 【详解】因为的展开通项公式为， 的展开通项公式为， 所以取，得的系数为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知二项式的展开式中共有10项． （1）求展开式的第5项的二项式系数； （2）求展开式中含的项． 【答案】（1）126 （2） 【解析】 【分析】（1）根据项数可求得，根据二项式系数与项数之间关系列出等式，解出即可； （2）由（1）中的，求出通项，使的幂次为4，求出含的项即可. 【小问1详解】 解：因为二项式的展开式中共有10项，所以， 所以第5项的二项式系数为； 【小问2详解】 由（1）知，记含的项为第项， 所以， 取，解得，所以， 故展开式中含的项为. 16. 如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出，，，，五点的坐标； （2）求． 【答案】（1），，，， （2） 【解析】 【分析】(1)根据点的位置写出各点的坐标； (2)先求向量的坐标，再结合向量的坐标运算公式求解. 【小问1详解】 由题可知，，，，， 【小问2详解】 由（1）可知，，， 则， 则. 17. 现有4名男生、3名女生站成一排照相．（用数字作答） （1）两端是男生，有多少种不同的站法？ （2）任意两名男生不相邻，有多少种不同的站法？ （3）男生甲要在女生乙的右边（可以不相邻），有多少种不同的站法？ 【答案】（1）1440 （2）144 （3）2520 【解析】 【分析】（1）特殊位置特殊考虑，先取两位男生放置在两端，另5位全排列，列出等式，计算即可； （2）不相邻问题插空，先将另3名女生全排列，空出4个位置，让男生插空站入， 列出等式，计算即可； （3）排序问题，先在7个位置中找到5个位置，让除甲乙外的另5人排列，后将甲乙站入， 列出等式，计算即可. 【小问1详解】 解：先选2名男生排两端有种方法，再排其余学生有种方法， 所以两端是男生的不同站法有（种）； 【小问2详解】 先排3名女生有种方法，再将4名男生插入4个空隙中有种方法， 所以任意两名男生不相邻的不同站法有（种）； 【小问3详解】 先在7个位置中找到5个位置，让除甲乙外的另5人排列共有：种方法， 再将甲乙按照甲在乙右边的顺序，放置另两个位置中共1种， 所以男生甲要在女生乙的右边的不同站法有（种）． 18. 如图，在半径为4m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为V． （1）求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域； （2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？ 【答案】（1），定义域为； （2）当时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理及圆的周长公式，结合圆柱的体积公式即可求解； （2）根据（1）的结论及导数法求函数的最值的步骤即可求解 【小问1详解】 在中， 因为，所以， 设圆柱的底面半径为r，则，即， 所以，定义域为 【小问2详解】 由（1）得，， ， 令，则，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，圆柱形罐子的体积V最大，最大体积是 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； 【答案】（1） （2）当时，函数在(0,+∞)上单调递增；当时，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；当时，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增 【解析】 【分析】(1)代入，求出即可求得切线方程； (2)函数求导 ，对分类讨论，进而求得单调性. 【小问1详解】 当时，， ，所以，曲线在处的切线方程为. 【小问2详解】 ， ①当时，，所以函数在上单调递增； ②当时，令，则(舍)或， ，当时，函数单调递减； ，当时，函数单调递增. ③当时，令，则或(舍)， ，当时，函数单调递减； ，当时，函数单调递增. 综上所述：当时，函数在(0,+∞)上单调递增； 当时，当时，函数单调递减 当时，函数单调递增； 当时，当时，函数单调递减； 当时，函数单调递增 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 皋兰一中2023~2024学年度第二学期期中考试 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第一册第四章，选择性必修第二册第一章第二章2.3. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 甲，乙，丙3位同学到4个社区参加志愿服务，每人限去一个社区，不同方法的种数是（ ） A. 24 B. 36 C. 64 D. 81 2. 设，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则的值为（ ） A. B. 21 C. D. 4 4. 已知函数，则从到的平均变化率为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则（ ） A. 11 B. 10 C. 12 D. 13 6. 函数图象连续的函数在区间上（ ） A. 一定存在极小值 B. 一定存在极大值 C. 一定存在最大值 D. 极小值一定比极大值小 7. 已知，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. A，，，，五个人并排站在一起，下列说法正确的是（ ） A. 若A，不相邻，有72种排法 B. 若A，不相邻，有48种排法 C. 若A，相邻，有48种排法 D. 若A，相邻，有24种排法 10. 已知空间向量，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极值点为 B. 的最小值为 C. 有两个零点 D. 直线是曲线的一条切线 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知在一次降雨过程中，某地降雨量y（单位：）与时间t（单位：）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为______. 13. 已知，则______． 14. 在的展开式中，的系数为______________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知二项式的展开式中共有10项． （1）求展开式的第5项的二项式系数； （2）求展开式中含的项． 16. 如图，在边长为4的正方体中，，，分别是，，的中点．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）写出，，，，五点的坐标； （2）求． 17. 现有4名男生、3名女生站成一排照相．（用数字作答） （1）两端是男生，有多少种不同的站法？ （2）任意两名男生不相邻，有多少种不同的站法？ （3）男生甲要在女生乙的右边（可以不相邻），有多少种不同的站法？ 18. 如图，在半径为4m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为V． （1）求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域； （2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？ 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $