精品解析：重庆市九龙坡区四川外国语大学附属外国语学校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

重庆实验外国语学校 2023-2024学年度（下）初2025届八下期末考试 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，根据分式的分母不为零和二次根式的被开方数是非负数即可列不等式组求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴且， ∴且， 故选：B． 3. 如图，已知平行四边形的对角线与相交于点O，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是矩形 C. 当时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，菱形，矩形，正方形的判定，以及等腰三角形性质，逐一分析判断即可． 【详解】解：A、当时，四边形是菱形，正确，不符合题意； B、平行四边形的对角线与相交于点O， ，， 当时，，进而得到， 四边形是矩形， 正确，不符合题意； C、四边形是平行四边形， ， ， 当时，，进而得到 四边形是菱形， 正确，不符合题意； D、当时，四边形是矩形，故选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形，正方形的判定，以及等腰三角形性质，掌握以上知识是解题的关键． 4. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意，第一轮传染了x人，第二轮传染了人，根据“经过两轮传染后共有256人感染”列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染平均一个人传染x人， 根据题意，得， 故选：C． 5. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 2015 B. 2033 C. 2024 D. 2027 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及代数式求值，根据一元二次方程判别式与根的关系可得到，进而得到，然后进一步整体代入求解即可． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 有， ， 故选：A． 6. 已知抛物线上有两点，若，且，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质比较函数值的大小是解题的关键． 由，可知抛物线开口向下，对称轴为直线，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越小，由，，可得，进而可得． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越小， ∵，，即 ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，圆内接四边形为的直径，延长交延长线于点E，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形两个锐角互余，熟练掌握直角三角形的相关性质是解答的关键．先利用圆周角定理得到，再利用直角三角形斜边中线性质可推导出为等边三角形，则，然后利用直角三角形两个锐角互余求解即可． 【详解】解：连接，， ∵， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 8. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象等知识．熟练掌握二次函数图象，一次函数图象是解题的关键．分别确定各选项中一次函数的的取值范围，然后判断各选项中对应的二次函数图象的正误即可． 【详解】解：A中的，此时的图象应该开口向下，此时矛盾，故不符合要求； B中的，此时的图象应该开口向上，对称轴，故符合要求； C中的，此时的图象应该开口向上，此时矛盾，故不符合要求； D中的，此时的图象应该开口向下，对称轴，此时矛盾，故不符合要求； 故选：B． 9. 已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接交于点H．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点E作于点M，作延长线的垂线，垂足为点N，可证明，则，可得平分，故，则，根据三角形的内角和定理及平角可表示，而，故． 【详解】解：过点E作于点M，作延长线的垂线，垂足为点N，则， ∵四边形和都是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，外角定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 10. 设a、b为实数，关于x多项式展开后的一次项系数为m，多项式展开后的一次项系数为n，且m、n均为正整数．下列结论： ①当时，则； ②与的平方差的值能被3整除； ③若，则的最大值为1； ④若，则的最小值为． 其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法，完全平方公式，分式的性质，解题时要能熟悉整式的相关变形，注意学会将未知转化为已知去解决． 【详解】解：，， ，且m、n均为正整数． 当时，，则，故①正确； ， ，即， 与的平方差的值能被2，4，8整除，不一定能被3整除，故②错误； ，即， ，即， ， ， ，即的最大值为1，故③正确； ，即， m、n均为正整数． 可取的值为， 当时，，则， 的最小值为，故④正确； 正确的有3个， 故选：C． 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上． 11. 世界最小蜗牛的体长仅为0.0006米，将0.0006用科学记数法应表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，绝对值小于1的数也可以用科学记数法表示，形式为，其中，n由左边第一个不是0的数字前面的0的个数所决定. 根据科学记数法的表示方法解答即可. 【详解】解：将0.0006用科学记数法表示为； 故答案为：. 12. “二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶．八年级计划围绕节气开展主题演讲．其中，小实和小外都打算从“立春”、“立夏”、“立秋”、“立冬”四个节气中选择一个节气进行主题演讲，则恰好他们两人选到同一节气的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法或画树状图法求概率，先画出树状图得到所有等可能的结果，找出符合题意的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：分别设“立春”、“立夏”、“立秋”、“立冬”为A、B、C、D， 画树状图如图： 共有16种等可能的结果，其中恰好他们两人选到同一节气的有4种， ∴恰好他们两人选到同一节气的概率为， 故答案为：． 13. 若，则代数式的值是________． 【答案】9 【解析】 【分析】原式前两项提取a，将已知等式代入计算，再提取3后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：9． 【点睛】本题考查代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解题的关键． 14. 如图，已知正六边形边长为3．以点A为圆心，为半径作圆A，则阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、扇形面积等知识，熟记掌握正多边形的性质是解答的关键．先根据正六边形的性质求得，，然后利用等边三角形的判定与性质结合含30度角的直角三角形的性质求得正六边形的面积，进而减去扇形的面积（即为圆A面积的）即可求解． 【详解】解：设正六边形的中心为O，连接，，过B作于H， ∵六边形是边长为3的正六边形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形，则， ∴，则， ∴， ∴， 又， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 15. 已知四边形是菱形，若，则直线与x轴的交点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键．由四边形是菱形，可知所作的直线垂直平分线段，如图，记所作的直线与轴交于点，连接，则，设，则，，由得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴所作的直线垂直平分线段， 如图，记所作的直线与轴交于点，连接， ∴， 设，则，， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：． 16. 若整数a使关于x的分式方程有非负整数解，且关于y的不等式组有整数解，则满足条件的所有整数a之和是____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解及其解法、一元一次不等式组的解及其解法，先解分式方程，根据分式方程的解得到a的取值范围；再解得不等式组的解集，根据所给不等式组的解集得到a的取值范围，进而可得结果． 【详解】解：解关于x的分式方程，得， ∵该分式方程有非负整数解， ∴且，a为奇数， 解得且，a奇数； 解关于y的不等式组， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵该不等式组有整数解， ∴，解得， ∴且，a为奇数， ∴a的值为，，1，5， 故满足条件的所有整数a之和为， 故答案为：2． 17. 如图，在矩形中，，点P是边上一点，连接，以A为中心，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，且，则的长度为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、旋转性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，是综合性强的填空压轴题，得到点Q的运动路线是解答的关键． 连接，取的中点O，连接，证明是等边三角形，得到，利用含30度角的直角三角形的性质求得，则，证明得到，则点Q在射线上运动，由已知得到，过Q作于M，于N，，则，，利用勾股定理结合等腰直角三角形的性质得到， ，在中，利用勾股定理结合平方根解方程求解x值即可解答． 【详解】解：连接，取的中点O，连接，则， 在矩形中，，，， ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴，则， 连接并延长交于E， 由旋转性质得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴由得 解得，则 ∴点Q射线上运动， ∵ ∴， 过Q作于M，于N，则四边形是矩形， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 在中，，则， ∴， 由得， 解得，则， ∴， 在中，由得， 整理，得，即， ∴，又， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 一个四位自然数M，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且各个数位上的数字互不相等．若M是3的倍数且满足，则称M是一个“四三二一数”．例如，因为，所以是一个“四三二一数”． 最大的“四三二一数” ___．当关于x的二次函数与关于x的一次函数的图象至多有一个交点时，“四三二一数”M的最大值与最小值之和为 _____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根的判别式等知识．理解题意是解题的关键． 由题意知，，则，由M是3的倍数，可知，为正整数，，当是最大的“四三二一数”时，，，则，即，是3的倍数，此时的取值为0，3，6，当时，，，此时是最大的“四三二一数”；由关于x的二次函数与关于x的一次函数的图象至多有一个交点，可得，即，，可求，，当，，，时，“四三二一数”M最大，为； 当是最小的“四三二一数”时，，则，即，是3的倍数，当是最小的“四三二一数”时，，的取值为4，5，6，可知当，，，时，“四三二一数”M最小，为；然后求和即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∵M是3的倍数， ∴，为正整数， ∴， 当是最大的“四三二一数”时，，， ∵， ∴，即， ∴是3的倍数，此时的取值为0，3，6， ∴当时，，当时，此时是最大的“四三二一数”，为， ∵关于x的二次函数与关于x的一次函数的图象至多有一个交点， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴，即， ∴当，，，时，“四三二一数”M最大，为； 当是最小的“四三二一数”时，， ∵， ∴，即， ∴是3的倍数， ∴是最小的“四三二一数”时，，的取值为4，5，6， ∴当，，，时，“四三二一数”M最小，为； ∵， ∴此时，“四三二一数”M最大值与最小值之和为， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1） （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算、解一元二次方程，熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先进行有理数的乘方、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的运算，在加减运算即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）方程可化为，即， ∴或， 解得，． 20. 先化简，再求值：，其中m，n满足． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，非负数，熟练掌握分式的运算顺序和法则，非负数的非负性，是解决本题的关键．分式化简顺序是先算括号内的，再计算除法，最后计算减法．先根据分式的混合运算的法则化简，再根据完全平方式及算术平方根的非负性求出m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ； ， ， ， 当时，原式． 21. 如图，四边形中，，连接． （1）尺规作图：作的平分线交点E（只保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，试探究与的数量关系，并说明理由补全下面的解题过程： 证明：平分 ∴①___________， 又 ②___________ ∵在和中 ∴④___________ 【答案】（1）见解析 （2）①；②；③；④ 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-作角平分线、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出角平分线是解答的关键． （1）根据角平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）根据题干的求解过程进行补充即可． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所求作： 【小问2详解】 证明：平分 ∴， 又 ∵在和中 ∴ ． 故答案为：①；②；③；④． 22. 为了更加有效的培养学生外语能力，某校计划开展“阅读为基，素养为魂”的外语推广活动，现对该校的A、B两校区高中各随机抽取了30名学生，对每名学生一周课后外语阅读时长情况进行了调查，整理分析过程如下：（阅读时长用x表示，且保留整数，单位：分钟，共分为A．；B．；C．；D．；E．五组） 【收集数据】 A区30名高中学生中，一周课后阅读时长在C组的具体数据如下： 72，73，74，75，75，75，75，76，76，76，77，80 【整理数据】 A区的频数分析表如下： 组别 A B C D E A区人数 6 5 12 5 m B区的时长统计图： 【分析数据】 两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表： 校区 平均数 众数 中位数 方差 A区 68 75 n 100.7 B区 68 73 73 97.1 （1）填空：___________，___________，E组的扇形圆心角___________度； （2）根据以上数据，你认为该校A、B区高中学生的一周课后外语阅读情况，哪个校区更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校现A区有900人，B区有1200人，若为优秀，请估计该校A、B区高中学生一周课后外语阅读优秀的总人数是多少？ 【答案】（1）2，75，12 （2）A校区更好，理由见解析 （3）370人 【解析】 【分析】本题考查频数分析表、扇形统计图、用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用调查总人数减去其他已知组的数据可求得m值，根据中位数的求解方法可求得n值；用减去其他组对应的圆心角可求得值； （2）根据表格中的统计量进行分析即可； （3）用各年级的总人数乘以调查中一周课后外语阅读优秀所占的比例即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，， 将A区的30个数据从小到大排列，第15和第16个数据都是75，则中位数， E组的扇形圆心角， 故答案为：2，75，12； 【小问2详解】 解：A校区更好，因为A区的众数和中位数都比B区的高（答案合理即可）； 【小问3详解】 解：（人）， 答：计该校A、B区高中学生一周课后外语阅读优秀的总人数是370人． 23. 如图，在中，，，动点P以每秒2个单位的速度从点B出发，沿折线的路线运动，当点P到达点C后停止运动．过点P作于点D．设点P运动时间为秒，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数图象，并写出该函数的一条性质：___________； （3）若直线的图象与函数y的图象有两个不同的交点，则k的取值范围为__________． 【答案】（1）y关于x的函数关系式为 （2）见解析；当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）分类讨论：当点P在上运动时，，当点P在上运动时，，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理分别求的面积即可求解； （2）利用描点法作图，再根据函数图象的增减性求解即可； （3）分别取临界点、，求得k的值，即可求解． 【小问1详解】 解：当点P在上运动时，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点P在上运动时，， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴y关于x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：如图，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 故答案为：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小； 【小问3详解】 解：当直线的图象经过点时， 得， 解得， 当直线的图象经过点时， 得， 解得， ∴当时，直线的图象与函数y的图象有两个不同的交点， 故答案为：． 【点睛】本题考查用描点法作函数图象、求二次函数解析式、动点函数图象问题、二次函数图象与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、一次函数图象与二次函数的交点问题，根据题意求得关于面积的解析式是解题的关键． 24. 炎炎夏日，吃上一块甘甜多汁的西瓜绝对是一种享受、某水果店出售特小凤西瓜和彩虹西瓜两个品种，其中彩虹西瓜售价比特小凤西瓜每斤高出6元． （1）该水果店第一周卖出特小凤西瓜300斤，彩虹西瓜600斤．这两种西瓜的销售总额为11700元．请问特小凤西瓜和彩虹西瓜每斤售价分别为多少元； （2）根据第一周的销售情况，该水果店对特小凤西瓜的售价进行了调整，第二周与第一周相比，该水果店的特小凤西瓜每斤售价降低，销量增加斤；彩虹西瓜售价不变，销量增加．于是这两种西瓜的第二周销售总额比第一周的销售总额多．求a的值． 【答案】（1）特小凤西瓜每斤售价9元，则彩虹西瓜每斤售价15元； （2） 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）特小凤西瓜每斤售价x元，则彩虹西瓜每斤售价元，根据题意列方程求解即可； （2）根据销售额=单价×销售量列方程求解即可 【小问1详解】 解：设特小凤西瓜每斤售价x元，则彩虹西瓜每斤售价元， 根据题意，得， 解得， ， 答：特小凤西瓜每斤售价9元，则彩虹西瓜每斤售价15元； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得或（舍去）． 25. 如图1，在平面直角坐标系中放置了一块30度的直角三角板，且直角三角板的三个顶点A，B，C均在坐标轴上，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，已知直线上方抛物线上一点D，连接，求的面积最大值以及此时点D的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点C，已知点P为新抛物线上的一点，过B作直线交新抛物线于第四象限的点E，连接，当时，写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）的面积最大值为，此时点D的坐标为 （3）或 【解析】 【分析】（1）先求得，再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）过D作轴于H交于M，设，，先利用待定系数法求得直线的表达式，由三角形的面积公式和坐标与图形性质可得，利用二次函数的性质求解即可； （3）根据平移性质得到新抛物线的表达式，分点P在直线上方和下方，利用三角形的外角性质，结合坐标与图形和含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，，，， ∴，则， 设抛物线的解析式为， 将、代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图1，过D作轴于H交于M，设，， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，面积最大，最大值为， 又当时，， 故点D的坐标为； 【小问3详解】 解：由（1）得：， ∵，， ∴将原抛物线沿射线方向平移，新抛物线与y轴交于点C，即就是将原抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移个单位长度得到新抛物线， 则新抛物线的表达式为，即， 当点P在直线上方时，如图，设直线与新抛物线的另一个交点为F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即轴， 则点P的横坐标为， 当时，， ∴； 当点P在直线下方时，如图，设直线与新抛物线的另一个交点为F，过P作轴于H， 同理可得，又， ∴， ∴在中，， 由得， 设点P的横坐标为x，则， ∴，即 解得或（舍去） 则， ∴， 综上，满足条件点P坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法、二次函数的性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质、坐标与图形、解一元二次方程等知识，综合性强，计算量大，正确求得函数关系式，灵活运用数形结合和分类讨论思想是解答的关键． 26. 为等边三角形，为等腰三角形，其中． （1）如图1，连接，若A、D、E三点共线，且，求的度数； （2）如图2，连接，点M为线段的中点，且，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点P是外一点，且，将沿着点翻折得到，连接，点Q为线段的中点，连接．若，当线段的长度取得最小值时，请直接写出此时的面积． 【答案】（1） （2），见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由为等边三角形，可得，，由，，证明为等边三角形，证明，则，由A、D、E三点共线，可得，根据，计算求解即可； （2）如图2，延长到，使，连接，延长交于，证明，则，，设，，则，，，由，可得，证明，则，，，由，，可得，，根据，求解作答即可； （3）由，点P是外一点，可知四点共圆，如图3，作四边形外接圆，连接并延长交于，连接，则，，，，，如图3，取的中点，连接，则，即在为圆心，为直径的上运动，如图3，连接，交于，此时为的最小值，由翻折的性质可知，，，则，由勾股定理得，，则，如图3，过作于，证明，则，即，可求，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵A、D、E三点共线， ∴， ∴， ∴的度数为； 【小问2详解】 解：，证明如下； ∵点M为线段的中点， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 如图2，延长到，使，连接，延长交于， ∵，，， ∴， ∴，， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：∵，点P是外一点， ∴四点共圆， 如图3，作四边形的外接圆，连接并延长交于，连接， ∵为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 如图3，取的中点，连接， ∴， ∴在为圆心，为直径的上运动， 如图3，连接，交于，此时为的最小值， 由翻折的性质可知，，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 如图3，过作于， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴此时的面积为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，正切，四点共圆，中位线，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质，正切，四点共圆，中位线，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆实验外国语学校 2023-2024学年度（下）初2025届八下期末考试 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 3. 如图，已知平行四边形的对角线与相交于点O，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，四边形是菱形 B. 当时，四边形是矩形 C. 当时，四边形是菱形 D. 当时，四边形是正方形 4. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，若有一人感染了“甲流”，若得不到有效控制，则每轮传染平均一个人传染x人，经过两轮传染后共有256人感染了“甲流”．则关于x的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A. 2015 B. 2033 C. 2024 D. 2027 6. 已知抛物线上有两点，若，且，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，圆内接四边形为的直径，延长交延长线于点E，且，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 已知四边形和都是正方形，点F在线段上，连接交于点H．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 设a、b为实数，关于x多项式展开后的一次项系数为m，多项式展开后的一次项系数为n，且m、n均为正整数．下列结论： ①当时，则； ②与的平方差的值能被3整除； ③若，则的最大值为1； ④若，则的最小值为． 其中正确的有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上． 11. 世界最小蜗牛的体长仅为0.0006米，将0.0006用科学记数法应表示为_______． 12. “二十四节气”是上古农耕文明的智慧结晶．八年级计划围绕节气开展主题演讲．其中，小实和小外都打算从“立春”、“立夏”、“立秋”、“立冬”四个节气中选择一个节气进行主题演讲，则恰好他们两人选到同一节气的概率为_______． 13. 若，则代数式的值是________． 14. 如图，已知正六边形边长为3．以点A为圆心，为半径作圆A，则阴影部分的面积为________． 15. 已知四边形是菱形，若，则直线与x轴的交点的坐标为_____． 16. 若整数a使关于x的分式方程有非负整数解，且关于y的不等式组有整数解，则满足条件的所有整数a之和是____． 17. 如图，在矩形中，，点P是边上一点，连接，以A为中心，将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，且，则的长度为_____． 18. 一个四位自然数M，千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，且各个数位上的数字互不相等．若M是3的倍数且满足，则称M是一个“四三二一数”．例如，因为，所以是一个“四三二一数”． 最大的“四三二一数” ___．当关于x的二次函数与关于x的一次函数的图象至多有一个交点时，“四三二一数”M的最大值与最小值之和为 _____． 三、解答题：（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. （1） （2）解方程： 20. 先化简，再求值：，其中m，n满足． 21. 如图，四边形中，，连接． （1）尺规作图：作的平分线交点E（只保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，试探究与的数量关系，并说明理由补全下面的解题过程： 证明：平分 ∴①___________， 又 ②___________ ∵在和中 ∴④___________ 22. 为了更加有效的培养学生外语能力，某校计划开展“阅读为基，素养为魂”的外语推广活动，现对该校的A、B两校区高中各随机抽取了30名学生，对每名学生一周课后外语阅读时长情况进行了调查，整理分析过程如下：（阅读时长用x表示，且保留整数，单位：分钟，共分为A．；B．；C．；D．；E．五组） 收集数据】 A区30名高中学生中，一周课后阅读时长在C组的具体数据如下： 72，73，74，75，75，75，75，76，76，76，77，80 【整理数据】 A区的频数分析表如下： 组别 A B C D E A区人数 6 5 12 5 m B区的时长统计图： 【分析数据】 两组数据的平均数、众数、中位数、方差如下表： 校区 平均数 众数 中位数 方差 A区 68 75 n 1007 B区 68 73 73 971 （1）填空：___________，___________，E组的扇形圆心角___________度； （2）根据以上数据，你认为该校A、B区高中学生的一周课后外语阅读情况，哪个校区更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）该校现A区有900人，B区有1200人，若为优秀，请估计该校A、B区高中学生一周课后外语阅读优秀的总人数是多少？ 23. 如图，在中，，，动点P以每秒2个单位的速度从点B出发，沿折线的路线运动，当点P到达点C后停止运动．过点P作于点D．设点P运动时间为秒，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出该函数图象，并写出该函数的一条性质：___________； （3）若直线的图象与函数y的图象有两个不同的交点，则k的取值范围为__________． 24. 炎炎夏日，吃上一块甘甜多汁的西瓜绝对是一种享受、某水果店出售特小凤西瓜和彩虹西瓜两个品种，其中彩虹西瓜售价比特小凤西瓜每斤高出6元． （1）该水果店第一周卖出特小凤西瓜300斤，彩虹西瓜600斤．这两种西瓜的销售总额为11700元．请问特小凤西瓜和彩虹西瓜每斤售价分别为多少元； （2）根据第一周的销售情况，该水果店对特小凤西瓜的售价进行了调整，第二周与第一周相比，该水果店的特小凤西瓜每斤售价降低，销量增加斤；彩虹西瓜售价不变，销量增加．于是这两种西瓜的第二周销售总额比第一周的销售总额多．求a的值． 25. 如图1，在平面直角坐标系中放置了一块30度的直角三角板，且直角三角板的三个顶点A，B，C均在坐标轴上，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，已知直线上方抛物线上一点D，连接，求的面积最大值以及此时点D的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点C，已知点P为新抛物线上的一点，过B作直线交新抛物线于第四象限的点E，连接，当时，写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 26. 等边三角形，为等腰三角形，其中． （1）如图1，连接，若A、D、E三点共线，且，求的度数； （2）如图2，连接，点M为线段的中点，且，用等式表示线段与之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点P是外一点，且，将沿着点翻折得到，连接，点Q为线段的中点，连接．若，当线段的长度取得最小值时，请直接写出此时的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $