精品解析：四川省成都东部新区养马高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

成都东部新区养马高级中学2023-2024学年（下） 高2023级期中数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ） A. 横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 2. 已知的三个顶点，则顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为 A. B. C. D. 4. 若向量，则（ ） A. B. C. D. 5. 设是两个不共线的向量，若则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 6. 若的面积为，，，则边的长度等于（ ） A. B. C. 2 D. 3 7. 在直角梯形ABCD中，，点为上一点，且，当的值最大时，（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知,且∥,则（ ） A. －3 B. C. 0 D. 二、多选题：本大题共4小题，共20.0分. 9. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. cos2－sin2 C. cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45° D. 10. 下列说法中错误的为（ ） A. 已知，且与夹角为锐角，则λ的取值范围是 B. 已知，不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 若与平行，则在方向上的投影数量为 D. 若非零，满足，则与的夹角是60° 11. 已知在中，角A，B，所对的边分别为且，，，则下列说法正确的是（ ） A. 或 B. C. D. 该三角形的面积为 12. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的一个对称中心为 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 若，则的最小值为 D. 方程在区间上只有一个根时，实数的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，则___________. 14. 函数的最大值为__________． 15. 已知，则在的投影向量是__________（用坐标表示） 16. 如图，为矩形边中点，，分别在线段、上，其中，，，若，则的最小值为__________． 四、解答题：本大题共6小题，共70.0分. 17. 已知向量， （1）若，求的坐标； （2）若与垂直，求的值. 18. 已知,且是第二象限角. (1)求的值; (2)求的值. 19. 已知向量，，，且向量与共线. （1）证明：； （2）求与夹角的余弦值； （3）若，求的值. 20. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若，，求的值． 21. 如图，是一个半径为2千米，圆心角为的扇形游览区的平面示意图．点C是半径OB上一点，点D是圆弧AB上一点，且，现在线段OC、线段CD及圆弧DB三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每千米为2a元，线段CD及圆弧DB处每千米均为a元．设弧度，广告位出租的总收入为y元． （1）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （2）试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值． 22. 已知的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小： （2）若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都东部新区养马高级中学2023-2024学年（下） 高2023级期中数学试题 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ） A. 横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变 B. 横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 C. 纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变 D. 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的图象变换规律，横坐标伸缩变换，可得结论． 【详解】将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍， 纵坐标不变，得到函数的图象． 故选：A 2. 已知的三个顶点，则顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用和平面向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】因为四边形为平行四边形， 所以，即， 所以， 即， 所以的坐标为. 故选：D 3. 已知，则的值为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，由于,两边平方可知1-sin2x=,因此可知=，故选D． 考点：二倍角正弦公式 点评：主要是考查了二倍角公式的运用，属于基础题． 4. 若向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的运算法则，即可求解. 【详解】由向量，可得. 故选：C. 5. 设是两个不共线的向量，若则（ ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】A 【解析】 【详解】因为+==2，故三点共线. 故答案为A. 6. 若的面积为，，，则边的长度等于（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由面积公式得，再由余弦定理得． 【详解】解：∵的面积为，，， ∴由正弦定理的面积公式，得，即，解之得， 由余弦定理，得， ∴（舍负）， 故选：C． 7. 在直角梯形ABCD中，，点为上一点，且，当的值最大时，（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算，结合二次函数值域的求法求解即可． 【详解】由在直角梯形中，，点为边上一点， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，， 设，则， 则， 又，则，， 则，， 故当时，此时最大，且此时，， 故， 故选：B． 8. 已知,且∥,则（ ） A. －3 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以，解得，故选B. 考点：向量平行的坐标运算 二、多选题：本大题共4小题，共20.0分. 9. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. cos2－sin2 C. cos 15°sin 45°－sin 15°cos 45° D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意，根据二倍角的余弦、正切公式和两角差的正弦公式计算即可. 【详解】选项A：，故A符合题意； 选项B：，故B符合题意； 选项C：，故C不符合题意； 选项D：，故D不符合题意. 故选：AB. 10. 下列说法中错误的为（ ） A. 已知，且与夹角为锐角，则λ的取值范围是 B. 已知，不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 若与平行，则在方向上的投影数量为 D. 若非零，满足，则与的夹角是60° 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，只是与的夹角为锐角的必要而不充分条件，还需把使与同向的的值去掉；对于B，因为与共线，故与不能作为平面的一组基底；对于C，利用投影的定义判断；对于D，利用夹角公式判断 【详解】对于A, 因为与的夹角为锐角, 所以 若与同向，则（）， 所以解得 所以当与的夹角为锐角时，的取值范围为, 故A错误. 对于B, 因为,所以向量, 即共线, 故不能作为平面内所有向量的一组基底,故B正确. 对于C, 与平行，则与的夹角为或，则在方向上的投影数量为或，即在方向上的投影数量为，故C错误 对于D, 因为, 两边平方得, 故 而向量的夹角范围为, 得与的夹角为, 故D错误. 故选: ACD 11. 已知在中，角A，B，所对的边分别为且，，，则下列说法正确的是（ ） A. 或 B. C. D. 该三角形的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用余弦定理求得，利用正弦定理求得，由此求得，进而求得，利用三角形的面积公式求得三角形的面积，从而确定正确选项. 【详解】由余弦定理得，所以， 由正弦定理得，所以， 由于，所以，所以， 三角形的面积为， 故BC选项正确，AD选项错误. 故选：BC. 12. 函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的一个对称中心为 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 若，则的最小值为 D. 方程在区间上只有一个根时，实数的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据函数图象求出函数解析式，然后逐个分析判断即可 【详解】由函数图象可得，所以， 所以，得， 所以， 因为点在函数图象上， 所以，得， 所以， 因为，所以， 所以， 对于A，因为，所以不是函数的对称中心，所以A错误， 对于B，因为，所以直线是函数图象的一条对称轴，所以B正确， 对于C，因为，所以的最小值为，所以C正确， 对于D，当时，，因为方程在区间上只有一个根，所以由图可知或，即实数的取值范围为，所以D错误， 故选：BC 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式直接计算作答. 【详解】因，所以. 故答案为：2 14. 函数的最大值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二倍角的正、余弦公式和辅助角公式可得，结合正弦函数的性质即可求解. 【详解】， 当即即时， 取得最大值，且最大值为. 故答案为： 15. 已知，则在的投影向量是__________（用坐标表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量公式进行计算. 【详解】在的投影向量是. 故答案为： 16. 如图，为矩形边中点，，分别在线段、上，其中，，，若，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，设，然后表示出，由可得，代入中求其模，利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 可知，，分别在线段、上， 设（）， 则， 所以， 所以， ， 所以 ， 设，则， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为． 故答案为： 四、解答题：本大题共6小题，共70.0分. 17. 已知向量， （1）若，求的坐标； （2）若与垂直，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接由向量的数乘及减法运算求解； （2）由向量的数乘及减法运算求得的坐标，再由向量垂直的坐标运算求解． 【详解】（1）. （2） 与垂直，，即， ∴. 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、考查向量垂直的坐标表示，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题． 18. 已知,且是第二象限角. (1)求的值; (2)求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）根据题意以及同角基本关系可知，再利用二倍角公式即可求出结果； （2）根据（1）的结果利用两角和余弦公式，即可求出结果. 【详解】(1)∵,是第二象限角,∴, ∴. (2)∴. 【点睛】本题主要考查了三角函数同角基本关系和两角和的余弦公式，属于基础题. 19. 已知向量，，，且向量与共线. （1）证明：； （2）求与夹角的余弦值； （3）若，求的值. 【答案】（1）证明如下： 因为向量与共线，所以， 则，解得， 所以，， 因为， 所以. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线得，列方程组解出，再利用向量垂直的坐标表示证明即可； （2）利用及向量数量积和模长的坐标表示求解即可； （3）利用向量数量积的运算律求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 即与夹角的余弦值为. 【小问3详解】 因为，，， 所以，解得. 20. 已知函数． （1）求的最小正周期； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用平方差公式、同角三角函数的平方关系、二倍角公式、辅助角公式将解析式化简为余弦型函数的形式，进而求出的最小正周期； （2）结合所给范围，判断出的范围，求出的值，将看作一个整体，用配凑思想求出的值. 【小问1详解】 所以 即的最小正周期为 【小问2详解】 由（1）知， 若，则，所以， 由，得，则， 所以，即， 所以 . 21. 如图，是一个半径为2千米，圆心角为的扇形游览区的平面示意图．点C是半径OB上一点，点D是圆弧AB上一点，且，现在线段OC、线段CD及圆弧DB三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每千米为2a元，线段CD及圆弧DB处每千米均为a元．设弧度，广告位出租的总收入为y元． （1）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； （2）试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值． 【答案】（1）； （2）当时，广告位出租的总收入最大，最大值为元. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得OC的值，再求弧长DB，求出函数y的解析式，写出x的取值范围； （2）求函数y的导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值和对应x的值． 【小问1详解】 因为，所以. 在中，，，. 由正弦定理，得， 得，. 又圆弧长为， 所以 . 【小问2详解】 记， 则， 令，得. 当变化时，，的变化如下表： 递增 极大值 递减 所以在处取得极大值，这个极大值就是最大值， 即. 故当时，广告位出租的总收入最大，最大值为元． 22. 已知的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且． （1）求角C的大小： （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可求解； （2）由和余弦定理结合三角形的面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， 即， 得， 即，又， 所以，即，又， 所以； 【小问2详解】 由，得， 由余弦定理得，得， 所以， 当时，，所以为直角三角形，， 又，，所以， 所以； 当时，所以. 由余弦定理得， 又，所以，由，解得， 所以，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $