第16讲 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项-2024年暑假新七年级数学上册自学课系列（苏科版）

第16讲 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【苏科版】 ·模块一 利用“合并同类项”解一元一次方程 ·模块二 利用“移项”及“合并同类项”解一元一次方程 ·模块三 课后作业 模块一 利用“合并同类项”解一元一次方程 【考点1 利用“合并同类项”解一元一次方程】 【例1.1】（2023七年级·全国·课堂例题）补全下列解方程的过程： （1）． 解：合并同类项，得 ． 系数化为1，得 ． （2）． 解：合并同类项，得 ． 系数化为1，得 ． 【答案】 【分析】（1）根据合并同类项，系数化为1的步骤求解即可； （1）根据合并同类项，系数化为1的步骤求解即可． 【详解】（1）． 解：合并同类项，得． 系数化为1，得． 故答案为：，； （2）． 解：合并同类项，得． 系数化为1，得． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键． 【例1.2】（2023七年级·全国·课后作业）解下列方程时，合并同类项不正确的是（　　） A．，合并同类项，得 B．，合并同类项，得 C．，合并同类项，得 D． ，合并同类项，得 【答案】C 【分析】 本题考查了解一元一次方程的合并同类项法则，熟练掌握法则是解题的关键； 根据合并同类项法则逐项判定即可． 【详解】A．，合并同类项，得，即，计算正确，故选项不符合题意； B．，合并同类项，得即，计算正确，故选项不符合题意； C．，合并同类项，得，即，计算错误，故选项符合题意； D．，合并同类项，得即，计算正确，故选项不符合题意； 故选：C． 【例1.3】（2023六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解方程，方程中含有百分数，先把百分数化成分数，再依据等式的性质，解方程． （1）两边同时除以即可解题； （2）先合并，然后两边同时乘以2解题即可． 【详解】（1）解： 两边同时除以得：， 解得：； （2） 合并得：， 两边同时乘以2得：． 【变式1.1】（2023七年级·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】先合并同类项，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：； 合并同类项得 ， 解得； （2）解：； 合并同类项得 ， 解得； （3）解：； 合并同类项得 ， 解得； （4）解：． 合并同类项得 ， 解得． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，合并同类项正确计算是解题的关键． 【变式1.2】（2023七年级·全国·专题练习）判断下列方程的求解过程是否正确，说明原因： (1)． 解：合并同类项，得．系数化为1，得． (2)． 解：合并同类项，得． 系数化为1，得． 【答案】(1)不正确，见解析 (2)不正确，见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）合并同类项时系数，不是，系数化成1即可； （2）合并同类项，系数化成1（两边都除以9）即可． 【详解】（1）不正确， 理由是：∵， 合并同类项得：， 系数化成1得：． （2）不正确， 理由是：， 合并同类项得：， 系数化成1得：． 【变式1.3】（2023七年级·福建厦门·期中）解方程： (1) (2) 第①步骤的名称是___________ 第②合并同类项 第③系数化为1这一步骤的依据是___________．    【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）合并同类项，系数化为1即可求解； （2）根据移项，合并同类项，系数化为1解方程，再根据等式的基本性质填空． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：； （2）第①步骤的名称是移项； 第②合并同类项； 第③系数化为1这一步骤的依据是等式的基本性质．    【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解本题的关键． 【考点2 列方程解决“总量=各部分量的和”问题】 【例2.1】（2023七年级·全国·课堂例题）挖一条长为1200米的水渠，由甲、乙两队从两头同时施工，甲队每天挖150米，乙队每天挖90米，需要几天才能挖好？设需要x天才能挖好，则列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，甲走的路程+乙走的路程=总路程，然后列出相应的方程即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：A 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 【例2.2】（2023七年级·全国·课堂例题）某商场三个季度共销售冰箱2800台，第一季度的销售量是第二季度的2倍，第三季度的销售量是第一季度的2倍，此商场第二季度销售冰箱 台． 【答案】400 【分析】 设此商场第二季度销售冰箱x台，第一季度销售冰箱台，则第三季度销售冰箱台，根据商场三个季度共销售冰箱2800台列出方程，解方程即可． 【详解】解：设此商场第二季度销售冰箱x台，第一季度销售冰箱台，则第三季度销售冰箱台，由题意得： ， 解得：， 即此商场第二季度销售冰箱400台， 故答案为：400． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【例2.3】（2023七年级·福建莆田·阶段练习）甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？ 【答案】甲捐书本，乙捐书本，丙捐书为本 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 设甲捐书本，则乙捐书本，丙捐书为，根据他们共捐了374本，即可求出这三位同学各捐书多少册； 【详解】解：设甲捐书本，则乙捐书本，丙捐书为， ∵他们共捐了374本， ∴， 解得， ∴甲捐书本，乙捐书本，丙捐书为本． 【变式2.1】（2023·四川南充·中考真题）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，则今年购置计算机的数量是（  ） A．25台 B．50台 C．75台 D．100台 【答案】C 【分析】设去年购置计算机数量为x台，则今年购置计算机的数量为3x台，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设去年购置计算机数量为x台，则今年购置计算机的数量为3x台， 根据题意可得：x+3x=100， 解得：x=25， 则3x=3×25=75（台）， 即今年购置计算机的数量为75台． 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【变式2.2】（2023七年级·河南安阳·开学考试）学校要为图书室的地面铺上方砖，如果用边长为3分米的方砖铺地，需要用600块，如果改用边长为5分米的地砖铺地，需要多少块？ 【答案】需要多少216块 【分析】由题意可知：图书馆的面积是一定的，则方砖面积与方砖的块数成反比例，据此即可列比例求解． 【详解】解：设如果改用边长5分米的地砖铺地，需要多少块， 则有：， 答：如果改用边长5分米的地砖铺地，需要多少216块． 【点睛】本题考查了比例问题，解题的关键是掌握面积为定值，建立等式求解． 【变式2.3】（2023七年级·福建泉州·阶段练习）妇人洗碗在河滨，路人问他客几人？答曰：“不知客数目，六十五碗自分明，二人共食一碗饭，三人共吃一碗羹，四人共肉无余数，请君细算客几人？”本题的大意是：有一名妇人在河边洗碗，一个过路的人问她有多少个客人吃饭，妇人说“人数不知道，一共65个碗，其中两个人共用一碗饭，三个人共喝一碗汤，四个人共吃一碗肉，请你算算一共有多少个客人？” 【答案】60 【分析】设共有客人位，根据客人共用的碗共65个，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设共有客人人，依题意可得：． 解之得：． 答：共有客人60人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023七年级·全国·假期作业）某水果店运来苹果千克，运来梨的质量是苹果的倍，该水果店运来苹果和梨一共 千克．如果该水果店运来的梨比苹果多千克，那么运来苹果 千克，运来梨 千克． 【答案】 【分析】考查了用字母表示数，一元一次方程的应用，本题的关键是得到运来的梨的质量．根据运来的梨的质量苹果的质量，运来的梨和苹果的总质量运来的梨的质量苹果的质量； 根据梨比苹果多的质量运来的梨的质量苹果的质量，列方程，即可得到苹果、梨的重量． 【详解】解：苹果和梨共有（千克）； 如果运来的梨比苹果多千克， 则：， ， ， 梨的质量：（千克）， 故答案为：，，． 【题型2】（2023·安徽六安·七年级期末）《九章算术》中有一问题，“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百 步，善行者追之．问：几何步几之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步，现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？ 【答案】走路快的人要走250步才能追上走路慢的人． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设善于走路的人追上不善于走路的人所用时间为t，根据二者的速度差×时间=路程，即可求出t值，再将其代入路程速度时间，即可求出结论． 【详解】解：设善于走路的人追上不善于走路的人所用时间为t， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：走路快的人要走250步才能追上走路慢的人． 【题型3】（2023六年级下·上海青浦·期末）如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5 米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（   ） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设经过了x秒，巧巧追上淘淘，根据他们的路程差为米列方程求解即可． 【详解】解：设经过了x秒，巧巧追上淘淘 根据题意得， 解得， 此时巧巧走了米，，则巧巧在D处； 淘淘走了米，，则淘淘也在D处， 故经过60秒淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处， 故选：B． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·陕西西安·开学考试）水果店共运进102筐水果，香蕉筐数的占梨的，梨筐数的占苹果的，则苹果 筐． 【答案】 【分析】设苹果筐，则梨筐数为筐，香蕉的筐数为筐，根据水果店共运进102筐水果列出方程，解方程得到x的值，即可得到答案． 【详解】解：设苹果筐，则梨筐数为筐，香蕉的筐数为筐， 则， 解得， 则， 即苹果为筐， 故答案为： 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程是解题的关键． 【题型2】（2023七年级·江西赣州·期末）在明朝程大位《算法统宗》中，有这样的一首歌谣，叫做浮屠增级歌：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔，其古称浮屠，本题说它一共有七层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，则这个塔顶有（    ）盏灯． A．1 B．2 C．3 D．7 【答案】C 【分析】设塔顶的灯数为x盏，则根据每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，分别求出每一层灯的数量，然后求和，根据它们的和是381解答即可． 【详解】解：设塔顶的灯数为x盏， 则从塔顶向下，每一层灯的数量依次是x，2x，4x，8x，16x，32x，64x， 所以x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381， 127x=381 x=381÷127 x=3 答：这个塔顶的灯数为3盏． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答此题的关键是理解把握每下一层灯的盏数都是上一层的2倍． 【题型3】（2023·浙江·七年级期末）学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算报酬，则分配方案为（    ） A．甲360元，乙540元 B．甲450元，乙450元 C．甲300元，乙600元 D．甲540元，乙360元 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，熟悉掌握工程问题中的数量关系是解题的关键． 设两人合作了天，根据甲的工作量乙的工作量剩余工作总量列出方程求解即可． 【详解】解：设两人合作了天， ∴由题意可得： 解得： ∴甲的工作量为 ∴甲的报酬为：元， ∴乙的报酬为：元， 故选：B． 模块二 利用“移项”及“合并同类项”解一元一次方程 移项: 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. 【考点1 利用“移项”及“合并同类项”解一元一次方程】 【例1.1】（2023七年级·湖南衡阳·阶段练习）下列移项正确的是（    ） A．从，得到 B．从，得到 C．从，得到 D．从，得到 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程移项问题，熟练掌握移项这一步骤是解题的关键． 根据移项的定义对选项进行分析即可． 【详解】解：对于选项A，移项得到，故不符合题意； 对于选项B，移项得到，故不符合题意； 对于选项C，移项得到，故符合题意； 对于选项D，移项得到，故不符合题意； 故选C． 【例1.2】（2023七年级·全国·课后作业）如图，框图表示解这个方程的流程：其中，“移项”这一步骤的依据是 ，“合并同类项”这一步骤的依据是 ，“系数化为1”这一步骤的依据是 ． 【答案】 等式的基本性质1 合并同类项法则 等式的基本性质2 【分析】利用等式的性质及合并同类项法则判断即可． 【详解】解：“移项”这一步骤的依据是等式的基本性质1，“合并同类项”这一步骤的依据是合并同类项法则，“系数化为1”这一步骤的依据是等式的基本性质2． 故答案为：等式的基本性质1；合并同类项法则；等式的基本性质2． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握等式的性质以及合并同类项法则是解本题的关键． 【例1.3】（2023七年级·江西宜春·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等． （1）先移项、合并同类项，然后化未知数的系数为1； （2）先去移项、合并同类项；最后化未知数的系数为1． 【详解】（1）移项得， 合并同类项得； （2）移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【变式1.1】（2023·广东佛山·七年级期末）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解．设被污染的常数■是a，把代入计算即可求出a的值． 【详解】解：设被污染的常数■是a， 把代入，得：， 解得， 故选A． 【变式1.2】（2023七年级·全国·课堂例题）补全解方程的过程： 解：移项，得_________． 合并同类项，得____________________________． 系数化为，得________________． 【答案】；；；； 【分析】按照解一元一次方程的步骤：移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 故答案为：；；；；． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【变式1.3】（2023六年级下·上海松江·期中）若表示的倍与的一半的差，已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程，根据新定义的法则，列出方程，进行求解，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由， 则， 解得：， 故答案为：． 【考点2 根据“表示同一个量的两个不同的式子相等”列方程解应用题】 【例2.1】（2023七年级·福建南平·期中）某汽车队运送一批货物，若每辆汽车装4t，则还剩下8 t装不下；若每辆汽车装4.5t，则恰好装完．该车队运送货物的汽车共有多少辆？设该车队运送货物的汽车共有x辆，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】设这个车队有x辆车，根据题意可知等量关系为：两种装法货物的总量是一定的，据此列方程． 【详解】解：设这个车队有x辆车， 由题意得，4x+8=4.5x． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 【例2.2】（2023七年级·内蒙古通辽·期末）几个人共同种一批树苗，如果每人种6棵，则少4棵树苗；如果每人种5棵，则剩下3棵树苗未种，若设参与种树的人数为x人，可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．根据树苗的数量为定值，列出方程即可． 【详解】解：设参与种树的人数为x人， 由题意，得：； 故答案为：． 【例2.3】（2023七年级·全国·课堂例题）七年级某班学生在会议室看录像，每排坐人，则有人无处坐，每排坐人，则空个座位，求这间会议室共有多少排座位． 【答案】排 【分析】设这间会议室共有排座位，若每排坐人，则有人无处坐，那么学生人数可表示为人；每排坐人，则空个座位，那么学生人数可表示为人，根据学生人数不变，可得方程，求解即可． 【详解】解：设这间会议室共有排座位， 根据题意得：， 解得：， 答：这间会议室有排座位． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程．读懂题意，设出未知数，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式2.1】（2023·陕西西安·七年级期末）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？ 【答案】21人 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题中钱的总数列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设合伙人数为x人， 根据题意列方程， 解得：， 即合伙人有21人． 【变式2.2】（2023七年级·北京房山·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设绳索长尺，则竿长尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设绳索长尺，则竿长尺， 依题意，得：． 故选：D． 【变式2.3】（2023七年级·全国·课后作业）为了阻断新冠疫情传播，疫情居家期间，居民购买的蔬菜包由志愿者统一派送．若每位志愿者派送个蔬菜包，则少个蔬菜包；若每个志愿者派送个蔬菜包，则剩下个未送，则安排派送的志愿者有（　　） A．人 B．人 C．人 D．人 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据题意，设安排个志愿者派送，列出方程，进行解答，看． 【详解】设安排分志愿者派送， ∴， 解得：． 故选：B． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023七年级·河北石家庄·期末）如果单项式与单项式是同类项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了已知同类项的定义求字母的值，以及已知字母的值，求代数式的值．根据同类项的定义求出a和b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵单项式与单项式是同类项， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【题型2】（2023七年级·北京海淀·阶段练习）如图，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“成达小区域”．现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中的十个小三角形中，使得图中的每个“成达小区域”中的四个数之和都是23．并且5，6，9，这四个数已填入图中，位置如图所示，则表示的数是（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据每个“成达小区域”中的四个数之和都是23得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故选：D． 【题型3】（2023七年级·贵州·期末）先看例子，再解类似的题目． 例子：解方程：|x|+1=3． 解法一：当x≥0时，原方程化为x+1=3，解方程，得x=2；当x<0时，原方程化为-x+1=3，解方程，得x=-2．所以方程|x|+1=3的解是x=2或x=-2． 解法二：移项，得|x|=3-1，合并同类项，得|x|=2．由绝对值的意义，知x=±2．所以原方程的解为x=±2． 问题：用上面的两种方法解方程2|x|-3=5． 【答案】x=±4． 【分析】根据阅读材料来进行含绝对值的一元一次方程的解，需分两种解法来求解. 【详解】解：解法一：当x≥0时，原方程可化为2x-3=5，解得x=4；当x<0时，原方程可化为-2x-3=5，解得x=-4．所以原方程的解为x=±4． 解法二：将原方程移项，得2|x|=5+3，合并同类项，得2|x|=8，方程两边同除以2，得|x|=4，由绝对值的意义，知x=±4．所以原方程的解为x=±4． 【点睛】此题主要考查含绝对值的一元一次方程的解法. 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·甘肃武威·阶段练习）某数的5倍加上3等于这个数的7倍减去5，这个数是（    ）． A．4 B．－10 C．10 D．－4 【答案】A 【分析】由题意根据数量间的相等关系设这个数为x，列方程解答即可. 【详解】解：设这个数为x，由题意得： 5x+3=7x-5 解得：x=4. 故选：A． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意并依据题意等量关系建立方程求解是解题的关键. 【题型2】（2023·安徽合肥·七年级期末）安徽省加快“县城通高速”步伐，实现了高速公路“县县通”，有力促进县域经济的发展．仅去年一年就通过新建或扩建开通的高速公路共519公里，其中新建高速公路的长度是扩建的2倍少45公里，求去年新建和扩建高速公路各多少公里？ 【答案】去年新建高速公路331公里，扩建高速公路188公里 【分析】设扩建高速公路为公里，则新建的高速公路为公里，由题意得，，求解的值，进而可得结果． 【详解】解：设扩建高速公路为公里，则新建的高速公路为公里， 由题意得，， 解得， ∵， ∴去年新建高速公路331公里，扩建高速公路188公里． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程． 【题型3】（2023七年级·河北石家庄·期末）小明在某月的日历中圈出相邻的四个数，算出这4个数的和是42，那么这4个数在日历上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可设第一个数为x，根据四个数字的和为42列出方程，即可求解． 【详解】解：设第一个数为x，根据已知： A、由题意得x+x+7+x+6+x+8=42，则x=5.25不是整数，故本选项不合题意． B、由题意得x+x+1+x+2+x+8=42，则x=7.75不是整数，故本选项不合题意． C、由题意得x+x+1+x+7+x+8=42，则x=6.5是整数，故本选项符合题意． D、由题意得x+x+1+x+6+x+7=42，则x=7是正整数，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，关键是根据题意对每个选项列出方程求解论证． 模块三 课后作业 1．（2023七年级·全国·专题练习）由方程3x–5=2x–4变形得3x–2x=–4+5，那么这是根据（   ）变形的． A．合并同类项法则 B．乘法分配律 C．移项 D．等式性质2 【答案】C 【分析】由已知变形到后边的式子，是把-5移到方程右边，把2x移到方程的左边，因而这是根据移项变形的. 【详解】仔细观察题目可判断出这是根据移项变形的． 故选C. 【点睛】正确认识解一元一次方程的几个步骤是解题的关键. 2．（2023七年级·全国·课后作业）对方程合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程合并同类项得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程， 合并同类项得：． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． 3．（14-15七年级·黑龙江伊春·期末）下列移项中，正确的是（    ） A．，移项得 B．，移项得 C．，移项得 D．，移项得 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程——移项，根据移项的运算法则逐一判断即可求解，熟练掌握移项的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，移项得，则错误，故不符合题意； B、，移项得，则错误，故不符合题意； C、，移项得，则正确，故符合题意； D、，移项得，则错误，故不符合题意； 故选C． 4．（2023七年级·四川内江·期中）下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，设被墨水遮盖的数为m，则把代入方程中求出m的值即可． 【详解】解：设被墨水遮盖的数为m， 由题意得，方程的解为， ∴， 解得， 故选：C． 5．（2023·内蒙古包头·七年级期末）定义新运算“※”，规定：，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先根据新定义得到，再解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：C． 6．（2023七年级·湖南衡阳·阶段练习）定义一种新运算：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了即一元一次方程，解题的关键是根据新定义得到一元一次方程．根据新运算的方法得到关于m的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（2023六年级下·黑龙江绥化·期中）小亮在解方程时，由于粗心错把看成了，结果解得，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，由题意得出，解一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 8．（2023七年级·吉林长春·阶段练习）小明在解关于的方程时，误把写成了，从而求得此时方程的解为，则原来方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．先把代入可得，再把代入，即可求解． 【详解】解：把代入，得， 解得， 把代入，得， 解得， 故答案为：． 9．（2023七年级·江苏宿迁·期末）若与是同类项，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题的关键．根据同类项的定义分别得出的值代数求值． 【详解】解： 与是同类项， ， 解得， 将代入， 得原式． 故答案为：． 10．（2023七年级·河南郑州·期末）如图是一个运算程序框图，认真观察框图并计算，当输出结果是7时，输入x的值为 ． 【答案】4或 【分析】本题考查程序流程图与有理数计算、解一元一次方程，分和两种情况，分别列方程，解方程即可． 【详解】解：分两种情况，当输入x的值大于2时： ， 即， 解得； 当输入x的值小于或等于2时： ， 解得； 综上可知，输入x的值为4或． 故答案为：4或． 11．（2023七年级·四川遂宁·期中）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解； 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 12．（2023七年级·天津·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 13．（2023·河北沧州·七年级期末）课外兴趣小组进行一个混合运算题目的游戏，给出一个数，按照四位同学提供的运算方式及先后顺序运算，可得运算结果． 小齐：乘以． 小家：除以2． 小治：加上1． 小国：减去▲． (1)若给出的数字为，▲为，求运算结果． (2)若给出的数为3，运算结果为最大的负整数，求▲表示的数． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程： （1）根据题意，列出算式，进行计算即可； （2）设▲表示的数为，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）设▲表示的数为，由题意，得： ，解得：， ∴▲表示的数为． 14．（2023七年级·吉林长春·阶段练习）一个数的倍加，比这个数的倍少，求这个数． (1)设这个数为，列出关于的方程； (2)请在，，，中，找出所列的方程的解． 【答案】(1) (2) 【分析】 本题考查了列一元一次方程，一元一次方程的解，解一元一次方程， （1）设这个数为，根据题意列出一元一次方程； （2）解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设这个数为，依题意得， （2）解： 解得： 15．（2023·安徽阜阳·七年级期末）如图，这是由同样大小的黑点按一定的规律组成的图形，其中图1 中共有 4 个黑点，图 2 中共有9个黑点，图3 中共有 14 个黑点，图4 中共有 19个黑点，…． 依此规律，请解答下面的问题． (1)图5中共有黑点的个数为 ． (2)图n中共有黑点的个数为 ． (3)若图n中共有黑点的个数为 2024，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形的变化规律，然后利用规律求解．仔细观察图形的变化情况找到规律，利用规律解答即可． （1）根据所给的图形进行类比得到答案； （2）根据（1）中的结果类比得到公式即可； （3）利用公式得到方程解题即可． 【详解】（1）观察图形发现： 第一个图形有个黑点； 第二个图形有个黑点； 第三个图形有：个黑点； 第四个图形有个黑点； 第五个图形有个黑点； 故答案为：； （2）依据上边各式得到：第个图形有个黑点， 故答案为：； （3）解： ， 解得：， 答：n的值为． 16．（2023七年级·河南商丘·期末）“曹冲称象”的故事取材于《三国志》，故事中称象方案是这样的：先将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个士兵，水位在标记位置不变．每块条形石的重量都是280斤，设每个士兵的体重是斤． 孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理．冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”——《三国志》 (1)可列出等量关系：“20块条形石的重量”+“3个士兵的体重”=“______块条形石的重量”+“______个士兵的体重”； (2)求； (3)象的重量是______斤． 【答案】(1)21，1 (2) (3)6020 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系是解题关键， （1）根据题意得增加1块条石留下1个士兵即相等，完成解答； （2）根据等量关系列方程并解方程即可解决； （3）根据象的重量等于20块等重的条形石加上3个体重相同的士兵重量之和计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：“20块条形石的重量”+“3个士兵的体重”=“21块条形石的重量”+“1个士兵的体重”， 故答案为：21，1； （2）解：由题意得： ， 解得：； （3）解：象的重量斤， 故答案为：6020． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【苏科版】 ·模块一 利用“合并同类项”解一元一次方程 ·模块二 利用“移项”及“合并同类项”解一元一次方程 ·模块三 课后作业 模块一 利用“合并同类项”解一元一次方程 【考点1 利用“合并同类项”解一元一次方程】 【例1.1】（2023七年级·全国·课堂例题）补全下列解方程的过程： （1）． 解：合并同类项，得 ． 系数化为1，得 ． （2）． 解：合并同类项，得 ． 系数化为1，得 ． 【例1.2】（2023七年级·全国·课后作业）解下列方程时，合并同类项不正确的是（　　） A．，合并同类项，得 B．，合并同类项，得 C．，合并同类项，得 D． ，合并同类项，得 【例1.3】（2023六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）解方程 (1) (2) 【变式1.1】（2023七年级·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) (3) (4) ． 【变式1.2】（2023七年级·全国·专题练习）判断下列方程的求解过程是否正确，说明原因： (1)． 解：合并同类项，得．系数化为1，得． (2)． 解：合并同类项，得． 系数化为1，得． 【变式1.3】（2023七年级·福建厦门·期中）解方程： (1) (2) 第①步骤的名称是___________ 第②合并同类项 第③系数化为1这一步骤的依据是___________．    【考点2 列方程解决“总量=各部分量的和”问题】 【例2.1】（2023七年级·全国·课堂例题）挖一条长为1200米的水渠，由甲、乙两队从两头同时施工，甲队每天挖150米，乙队每天挖90米，需要几天才能挖好？设需要x天才能挖好，则列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023七年级·全国·课堂例题）某商场三个季度共销售冰箱2800台，第一季度的销售量是第二季度的2倍，第三季度的销售量是第一季度的2倍，此商场第二季度销售冰箱 台． 【例2.3】（2023七年级·福建莆田·阶段练习）甲、乙、丙三位同学向贫困山区的希望小学捐赠图书，已知这三位同学捐赠图书册数的比是，如果他们共捐374本，那么这三位同学各捐书多少册？ 【变式2.1】（2023·四川南充·中考真题）学校机房今年和去年共购置了100台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍，则今年购置计算机的数量是（  ） A．25台 B．50台 C．75台 D．100台 【变式2.2】（2023七年级·河南安阳·开学考试）学校要为图书室的地面铺上方砖，如果用边长为3分米的方砖铺地，需要用600块，如果改用边长为5分米的地砖铺地，需要多少块？ 【变式2.3】（2023七年级·福建泉州·阶段练习）妇人洗碗在河滨，路人问他客几人？答曰：“不知客数目，六十五碗自分明，二人共食一碗饭，三人共吃一碗羹，四人共肉无余数，请君细算客几人？”本题的大意是：有一名妇人在河边洗碗，一个过路的人问她有多少个客人吃饭，妇人说“人数不知道，一共65个碗，其中两个人共用一碗饭，三个人共喝一碗汤，四个人共吃一碗肉，请你算算一共有多少个客人？” 【规律方法综合练】 【题型1】（2023七年级·全国·假期作业）某水果店运来苹果千克，运来梨的质量是苹果的倍，该水果店运来苹果和梨一共 千克．如果该水果店运来的梨比苹果多千克，那么运来苹果 千克，运来梨 千克． 【题型2】（2023·安徽六安·七年级期末）《九章算术》中有一问题，“今有善行者一百步，不善行者六十步，今不善行者先行一百 步，善行者追之．问：几何步几之？”其意思是：有一个善于走路的人和一个不善于走路的人．善于走路的人走100步的同时，不善于走路的人只能走60步，现在不善于走路的人先走100步，善于走路的人追他，需要走多少步才能追上他？ 【题型3】（2023六年级下·上海青浦·期末）如图，机器人淘淘和巧巧分别站在边长为15米的正方形道路的顶点D、B处，他们开始各以每秒1米和每秒1.5 米的速度沿正方形道路按顺时针方向匀速行走．当淘淘和巧巧第一次都在正方形的同一顶点处时，经过了多少秒？（   ） A．30秒 B．60秒 C．90秒 D．120秒 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·陕西西安·开学考试）水果店共运进102筐水果，香蕉筐数的占梨的，梨筐数的占苹果的，则苹果 筐． 【题型2】（2023七年级·江西赣州·期末）在明朝程大位《算法统宗》中，有这样的一首歌谣，叫做浮屠增级歌：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增．共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔，其古称浮屠，本题说它一共有七层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，则这个塔顶有（    ）盏灯． A．1 B．2 C．3 D．7 【题型3】（2023·浙江·七年级期末）学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算报酬，则分配方案为（    ） A．甲360元，乙540元 B．甲450元，乙450元 C．甲300元，乙600元 D．甲540元，乙360元 模块二 利用“移项”及“合并同类项”解一元一次方程 移项: 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. 【考点1 利用“移项”及“合并同类项”解一元一次方程】 【例1.1】（2023七年级·湖南衡阳·阶段练习）下列移项正确的是（    ） A．从，得到 B．从，得到 C．从，得到 D．从，得到 【例1.2】（2023七年级·全国·课后作业）如图，框图表示解这个方程的流程：其中，“移项”这一步骤的依据是 ，“合并同类项”这一步骤的依据是 ，“系数化为1”这一步骤的依据是 ． 【例1.3】（2023七年级·江西宜春·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式1.1】（2023·广东佛山·七年级期末）小明做作业时发现方程已被墨水污染：电话询问老师后知道：方程的解且被墨水遮盖的是一个常数．则该常数是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023七年级·全国·课堂例题）补全解方程的过程： 解：移项，得_________． 合并同类项，得____________________________． 系数化为，得________________． 【变式1.3】（2023六年级下·上海松江·期中）若表示的倍与的一半的差，已知，则 ． 【考点2 根据“表示同一个量的两个不同的式子相等”列方程解应用题】 【例2.1】（2023七年级·福建南平·期中）某汽车队运送一批货物，若每辆汽车装4t，则还剩下8 t装不下；若每辆汽车装4.5t，则恰好装完．该车队运送货物的汽车共有多少辆？设该车队运送货物的汽车共有x辆，则可列方程为 ． 【例2.2】（2023七年级·内蒙古通辽·期末）几个人共同种一批树苗，如果每人种6棵，则少4棵树苗；如果每人种5棵，则剩下3棵树苗未种，若设参与种树的人数为x人，可列方程 ． 【例2.3】（2023七年级·全国·课堂例题）七年级某班学生在会议室看录像，每排坐人，则有人无处坐，每排坐人，则空个座位，求这间会议室共有多少排座位． 【变式2.1】（2023·陕西西安·七年级期末）《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有人合伙买羊，每人出5钱，还缺45钱；每人出7钱，还缺3钱，问合伙人数是多少？ 【变式2.2】（2023七年级·北京房山·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，则符合题意的方程是（ ） A． B． C． D． 【变式2.3】（2023七年级·全国·课后作业）为了阻断新冠疫情传播，疫情居家期间，居民购买的蔬菜包由志愿者统一派送．若每位志愿者派送个蔬菜包，则少个蔬菜包；若每个志愿者派送个蔬菜包，则剩下个未送，则安排派送的志愿者有（　　） A．人 B．人 C．人 D．人 【规律方法综合练】 【题型1】（2023七年级·河北石家庄·期末）如果单项式与单项式是同类项，则（    ） A． B． C． D． 【题型2】（2023七年级·北京海淀·阶段练习）如图，每个小三角形的边长都为1，把由四个小三角形组成的边长为2的大三角形称为一个“成达小区域”．现将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数分别填入图中的十个小三角形中，使得图中的每个“成达小区域”中的四个数之和都是23．并且5，6，9，这四个数已填入图中，位置如图所示，则表示的数是（   ） A．3 B．4 C．7 D．8 【题型3】（2023七年级·贵州·期末）先看例子，再解类似的题目． 例子：解方程：|x|+1=3． 解法一：当x≥0时，原方程化为x+1=3，解方程，得x=2；当x<0时，原方程化为-x+1=3，解方程，得x=-2．所以方程|x|+1=3的解是x=2或x=-2． 解法二：移项，得|x|=3-1，合并同类项，得|x|=2．由绝对值的意义，知x=±2．所以原方程的解为x=±2． 问题：用上面的两种方法解方程2|x|-3=5． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·甘肃武威·阶段练习）某数的5倍加上3等于这个数的7倍减去5，这个数是（    ）． A．4 B．－10 C．10 D．－4 【题型2】（2023·安徽合肥·七年级期末）安徽省加快“县城通高速”步伐，实现了高速公路“县县通”，有力促进县域经济的发展．仅去年一年就通过新建或扩建开通的高速公路共519公里，其中新建高速公路的长度是扩建的2倍少45公里，求去年新建和扩建高速公路各多少公里？ 【题型3】（2023七年级·河北石家庄·期末）小明在某月的日历中圈出相邻的四个数，算出这4个数的和是42，那么这4个数在日历上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 模块三 课后作业 1．（2023七年级·全国·专题练习）由方程3x–5=2x–4变形得3x–2x=–4+5，那么这是根据（   ）变形的． A．合并同类项法则 B．乘法分配律 C．移项 D．等式性质2 2．（2023七年级·全国·课后作业）对方程合并同类项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（14-15七年级·黑龙江伊春·期末）下列移项中，正确的是（    ） A．，移项得 B．，移项得 C．，移项得 D．，移项得 4．（2023七年级·四川内江·期中）下面是一个被墨水污染过的方程：，答案显示此方程的解是，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（    ） A．1 B． C． D． 5．（2023·内蒙古包头·七年级期末）定义新运算“※”，规定：，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 6．（2023七年级·湖南衡阳·阶段练习）定义一种新运算：，若，则 ． 7．（2023六年级下·黑龙江绥化·期中）小亮在解方程时，由于粗心错把看成了，结果解得，则的值为 ． 8．（2023七年级·吉林长春·阶段练习）小明在解关于的方程时，误把写成了，从而求得此时方程的解为，则原来方程的解为 ． 9．（2023七年级·江苏宿迁·期末）若与是同类项，则代数式的值是 ． 10．（2023七年级·河南郑州·期末）如图是一个运算程序框图，认真观察框图并计算，当输出结果是7时，输入x的值为 ． 11．（2023七年级·四川遂宁·期中）解方程：． 12．（2023七年级·天津·期中）解方程： (1)； (2)． 13．（2023·河北沧州·七年级期末）课外兴趣小组进行一个混合运算题目的游戏，给出一个数，按照四位同学提供的运算方式及先后顺序运算，可得运算结果． 小齐：乘以． 小家：除以2． 小治：加上1． 小国：减去▲． (1)若给出的数字为，▲为，求运算结果． (2)若给出的数为3，运算结果为最大的负整数，求▲表示的数． 14．（2023七年级·吉林长春·阶段练习）一个数的倍加，比这个数的倍少，求这个数． (1)设这个数为，列出关于的方程； (2)请在，，，中，找出所列的方程的解． 15．（2023·安徽阜阳·七年级期末）如图，这是由同样大小的黑点按一定的规律组成的图形，其中图1 中共有 4 个黑点，图 2 中共有9个黑点，图3 中共有 14 个黑点，图4 中共有 19个黑点，…． 依此规律，请解答下面的问题． (1)图5中共有黑点的个数为 ． (2)图n中共有黑点的个数为 ． (3)若图n中共有黑点的个数为 2024，求n的值． 16．（2023七年级·河南商丘·期末）“曹冲称象”的故事取材于《三国志》，故事中称象方案是这样的：先将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个士兵，水位在标记位置不变．每块条形石的重量都是280斤，设每个士兵的体重是斤． 孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理．冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”——《三国志》 (1)可列出等量关系：“20块条形石的重量”+“3个士兵的体重”=“______块条形石的重量”+“______个士兵的体重”； (2)求； (3)象的重量是______斤． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$