精品解析：福建省三明市2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期期末教学质量检测 七年级数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 2．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列体育运动的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是（ ） A. 确定性事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 3. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为 ，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列长度的四根木棒中，能与长度分别为 和长的本棒构成三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小亮在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接．下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 6. 学校定期举行升旗仪式，当国旗班升旗手匀速升旗时，下面哪一幅图可以近似地刻画出国旗上升的高度随时间的变化情况（ ） A. B. C. D. 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 一把直尺和一块三角板(含，角)如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 为迎接学校秋季运动会，甲、乙两位同学在操场上练习长跑，他们长跑的路程与时间之间的图像如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两人练习的长跑路程是 B. 甲、乙两人同时达到终点 C. 前分钟，甲比乙每分钟快 D. 分钟后，乙跑在甲的前面 10. 如图，长方形，E是的中点，点F在上，且， ，G是的中点，H为上的动点，连接，，若 ， ，则周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡相应位置作答，在试题卷上作答，答案无效． 2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算∶ ____________ 12. 如图，点O在直线AB上，，若 ，则的大小为______． 13. 如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为_____． 14. 某灯泡厂的一次质量检查，从2000个灯泡中抽查了100个，其中有2个不合格，则在这2000个灯泡中，估计有_________个为不合格产品． 15. 如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行． 若，，则 的度数为___________． 16. 如图，是等边三角形，点D是边上的一个动点(不与点B，C重合)，连接，点E，F分别在线段的延长线上，且． 当点D从B运动到C的过程中，下列结论： ①与 始终全等; ② 的大小始终不变； ③ 的周长始终不变； ④的周长先变小后变大． 其中正确的是__________(写出所有正确结论的序号)． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 18. 先化简，再求值： ，其中 19. 如图， ，求 的度数． 20. 如图，图①是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架如图②所示，已知， ，求证：． 21. 在一个不透明的盒子里只装有红、白、黑三种颜色的球，每个球除颜色外完全相同，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是 （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）能否通过只改变盒子里其中一种颜色球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，写出一种可行的方案；若不能，说明理由． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上求作点D，使；(保留作图痕迹，不要求写作法) （2）在（1）的条件下，连接，若是的平分线，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 23. 科学家实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而有规律的变化．七(1)班“问天兴趣小组”通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度(简称音速)与气温之间的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 音速 331 334 337 340 343 （1）在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量，从表中可以看出气温每升高，音速就提高 ； （2）变量音速v与气温t之间的关系式可以表示为 ； （3）在 发生闪电的夏夜，小明在看到闪电5秒后听到雷声，那么发生打雷的地方距离小明大约有多远？(光传播的时间可忽略不计) 24. 观察下列等式： ，，， …… （1）特例感知：根据上述的运算规律填空：： ________ （2）规律表示：设m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律____________ （3）类比探究：小聪同学通过计算下列两位数的乘积： ，…… 她发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b(其中a，b为小于10的正整数)，请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 25. 【综合实践】 折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，传到全世界．折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动． 【操作探究】 操作探究一 动手操作： 步骤1：如图1，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：再沿着过点的直线折叠纸片，使点的对应点落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点，连接，，． 问题探究一： （1）试说明： ； （2）若点，，在同一条直线上，连接，则的度数为______． 操作探究二 动手操作： 步骤1：如图2，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：再沿着直线折叠纸片，点的对应点落在长方形纸片内，连接， ，． 问题探究二： 判断与的位置关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年第二学期期末教学质量检测 七年级数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效． 2．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列体育运动的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形的识别．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，符合题意， 选项A、C、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 2. 杜牧《清明》诗中写道“清明时节雨纷纷”，从数学的观点看，诗句中描述的事件是（ ） A. 确定性事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：“清明时节雨纷纷”这个事件是随机事件， 故选：D． 3. 我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为 ，它与π的误差小于．将用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据用科学记数法表示较小的数的方法进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为，故C正确． 故选：C． 4. 下列长度的四根木棒中，能与长度分别为 和长的本棒构成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键． 根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边逐项判断即可． 【详解】A．，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B．，能构成三角形，故本选项符合题意； C．，不能构成三角形，故本选项不符合题意； D．，不能构成三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小亮在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接．下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟知：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；是解本题的关键．根据平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、，和邻补角，不能证明； B、，和是同旁内角，同旁内角相等不能证明； C、，根据同旁内角互补，能证明； D、，与邻补角，不能证明． 故选：C． 6. 学校定期举行升旗仪式，当国旗班升旗手匀速升旗时，下面哪一幅图可以近似地刻画出国旗上升的高度随时间的变化情况（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用图象表示的变量间关系，根据题意明确因变量随自变量变化的趋势是解题的关键．利用用图象表示变量间关系的方法解答即可． 【详解】解：∵升旗手匀速升旗， ∴高度h将随时间t的增大而均匀增大， ∴用上升趋势的直线型表示， ∴只有B符合题意， 故选：B． 7. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘法、完全平方公式、多项式乘多项式等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 根据了单项式乘法、完全平方公式、多项式乘多项式逐项判断即可． 【详解】解：A. ，则该选项计算正确，符合题意； B. ，则该选项计算错误，不符合题意； C. ，则该选项计算错误，不符合题意； D. ，则该选项计算错误，不符合题意． 故选A． 8. 一把直尺和一块三角板(含，角)如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，先根据平行线的性质得出，然后再求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 9. 为迎接学校秋季运动会，甲、乙两位同学在操场上练习长跑，他们长跑的路程与时间之间的图像如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲、乙两人练习的长跑路程是 B. 甲、乙两人同时达到终点 C. 前分钟，甲比乙每分钟快 D. 分钟后，乙跑在甲的前面 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了函数图象的理解和分析，解题的关键是根据图象分析出需要的条件．根据给出的函数图象分别判断出甲、乙两人的路程，行驶的时间和速度即可求解． 【详解】解：A、甲、乙两人练习的长跑路程是，选项正确，不符合题意； B、根据图象可知，甲、乙两人同时达到终点，选项正确，不符合题意； C、根据图象可知：前分钟甲的速度为：（米/分）， 乙的速度为：（米/分）， 前分钟，甲比乙每分钟快（米），选项正确，不符合题意； D、分钟后，甲在前，乙在后，选项错误，符合题意． 故选：D． 10. 如图，长方形，E是的中点，点F在上，且， ，G是的中点，H为上的动点，连接，，若 ， ，则周长的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，解决问题的关键是作辅助线，利用两边之和大于第三边解决问题； 取的中点M，连接 、 ，可得首先证明和得，根据，当E，H，M三点共线时，的值最小，再根据G是的中点，M是的中点，得，即可得出周长的最小值。 【详解】取的中点M，连接 、 ， 在和中 ， ， 在和中， ， , ， 四边形是长方形，E是的中点，M是的中点， 四边形是长方形， ， .， 当E，H，M三点共线时，的值最小， 最小值为， G是的中点，M是的中点，， , 周长的最小值是， 故选：D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡相应位置作答，在试题卷上作答，答案无效． 2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算∶ ____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法法则，进行求解即可． 【详解】解：； 故答案为： 12. 如图，点O在直线AB上，，若 ，则的大小为______． 【答案】30° 【解析】 【分析】根据图示，利用平角求出∠BOC的度数，然后利用垂直，即可求出∠BOD的度数． 【详解】∵ ， ∴． ∵，即， ∴． 故答案为：30°． 【点睛】此题考查角的运算，运用平角和垂直的定义是解题的关键． 13. 如图，已知AC=DB，要使△ABC≌△DCB，则需要补充的条件为_____． 【答案】AB=DC(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题中有公共边BC=CB，利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC即可． 【详解】解：由题意可知：AC=DB，BC=CB， ∴利用SSS来判定全等则只需要添加条件AB=DC， 故答案为：AB=DC(答案不唯一)． 【点睛】本题考查三角形全等的判定，掌握判定定理是本题的解题关键． 14. 某灯泡厂的一次质量检查，从2000个灯泡中抽查了100个，其中有2个不合格，则在这2000个灯泡中，估计有_________个为不合格产品． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查利用样本估计总体，利用总数乘以样本中的频率进行求解即可． 【详解】解：（个）； 故答案为：40． 15. 如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行． 若，，则 的度数为___________． 【答案】##145度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意过点作直线是解题关键. 【详解】解：如图所示： 设工作篮底部所在直线为，支撑平台所在直线为， 则 过点作直线，则 ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 16. 如图，是等边三角形，点D是边上的一个动点(不与点B，C重合)，连接，点E，F分别在线段的延长线上，且． 当点D从B运动到C的过程中，下列结论： ①与始终全等; ② 的大小始终不变； ③的周长始终不变； ④的周长先变小后变大． 其中正确的是__________(写出所有正确结论的序号)． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键，先根据等边三角形的性质运用“”可证可判断①；由全等三角形的性质可得,再说明,进而说明,即 ,即可判断②；由全等三角形的性质可得，可得周长，即周长不变，的周长不变即可判定③、④． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在和中，， ，即①正确； ∴， ∴ ∴,则 的大小始终不变，即②正确； ， ∴，和的周长相同， ∴的周长=周长， ∵在点D从B运动到C的过程中，长不变，长先变小后变大， ∴在点D从B运动到C的过程中，和周长周长的变化规律是先变小后变大，即④正确． 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则进行计算即可； （2）根据幂的乘方，积的乘方，单项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值： ，其中 【答案】；7 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据整式乘法混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把代入得： 原式． 19. 如图， ，求 的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题重点考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，同位角相等、同旁内角互补这两条性质解题即可． 【详解】解：，， ，， ， ， ． 20. 如图，图①是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架如图②所示，已知， ，求证：． 【答案】 证明：∵ ， ∴ ，即， 在 和 中 ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先利用等式的性质得出，然后利用证明 ，最后根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 21. 在一个不透明的盒子里只装有红、白、黑三种颜色的球，每个球除颜色外完全相同，其中红球3个，白球5个，黑球若干个．若从中任意摸出一个白球的概率是 （1）求任意摸出一个球是黑球的概率； （2）能否通过只改变盒子里其中一种颜色球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率为，若能，写出一种可行的方案；若不能，说明理由． 【答案】（1） （2）能；将盒子中的白球拿出3个（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键． （1）根据概率公式可直接进行求解； （2）由题意可直接进行求解． 【小问1详解】 解：∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是， ∴盒子中球的总数为：（个）， ∴盒子中黑球的个数为：（个）； ∴任意摸出一个球是黑球的概率为：； 【小问2详解】 解：∵任意摸出一个球是红球的概率为 ∴盒子中球的总量为：， ∴可以将盒子中的白球拿出3个． 22. 如图，在中，． （1）尺规作图：在边上求作点D，使；(保留作图痕迹，不要求写作法) （2）在（1）的条件下，连接，若是的平分线，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） ，理由见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据垂直平分线的作法作出的垂直平分线即可； （2）根据，得出 ，根据角平分线的性质得出，求出，根据直角三角形的性质，求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图，点D即为所求作的点． ∵垂直平分， ∴； 【小问2详解】 解： ，理由如下： ∵， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了尺规作一个角的平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握垂直平分线的性质． 23. 科学家实验发现，声音在空气中的传播速度随温度的变化而有规律的变化．七(1)班“问天兴趣小组”通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度(简称音速)与气温之间的关系如下表： 气温 0 5 10 15 20 音速 331 334 337 340 343 （1）在这个变化过程中， 是自变量， 是因变量，从表中可以看出气温每升高，音速就提高 ； （2）变量音速v与气温t之间的关系式可以表示为 ； （3）在 发生闪电的夏夜，小明在看到闪电5秒后听到雷声，那么发生打雷的地方距离小明大约有多远？(光传播的时间可忽略不计) 【答案】（1）气温，音速，3 （2） （3）1745米 【解析】 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，列函数关系式： （1）直接通过表格，进行作答即可； （2）根据表格，求出气温每升高 ，音速的变化量，写出函数关系式即可； （3）先求出 时的音速，再乘以时间，即可得出结果． 【小问1详解】 解：由表格可知：在这个变化过程中，气温是自变量，音速是因变量，从表中可以看出气温每升高，音速就提高3； 故答案为：气温，音速，3； 【小问2详解】 由表格可知，气温每升高 ，音速增加， ∴； 故答案为：； 【小问3详解】 当时，， ∴打雷的地方距离小明大约有（米）． 24. 观察下列等式： ，，， …… （1）特例感知：根据上述的运算规律填空：： ________ （2）规律表示：设m为整数，且，用含m的等式表示上述运算的一般规律____________ （3）类比探究：小聪同学通过计算下列两位数的乘积： ，…… 她发现结果也存在类似的运算规律．若设其中一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b(其中a，b为小于10的正整数)，请你用含字母a，b的等式表示小聪发现的运算规律，并用所学知识说明你的结论的正确性． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查列代数式、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． （1）根据题目给出的等式，结合发现的规律即可解答； （2）根据题目给出的等式，即可发现规律； （3）根据题目给出的等式，即可发现规律，运用整式的乘法运算即可证得结论． 【小问1详解】 解：， ， ， …… ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设两位数十位上的数字为m，个为上数字为5，m为整数，且， 则， 故答案为：； 【小问3详解】 解：， ， ， ， …… ； ， ． 25. 【综合实践】 折纸是一种将纸张折成各种不同形状的艺术活动，起源于中国，传到全世界．折纸与自然科学结合在一起，发展出了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题展开探究活动． 【操作探究】 操作探究一 动手操作： 步骤1：如图1，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：再沿着过点的直线折叠纸片，使点的对应点落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点 ，连接，，． 问题探究一： （1）试说明： ； （2）若点，， 在同一条直线上，连接，则的度数为______． 操作探究二 动手操作： 步骤1：如图2，将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片； 步骤2：再沿着直线折叠纸片，点的对应点落在长方形纸片内，连接， ，． 问题探究二： 判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】问题探究一：（1）见解析；（2）；问题探究二：，理由见解析 【解析】 【分析】问题探究一：（1）根据折叠的性质和垂直平分线的性质求出结果即可； （2）根据，得出，根据平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后求出结果即可； 问题探究二：根据折叠得出 ，，，，证明，得出，证明 ，得出，根据，得出，最后根据平行线的判定得出结果即可． 【详解】解：问题探究一：（1）根据折叠可知：，，， ∴垂直平分， ∴， ∴ ； （2）长方形纸片中，， 根据折叠可知：，， ∵点D，E，F在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 问题探究二：；理由如下： 根据折叠可知： ，，，， ∴， ∴， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， 即 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $