第17讲 解一元一次方程（二）——去括号与去分母-2024年暑假新七年级数学上册自学课系列（苏科版）

第17讲 解一元一次方程（二）——去括号与去分母 【苏科版】 ·模块一 利用“去括号”解一元一次方程 ·模块二 利用“去分母”解一元一次方程 ·模块三 课后作业 模块一 利用“去括号”解一元一次方程 【考点1 利用“去括号”解一元一次方程】 【例1.1】（2023七年级·全国·课堂例题）补全解方程的过程： 解：去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． 系数化为1，得 ． 【例1.2】（2023七年级·海南海口·期中）已知，，若与的值互为相反数，则等于（　　） A．3 B． C．2 D． 【例1.3】（2023七年级·福建福州·期中）将代入，去括号后，可得（   ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023七年级·河南南阳·阶段练习）在解方程时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023六年级下·上海浦东新·期中）解方程：． 【变式1.3】（2023七年级·全国·课堂例题）当取什么值时，式子的值比的值小3？ 【考点2 去括号解方程的应用】 【例2.1】（2023·浙江嘉兴·七年级期末）已知物体自由下落的距离可以表示为，表示物体下落的末速度，表示物体下落的时间，声音传播的速度为米/秒．若将一块石头从井口自由落下，秒后听到它落水的声音，测得米/秒，设石头下落的时间为，则可列得方程（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023七年级·全国·假期作业）小军玩抛硬币的游戏，规则是：将一枚硬币抛起，落下后正面朝上就向前走8步，反面朝上就后退6步，小军一共抛了10次硬币，结果向前走了52步，有 次反面朝上． 【例2.3】（2023六年级下·上海青浦·期末）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5 尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为 ． 【变式2.1】（2023·安徽合肥·七年级期末）端午节即将来临，小明和妈妈打算去超市买粽子，他们购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，已知每个肉粽比素粽多1元，那么每个肉粽多少元? 【变式2.2】（2023七年级·全国·专题练习）在甲地劳动的有人，在乙地劳动的有人．现在从乙地调一部分人到甲地去支援，使在甲地的人数为在乙地的人数的倍，应从乙地调多少人到甲地去？ 【变式2.3】（2023·江苏无锡·七年级期末）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得洒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，则清酒 斗． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·江苏盐城·七年级期末）已知x＝3是关于x的方程ax﹣5＝9x﹣a的解，那么关于x的方程a（x﹣1）﹣5＝9（x﹣1）﹣a的解是x＝ ． 【题型2】（2023·陕西西安·七年级期末）小嫄每天早上要到距家1000米的学校上学．某一天，小嫄以80米/分的速度出发5分钟后，小嫄的爸爸发现她忘了带数学课本，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小嫄，并且在途中追上了她．求爸爸追上小嫄用了多长时间？ 【题型3】（2023·山东聊城·七年级期末）聊城近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下： 若图和图的分子中共含有242个原子，则的值 ． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·福建莆田·阶段练习）如图，点、为线段上两点，，且，设，则关于的方程的解是 ． 【题型2】（2023·河北邢台·七年级期末）请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)求一个暖水瓶与一个水杯的价格分别是多少元？ (2)某商场出售这样的暖水瓶和水杯，为了迎接新年，商场搞促销活动，规定：暖水瓶打八折．若某单位想要买5个暖水瓶和20个水杯，总共要花多少钱？ 【题型3】（2023七年级·江苏泰州·阶段练习）用“”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如： (1)求的值； (2)若，求a的值； (3)若（其中x为有理数），试比较m、n的大小． 模块二 利用“去分母”解一元一次方程 【考点1 解含分母的一元一次方程】 【例1.1】（2023七年级·四川遂宁·期中）解方程 下面去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023七年级·全国·课堂例题）将方程的两边乘 可得到，这步变形叫 ，其依据是 ． 【例1.3】（2023六年级下·上海青浦·期末）解方程： 【变式1.1】（2023七年级·全国·课堂例题）解方程，去分母时，方程两边乘各分母的最小公倍数（　　） A．10 B．12 C．24 D．6 【变式1.2】（2023七年级·福建漳州·期中）下面是一位同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解方程： 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……………第二步 ______，得，……………第三步 合并同类项，得．……………………第四步 (1)请补充完整题目中的横线部分，这一步的解题依据是______； (2)这位同学从第______步开始出现错误，具体的错误是______； (3)求解此方程． 【变式1.3】（2023七年级·全国·专题练习）解方程： (1) (2) (3) 【考点2 去分母解方程的应用】 【例2.1】（2023七年级·江苏宿迁·期中）明代程大位所著的数学名著《算法统宗》中有一道僧分馒头问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大和小和得几丁？”意思是100个和尚分100个馒头，大和尚1人吃3个馒头，小和尚3人吃1个馒头，问大、小和尚各有几人？如果设大和尚有人，则可列出一元一次方程为 ． 【例2.2】（2023七年级·吉林长春·期中）为庆祝校运会开幕，七（2）班学生接受了制作小旗的任务，原计划一半的同学参加制作，每天制作40面，完成了以后，全班同学一起参加，结果比原计划提前一天半完成任务，假设每人制作效率相同，问共制作小旗多少面？ 【例2.3】（2023七年级·全国·假期作业）两地相距3600米，甲、乙两人同时从这两地相向而行，15分钟相遇．如果甲将自己的速度提高，乙将自己的速度降低，再从两地同时相向出发，则两人12分钟相遇．那么乙单独行完全程需要多少分钟？ 【变式2.1】（2023七年级·全国·假期作业）甲、乙两班的学生于上午出发，到距学校27千米的一个动物园参观．现有一辆汽车，每次只能坐一个班的学生，为了使两个班同时到达，合理安排步行和乘车．若步行速度为4千米/时，汽车速度为60千米/时，那么两个班最早几时几分同时到达？ 【变式2.2】（2023七年级·吉林长春·期末）榆树市某中学七年一班全体学生参加社团活动进行分组，原来每组8人，后来重新编组，每组12人，这样就比原来减少2组，请问七年一班共有多少人？ 【变式2.3】（2023·河北石家庄·七年级期末）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是（    ） 甲：设人数为人，可列方程， 乙：设羊价为元，可列方程为． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【规律方法综合练】 【题型1】（2023六年级下·上海杨浦·期中）解方程： 【题型2】（2023七年级·全国·假期作业）暑假里，学校进行校园部分设施维修，如果甲队单独做，需要20天，如果乙队单独做，需要25天．甲队先单独做了若干天后，被叫去参加另外一个工程的紧急抢修，剩下的维修工作由乙队单独做完．两队一共用了22天完工，甲、乙两队各做了多少天？ 【题型3】（2023七年级·山西吕梁·阶段练习）已知关于x的一元一次方程 的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·江苏扬州·阶段练习）小明解方程，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘6，由此求得的解为，试求的值，并求出原方程的解． 【题型2】（2023七年级·江西新余·期中）设表示不小于a的最小整数，例如：，，． (1)求的值； (2)设，，，解方程． 【题型3】（2023七年级·广东广州·期中）解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解（solution）．已知：关于的方程． (1)若是方程的解，则的值为 ； (2)若关于的方程的解比方程的解小1，求的值； (3)若关于的方程与均无解，求代数式的值． 模块三 课后作业 1．（2023七年级·云南昆明·期末）解方程，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023七年级·山西长治·阶段练习）解方程，去分母后正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2023七年级·河南洛阳·期中）已知，若A比B小1，则x的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 4．（2023六年级上·山东淄博·期末）有一关于x的方程，已知该方程的解为，那么m的值是(   ) A． B．3 C．6 D．8 5．（2023七年级·浙江台州·期末）一项任务，由甲单独做需天完成，由乙单独做需天完成，现在乙先做9天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成这项工程的规定时间，假设完成这一项工程的规定时间为天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2023七年级·全国·课后作业）如果的值与互为相反数，那么 ． 7．（2023七年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）当 时，代数式的值是5． 8．（2023七年级·天津滨海新·期末）将的分母化为整数 ． 9．（2023七年级·福建漳州·期中）已知关于的方程有无数个解，则的值为 ． 10．（2023六年级下·上海·阶段练习）我们规定两中新运算“*”和“”，其规则为，则关于的方程的解是 ． 11．（2023七年级·四川乐山·期中）解方程： (1) (2) 12．（2023七年级·福建泉州·阶段练习）若关于的方程的解和关于的方程与的解相同，求字母的值． 13．（2023七年级·四川宜宾·期中）在学完解一元一次方程后，聪明的小明同学解方程的过程如下： 解：原方程可变形为． （？），得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． (1)小明的解题过程中，“？”处应填______，解此步的依据是______； (2)参考小明的解题过程，解方程：． 14．（2023七年级·四川眉山·期中）关于x的一元一次方程，王小明在去分母时，方程右边的的项没有乘以6，因而求得的解是．试求a的值，并求出原方程的正确解． 15．（2023·陕西西安·七年级期末）某市中考体育测试中包含一分钟排球垫球项目，考试规则为：学生垫球一分钟，若垫球次数达到某一标准及以上，则记为满分．在一次班会中，小明得知以下信息：若每秒钟垫球若干次，则一分钟后垫球次数比满分标准多出次；若每秒钟垫球次数是原来的倍，则一分钟后垫球次数是满分标准的倍少个．求垫球满分的标准是每分钟多少个？ 16．（2023·北京·七年级期末）京雄高速北京段于2023年12月31日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27．5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 解一元一次方程（二）——去括号与去分母 【苏科版】 ·模块一 利用“去括号”解一元一次方程 ·模块二 利用“去分母”解一元一次方程 ·模块三 课后作业 模块一 利用“去括号”解一元一次方程 【考点1 利用“去括号”解一元一次方程】 【例1.1】（2023七年级·全国·课堂例题）补全解方程的过程： 解：去括号，得 ． 移项，得 ． 合并同类项，得 ． 系数化为1，得 ． 【答案】 【分析】根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行解方程即可求解． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 【例1.2】（2023七年级·海南海口·期中）已知，，若与的值互为相反数，则等于（　　） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程和相反数，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．根据互为相反数的两个数的和为0得出方程，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【详解】解：，，若与的值互为相反数， ， ， ， ， ． 故选：C 【例1.3】（2023七年级·福建福州·期中）将代入，去括号后，可得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代入求值和去括号，把整体代入后去括号即可解答． 【详解】解：将代入得， 去括号得， 故选A． 【变式1.1】（2023七年级·河南南阳·阶段练习）在解方程时，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．方程去括号得到结果，即可做出判断． 【详解】解：将方程去括号，得． 故选：D 【变式1.2】（2023六年级下·上海浦东新·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，先去括号，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项整理得：， 解得：． 【变式1.3】（2023七年级·全国·课堂例题）当取什么值时，式子的值比的值小3？ 【答案】 【分析】根据题意列一元一次方程，求解即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 即当时，式子的值比的值小3． 【点睛】本题考查的是解一元一次方程，根据题意正确列出一元一次方程是解题关键． 【考点2 去括号解方程的应用】 【例2.1】（2023·浙江嘉兴·七年级期末）已知物体自由下落的距离可以表示为，表示物体下落的末速度，表示物体下落的时间，声音传播的速度为米/秒．若将一块石头从井口自由落下，秒后听到它落水的声音，测得米/秒，设石头下落的时间为，则可列得方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意列出方程式是解题的关键． 根据题意列出方程式即可选出． 【详解】解：∵声音传播的速度为米/秒．若将一块石头从井口自由落下，秒后听到它落水的声音，设石头下落的时间为 ∴从石头落水时，传到井口用的时间为， ∴从井底到井口的总路程， 将米/秒，石头下落的时间为，代入，得， 即， 故选． 【例2.2】（2023七年级·全国·假期作业）小军玩抛硬币的游戏，规则是：将一枚硬币抛起，落下后正面朝上就向前走8步，反面朝上就后退6步，小军一共抛了10次硬币，结果向前走了52步，有 次反面朝上． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“一共抛了10次硬币”，可以设有次反面朝上，则有次正面朝上；根据题意，正面朝上就向前走8步，则正面朝上一共向前走了步；反面朝上就后退6步，则反面朝上一共向后退了步；等量关系：正面朝上向前走的步数反面朝上向后退的步数结果一共向前走的总步数，据此列出方程，并求解． 【详解】解：设有次反面朝上，则有次正面朝上． 由题意可得 解得：， 有2次反面朝上， 故答案为：． 【例2.3】（2023六年级下·上海青浦·期末）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5 尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程组的应用，设长木长为x尺，则根据“用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺”可得绳长为尺；根据“将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺” 可得绳长为尺；从而可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 【变式2.1】（2023·安徽合肥·七年级期末）端午节即将来临，小明和妈妈打算去超市买粽子，他们购买10个肉粽和5个素粽共用去70元，已知每个肉粽比素粽多1元，那么每个肉粽多少元? 【答案】5元． 【分析】设每个肉粽元，则每个素粽元，利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设每个肉粽元，则每个素粽元， 依题意得：， 解得：． 答：每个肉粽5元． 【变式2.2】（2023七年级·全国·专题练习）在甲地劳动的有人，在乙地劳动的有人．现在从乙地调一部分人到甲地去支援，使在甲地的人数为在乙地的人数的倍，应从乙地调多少人到甲地去？ 【答案】应从乙地调人到甲地去 【分析】设乙地调人到甲处，根据从乙地调一部分人到甲处，使甲处人数乙处人数的倍，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设乙地调人到甲处，根据题意得： ， 解得：， 答：应从乙地调人到甲地去． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系，列出方程． 【变式2.3】（2023·江苏无锡·七年级期末）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得洒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，则清酒 斗． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设清酒x斗，根据现在拿30斗谷子，共换了5斗酒得：，即可解得答案． 【详解】解：设清酒x斗，则醑酒斗， 根据题意得：， 解得， ∴清酒斗． 故答案为：． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023·江苏盐城·七年级期末）已知x＝3是关于x的方程ax﹣5＝9x﹣a的解，那么关于x的方程a（x﹣1）﹣5＝9（x﹣1）﹣a的解是x＝ ． 【答案】4 【分析】根据一元一次方程解的定义，把x＝3代入原方程得到关于a的方程，求出a的值，然后解关于x的方程即可． 【详解】解：把x＝3代入方程ax﹣5＝9x﹣a， 得3a﹣5＝27﹣a， 解得a＝8， 把a＝8代入方程a（x﹣1）﹣5＝9（x﹣1）﹣a得： 8（x﹣1）﹣5＝9（x﹣1）﹣8， 8（x﹣1）﹣9（x﹣1）＝5﹣8， ﹣（x﹣1）＝﹣3， x﹣1＝3， x＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义及解法，熟练掌握一元一次方程解的定义及解法是解题的关键． 【题型2】（2023·陕西西安·七年级期末）小嫄每天早上要到距家1000米的学校上学．某一天，小嫄以80米/分的速度出发5分钟后，小嫄的爸爸发现她忘了带数学课本，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小嫄，并且在途中追上了她．求爸爸追上小嫄用了多长时间？ 【答案】4分钟 【分析】此题考查了一元一次方程的应用， 设小嫄爸爸追上小嫄用了x min，根据题意列出方程求解即可求解． 【详解】解：设爸爸追上小嫄用了x min， 依题意有， 解得． 答：爸爸追上小嫄用了4min长时间． 【题型3】（2023·山东聊城·七年级期末）聊城近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下： 若图和图的分子中共含有242个原子，则的值 ． 【答案】19 【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给结构简式，发现原子的个数的规律即可解决问题． 【详解】解：由所给分子结构图及结构简式可知， 图（1）的分子中含原子的个数为：； 图（2）的分子中含原子的个数为：； 图（3）的分子中含原子的个数为：； …， 所以图（n）的分子中含原子的个数为个． 由图和图的分子中共含有242个原子， ， 解得， 所以m的值为19． 故答案为：19． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·福建莆田·阶段练习）如图，点、为线段上两点，，且，设，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段之间的和差关系，解一元一次方程，根据，得出，进而得出，即可推出，把代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 解得：， 把代入得：， 解得：， 故答案为：． 【题型2】（2023·河北邢台·七年级期末）请根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)求一个暖水瓶与一个水杯的价格分别是多少元？ (2)某商场出售这样的暖水瓶和水杯，为了迎接新年，商场搞促销活动，规定：暖水瓶打八折．若某单位想要买5个暖水瓶和20个水杯，总共要花多少钱？ 【答案】(1)一个暖水瓶的价格20元，一个水杯的价格10元 (2)280元 【分析】本题考查一元一次方程的应用、有理数四则混合运算的应用，理解题意，找准等量关系并正确列出方程是解答的关键． （1）设一个暖水瓶的价格为x元，则一个水杯的价格为元，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）根据题意列算式求解即可． 【详解】（1）解：设一个暖水瓶的价格为x元，则一个水杯的价格为元， 由题意列方程为，解得， ， 答：一个暖水瓶的价格20元，一个水杯的价格10元； （2） 解：需花费用为（元）， （3） 答：总共要花280元． 【题型3】（2023七年级·江苏泰州·阶段练习）用“”规定一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如： (1)求的值； (2)若，求a的值； (3)若（其中x为有理数），试比较m、n的大小． 【答案】(1)0 (2)1 (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程，整式的加减运算．掌握新定义的运算法则，是解题的关键． （1）根据新运算的法则，列出算式计算即可； （2）根据新运算的法则，列出方程计算即可； （3）根据新运算的法则，列出代数式，作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：； （2）， 整理，得：， 解得：； （3）， ， ∴， ∴． 模块二 利用“去分母”解一元一次方程 【考点1 解含分母的一元一次方程】 【例1.1】（2023七年级·四川遂宁·期中）解方程 下面去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程——去分母，注意方程两边同时乘以最简公分母，不要漏乘项，分子是多项式时，要看做一个整体加括号．运用等式的性质，方程两边同时乘以6，计算即可． 【详解】解：方程两边同时乘以6，得 ， 故选：B． 【例1.2】（2023七年级·全国·课堂例题）将方程的两边乘 可得到，这步变形叫 ，其依据是 ． 【答案】 6 去分母 等式的性质 【分析】方程两边同乘最小公倍数，去掉分母，利用的是等式的性质． 【详解】解：将方程的两边乘6，可得到，这步变形叫去分母，其依据是等式的性质． 故答案为：6，去分母，等式的性质． 【点睛】本题考查解一元一次方程．熟练掌握去分母的方法，是解题的关键． 【例1.3】（2023六年级下·上海青浦·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1.1】（2023七年级·全国·课堂例题）解方程，去分母时，方程两边乘各分母的最小公倍数（　　） A．10 B．12 C．24 D．6 【答案】B 【分析】根据等式的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：解方程，去分母时，方程两边乘最简公分母12， 故选：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【变式1.2】（2023七年级·福建漳州·期中）下面是一位同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并解答问题． 解方程： 解：去分母，得，……第一步 去括号，得，……………第二步 ______，得，……………第三步 合并同类项，得．……………………第四步 (1)请补充完整题目中的横线部分，这一步的解题依据是______； (2)这位同学从第______步开始出现错误，具体的错误是______； (3)求解此方程． 【答案】(1)移项，等式的基本性质1 (2)一，去分母时右边的1没有乘以6 (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：移项，等式的基本性质1； （2）一，去分母时右边的1没有乘以6； （3）， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得． 【变式1.3】（2023七年级·全国·专题练习）解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 本题考查了解一元一次方程； （1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可； （3）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：去分母得：， 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：； （3）解：去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得： 系数化为1得：． 【考点2 去分母解方程的应用】 【例2.1】（2023七年级·江苏宿迁·期中）明代程大位所著的数学名著《算法统宗》中有一道僧分馒头问题：“一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大和小和得几丁？”意思是100个和尚分100个馒头，大和尚1人吃3个馒头，小和尚3人吃1个馒头，问大、小和尚各有几人？如果设大和尚有人，则可列出一元一次方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是利用“大、小和尚一共100人以及馒头大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，馒头一共100个”列方程即可． 【详解】解：设大和尚有人，则可列出一元一次方程为 ， 故答案为：． 【例2.2】（2023七年级·吉林长春·期中）为庆祝校运会开幕，七（2）班学生接受了制作小旗的任务，原计划一半的同学参加制作，每天制作40面，完成了以后，全班同学一起参加，结果比原计划提前一天半完成任务，假设每人制作效率相同，问共制作小旗多少面？ 【答案】共制作小旗180面 【分析】本题考查了一元一次方程的实际问题，解答时根据实际比计划提前一天半完成任务为等量关系建立方程是关键．设共制作小旗x面，则原计划的时间为天，再根据条件求出实际完成任务的时间，由实际比计划提前一天半完成任务建立方程，求出其解即可； 【详解】解：设共制作x面， 由题意得， 解得：， 答：共制作小旗180面． 【例2.3】（2023七年级·全国·假期作业）两地相距3600米，甲、乙两人同时从这两地相向而行，15分钟相遇．如果甲将自己的速度提高，乙将自己的速度降低，再从两地同时相向出发，则两人12分钟相遇．那么乙单独行完全程需要多少分钟？ 【答案】50分钟 【分析】本题可用列方程解决问题，关键是逐步分析，找到速度如何变化以及速度、路程和时间三者之间的关系． 根据速度和＝路程和÷相遇时间，用即可求出原来两人的速度和，也就是240米/分；用即可求出变化后的速度和，也就是300米/分，假设乙原来每分钟行x米，则甲原来每分钟行米；如果甲将自己的速度提高，也就是甲现在的速度是原来的，把甲原来的速度看作单位“1”，根据分数乘法的意义，可知甲变化后的速度是；如果乙将自己的速度降低，也就是乙现在的速度是原来的，把乙原来的速度看作单位“1”，根据分数乘法的意义，可知乙变化后的速度是，甲现在的速度＋乙现在的速度＝300米/分，据此可列方程为，然后解出方程即可，进而求出用全程除以乙的速度，即可求出乙单独行完全程需要的时间． 【详解】解：（米/分） （米/分） 设乙每分钟行x米，则甲每分钟行米． （分） 答：乙单独行完全程需要50分钟． 【变式2.1】（2023七年级·全国·假期作业）甲、乙两班的学生于上午出发，到距学校27千米的一个动物园参观．现有一辆汽车，每次只能坐一个班的学生，为了使两个班同时到达，合理安排步行和乘车．若步行速度为4千米/时，汽车速度为60千米/时，那么两个班最早几时几分同时到达？ 【答案】9时9分 【分析】本题主要考查了一元一次方程 的应用，熟练的运用速度、时间、路程之间的数量关系找到等量关系是解决问题的关键． 设学校到甲班下车的地方的距离是x千米，甲班下车后，汽车开回去接乙班，并将乙班送到动物园时正好甲班也到达动物园．甲乙两班步行的距离都是千米，所以甲乙步行的时间都是小时．汽车行驶的距离则是千米．根据乙班步行的时间等于车子从出发到与乙相遇的时间列方程可求得x的值，再确定所用时间即可． 【详解】解：设学校到甲班下车的地方的距离是x千米， 由题意可得：，解得：； 所用时间：（小时）； 8时＋小时＝8时＋（1时＋0.15×60分）＝8时＋（1时＋9分）＝9时9分． 答：两个班最早9时9分同时到达． 【变式2.2】（2023七年级·吉林长春·期末）榆树市某中学七年一班全体学生参加社团活动进行分组，原来每组8人，后来重新编组，每组12人，这样就比原来减少2组，请问七年一班共有多少人？ 【答案】48人 【分析】设七年一班共有人．根据题意列一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设七年一班共有人． 由题意得： ＝48． 经检验，符合题意． 答：七年一班共有48人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【变式2.3】（2023·河北石家庄·七年级期末）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？甲、乙两人所列方程如下，下列判断正确的是（    ） 甲：设人数为人，可列方程， 乙：设羊价为元，可列方程为． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设人数为人，可列方程，如果设羊价为元，可列方程，然后即可作答． 【详解】设人数为人，可列方程， 如果设羊价为元，可列方程， 则甲对，乙错． 故选：A． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023六年级下·上海杨浦·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，先将分子、分母化为整数，再根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得方程的解．掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．注意：去分母时都乘以分母的最小公倍数，分子要加括号． 【详解】解：整理得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 【题型2】（2023七年级·全国·假期作业）暑假里，学校进行校园部分设施维修，如果甲队单独做，需要20天，如果乙队单独做，需要25天．甲队先单独做了若干天后，被叫去参加另外一个工程的紧急抢修，剩下的维修工作由乙队单独做完．两队一共用了22天完工，甲、乙两队各做了多少天？ 【答案】甲、乙两队分别做了12天和10天 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，假设这个工程的总量为“1”．甲队单独做，需要20天，则甲队的工作效率为．乙队单独做，需要25天，则乙队的工作效率为．根据工作效率×工作时间＝工作总量，据此可以假设甲队做了x天，则乙队做了天，甲队工作的天数×工作效率＋乙队工作的天数×工作效率＝工作总量，据此列方程，并解答即可． 【详解】解：设甲队做了x天，则乙队做了天，则 ； 则乙队：（天） 答：甲、乙两队分别做了12天和10天． 【题型3】（2023七年级·山西吕梁·阶段练习）已知关于x的一元一次方程 的解为，则关于y的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】 本题考查解一元一次方程的拓展，掌握解一元一次方程的一般步骤和换元法是解题的关键．令，则可化为，从而得到，继而得解． 【详解】 解：令， 则可化为， ∵关于x的一元一次方程 的解为， ∴的解为， ∴， 解得：， 故答案为：． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·江苏扬州·阶段练习）小明解方程，由于粗心大意，在去分母时，方程右边的没有乘6，由此求得的解为，试求的值，并求出原方程的解． 【答案】， 【分析】本题主要考查解方程，熟悉相关的解题步骤是解题的关键，先根据错误的做法：“方程右边的没有乘以6”而得到，代入错误方程，求出a的值，再把a的值代入原方程，求出正确的解． 【详解】解：去分母时方程右边的漏乘了6； 此时变形为； 将代入，得； 解得：； 则原方程应为： ； 去分母得： ； 去括号得：， 解得：． 【题型2】（2023七年级·江西新余·期中）设表示不小于a的最小整数，例如：，，． (1)求的值； (2)设，，，解方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据新定义确定每项的值，再按加减法法则计算； （2）先根据新定义求出b，c的值，然后代入方程求解即可． 【详解】（1）解：原式= =． （2）解：由题知：，，， ∴． ∵ ， ∴原方程化为：， 解得：． 【点睛】本题考查了新定义，有理数的减法，以及解一元一次方程，理解新定义的含义是解答本题的关键． 【题型3】（2023七年级·广东广州·期中）解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解（solution）．已知：关于的方程． (1)若是方程的解，则的值为 ； (2)若关于的方程的解比方程的解小1，求的值； (3)若关于的方程与均无解，求代数式的值． 【答案】(1)5 (2) (3)9 【分析】本题考查的是求解代数式的值，一元一次方程的解法，方程无解的含义，理解题意是关键． （1）把代入方程，再建立方程求解即可； （2）分别解给定的两个方程，再根据关于的方程的解比方程的解小1，建立新的方程求解即可； （3）先把已知方程变形求解的值，再代入代数式计算即可． 【详解】（1）解：把代入方程， 得：， 解得 故答案为5． （2）∵， ∴， ∴   ∵， 得   根据题意：， 解得：   ∴的值是1． （3）， 方程两边同时乘以6，得 整理得： 此方程无解， ，即 ， ， 方程两边同时乘以12，得 整理得： 此方程无解， ，即 ， 把，代入上式得： ， 答：代数式的值是9． 模块三 课后作业 1．（2023七年级·云南昆明·期末）解方程，去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．根据去括号法则进行判断即可． 【详解】解：， 去括号：，故D正确． 故选：D． 2．（2023七年级·山西长治·阶段练习）解方程，去分母后正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 本题考查了解含分母的一元一次方程，解题的关键是熟练掌握去分母的法则等式两边同时乘以所有分母的最小公倍数，根据等式的法则解答即可 【详解】解： 两边同时乘以6，去分母得：， 故选：B 3．（2023七年级·河南洛阳·期中）已知，若A比B小1，则x的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据A比B小，即可列方程，解方程求得的值． 【详解】解：，，A比B小， ， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，正确的解方程是解题的关键． 4．（2023六年级上·山东淄博·期末）有一关于x的方程，已知该方程的解为，那么m的值是(   ) A． B．3 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的解：能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值称为一元一次方程的解．将代入方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得： ， 解得： 故选：D 5．（2023七年级·浙江台州·期末）一项任务，由甲单独做需天完成，由乙单独做需天完成，现在乙先做9天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成这项工程的规定时间，假设完成这一项工程的规定时间为天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列一元一次方程，由题意得甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲一共工作了天，乙一共工作了天，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲一共工作了天，乙一共工作了天， 故可列方程 故选：B 6．（2023七年级·全国·课后作业）如果的值与互为相反数，那么 ． 【答案】9 【分析】根据相反数的定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解： 的值与互为相反数， ， 解得：， 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，解一元一次方程，熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数以及解一元一次方程的步骤是解题的关键． 7．（2023七年级·黑龙江哈尔滨·开学考试）当 时，代数式的值是5． 【答案】5 【分析】本题考查了已知代数式的值求字母的值，解一元一次方程，先根据题意列式，再解出的值，即可作答． 【详解】解：依题意，得， 去分母，得， 解得， 故答案为：5． 8．（2023七年级·天津滨海新·期末）将的分母化为整数 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程、分数的性质，根据分数的分子、分母同乘以不为零的数，分数值不变求解即可． 【详解】解：将的分母化为整数，为， 故答案为：． 9．（2023七年级·福建漳州·期中）已知关于的方程有无数个解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解．根据题意，先将方程整理为的形式，再根据其有无数个解即可． 【详解】解：由得 关于的方程有无数个解 ， ． 故答案为：． 10．（2023六年级下·上海·阶段练习）我们规定两中新运算“*”和“”，其规则为，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，弄清题中的新定义是解题的关键． 根据题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值． 【详解】解：根据题意得：，， 所求的方程化为：，即． 故答案为：． 11．（2023七年级·四川乐山·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 12．（2023七年级·福建泉州·阶段练习）若关于的方程的解和关于的方程与的解相同，求字母的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，掌握同解方程的意义及一元一次方程的解法是解题关键．先分别解出两个一元一次方程，再令其解相等得到关于a的方程，求解即可． 【详解】解：解方程， 解得， 解方程， 解得， 由题意得： 解得：． 13．（2023七年级·四川宜宾·期中）在学完解一元一次方程后，聪明的小明同学解方程的过程如下： 解：原方程可变形为． （？），得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． (1)小明的解题过程中，“？”处应填______，解此步的依据是______； (2)参考小明的解题过程，解方程：． 【答案】(1)去分母；等式的基本性质； (2)． 【分析】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）根据解一元一次方程的步骤和等式的性质求解即可； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解即可． 【详解】（1）小明的解题过程中，“？”处应填去分母，解此步的依据是等式的基本性质； （2）原方程可变形为． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 方程两边同除以，得． 14．（2023七年级·四川眉山·期中）关于x的一元一次方程，王小明在去分母时，方程右边的的项没有乘以6，因而求得的解是．试求a的值，并求出原方程的正确解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把代入，求出a的值，然后再得出原方程为，解方程即可． 【详解】解：把代入得：， ∴原方程为， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 15．（2023·陕西西安·七年级期末）某市中考体育测试中包含一分钟排球垫球项目，考试规则为：学生垫球一分钟，若垫球次数达到某一标准及以上，则记为满分．在一次班会中，小明得知以下信息：若每秒钟垫球若干次，则一分钟后垫球次数比满分标准多出次；若每秒钟垫球次数是原来的倍，则一分钟后垫球次数是满分标准的倍少个．求垫球满分的标准是每分钟多少个？ 【答案】个 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设每秒钟垫球次，则一分钟后垫球次数比满分标准多出次，则垫球满分要求的每分钟的标准次数为次，列方程得，解方程求出的值，再求出代数式的值即得到问题的答案．正确理解题意，找出等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每秒钟垫球次，则垫球满分的标准是每分钟次， 根据题意，得：， 解得：， ∴（个）， 答：垫球满分的标准是每分钟个． 16．（2023·北京·七年级期末）京雄高速北京段于2023年12月31日全线贯通．通车后、由西南五环至雄安新区可实现1小时通达，比原来节省了30分钟．小东爸爸发现通车后从西南五环去雄安新区出差比通车前少走27．5千米，如果平均车速比原来每小时多走17千米，正好和设计相符，通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是多少？ 【答案】通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小东起爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，根据平均车速比原来每小时多走17千米，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：设通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米，则通车后小东爸爸驾车去雄安新区出差的路程为千米， 由题意得：， 解得：， ， 答：通车前小东爸爸驾车去雄安新区出差的平均时速是89千米/小时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$