2024年广东省广州市第一中学中考数学三模试卷

2024年广东省广州市第一中学中考数学三模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）下列各数中，无理数是（　　） A．﹣2 B． C． D．0 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x2•x3＝x5 B．（x3）3＝x6 C．x（x+1）＝x2+1 D．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 3．（3分）骑行共享单车这种“低碳”出行方式已融入我旗的日常生活．如图是共享单车车架的示意图．已知AB∥DE，∠BCE＝67°，∠CEF＝137°，则∠DEF的度数为（　　） A．43° B．53° C．70° D．67° 4．（3分）用配方法解方程x2﹣2x＝1时，配方后所得的方程（　　） A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2 5．（3分）下列说法正确的是（　　） A．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查 B．斜坡的坡度指的是坡角的度数 C．所有的等腰直角三角形都相似 D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件 6．（3分）已知实数，且a＜b，则下列不等式中，一定成立的是（　　） A．ac2＜bc2 B．a﹣c＜b﹣c C．c﹣a＜c﹣b D．ac＞bc 7．（3分）如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，若AB＝10cm，CE：ED＝1：5，则⊙O的半径是（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 8．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx﹣k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象交于点A（1，2），B（m，﹣1），则ax+b≥的解集是（　　） A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x≤﹣2或0＜x≤1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣2≤x＜0或x≥1 10．（3分）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点（1，﹣1），（﹣，）…，都是“相反点”，若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“相反点”（2，﹣2），当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为﹣，则m的取值范围为（　　） A．﹣1≤m≤4 B． C． D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分， 11．（3分）计算：（）﹣1﹣2cos30°+|﹣|﹣（4﹣π）0＝　 　． 12．（3分）分解因式：2a2﹣8＝　 　． 13．（3分）已知△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，则点A的对应点A′的坐标为 　 　． 14．（3分）某工厂为了提高生产效率，更新了工厂设备，现在每台机器平均每天比原来多生产25件产品，若该工厂的机器台数不变，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件，求原来每台机器平均每天生产多少件产品？设原来每台机器每天生产x件产品，根据题意可列方程为 　 　． 15．（3分）若关于x的一元二次方程kx2+4x+2＝0有两个不等实数根，则k的取值范围是 　 　． 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，以点B为圆心，AB为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 　 　． 三、解答题，本题共9小题，共72分。 17．（4分）解二元一次方程组：． 18．（4分）先化简，再求值：，其中． 19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE并延长，交CD的延长线于点F． 求证：DF＝CD． 20．（6分）新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 　 　名； （2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是 　 　，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为 　 　； （4）某班有4名优秀的同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率． 21．（8分）如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示． （1）请求出一次函数与反比例函数表达式； （2）求在一个加热周期内水温不低于40℃的时间范围？ 22．（10分）无人机在实际生活中应用越来越广泛．如图所示，某校数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A的俯角60°，测得楼顶点C处的俯角为30°，点P到点A的距离为80米，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内）． （1）填空：∠APC＝　 　度，∠PCB＝　 　度； （2）求此时无人机距离地面AB的高度； （3）求大楼BC的高度．（结果保留根号） 23．（10分）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°． （1）已知点O在BC边上，请用尺规作图作出⊙O：使⊙O经过点C，且与AB相切于点D，与CB的另一个交点为点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若∠B＝30°，若，求劣弧DE与线段BD，BE所围成的图形的面积；（结果保留ǀ） （3）若AB＝10，tan∠AOC＝2，求⊙O的半径． 24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点Q为⊙C上的一个动点，求BQ+FQ的最小值． 25．（12分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m． （1）如图1，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，连结CF． ①当m＝时，求线段CF的长； ②设CP＝n，请求出n与m的关系式； （2）如图2，AF交CD于点Q，在△PQE中，设边QE上的高为h，求h的最大值． 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）下列各数中，无理数是（　　） A．﹣2 B． C． D．0 【解答】解：﹣2，，0是有理数，是无理数， 故选：C． 2．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x2•x3＝x5 B．（x3）3＝x6 C．x（x+1）＝x2+1 D．（2a﹣1）2＝4a2﹣1 【解答】解：A、x2•x3＝x5，本选项符合题意； B、（x3）3＝x9≠x6，本选项不符合题意； C、x（x+1）＝x2+x，本选项不符合题意； D、（2a﹣1）2＝4a2﹣4a+1≠4a2﹣1，本选项不符合题意； 故选：A． 3．（3分）骑行共享单车这种“低碳”出行方式已融入我旗的日常生活．如图是共享单车车架的示意图．已知AB∥DE，∠BCE＝67°，∠CEF＝137°，则∠DEF的度数为（　　） A．43° B．53° C．70° D．67° 【解答】解：∵AB∥DE， ∴∠BCE＝∠CED＝67°， ∵∠CEF＝137°， ∴∠DEF＝∠CEF﹣∠CED＝70°， 故选：C． 4．（3分）用配方法解方程x2﹣2x＝1时，配方后所得的方程（　　） A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2 【解答】解：∵x2﹣2x＝1， ∴（x﹣1）2＝2， 故选：D． 5．（3分）下列说法正确的是（　　） A．为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查 B．斜坡的坡度指的是坡角的度数 C．所有的等腰直角三角形都相似 D．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件 【解答】解：∵为了审核书稿中的错别字，选择全面调查， ∴选项A不正确； ∵斜坡的坡度指的是坡面的垂直高度和水平距离的比坡度， ∴选项B不正确； ∵所有的等腰直角三角形都相似， ∴选项C正确； ∵“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件， ∴选项D不正确． 故选：C． 6．（3分）已知实数，且a＜b，则下列不等式中，一定成立的是（　　） A．ac2＜bc2 B．a﹣c＜b﹣c C．c﹣a＜c﹣b D．ac＞bc 【解答】解：∵a＜b， ∴c≠0时，ac2＜bc2，c＝0时，ac2＝bc2， ∴选项A不符合题意； ∵a＜b， ∴a﹣c＜b﹣c， ∴选项B符合题意； ∵a＜b， ∴﹣a＞﹣b， ∴c﹣a＞c﹣b， ∴选项C不符合题意； ∵a＜b， ∴c≥0时，ac≤bc，c＜0时，ac＞bc， ∴选项D不符合题意． 故选：B． 7．（3分）如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，若AB＝10cm，CE：ED＝1：5，则⊙O的半径是（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 【解答】解：连接OA， ∵CD是⊙O的直径，AB⊥CD于E，AB＝10cm， ∴AE＝AB＝×10＝5cm， ∵CE：ED＝1：5， ∴设CE＝x，则OA＝3x，OE＝2x， 在Rt△AOE中， ∵AE2+OE2＝OA2，即52+（2x）2＝（3x）2，解得x＝cm， ∴OA＝3x＝3cm． 故选：C． 8．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝kx﹣k的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵在正比例函数y＝kx（k≠0）的图象中，y随x的增大而增大， ∴k＞0， ∴﹣k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过第一，三，四象限． 故选：A． 9．（3分）如图，一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝的图象交于点A（1，2），B（m，﹣1），则ax+b≥的解集是（　　） A．x＜﹣2或0＜x＜1 B．x≤﹣2或0＜x≤1 C．﹣2＜x＜0或x＞1 D．﹣2≤x＜0或x≥1 【解答】解：∵A（1，2）在反比例函数图象上， ∴k＝1×2＝2， ∴反比例函数解析式为y＝， ∵B（m，﹣1）在反比例函数图象上， ∴﹣1＝， ∴m＝﹣2， ∴B（﹣2，﹣1）， 观察图象可知，ax+b≥的解集为﹣2≤x＜0或x≥1， 故选：D． 10．（3分）在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标互为相反数的点称为“相反点”，例如点（1，﹣1），（﹣，）…，都是“相反点”，若二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“相反点”（2，﹣2），当﹣1≤x≤m时，二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的最小值为﹣8，最大值为﹣，则m的取值范围为（　　） A．﹣1≤m≤4 B． C． D． 【解答】解：∵点（2，﹣2）是二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的“相反点”， ∴﹣2＝4a+6+c， ∴c＝﹣4a﹣8， ∵二次函数y＝ax2+3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个“相反点”， ∴ax2+3x+c＝﹣x（即ax2+4x+c＝0）有且只有一个根， ∴Δ＝16﹣4ac＝0， ∴16﹣4a（﹣4a﹣8）＝0， 解得，a＝﹣1， c＝﹣4×（﹣1）﹣8＝﹣4 ∴y＝﹣x2+3x﹣4＝﹣（x﹣）2﹣， 二次函数图象的对称轴为直线x＝，函数的最大值为﹣， 当y＝﹣8时，﹣x2+3x﹣4＝﹣8， 解得，x1＝﹣1，x2＝4， 当≤m≤4时，函数的最大值为﹣，最小值为﹣8． 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分， 11．（3分）计算：（）﹣1﹣2cos30°+|﹣|﹣（4﹣π）0＝　2　． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝2， 故答案为：2． 12．（3分）分解因式：2a2﹣8＝　2（a+2）（a﹣2）　． 【解答】解：2a2﹣8 ＝2（a2﹣4） ＝2（a+2）（a﹣2）， 故答案为：2（a+2）（a﹣2）． 13．（3分）已知△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，则点A的对应点A′的坐标为 　（1，3）或 （﹣1，﹣3）　． 【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，可以得到△A'B'O，点A的坐标为（2，6）， ∴点A'的坐标是（2×，6×）或（2×（﹣），6×（﹣）），即（1，3）或 （﹣1，﹣3）． 故答案为：（1，3）或 （﹣1，﹣3）． 14．（3分）某工厂为了提高生产效率，更新了工厂设备，现在每台机器平均每天比原来多生产25件产品，若该工厂的机器台数不变，现在每天总的生产能力由2000件提高到了3000件，求原来每台机器平均每天生产多少件产品？设原来每台机器每天生产x件产品，根据题意可列方程为 　　． 【解答】解：设原来每台机器每天生产x件产品，则现在每台机器平均每天生产（25+x）件产品， 根据题意，得． 故答案为：． 15．（3分）若关于x的一元二次方程kx2+4x+2＝0有两个不等实数根，则k的取值范围是 　k＜2且k≠0　． 【解答】解：因为关于x的一元二次方程kx2+4x+2＝0有两个不等实数根， 所以Δ＝42﹣4×k×2＞0， 解得k＜2， 又因为k≠0， 所以k的取值范围是：k＜2且k≠0． 故答案为：k＜2且k≠0． 16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，，以点B为圆心，AB为半径画弧，交AC于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为 　　． 【解答】解：连接BE，过E作EH⊥BC于H， 在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝4， ∴tan∠BAC＝＝， ∴∠BAC＝60°， ∵BA＝BE， ∴△ABE是等边三角形， ∴∠ABE＝60°， ∴∠EBH＝30°， ∴EH＝BE＝2， ∴S阴＝S扇形BAE+S△BCE﹣S△ABE﹣S扇形BEF＝+×4×2﹣×4×2﹣＝π， 故答案为：． 三、解答题，本题共9小题，共72分。 17．（4分）解二元一次方程组：． 【解答】解：， ②×2+①，得5x＝10， 即x＝2． 把x＝2代入②，得2﹣y＝1， 解得y＝1． ∴原方程组的解为． 18．（4分）先化简，再求值：，其中． 【解答】解： ＝ ＝ ＝a（a+2） ＝a2+2a， 当时， 原式＝（）2+2 ＝2+2． 19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连结BE并延长，交CD的延长线于点F． 求证：DF＝CD． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠ABE＝∠F， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝DE， 在△ABE和△DFE中， ， ∴△ABE≌△DFE（AAS）， ∴AB＝DF， ∴DF＝CD． 20．（6分）新学期，某校开设了“防疫宣传”“心理疏导”等课程．为了解学生对新开设课程的掌握情况，从八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次综合测试．测试结果分为四个等级：A级为优秀，B级为良好，C级为及格，D级为不及格．将测试结果绘制了如图两幅不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1）本次抽样测试的学生人数是 　40　名； （2）扇形统计图中表示A级的扇形圆心角α的度数是 　54°　，并把条形统计图补充完整； （3）该校八年级共有学生500名，如果全部参加这次测试，估计优秀的人数为 　75　； （4）某班有4名优秀的同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明），班主任要从中随机选择两名同学进行经验分享．利用列表法或画树状图法，求小明被选中的概率． 【解答】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：12÷30%＝40（名）； （2）∵A级的百分比为：×100%＝15%， ∴∠α＝360°×15%＝54°； C级人数为：40﹣6﹣12﹣8＝14（名）． 如图所示： （3）500×15%＝75（名）． 故估计优秀的人数为 75； （4）画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，选中小明的有6种情况， ∴选中小明的概率为． 故答案为：40；54°；75． 21．（8分）如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃加热到100℃时，停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示． （1）请求出一次函数与反比例函数表达式； （2）求在一个加热周期内水温不低于40℃的时间范围？ 【解答】解：（1）开机加热时每分钟上升20℃加热到100℃时，共需要时间＝4（分钟）， 由题意可知点（4，100）在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为y＝（k≠0）， ∴k＝4×100＝400， ∴反比例函数解析式为y＝； 设加热过程中函数解析式为y＝kx+b，点（0，20），（4，100）在函数图象上， ，解得， ∴加热过程中函数解析式为y＝20x+20． （2）在加热过程中，水温为40℃时， 20x+20＝40，解得x＝1， 在降温过程中，水温40℃时， 40＝，解得x＝10， ∴一个加热周期内水温不低于40℃的时间范围为1≤x≤10（分钟）． 22．（10分）无人机在实际生活中应用越来越广泛．如图所示，某校数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点P处，测得地面点A的俯角60°，测得楼顶点C处的俯角为30°，点P到点A的距离为80米，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内）． （1）填空：∠APC＝　90　度，∠PCB＝　120　度； （2）求此时无人机距离地面AB的高度； （3）求大楼BC的高度．（结果保留根号） 【解答】解：（1）由题意得，∠APC＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∵∠A＝60°，∠ABC＝90°， ∴∠PCB＝360°﹣90°﹣60°﹣90°＝120°， 故答案为：90，120； （2）如图：延长BC交PQ于点E，过点A作AD⊥PQ，垂足为D， 由题意得：AD＝BE，AB＝DE＝70米，BE⊥DQ， 在Rt△ADP中，AP＝80米，∠DPA＝60°， ∴AD＝AP•sin60°＝80×＝40（米）， 答：此时无人机距离地面AB的高度为40米； （3）在Rt△ADP中，AP＝80米，∠DPA＝60°， ∴DP＝AP•cos60°＝80×＝40（米）， ∴PE＝DE﹣DP＝70﹣40＝30（米）， 在Rt△PEC中，∠EPC＝30°， ∴EC＝PE•tan30°＝30×＝10（米）， ∴BC＝BE﹣CE＝AD﹣CE＝40﹣10＝30（米）， ∴大楼的高度BC为30米． 23．（10分）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°． （1）已知点O在BC边上，请用尺规作图作出⊙O：使⊙O经过点C，且与AB相切于点D，与CB的另一个交点为点E（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若∠B＝30°，若，求劣弧DE与线段BD，BE所围成的图形的面积；（结果保留ǀ） （3）若AB＝10，tan∠AOC＝2，求⊙O的半径． 【解答】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图，连接OD， ∵AB是⊙O的切线， ∴OD⊥AB， ∵∠B＝30°，， ∴在Rt△ODB中，．∠DOB＝60°， ∴． ∴劣弧DE与线段BD，BE所围成的图形的面积为； （3）设⊙O的半径为r， ∵∠C＝90°． ∴AC⊥BC， ∴AC是⊙O的切线， ∵AB是⊙O的切线， ∴AC＝AD，AB⊥OD， ∴∠ACB＝∠BDO＝90°， ∵tan∠AOC＝2， ∴AC＝2OC＝2r． ∴OD＝OC＝r，AC＝AD＝2r，BD＝10﹣2r． ∵∠ACB＝∠BDO，∠B＝∠B， ∴△BDO∽△ABC． ∴． ∴BC＝2BD＝20﹣4r． ∵AC2+BC2＝AB2， ∴（2r）2+（20﹣4r）2＝102． 解得r＝3或5（不合题意，舍去）． ∴⊙O的半径为3． 24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形ABPC的面积为16，若存在，求出点P的坐标若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C，点Q为⊙C上的一个动点，求BQ+FQ的最小值． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），抛物线的对称轴是直线x＝， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4． （2）由（1）知抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4． 令y＝0，解得x＝﹣1或x＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，0）， 设直线BC的解析式为：y＝kx+n， ∴，解得． ∴直线BC的解析式为：y＝x﹣4． 设点P的横坐标为m，则P（m，m2﹣3m﹣4），过点P作PM∥y轴交BC于点M， ∴M（m，m﹣4）， ∴PM＝（m﹣4）﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+4m． ∴S四边形ABPC＝S△ABC+S△BCP ＝×（4+1）×4+（m2﹣4m）×4 ＝﹣2m2+8m+10． ∵四边形ABPC的面积为16， ∴﹣2m2+8m+10＝16， 解得m＝1或m＝3， ∴P（1，﹣6）或（3，﹣4）． （3）如图，过点B作BF⊥BC交抛物线的对称轴于点F，以点C为圆心，2为半径作⊙C， ∵B（4，0），C（0，﹣4）， ∴OB＝OC＝4， ∴BC＝4，∠OBC＝45°， ∵BF⊥BC， ∴∠FBO＝45°， ∵抛物线的对称轴是直线x＝， ∴点F的纵坐标为：4﹣＝， ∴F（，）． 在CB上取CE＝，过点E作EG⊥OC，交y轴于点G，交抛物线对称轴于点H， ∴CG＝EG＝，EH＝﹣＝1． ∴FH＝6， ∵CQ＝2，CE＝，BC＝4， ∴＝，＝，∠QCE＝∠BCQ， ∴△CQE∽△CBQ， ∴＝＝， ∴QE＝BQ， ∴BQ+FQ＝QE+FQ≥FE， ∴当F，Q，E三点共线时，取得最小值，最小值为FE的长， ∵EH⊥FH， ∴EF＝． 则BQ+FQ的最小值为：． 25．（12分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m． （1）如图1，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，连结CF． ①当m＝时，求线段CF的长； ②设CP＝n，请求出n与m的关系式； （2）如图2，AF交CD于点Q，在△PQE中，设边QE上的高为h，求h的最大值． 【解答】解：（1）①如图，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于M， 在等腰直角三角形AEF中，∠AEF＝90°，AE＝FE， 在正方形ABCD中，∠B＝90°， ∴∠BAE+∠AEB＝∠FEM+∠AEB， ∴∠BAE＝∠FEM， 又∵∠B＝∠FME， ∴△ABE≌△EGF（AAS）， ∴FM＝BE＝，EM＝AB＝BC， ∴CM＝BE＝ ∴FC＝＝； ②∵∠BAE＝∠FEC，∠B＝∠ECP＝90°， ∴△BAE∽△CEP， ∴， 即， ∴CP＝m﹣m2， 即n＝m﹣m2； （2）如图，将△ADQ绕点A顺时针旋转90°得△ABG， 则AG＝AQ，∠GAB＝∠QAD，GB＝DQ， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠QAD＝∠BAE+∠GAB＝90°﹣45°＝45°， 即∠GAE＝∠EAF＝45°， ∵∠ABG＝∠ABE＝90°， ∴B，G，E三点共线， 又∵AE＝AE， ∴△GAE≌△EAQ（SAS）， ∴∠AEG＝∠AEQ， ∴∠QEP＝∠CEP， ∴h＝CP， ∴h＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+， 即当m＝时，h有最大值为． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$