精品解析：浙江省杭州市临平区2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

八年级数学独立作业 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求． 1. 下列图形中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ） A. B. C. 9 D. 36 4. 用反证法证明“不是有理数”，应先假设（ ） A. 是无理数 B. 不是无理数 C. 是有理数 D. 不是有理数 5. 如图，四边形的对角线，相交于点，下列条件：①；②，．能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ①能，②能 B. ①能，②不能 C. ①不能，②能 D. ①不能，②不能 6. 八年级六位数学老师今年的年龄分别为28，30，30，38，50，52，则5年前这六位老师的年龄数据中没有改变的是（ ） A. 方差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数 7. 如图，点E、F分别是边的中点，点D是上一点，且．若，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 一个菱形的边长为5，两条对角线的长度之和为14，则此菱形的面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 9. 在矩形中，E，F，G，H分别是边，，，上的点（不与端点重合），对于任意矩形．①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是矩形；③有且仅有一个四边形是菱形．结论中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 10. 四边形和四边形都是正方形、E在上，连结交对角线于点H，交于点I、若，则这两正方形的面积之和为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题有6小题，每小题3分，共18分． 11. 若边形的一个内角和为，则_________________． 12. 某地教育局的教师招聘考试按笔试成绩，面试成绩计算综合成绩，甲的笔试成绩为87分，面试成绩为90分，则其综合成绩为__________分． 13. 若a是方程的一个根，则代数式的值是_____． 14. 如图，在中，点E，点F分别是的中点，连接，若平分，，则四边形的周长为______． 15. 如图，延长矩形的边至点，使，连结，若，则____． 16. 我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，等积线被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等积线段”（例如三角形的中线就是三角形的等积线段）．已知菱形的边长为4，且有一个内角为60°，设它的等积线段长为m，则m的取值范围是________. 三、解答题：本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L”形． （1）在图1中再涂黑2格，使新涂黑的图形与原来的“L”形组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形； （2）在图2中再涂黑2格，使新涂黑的图形与原来的“L”形组成的新图形是轴对称图形但不是中心对称图形． 20. 某学校调查八年级学生对“党的二十大”知识的了解情况，从八年级两班各随机抽取了10名学生进行测试，成绩整理、描述和统计如下（单位：分）： 八（1）班10名学生的成绩是：96，83，96，86，99，98，92，100，89，81． 八（2）班10名学生中成绩x在组中的数据是：94，90，92． 八年级（1）班、（2）班所抽取学生的成绩数据统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 a 94 b 42.8 八（2）班 92 93 100 50.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出表格中a，b的值：_______，_______． （2）将八（2）班被抽取的这10名学生的成绩按从高到低进行排名，求其中成绩92的同学的名次，并说明理由 （3）请结合表中数据，说说哪个班级成绩更好一些，并说明理由． 21. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积等于2，求的面积． 22. 如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接．若，求的长． 23. 综合与探究 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形． 【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：． 【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长． 【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长． 24. 已知正方形中，E，F分别是边，上的点（点E，F不与端点重合），且，，交于点P，． （1）如图1，过点C作交于点H， ①求证：． ②若，求的长． （2）如图2，连接，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学独立作业 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求． 1. 下列图形中属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据定义逐一判断即可． 【详解】A．此图形不是中心对称图形，不符合题意； B．此图形不是中心对称图形，不符合题意； C．此图形不是中心对称图形，不符合题意； D．此图形是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形定义，解题的关键是找出对称中心． 2. 二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的意义，被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：根据题意可得出 解得：， 故选：A． 3. 关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是（ ） A. B. C. 9 D. 36 【答案】C 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 4. 用反证法证明“不是有理数”，应先假设（ ） A. 是无理数 B. 不是无理数 C. 是有理数 D. 不是有理数 【答案】C 【解析】 【分析】根据反证法的证明步骤即可． 本题考查了反证法，解题的关键是熟知反证法的证明步骤． 【详解】用反证法证明“不是有理数”，应先假设是有理数． 故选：C 5. 如图，四边形的对角线，相交于点，下列条件：①；②，．能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ①能，②能 B. ①能，②不能 C. ①不能，②能 D. ①不能，②不能 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：①∵； ∴四边形是平行四边形； ②，，不能得出四边形是平行四边形； 故选：B． 6. 八年级六位数学老师今年的年龄分别为28，30，30，38，50，52，则5年前这六位老师的年龄数据中没有改变的是（ ） A. 方差 B. 中位数 C. 平均数 D. 众数 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数以及方差的意义分别进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵八年级六位数学老师今年的年龄分别为28，30，30，38，50，52， ∴5年前这六位老师的年龄数据会改变的是平均数、众数和中位数，不会改变的是方差． 故选：A． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，众数以及方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．众数是一组数据中出现次数最多的数． 7. 如图，点E、F分别是边的中点，点D是上一点，且．若，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由点E、F分别是的中点，得，利用直角三角形斜边中线得，即可求出答案． 【详解】解：∵点E、F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， 在中，，点F是的中点，， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了三角形中位线的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键． 8. 一个菱形的边长为5，两条对角线的长度之和为14，则此菱形的面积为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质可知AC⊥BD，OD＋AO＝7①，进而可利用勾股定理得到OD2＋OA2＝25②，结合①②两式化简即可得到OD•OA的值，再根据菱形的面积公式：两条对角线乘积一半即可得到问题答案． 【详解】解：如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO＝AC，DO＝BO＝BD，AC⊥BD， ∵AC＋BD＝14， ∴OD＋AO＝7①， ∵∠AOB＝90°， ∴OD2＋OA2＝25②， 由①②两式可得49−2OD•OA＝25， 解得：OD•OA＝12， ∴BD•AC＝2OD•2OA＝4OD•OA， ∴菱形面积＝BD•AC＝2OD•OA＝24． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理的运用以及菱形面积公式的运用，解题的关键是利用整体思想求出OD•OA的值，题目的综合性较强，对学生的计算能力要求较高． 9. 在矩形中，E，F，G，H分别是边，，，上的点（不与端点重合），对于任意矩形．①存在无数个四边形是平行四边形；②存在无数个四边形是矩形；③有且仅有一个四边形是菱形．结论中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定定理，熟记各定理是解题的关键．根据直线和的位置关系和特殊四边形的判定即可． 【详解】解：连接，交于O，如图， 过点O直线和，分别交，，，于E，F，G，H， ∵四边形是矩形， ∴, ∴, 则， 同理可证， ∴四边形是平行四边形， ∵直线和存在无数条 ∴存在无数个四边形是平行四边形；故①正确； 当时，四边形是矩形，故存在无数个四边形是矩形；故②正确； 存在无数条直线和，使得，故存在无数个四边形是菱形；故③错误； 则只有①和②正确， 故选：A． 10. 四边形和四边形都是正方形、E在上，连结交对角线于点H，交于点I、若，则这两正方形的面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 延长，分别交于点，设正方形的边长为，正方形的边长为，且，则两正方形的面积之和为，先根据正方形的性质、勾股定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，延长，分别交于点， 设正方形的边长为b，正方形的边长为c，且， 则两正方形的面积之和为， ∵四边形和都是正方形， ，，， ， 四边形是矩形， ， ，， ， 又， ， 在和中，， ， ， ， ， ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题：本题有6小题，每小题3分，共18分． 11. 若边形的一个内角和为，则_________________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了多边形的内角和．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 12. 某地教育局的教师招聘考试按笔试成绩，面试成绩计算综合成绩，甲的笔试成绩为87分，面试成绩为90分，则其综合成绩为__________分． 【答案】88.8 【解析】 【分析】根据加权平均数求解即可． 【详解】解：根据题意：甲的综合成绩为分； 故答案为：88.8． 【点睛】本题考查了加权平均数，熟知加权平均数的计算公式，准确计算是解题的关键． 13. 若a是方程的一个根，则代数式的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．根据方程的根的定义，把代入方程求出的值即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴, 整理得，， 故答案为：． 14. 如图，在中，点E，点F分别是的中点，连接，若平分，，则四边形的周长为______． 【答案】10 【解析】 【分析】易得四边形是平行四边形，由等腰三角形的判定得，从而，即可求得最后结果． 【详解】解：在中，， 即， ∵点E，点F分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 15. 如图，延长矩形的边至点，使，连结，若，则____． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角与内角关系，解题关键是添加辅助线构造等腰三角形，掌握矩形对角线互相平分且相等，对边平行等性质．如图，连接，根据矩形对角线互相平分且相等，对边分别平行，得，，，根据“等边对等角”及平行线的性质得，已知，根据等量代换得，然后根据“等边对等角”，即可得，再根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”，得，求解即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点， 四边形是矩形， ，，， ，则， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 我们规定：将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，等积线被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“等积线段”（例如三角形的中线就是三角形的等积线段）．已知菱形的边长为4，且有一个内角为60°，设它的等积线段长为m，则m的取值范围是________. 【答案】2≤ m≤4 【解析】 【详解】如图， 由“等积线段”的定义可知：当菱形的“等积线段”和边平行时最小， 此时直线l⊥DC，过点D作DN⊥AB于点N， 则∠DAB=60°，AD=4， 故DN=AD•sin60°=2， 当“等积线段”为菱形的对角线时最大， 则DO=2，故AO=2，即AC=4， 则m的取值范围是：2≤m≤4． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，读懂题意，弄明白”等积线段”的定义，并准确判断出最短与最长的“等积线段”是解题的关键． 三、解答题：本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算． （1）先利用二次根式的性质化简，再计算二次根式的减法. （2）先利用完全平方公式以及平方差公式展开，再进行二次根式的混合运算． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ∴， ∴， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活运用合适的方法求解是解本题的关键．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次． 19. 如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L”形． （1）在图1中再涂黑2格，使新涂黑的图形与原来的“L”形组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形； （2）在图2中再涂黑2格，使新涂黑的图形与原来的“L”形组成的新图形是轴对称图形但不是中心对称图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形和中心对称图形的定义画图即可； （2）根据轴对称图形和中心对称图形的定义画图即可． 【小问1详解】 解：如图1，作图不唯一，符合要求即可； 【小问2详解】 解：如图2，作图不唯一，符合要求即可． 【点睛】本题考查基本作图-画轴对称图形和中心对称图形，解答的关键是理解并掌握它们的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 20. 某学校调查八年级学生对“党的二十大”知识的了解情况，从八年级两班各随机抽取了10名学生进行测试，成绩整理、描述和统计如下（单位：分）： 八（1）班10名学生的成绩是：96，83，96，86，99，98，92，100，89，81． 八（2）班10名学生中成绩x在组中的数据是：94，90，92． 八年级（1）班、（2）班所抽取学生的成绩数据统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八（1）班 a 94 b 42.8 八（2）班 92 93 100 50.4 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出表格中a，b的值：_______，_______． （2）将八（2）班被抽取的这10名学生的成绩按从高到低进行排名，求其中成绩92的同学的名次，并说明理由 （3）请结合表中数据，说说哪个班级成绩更好一些，并说明理由． 【答案】（1）92，96 （2）第6名，见解析 （3）八（1）班成绩更好一些，见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数和众数的定义进行计算即可； （2）根据中位数的定义，结合x在组中的数据，可得92分为第6名． （3）从平均数，中位数，众数，方差总体进行对比分析即可． 【小问1详解】 解：八（1）班的平均数为：； 八（1）班抽取的10名学生成绩中96出现的次数最多，故众数为96； ，． 故答案为：92，96． 【小问2详解】 八（2）一共10名学生，中位数应该是第5名和第6名的平均数，而x在组中的数据是：94，90，92，从高到低排列为：94，92，90． ∴第5名为94分，第6名为92分． 成绩92的同学的为第6名． 【小问3详解】 两个班的平均成绩相同，但八（1）班的中位数比八（2）高，方差比八（2）小，因此八（1）班总体成绩较高且较稳定．所以八（1）班成绩更好一些． 【点睛】本题考查了平均数，众数，中位数，方差，用样本估计总体等，熟练掌握平均数，众数，中位数，方差的概念是解题的关键． 21. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积等于2，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：，， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 22. 如图，在中，点O为线段的中点，延长交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接．若，求的长． 【答案】（1）证明：∵为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（）证，得，再证四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论； （）过点作于点，由矩形的性质得，，再由等腰三角形的性质得，则为的中位线，得，然后由平行四边形的性质得，进而由勾股定理即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即的长为． 23. 综合与探究 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形． 【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：． 【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长． 【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长． 【答案】[操作判断]见解析；[类比探究]1；[问题解决]2 【解析】 【分析】[操作判断]根据折叠的性质得，结合平行四边形的性质可得四边形是菱形，即有； [类比探究]根据平行四边形的性质得和，则，有折叠得，，由结合等腰三角形的性质有，则有，即可得； [问题解决]延长交的延长线于点，由（2）得，设，由平行四边形，，则有和，进一步证明，有和，根据列方程求解即可． 【详解】解： [操作判断]∵将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴． [类比探究]∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵沿着折叠点A的对称点恰好落在对角线上， ∴，， ∴， ∴， ∵点与点C，E共线， ∴， 即， [问题解决]延长交的延长线于点， 由（2）得， ∵沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处， 设， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵恰好落在的中点处， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质和特殊四边形的性质． 24. 已知正方形中，E，F分别是边，上的点（点E，F不与端点重合），且，，交于点P，． （1）如图1，过点C作交于点H， ①求证：． ②若，求的长． （2）如图2，连接，若，求的长． 【答案】（1）①见解析；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理， （1）①由正方形的性质可得出，，进而可得出，证明，由三角形全等的性质可得出，等量代换可得出，根据三角形内角和定理即可得出，即可证明；②先利用勾股定理求出，再利用等面积法求出，再利用勾股定理求出，再证明，由三角形全等的性质可得出，再根据线段的和差即可得出答案． （2）过点C作交于点H，根据题意设，由（1）知，利用勾股定理得，解得，再结合（1）知，即可求得答案． 【小问1详解】 证明：①∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②∵，，， ∴， ∵， 即， 解得：． ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 过点C作交于点H，如图， ∵， ∴设， 由（1）知， 在中，，则，解得（负值舍去）， 由（1）知， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $