第15讲 等式与方程-2024年暑假新七年级数学上册自学课系列（苏科版）

第15讲 等式与方程 【苏科版】 ·模块一 一元一次方程 ·模块二 等式的性质 ·模块三 课后作业 模块一 一元一次方程 1. 方程及方程的解： （1）方程：含未知数的等式，叫方程（方程是含有未知数的等式，但等式不一定是方程）； （2）方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”. 2. 一元一次方程： （1）一元一次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程. （2）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）. 【考点1 方程的概念】 【例1.1】（2023七年级·吉林长春·期中）下列各式中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 【例1.2】（2023七年级·全国·课堂例题）已知式子：①；②；③；④；⑤．其中的等式是 ，其中含有未知数的等式是 ，所以其中的方程是 ．（填序号） 【例1.3】（2023六年级下·全国·假期作业）已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1.1】（2023七年级·安徽蚌埠·期中）下列各式中，不是方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023七年级·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式1.3】（2023七年级·山东德州·期末）在①；②；③；④；⑤中，方程共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点2 一元一次方程的概念】 【例2.1】（2023六年级下·上海·期中）式子①，②，③，④，⑤中，是一元一次方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2.2】（2023六年级下·上海·期中）如果关于x的方程是一元一次方程，那么k的值为 ． 【例2.3】（2023七年级·湖南衡阳·期中）已知关于的方程是一元一次方程，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D．2 【变式2.1】（2023七年级·吉林长春·期中）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（2023七年级·湖南衡阳·期中）若关于的方程是一元一次方程，则的值是 ． 【变式2.3】（2023七年级·四川南充·期末）关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【考点3 方程的解】 【例3.1】（2023七年级·湖北孝感·期末）若关于的方程的解为，则 【例3.2】（2023七年级·湖南衡阳·期中）若关于的方程的解是，则代数式的值为 ． 【例3.3】（2023七年级·四川宜宾·期中）整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值： 0 1 2 3 0 4 8 则关于的方程的解是 ． 【变式3.1】（2023七年级·福建泉州·期中）写出一个解为3的一元一次方程 ． 【变式3.2】（2023·广西河池·七年级期末）关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A． B．0 C．2 D．8 【变式3.3】（2023七年级·江苏泰州·阶段练习）如果是关于的方程的解，则代数式 ． 【考点4 根据问题中的相等关系列方程】 【例4.1】（2023七年级·广东河源·开学考试）一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 【例4.2】（2023七年级·山东德州·阶段练习）把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【例4.3】（2023七年级·江苏泰州·阶段练习）据市公园管理中心统计数据显示，月日至日，市属个景点接待市民游客万人，比去年同期增长了，求去年同期这个景点接待市民游客人数．设去年同期这个景点接待市民游客万人，则可列方程为 ． 【变式4.1】（2023七年级·河南新乡·阶段练习）根据“x与5的和的3倍比x的少2”列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（2023七年级·安徽安庆·期末）临近春节，商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利10元；如果按原售价的六折出售，将亏损50元．问该商品的原售价为多少元？设该商品的原售价为x元，则列方程为 ． 【变式4.3】（2023七年级·江苏泰州·期末）某班学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组6人，这样比原来增加了两组，这个班共有多少名学生？若设共有x名学生，可列方程为 ． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023七年级·陕西渭南·期末）若是关于的一元一次方程的解，求，的值． 【题型2】（2023七年级·河北石家庄·期末）如图，在编写数学谜题时，“口”内要求填写同一个数字，若设“口”内的数字为，则可列出方程 ． 【题型3】（2017七年级·全国·专题练习）先列方程，再估算出方程解． 甲型钢笔每支3元，乙型钢笔每支5元，用40元钱买了两种钢笔共10支，还多2元，问两种钢笔各买了多少支？ 解：设买了甲型钢笔x支，则乙型钢笔_________支，依题意得方程：_____________________． 这里x＞0，列表计算： 从表中看出 x(支) 1 2 3 4 5 6 7 8 3x＋5(10－x) (元) 48 46 44 42 40 38 36 34 x＝____是原方程的解． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·全国·课堂例题）在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵． (1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数； (2)根据题意列出含未知数的方程； (3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵． 【题型2】（2023七年级·全国·单元测试）根据实际问题的意义列出方程： （1）好马走15天的路程，劣马要走30天，已知劣马每天走150千米，则好马每天走多少千米？ （2）有宿舍若干间，如果每间住4人还空一间，如果每间住3人就有5人没有床位，问有多少间宿舍？ 【题型3】（2012·江苏盐城·七年级期末）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（    ） A． B． C． D． 模块二 等式的性质 等式及其性质 （1）等式：用“=”号连接而成的式子叫等式； （2）等式的性质： 等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等； 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等. 【考点1 等式的性质】 【例1.1】（2023七年级·全国·课堂例题）已知，若根据等式的性质可变形为，则满足的条件是（    ） A． B． C． D．可以是任意数或式子 【例1.2】（2023·云南·七年级期末）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【例1.3】（2023六年级下·全国·假期作业）若等式成立，则下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2023七年级·湖北武汉·期末）已知等式，依据等式的性质进行变形，可以得到的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2023七年级·全国·假期作业）如果，根据等式的性质填空． 【变式1.3】（2023七年级·全国·假期作业）若，则的值是 ． 【考点2 利用等式的性质解方程】 【例2.1】（2023七年级·吉林·期中）利用等式的性质解方程：． 【例2.2】（2023七年级·全国·课后作业）将方程的系数化为1时，下列做法正确的是（　　） A．方程两边同时加上 B．方程两边同时减去 C．方程两边同时除以 D．方程两边同时乘以 【例2.3】（2023七年级·河北石家庄·阶段练习）小红做了四道方程变形题，出现错误的有（    ） 下列方程变形为：（1），；（2），；（3），；（4），． A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4） 【变式2.1】（2023六年级下·上海·阶段练习）把方程变形为，是在方程两边都（    ） A．乘以 B．乘以 C．除以 D．除以 【变式2.2】（2023七年级·全国·专题练习）利用等式的性质解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式2.3】（2023七年级·北京延庆·期末）下面的框图是解方程的流程： 在上述五个步骤中，依据是“等式的基本性质2”的步骤有 ．（只填序号） 【规律方法综合练】 【题型1】（2023七年级·四川南充·期末）已知，其中“△”，“□”分别表示两个不同的数，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】（2023七年级·福建泉州·阶段练习）若，，则是（    ） A．48 B．52 C．58 D．60 【题型3】（2023七年级·全国·假期作业）如果，，那么， ． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·安徽·七年级期末）已知三个实数a，b，c，满足，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】（2023七年级·广西钦州·阶段练习）假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“■”的个数是 个． 【题型3】（2023·安徽亳州·七年级期末）设为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 模块三 课后作业 1．（2023七年级·河南周口·期中）下列式子中，是一元一次方程的有（   ） A． B． C． D． 2．（2023七年级·全国·假期作业）是下列（ ）方程的解． A． B． C． D． 3．（2023七年级·全国·专题练习）已知方程，用含y的式子表示x为（　　） A． B． C． D． 4．（2023七年级·河北·阶段练习）“的4倍与3的差比的2倍多5”可列等式表示为（    ） A． B． C． D． 5．（2023七年级·湖南湘潭·期末）若是一元一次方程，则的值是（    ） A．3 B． C．3或 D．1 6．（2023六年级下·上海浦东新·期中）若是方程的解，则 ． 7．（2023七年级·河南新乡·期中）写出一个解为，且未知数的系数为2的一元一次方程 ． 8．（15-16七年级·河南·阶段练习）下列各式中，①-2+5=5；②③；④；⑤；⑥⑦⑧哪些是方程 ，哪些是一元一次方程 ．（将序号写到横线上） 9．（2023七年级·河北保定·期末）已知，利用等式的性质比较与的大小关系： （填“”“”“”） 10．（2023七年级·湖北襄阳·阶段练习）一个饲养场里的鸡的只数与猪的头数之和是70，鸡、猪的腿数之和是196，设鸡的只数是x，依题意列方程为 。 11．（2023七年级·全国·课后作业）检验下列各题括号内的值是否为相应方程的解． (1)； (2)； 12．（2023七年级·全国·课后作业）利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 13．（2023七年级·陕西西安·期末）已知方程是关于的一元一次方程.求、的值． 14．（2023七年级·甘肃张掖·阶段练习）已知与是同类项，试判断是不是方程的解． 15．（2023七年级·河南新乡·阶段练习）王老师在黑板上写了一个等式，小明说；小刚说不一定，当时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确么？用等式的性质说明理由． 16．（2023七年级·陕西渭南·阶段练习）用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 等式与方程 【苏科版】 ·模块一 一元一次方程 ·模块二 等式的性质 ·模块三 课后作业 模块一 一元一次方程 1. 方程及方程的解： （1）方程：含未知数的等式，叫方程（方程是含有未知数的等式，但等式不一定是方程）； （2）方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”. 2. 一元一次方程： （1）一元一次方程概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程. （2）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）. 【考点1 方程的概念】 【例1.1】（2023七年级·吉林长春·期中）下列各式中，是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的概念，熟练掌握方程的定义是解题的关键；根据方程的概念求解即可； 【详解】解：、是方程，故本选项符合题意； 、不是等式所以不是方程，故本选项不符合题意； 、不含有未知数，不是方程，故本选项不符合题意； 、不是等式所以不是方程，故本选项不符合题意； 故选：． 【例1.2】（2023七年级·全国·课堂例题）已知式子：①；②；③；④；⑤．其中的等式是 ，其中含有未知数的等式是 ，所以其中的方程是 ．（填序号） 【答案】 ①③④⑤ ③④⑤ ③④⑤ 【分析】根据等式的特点：用等号连接的式子，方程的特点：①含有未知数，②是等式进行判断即可． 【详解】解：由题意可得，含有未知数的等式是方程， ①是等式； ②是多项式，既不是等式也不是方程； ③既是等式也是方程； ④既是等式也是方程； ⑤既是等式也是方程， 故答案为：①③④⑤；③④⑤；③④⑤． 【点睛】本题考查等式和方程的定义，熟练掌握方程的定义是解题的关键． 【例1.3】（2023六年级下·全国·假期作业）已知下列式子：．其中方程的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查的是方程的定义，根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：不是等式，所以它不是方程； 是等式，但其中不含未知数，所以它不是方程； 不是等式，所以它不是方程； 都具备方程的两个条件，所以都是方程． 故选：C． 【变式1.1】（2023七年级·安徽蚌埠·期中）下列各式中，不是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的定义（含有未知数的等式称为方程）依次进行判断即可． 【详解】解：根据方程的定义可知，A、C、D都是方程，B不是方程， 故选B． 【点睛】本题主要考查方程的定义，深刻理解方程的定义是解题关键． 【变式1.2】（2023七年级·全国·课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是方程，见解析 (2)是方程 (3)不是方程，见解析 (4)不是方程，见解析 (5)是方程 (6)不是方程，见解析 【分析】（1）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （2）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （3）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （4）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （5）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得； （6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得． 【详解】（1）解：不是方程，理由是：不含未知数． （2）解：是方程． （3）解：不是方程，理由是：不是等式． （4）解：不是方程，理由是：不是等式． （5）解：是方程． （6）解：不是方程，理由是：不含未知数． 【点睛】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键． 【变式1.3】（2023七年级·山东德州·期末）在①；②；③；④；⑤中，方程共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查方程的定义，掌握方程的定义：含有未知数的等式是解题的关键． 【详解】解：在①；②；③；④；⑤中②③④是方程． 故选：C． 【考点2 一元一次方程的概念】 【例2.1】（2023六年级下·上海·期中）式子①，②，③，④，⑤中，是一元一次方程有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，根据一元一次方程的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：①不是一元一次方程； ②不是一元一次方程； ③不是一元一次方程； ④将整理得，是一元一次方程； ⑤是一元一次方程， 故是一元一次方程有④⑤，共个， 故选：B． 【例2.2】（2023六年级下·上海·期中）如果关于x的方程是一元一次方程，那么k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元）且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程是解题的关键． 先移项得到一元一次方程的一般式，再根据一元一次方程的定义列出关于k的不等式，求出k的值即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 【例2.3】（2023七年级·湖南衡阳·期中）已知关于的方程是一元一次方程，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义可得2k-1=0，-(2k+1)≠0，据此进行求解即可得. 【详解】∵关于的方程是一元一次方程， ∴2k-1=0且-(2k+1)≠0， ∴k=， 故选A. 【点睛】本题考查了一元一次方程的概念，熟练掌握一元一次方程是指含有一个未知数，并且未知数的次数为1的整式方程是解题的关键. 【变式2.1】（2023七年级·吉林长春·期中）下列方程是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握一元一次方程的定义．根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，对选项一一进行判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次方程，故该选项不符合题意； B、不是整式方程，故该选项不符合题意； C、最高次数是2，不是关于x的一元一次方程，故该选项不符合题意； D、是关于y的一元一次方程，故该选项符合题意． 故选：D． 【变式2.2】（2023七年级·湖南衡阳·期中）若关于的方程是一元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此求解即可． 【详解】解；关于的方程是一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为： 【变式2.3】（2023七年级·四川南充·期末）关于x的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】根据又含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为1的整式方程，叫做一元一次方程，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【考点3 方程的解】 【例3.1】（2023七年级·湖北孝感·期末）若关于的方程的解为，则 【答案】 【分析】本题考查了利用方程的解求参数，熟练掌握和运用利用方程的解求参数的方法是解决本题的关键．把代入方程，解方程即可． 【详解】解：将代入方程， 得：， 解得：， 故答案为：． 【例3.2】（2023七年级·湖南衡阳·期中）若关于的方程的解是，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，根据方程的解，即可求出，即可求出代数式的值． 【详解】解： 是方程的解， ， 即， ． 故答案为：． 【例3.3】（2023七年级·四川宜宾·期中）整式的值随着的取值的变化而变化，下表是当取不同的值时对应的整式的值： 0 1 2 3 0 4 8 则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】此题考查了方程的解，根据表格中的数据求解即可． 【详解】根据题意可得， 当时， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 【变式3.1】（2023七年级·福建泉州·期中）写出一个解为3的一元一次方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次方程的定义，一元一次方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，写出一个一元一次方程即可． 【详解】解：由题意，一元一次方程可以为：； 故答案为：． 【变式3.2】（2023·广西河池·七年级期末）关于x的方程的解是，则a的值为（   ） A． B．0 C．2 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，根据题意将代入，即可求解． 【详解】解：依题意，解得：， 故选：C． 【变式3.3】（2023七年级·江苏泰州·阶段练习）如果是关于的方程的解，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解及代数式求值，由是关于的方程的解得到，把代数式变形为，代入计算即可求解，把代数式变形为是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点4 根据问题中的相等关系列方程】 【例4.1】（2023七年级·广东河源·开学考试）一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为 ． 【答案】 【分析】设这个场地的宽为米，则长为米，然后根据长方形的周长公式即可解答． 【详解】解：设这个场地的宽为米，则长为米， 由题意可得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、设出未知数、明确等量关系是解答本题的关键． 【例4.2】（2023七年级·山东德州·阶段练习）把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20本；如果每人分4本，则缺25本．设有名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图书的数量不变，列出等量关系式，即可求解， 本题考查了列一元一次方程，解题的关系式：根据图书数量不变，列出等量关系式． 【详解】解：根据题意得：， 故选：． 【例4.3】（2023七年级·江苏泰州·阶段练习）据市公园管理中心统计数据显示，月日至日，市属个景点接待市民游客万人，比去年同期增长了，求去年同期这个景点接待市民游客人数．设去年同期这个景点接待市民游客万人，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】根据增长率的计算方法，结合有理数的混合运算即可求解． 【详解】解：设去年同期这个景点接待市民游客万人， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查用方程表示增长率的计算，掌握增长率的计算，方程的运用，用字母表示数（或数量关系）的原则是解题的关键． 【变式4.1】（2023七年级·河南新乡·阶段练习）根据“x与5的和的3倍比x的少2”列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件x与5的和的3倍即为，x的少2即为，然后列出等量关系即可 【详解】解：由题意可得：， 故选：C 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系． 【变式4.2】（2023七年级·安徽安庆·期末）临近春节，商场开展打折促销活动，某商品如果按原售价的八折出售，将盈利10元；如果按原售价的六折出售，将亏损50元．问该商品的原售价为多少元？设该商品的原售价为x元，则列方程为 ． 【答案】0.8x-10=0.6x+50 【分析】设该商品的原售价为x元，然后根据成本不变列出方程即可． 【详解】解：设该商品的原售价为x元， 根据题意得：0.8x-10=0.6x+50， 故答案为：0.8x-10=0.6x+50． 【点睛】此题考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，弄清题中的等量关系是解本题的关键． 【变式4.3】（2023七年级·江苏泰州·期末）某班学生分组参加活动，原来每组8人，后来重新编组，每组6人，这样比原来增加了两组，这个班共有多少名学生？若设共有x名学生，可列方程为 ． 【答案】 【分析】设这个班学生共有人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的增加了组，根据此列方程即可． 【详解】解：设这个班学生共有人， 根据题意得： 故答案为：． 【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，其关键是找出等量关系及表示原来和后来各多少组． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023七年级·陕西渭南·期末）若是关于的一元一次方程的解，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查了一元一次方程的定义和一元一次方程的解．只含量有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的整理式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义得到：，由此可以求得的值．再根据一元一次方程的解的意义，把代入方程，求解即可得n值． 【详解】解：因为方程是关于的一元一次方程， 所以，所以． 将代入原方程中，得， 解得． 【题型2】（2023七年级·河北石家庄·期末）如图，在编写数学谜题时，“口”内要求填写同一个数字，若设“口”内的数字为，则可列出方程 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，第一个乘数可以表示为，积可以表示为，由此列出方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确理解题意是解题的关键． 【题型3】（2017七年级·全国·专题练习）先列方程，再估算出方程解． 甲型钢笔每支3元，乙型钢笔每支5元，用40元钱买了两种钢笔共10支，还多2元，问两种钢笔各买了多少支？ 解：设买了甲型钢笔x支，则乙型钢笔_________支，依题意得方程：_____________________． 这里x＞0，列表计算： 从表中看出 x(支) 1 2 3 4 5 6 7 8 3x＋5(10－x) (元) 48 46 44 42 40 38 36 34 x＝____是原方程的解． 【答案】10-x；3x+5（10-x）=38；6. 【详解】试题分析：设买了甲型铅笔x支，则乙型钢笔10-x支，根据用40元钱买了两种钢笔共10支，还多2元，列方程解答即可． 试题解析：设买了甲型铅笔x支，则乙型钢笔10-x支，依题意得方程： 3x+5（10-x）=40-2 从表中看出x=6是原方程的解． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·全国·课堂例题）在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵． (1)列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数； (2)根据题意列出含未知数的方程； (3)检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵． 【答案】(1)甲班植树的棵数为棵、棵 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据多、一半的含义列出式子即可； （2）直接列出等式即可； （3）利用代入法进行检验即可． 【详解】（1）根据甲班植树的棵数比乙班多， 得甲班植树的棵数为棵；根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵， 得甲班植树的棵数为棵． （2）． （3）把分别代入（2）中方程的左边和右边， 得左边， 右边． 因为左边右边， 所以是方程的解， 即乙班植树的棵数是25棵． 由上面的检验过程可得甲班植树的棵数是30棵，而不是35棵 【点睛】本题考查了列方程解实际问题的能力，考查了学生应用数学解决实际问题的能力． 【题型2】（2023七年级·全国·单元测试）根据实际问题的意义列出方程： （1）好马走15天的路程，劣马要走30天，已知劣马每天走150千米，则好马每天走多少千米？ （2）有宿舍若干间，如果每间住4人还空一间，如果每间住3人就有5人没有床位，问有多少间宿舍？ 【答案】（1）300千米；（2）9间． 【分析】要列方程，首先要找出存在的等量关系： （1）好马走的路程=劣马走的路程;（2）总人数相等. 【详解】解：（1）设好马每天走x千米，则好马走的路程为15x千米， 已知劣马每天走150千米，以及劣马要走30天，即劣马所走的路程为150×30千米， 根据路程相等可列方程：15x=30×150；x=300千米； （2）设有x间宿舍，由如果每间住4人还空一间可得4（x﹣1）， 如果每间住3人就有5人没有床位可得3x+5， 根据总人数相等的关系可列方程得：4（x﹣1）=3x+5；解得x=9． 【点睛】解此题的关键是找出题中存在的等量关系． 【题型3】（2012·江苏盐城·七年级期末）根据图中给出的信息，可得正确的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得相等关系的量为“水的体积”，然后利用圆柱体积公式列出方程即可. 【详解】解：大量筒中的水的体积为：， 小量筒中的水的体积为：， 则可列方程为：. 故选A. 【点睛】本题主要考查列方程，解此题的关键在于准确找到题中相等关系的量，然后利用圆柱的体积公式列出方程即可. 模块二 等式的性质 等式及其性质 （1）等式：用“=”号连接而成的式子叫等式； （2）等式的性质： 等式性质1：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），结果仍相等； 等式性质2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，结果仍相等. 【考点1 等式的性质】 【例1.1】（2023七年级·全国·课堂例题）已知，若根据等式的性质可变形为，则满足的条件是（    ） A． B． C． D．可以是任意数或式子 【答案】C 【分析】根据等式的性质即可得到答案． 【详解】解：当时，根据等式的性质可变形为， 故选：C 【点睛】此题考查了等式的变形，熟练掌握等式的性质是解题的关键． 【例1.2】（2023·云南·七年级期末）根据等式的性质，下列各式变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、若，当时，；当时，等式无意义；该选项错误，不合题意； 、若，则，该选项正确，符合题意； 、若，则或，该选项错误，不合题意； 、若，则，该选项错误，不合题意； 故选：． 【例1.3】（2023六年级下·全国·假期作业）若等式成立，则下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了等式的性质，应用等式的性质，等式两边同时除以一个数时，只有这个数不为0，等式的变形才能成立．分别根据等式的性质分析得出即可． 【详解】解：A、当时，两边同时除以c，得，选项A不一定成立，本选项符合题意； B、两边同时乘b，得，选项B成立，本选项不符合题意； C、两边同时加a，得，选项C成立，本选项不符合题意； D、两边同时减b，得，选项D成立，本选项不符合题意． 故选：A． 【变式1.1】（2023七年级·湖北武汉·期末）已知等式，依据等式的性质进行变形，可以得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等式的基本性质判断即可． 【详解】解：， 依据等式的性质进行变形，可得： ，，，， 故A、B、D错误，C正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，掌握等式两边同时加或减去同一个代数式，结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键． 【变式1.2】（2023七年级·全国·假期作业）如果，根据等式的性质填空． 【答案】 5 m 【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解答本题的关键； 根据等式的性质直接填空：（1）等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立； （2）等式两边同时乘以或除以同一个数（0除外），等式仍然成立．即可得到答案． 【详解】； ； ； ． 故答案为：5，m，，． 【变式1.3】（2023七年级·全国·假期作业）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题关键．把等号两边同时除以4得出，等号两边再同时减去即可得答案． 【详解】解：， 等号两边同时除以4得：， 所以， 所以的值是． 【考点2 利用等式的性质解方程】 【例2.1】（2023七年级·吉林·期中）利用等式的性质解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了等式的基本性质，利用等式的基本性质直接解答即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：等式两边同时减得，， 即， 等式两边同时乘以得，， 即． 【例2.2】（2023七年级·全国·课后作业）将方程的系数化为1时，下列做法正确的是（　　） A．方程两边同时加上 B．方程两边同时减去 C．方程两边同时除以 D．方程两边同时乘以 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 根据等式的性质，方程两边都除以即可． 【详解】， 方程两边同时除以，得， 解得：， 故选：C． 【例2.3】（2023七年级·河北石家庄·阶段练习）小红做了四道方程变形题，出现错误的有（    ） 下列方程变形为：（1），；（2），；（3），；（4），． A．（1）（2）（3） B．（1）（3）（4） C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（4） 【答案】C 【分析】本题考查了等式性质的应用．根据等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：（1）， 变形为，正确； （2）， 变形为，原说法错误； （3）， 变形为，原说法错误； （4）， 变形为，原说法错误； 故选：C 【变式2.1】（2023六年级下·上海·阶段练习）把方程变形为，是在方程两边都（    ） A．乘以 B．乘以 C．除以 D．除以 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，正确掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】解：根据等式的性质变形为，是在方程两边都乘以． 故选：B． 【变式2.2】（2023七年级·全国·专题练习）利用等式的性质解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据等式性质1、2求解，再检验即可； （2）根据等式性质2求解，再检验即可； （3）根据等式性质1、2求解，再检验即可； （4）根据等式性质1、2求解，再检验即可． 【详解】（1）解：方程两边加上6得：，即， 方程两边除以4得：， 则是方程的解； （2）解：方程两边除以得：， 则是方程的解； （3）解：方程两边减去得：，即， 两边除以5得：， 则是方程的解； （4）解：方程两边减去得：，即， 则是方程的解． 【点睛】本题考查运用等式性质解方程，熟练掌握等式性质是解题的关键． 【变式2.3】（2023七年级·北京延庆·期末）下面的框图是解方程的流程： 在上述五个步骤中，依据是“等式的基本性质2”的步骤有 ．（只填序号） 【答案】①⑤/⑤① 【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式基本性质． 【详解】解：等式的性质2：等式两边同时乘（或除）相等的数或式，两边依然相等； 若， 那么有， 或， 所以依据等式的性质2的步骤是①⑤． 故答案为：①⑤． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023七年级·四川南充·期末）已知，其中“△”，“□”分别表示两个不同的数，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质．等式两边同乘以12，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选D． 【题型2】（2023七年级·福建泉州·阶段练习）若，，则是（    ） A．48 B．52 C．58 D．60 【答案】B 【分析】本题考查代数式求值，等式的基本性质，根据等式的基本性质得是解决问题得关键． 【详解】解：∵，， ∴，即：， ∴， 故选：B． 【题型3】（2023七年级·全国·假期作业）如果，，那么， ． 【答案】 【分析】本题考查等式的性质，利用代换的方式把其中一个数用另一个数表示，两个未知数就成了一个未知数，进一步解决问题即可，熟练掌握等式的性质是解题关键．首先利用第二个式子减去第一个式子得出和的关系，用其中一个表示另一个，再代入任何一个式子求出一个，进一步求出另一个，计算加法即可解决问题． 【详解】① ② 所以②－①得：， ，③ 把③代入①得：， 所以， 所以， 所以． 故答案为： 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023·安徽·七年级期末）已知三个实数a，b，c，满足，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题的关键． 利用得到， 再推出即可． 【详解】， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 【题型2】（2023七年级·广西钦州·阶段练习）假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放“■”的个数是 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据题意推出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴“？”处应放“■”的个数是4个， 故答案为：4． 【题型3】（2023·安徽亳州·七年级期末）设为互不相等的实数，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质得到，则，据此可判断D；例如当时，满足，据此可判断A、C；例如当，满足，据此可判断B． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即，故D结论正确，符合题意； 例如当时，满足，故A结论错误，不符合题意； ∴此时，故C结论错误，不符合题意； 例如当，满足，故B结论错误，不符合题意； 故选：D． 模块三 课后作业 1．（2023七年级·河南周口·期中）下列式子中，是一元一次方程的有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故A符合题意； B．，不是一元一次方程，故B错误； C．属于代数式，不是方程，故C不符合题意； D．含有两个未知数，属于二元一次方程，不是一元一次方程，故D不符合题意． 故选：A． 2．（2023七年级·全国·假期作业）是下列（ ）方程的解． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程解的定义，根据方程的解的定义，把代入方程进行检验即可． 【详解】A．把代入方程，左边，右边，左边右边，故选项错误； B．把代入方程，左边，右边，左边右边，故选项正确； C．把代入方程，左边，右边，左边右边，故选项错误； D．把代入方程，左边，右边，左边右边，故选项错误， 故答案为：B． 3．（2023七年级·全国·专题练习）已知方程，用含y的式子表示x为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用代数式表示字式，以及等式的基本性质．移项，再把x的系数化为1即可求解，掌握等式的性质是解题的关键． 【详解】方程， ， 所以：． 故选：B． 4．（2023七年级·河北·阶段练习）“的4倍与3的差比的2倍多5”可列等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据文字描述，直接列出等式即可． 【详解】解：由题意，得 故选：B． 【点睛】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到等量关系． 5．（2023七年级·湖南湘潭·期末）若是一元一次方程，则的值是（    ） A．3 B． C．3或 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”，熟记定义是解题关键．根据一元一次方程的定义可得，由此即可得． 【详解】解：∵是一元一次方程， ， 解得， 故选：B． 6．（2023六年级下·上海浦东新·期中）若是方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解，把代入方程计算即可求解，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2023七年级·河南新乡·期中）写出一个解为，且未知数的系数为2的一元一次方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式，结合题干给出的条件写出方程即可． 【详解】解：解为，且未知数的系数为2的一元一次方程有无数个，例如：， 故答案为：（答案不唯一）． 8．（15-16七年级·河南·阶段练习）下列各式中，①-2+5=5；②③；④；⑤；⑥⑦⑧哪些是方程 ，哪些是一元一次方程 ．（将序号写到横线上） 【答案】 ②③⑤⑥⑧； ②③． 【详解】试题解析：① -2+5=5不是方程， ②3x-1=7是一元一次方程， ③m=0是一元一次方程， ④x+1≥3不是方程；是分式方程， ⑤x+y=8是二元一次方程， ⑥是一元二次方程， ⑦2a+b是代数式不是方程， ⑧是分式方程． 故方程是：②③⑤⑥⑧；一元一次方程是：②③． 考点：一元一次方程的定义；方程的定义． 9．（2023七年级·河北保定·期末）已知，利用等式的性质比较与的大小关系： （填“”“”“”） 【答案】 【分析】本题考查了等式的性质，把等式变形为减等于多少的形式，从而可得结论．注意：两个数的差大于，被减数大于减数；两个数的差等于，被减数和减数相等；两个数的差小于，被减数小于减数． 【详解】解： 移项得： 合并同类项得： 提取公因数得： 化简： 故答案为：． 10．（2023七年级·湖北襄阳·阶段练习）一个饲养场里的鸡的只数与猪的头数之和是70，鸡、猪的腿数之和是196，设鸡的只数是x，依题意列方程为 。 【答案】2x＋4（70−x）＝196 【分析】鸡的只数是x，则猪的头数为（70−x）头，根据鸡、猪的腿数之和是196，列方程． 【详解】解：∵鸡的只数是x，则猪的头数为（70−x）头， 由题意得，2x＋4（70−x）＝196 故答案是：2x＋4（70−x）＝196. 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程． 11．（2023七年级·全国·课后作业）检验下列各题括号内的值是否为相应方程的解． (1)； (2)； 【答案】(1)不是方程的解，是方程的解 (2)不是方程的解，是方程的解 【分析】 （1）分别把和代入方程两边，判断两边是否相等，即可解答； （2）分别把和代入方程两边，判断两边是否相等，即可解答． 【详解】（1） 解：把代入方程，左边，右边，左边≠右边， 所以不是方程的解． 把代入方程，左边，右边，左边＝右边， 所以是方程的解． （2） 解：把代入方程，左边，右边，左边≠右边， 所以不是方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边＝右边， 所以是方程的解． 【点睛】 本题主要考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． 12．（2023七年级·全国·课后作业）利用等式的性质解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）等式的两边同时加5即可得出结论； （2）先把等式的两边同时加4， 再把两边同时除以2即可得出结论； （3）先把等式的两边同时加，再把两边同时除以3即可得出结论； （4）先把等式的两边同时加2，再把两边同时乘以，即可得出结论． 【详解】（1）解：两边同时加5，得． （2）解：两边同时加4，得，两边同时除以2，得． （3）解：两边同时加，得，两边同时除以3，得． （4）解：两边同时加2，得，两边同时乘，得． 【点睛】本题考查的是等式的基本性质，熟知等式的2个基本性质是解答此题的关键，等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式两边依然相等；等式两边同时乘或除同一个数或整式，等式两边依然相等． 13．（2023七年级·陕西西安·期末）已知方程是关于的一元一次方程.求、的值． 【答案】； 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为的整式方程叫做一元一次方程，根据一元一次方程的定义即可得出，，求解即可，熟练掌握一元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：方程是关于的一元一次方程， ，， 解得， ， 解得． 14．（2023七年级·甘肃张掖·阶段练习）已知与是同类项，试判断是不是方程的解． 【答案】是方程的解，理由见解析 【分析】本题考查了方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点．根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，求出m和n值，再代入从而求出x的值．把x的值代入方程进行检验即可判断． 【详解】解：∵与是同类项， ； ． ． 把代入方程， 左边， 右边， 左边右边． ∴是方程的解． 15．（2023七年级·河南新乡·阶段练习）王老师在黑板上写了一个等式，小明说；小刚说不一定，当时，这个等式也可能成立．你认为他俩的说法正确么？用等式的性质说明理由． 【答案】小明的说法错误，小刚的说法正确，理由见解析 【分析】根据等式的基本性质，即可求解． 【详解】解：小明的说法错误，小刚的说法正确， 理由如下：当时，x为任意数， 当时，． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式两边同时加上（或减去）同一个数（或整式），等式仍然成立；等式两边同时乘或除以同一个不为0的数（或整式），等式仍然成立是解题的关键． 16．（2023七年级·陕西渭南·阶段练习）用方程表示下列语句所表示的相等关系： (1)七年级学生人数为n，其中男生占，女生有人； (2)一种商品每件的进价为a元，售价为进价的倍，现每件又降价元，现售价为每件元． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，男生人数为，也可以表示为，因此列出方程即可； （2）根据题意，售价为，现售价为，因为现售价为每件元，即可列出方程． 【详解】（1）解：根据题意， （2）解：根据题意， ， 【点睛】本题考查了列一元一次方程等知识内容，正确理解并列出等价的方程是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$