第13讲 整式的加减-2024年暑假新七年级数学上册自学课系列（苏科版）

第13讲 整式的加减 【苏科版】 ·模块一 合并同类项 ·模块二 去括号 ·模块三 整式的加减 ·模块四 课后作业 模块一 合并同类项 同类项： （1）概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项（与系数无关，与字母的排列顺序无关）. （2）合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 【考点1 同类项】 【例1.1】（2023·四川内江·中考真题）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．依据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的次数相同，据此判断即可． 【详解】解：A．是同类项，此选项符合题意； B．字母a的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； C．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意； D．相同字母的次数不相同，不是同类项，故此选项不符合题意． 故选：A． 【例1.2】（2023七年级·四川成都·期中）如果和是同类项，那么的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同类项的定义，根据同类项的定义即可求解，熟记：“所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项”是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：2． 【例1.3】（2023七年级·湖北恩施·期末）关于、、、的多项式（其中、为正整数）中，恰有两项是同类项，则是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了同类项的概念，方程的解法，分两种情况讨论：当，是同类项时，当，是同类项时，再根据同类项的定义列方程，解方程组可得答案，掌握“含有相同字母，相同字母的指数也相同的单项式是同类项”是解题的关键． 【详解】当与是同类项时， ，，解得：，， ∴； 当与是同类项时， ，，解得：，， ∴； 综上可知：的值是或， 故答案为：或． 【变式1.1】（2023六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列两项是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，解题的关键是掌握同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，即可． 【详解】A、与不是同类项； B、与不是同类项，不符合题意； C、与是同类项，符合题意； D、与不是同类项，不符合题意． 故选：C． 【变式1.2】（2023七年级·山西晋城·期中）已知单项式与单项式是同类项． (1)填空： ， ． (2)求多项式的值． 【答案】(1)；2 (2)36 【分析】本题考查了同类项，代数式求值．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的单项式，叫做同类项；所有的常数项都是同类项．熟练掌握同类项的定义求出与的值是解答本题的关键． 【详解】（1）解：∵单项式与单项式是同类项 ∴，， 故答案为：；2． （2）解：当，时， ． ∴多项式的值为． 【变式1.3】（2023七年级·全国·专题练习）下列各组中的两项是不是同类项？为什么？ (1)与． (2)与． (3)与． (4)与． (5)与． 【答案】(1)是同类项 (2)不是同类项 (3)是同类项 (4)是同类项 (5)不是同类项 【分析】根据同类项的定义逐个判断即可（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项）． 【详解】（1）解：中两项所含相同的字母的指数不同，不是同类项． （2）中两项所含字母不同，不是同类项． （3）中两项符合同类项定义，是同类项． （4）中两项符合同类项定义，是同类项． （5）中两项不含相同字母，不是同类项． 【点睛】本题主要考点了同类项的定义，根据同类项的定义逐个判断即可，熟练掌握同类项的定义：“所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项”是解题的关键． 【考点2 合并同类项及其应用】 【例2.1】（2023七年级·江西吉安·开学考试）下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，根据合并同类项法则逐一计算即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； C、，原计算正确，符合题意； D、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； 故选：C． 【例2.2】（2023七年级·山西吕梁·期末）如图，从标有单项式的四张卡片中找出所有能合并的同类项，若它们合并后的结果为，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先利用同类项定义求出的值，再代入计算即可． 【详解】∵四张卡片中，是同类项， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查了同类项，熟练掌握同类项定义及合并同类项法则是解题的关键． 【例2.3】（2023七年级·河南安阳·期末）阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：，类似地，我们把看成一个整体，则． 尝试应用： 把看成一个整体，合并的结果是______． 已知，求的值． 拓展探索： 已知，，，求的值． 【答案】 ； ； ． 【分析】本题考查的知识点是合并同类项、整式的化简求值、根据已知式子的值求代数式的值，解题关键是结合已知条件将原式进行正确变形，采用整体代入的思想进行计算． 将原式合并即可； 将看成一个整体，对原式进行变形，再代入求值即可； 将原式变形后代入已知整式值计算即可． 【详解】解：原式， ． 故答案为：． 解：， ， ， ， ． 解：，，， ， ， ， ， ． 【变式2.1】（2023七年级·湖北·期末）已知m，n为正整数，若多项式合并同类项后只有两项，则的值为 ． 【答案】6或4 【分析】本题考查了合并同类项，同类项的定义，解题的关键是掌握字母和字母指数相同的单项式是同类项．根据题意得出和是同类项或和是同类项，然后进行分类讨论即可． 【详解】解：∵多项式合并同类项后只有两项， ∴和是同类项或和是同类项， ①当和是同类项时，， ∴， ∴； ②当和是同类项时，， ∴， ∴， 故答案为：6或4． 【变式2.2】（2023七年级·江西赣州·期末）如果关于的两个单项式和是同类项（其中） (1)求的值； (2)如果这两个单项式的和为0，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查同类项的定义、合并同类项和求代数式的值， 根据同类项的定义即可求得； 根据题意得，代入即可求得代数式的值． 【详解】（1）解： 关于的两个单项式和是同类项（其中）， ； （2）根据题意得． ，则， ． 【变式2.3】（2023七年级·北京怀柔·期末）指出下列单项式中的同类项，并将所有同类项写成一个多项式，再合并同类项． ﹣y2x、2xy、2xy2、x、y、﹣3xy、﹣yx、2． 【答案】xy2﹣2xy． 【分析】先找出同类项：具有相同字母,并且相同字母的指数也相同,再利用合并同类项法则：字母部分不变,系数相加减即可解题. 【详解】解：同类项为：﹣y2x和2xy2，2xy、﹣3xy和﹣yx， 多项式为：﹣y2x+2xy2+2xy﹣3xy﹣yx， 合并同类项：﹣y2x+2xy2+2xy﹣3xy﹣yx． 原式＝（﹣1+2）xy2+（2﹣3﹣1）xy ＝xy2﹣2xy． 【点睛】本题考查了同类项的概念,属于简单题,熟悉同类项的概念,合并同类项的法则是解题关键. 【规律方法综合练】 【题型1】（2023七年级·陕西西安·期中）若多项式3x3﹣2x2﹣（15﹣6x﹣kx2）中不含x2项，则k的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．±2 【答案】B 【分析】去括号，将x2项合并，并令其系数为0，求出k的值即可． 【详解】3x3﹣2x2﹣（15﹣6x﹣kx2） =3x3﹣2x2﹣15+6x+kx2 =3x3+（k－2）x2+6x﹣15， ∵不含x2项， ∴k－2=0， ∴k=2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查多项式中同类项的合并，掌握合并同类项的方法是解题关键． 【题型2】（2023七年级·福建漳州·期中）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，如果把看作一个整体，合并的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，准确计算． 【详解】解：， 故答案为： 【题型3】（2023七年级·四川泸州·阶段练习）我们知道，于是，那么合并同类项的结果是（ ） A． B． C．   D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项的法则，把系数相加，字母和字母的指数不变，再计算． 【详解】解： . 故选C． 【点睛】本题主要考查合并同类项的法则．即系数相加作为系数，字母和字母的指数不变．注意系数相加时的简便算法． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·贵州铜仁·学业考试）已知多项式合并后结果为，则的关系是 ． 【答案】互为相反数 【分析】根据题意先合并同类项，即，再利用合并后结果为0这一条件，从而得出答案． 【详解】解：依题意得：， ∴， ∴的关系是互为相反数， 故答案为：互为相反数． 【点睛】本题考查合并同类项的法则及相反数的定义，掌握合并同类项的法则是系数相加字母和字母的指数不变． 【题型2】（2023七年级·浙江杭州·期末）关于a、b的单项式ma2b3与﹣2a2bn﹣1合并同类项后得﹣5a2b3，则m＝ ，n＝ ． 【答案】 ﹣3 4 【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫做同类项）可得方程n﹣1＝3，根据合并同类项法则（合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变）可得m﹣2＝﹣5，据此可得m、n的值． 【详解】解：∵关于a、b的单项式ma2b3与﹣2a2bn﹣1合并同类项后得﹣5a2b3， ∴n﹣1＝3，m﹣2＝﹣5， 解得m＝﹣3，n＝4． 故答案为：﹣3；4． 【点睛】本题主要考查了合并同类项，理解掌握合并同类项的法则是解题关键． 【题型3】（2023七年级·全国·课后作业）（1）水库水位第一天连续下降了，每小时平均下降；第二天连续上升了，每小时平均上升，这两天水位总的变化情况如何？ （2）某商店原有5袋大米，每袋大米为．上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋．进货后这个商店有大米多少千克？ 【答案】（1）下降了；（2）千克 【分析】（1）把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正，再分别表示两天的水位变化量，再求和即可； （2）把进货的数量记为正，售出的数量记为负，再分别表示售出的量与购进的量，再列式计算即可. 【详解】解：（1）把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正． 第一天水位的变化量是，第二天水位的变化量是． 两天水位的总变化量（单位：）是 ． 这两天水位总的变化情况为下降了． （2）把进货的数量记为正，售出的数量记为负． 进货后这个商店共有大米（单位：） ． 【点睛】本题考查的是正负数的含义，列代数式，合并同类项，掌握列代数式，合并同类项是解题的关键. 模块二 去括号 去（添）括号： （1）去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； （2）若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 【考点1 去括号】 【例1.1】（2023七年级·全国·课堂例题）去括号的依据是（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律与分配律 【答案】C 【分析】根据去括号法则解答即可．去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相反. 【详解】解：根据去括号法则可知，去括号就是用括号外的因数乘以括号内的每一项. 所以去括号的依据是分配律． 故选C． 【点睛】本题考查去括号法则，掌握去括号法则是解题关键． 【例1.2】（2023七年级·河南信阳·期末）下列去括号与添括号变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的去括号及添括号，熟练掌握去括号及添括号的法则是关键．根据去括号与添括号法则逐一判断即可． 【详解】解：A、2，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项正确； D、，故本选项错误． 故选：C． 【例1.3】（2023七年级·浙江杭州·期末）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了去括号法则与添括号法则， 熟练掌握去括号及添括号的法则是关键．根据去括号和添括号法则进行整理后，将 与的值代入原式即可求出答案． 【详解】解：当时， ， 故答案为：． 【变式1.1】（2023七年级·全国·课后作业）去括号： （1）；（2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据去括号法则即可得出答案，注意去括号时p、q要改变符号； （2）根据去括号法则即可得出答案，注意前面是负号的，去括号时括号里的每一项都要改变符号. 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练运用法则是解题关键. 【变式1.2】（2023·河北石家庄·七年级期末）下列式子中，去括号后得的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查去括号，掌握去括号的法则，利用去括号的法则，逐一进行计算后，判断即可． 【详解】解：A、，符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选A． 【变式1.3】（2023七年级·河北沧州·期中）在等式中，括号里应填（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的减法，熟练掌握添括号法则是解题的关键．根据减法性质解答即可． 【详解】解： 故选B． 【考点2 去括号的简单应用】 【例2.1】（2023七年级·浙江杭州·期末）三个连续的奇数，中间的一个是，则三个数的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三个连续的奇数，它们之间相隔的数为2，分别表示这三个奇数，列式化简即可． 【详解】解：∵中间的一个是2n+1， ∴第一个为2n-1，最后一个为2n+3，则 三个数的和为（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）=6n+3． 故选：D． 【点睛】本题考查的知识点为：连续奇数之间相隔的数为2．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 【例2.2】（2023·河北石家庄·七年级期末）某校举办的知识竞赛，共道题，规定答对一道题加x分，答错一道题（不答按错）扣分，小明答错了2道题，他得到的分数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据答对一道题加x分，答错一道题（不答按错）扣分列出代数式． 【详解】解：∵共道题，小明答错了2道题， ∴小明答对了道题， ∴他得到的分数是， 故选：A 【点睛】本题考查了列代数式，理解题意，掌握去括号，合并同类项的运算法则是解题关键． 【例2.3】（2023七年级·浙江宁波·期中）如图，6张全等的小长方形纸片放置于矩形中，设小长方形的长为，宽为，若要求出两块黑色阴影部分的周长差，则只要测出下面哪个数据（    ） （小蜜蜂提醒：小长方形有部分重叠） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式加减的应用，准确识图，利用平移思想分析得出两块阴影部分的周长之差即为长方形和长方形的周长之差是解题关键．延长交于点K，根据图形得出，，，，根据题意得出，两块阴影部分的周长差为：，然后去括号，合并同类项得出结果，作出判断即可． 【详解】解：延长交于点K，如图所示： 由题意可得：，，，， 结合平移思想可得两块阴影部分的周长之差即为长方形和长方形的周长之差， 两块阴影部分的周长差为： ， 若要求出两块黑色阴影部分的周长差，则只要测出数据b， 故选：B． 【变式2.1】（2023七年级·四川成都·阶段练习）三个小队植树，第一队种棵，第二队种的树比第一队种的树的2倍还多4棵，第三队种的树比第二队种的树的一半少6棵，三队共种树 棵． 【答案】 【分析】 本题考查整式的加减，先列式表示第二队种的树的数量，再列式表示第三队种的树的棵数，最后求和是解题的关键． 【详解】解：依题意得：第二队树的数量为棵， 第三队种的树的棵树为棵， 所以三队共种树（棵）， 故答案为：． 【变式2.2】（2023七年级·河南驻马店·期中）已知两艘轮船从同一港江同时出发反向而行，“艺鸣号”在顺水中航行，“前进号”在逆水中航行，两艘轮船在静水中的速度都为千米/小时，已知水流速度为千米/小时． (1)1.5小时后两船相距多远？ (2)小时后，“艺鸣号”比“前进号”多航行多少千米? 【答案】(1)小时后两船相距60千米 (2)小时后，“艺鸣号”比“前进号”多航行千米 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，解题的关键是熟练掌握顺水速度静水速度水流速度，逆水速度静水速度水流速度． （1）根据题意列式整式进行计算即可； （2）用“艺鸣号”通过的路程减去“前进号”通过的路程即可得出答案． 【详解】（1）解：（千米）， 答：1.5小时后两船相距60千米． （2）解：（千米） 答：小时后，“艺鸣号”比“前进号”多航行千米． 【变式2.3】（2023七年级·陕西西安·期中）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：，其中称a为“数1”，b为“数2”，为“数3”，为“数4”，为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”，得到：；又如对“数2”和“数3”进行“换位思考”，得到：．下列说法： ①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果； ②代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到5种结果； ③代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到6种结果； ④代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到8种结果，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了去括号，属于新定义题型，关键是熟练掌握新定义的运算法则．根据题目所给“换位思考”的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：①中括号前都是加号，所以无论怎么换位，结果不变， ∴化简后是1种，故符合题意； ②当a、b“换位思考”，结果为， 当a、c“换位思考”，结果为， 当a、e“换位思考”，结果为， 当a、d“换位思考”，结果为， 当b、c“换位思考”，结果为， 当b、d“换位思考”，结果为， 当b、e“换位思考”，结果为， 当c、d“换位思考”，结果为， 当c、e“换位思考”，结果为， 当d、e“换位思考”，结果为， ∴化简后可以得到5种结果；故符合题意； ③当a、b“换位思考”，结果为 当a、c“换位思考”，结果为 当a、e“换位思考”，结果为， 当a、d“换位思考”，结果为， 当b、c“换位思考”，结果为， 当b、d“换位思考”，结果为， 当b、e“换位思考”，结果为， 当c、d“换位思考”，结果为， 当c、e“换位思考”，结果为， 当d、e“换位思考”，结果为， ∴化简后可以得到7种结果；故不符合题意； ④当a、b“换位思考”，结果为， 当a、c“换位思考”，结果为， 当a、e“换位思考”，结果为， 当a、d“换位思考”，结果为， 当b、c“换位思考”，结果为， 当b、d“换位思考”，结果为， 当b、e“换位思考”，结果为， 当c、d“换位思考”，结果为， 当c、e“换位思考”，结果为， 当d、e“换位思考”，结果为， ∴化简后可以得到7种结果；故不符合题意； 综上：正确的有①②，共2个， 故选：B． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023七年级·全国·假期作业）（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查主要考查了相反数定义，根据题目中负号的个数确定正负，若负号个数为奇数个则结果为负，若负号的个数为偶数个则结果为正得到答案． 【详解】解：由题可知负号个数为奇数个，则. 故选：B． 【题型2】（2023七年级·山东临沂·期中）如图是两种长方形铝合金窗框，已知窗框的长都是y米，宽都是x米，若一用户需①型的窗框2个，②型的窗框2个． (1)该用户制作窗框至少需铝合金 米长（损耗忽略不计，用含x，y的式子表示）； (2)若铝合金价格为100元/米，加工费（含配件费用）为50元/平方米，求当时，该用户制作窗户共需多少元钱？ 【答案】(1) (2)该用户制作窗户共需元钱． 【分析】此题考查了整式加减的应用． （1）根据题意列出代数式并合并同类项即可； （2）利用1米铝合金的平均费用乘以总的长度，再加上加工费即可得到答案． 【详解】（1）解：该用户共需铝合金的长度为： 米． 故答案为：． （2）解：∵1米铝合金的平均费用为元，加工费（含配件费用）为50元/平方米，， ∴该用户所需铝合金的总费用为（元）． 答：该用户制作窗户共需元钱． 【题型3】（2023·湖北武汉·七年级期末）在多项式中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”，例如，，…．在所有可能的“加算操作”中，不同的运算结果共有（    ） A．8种 B．16种 C．24种 D．32种 【答案】B 【分析】根据“加算操作”的原则可知，不会改变前两项的符号，改变的是后四项的符号，根据题意，画出示意图，即可求解． 【详解】解：依题意，根据“加算操作”的原则可知，不会改变前两项的符号，改变的是后四项的符号，    共有16种不同结果， 故选：B． 【点睛】本题考查了去括号法则，列举法求所有可能结果，理解题意是解题的关键． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·江苏泰州·期末）如图，点A、B、C、D分别表示四个车站的位置． (1)A、D两站的距离是_______，C、D两站的距离是______；（用含a、b的代数式表示） (2)若已知C、D两站之间的距离是，求A、D两站之间的距离． 【答案】(1)6a+4b-1，3a+2b-1 (2)A，D两站之间的距离为17km 【分析】（1）根据和代入求解即可； （2）首先根据代入（1）中求出的中得到关于AB的等式，然后整体代入到（1）中求出的中即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：6a+4b-1，3a+2b-1． （2）解：∵CD=8， ∴3a+2b-1=8， ∴3a+2b=9， ∴AD=6a+4b-1=2（3a+2b）-1=2×9-1=17． 答：A，D两站之间的距离为17km． 【点睛】此题考查了线段的和差运算，整式的加减混合运算的应用，代数式求值问题，解题的关键是熟练掌握整式的加减混合运算法则和整体代入思想的运用． 【题型2】（2023七年级·贵州贵阳·期末）如图所示，用三种大小不同的正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形．其中有4个相同小正方形的边长为a，长方形的长为b．    (1)看图填空： ， ；（用含a，b的代数式表示） (2)当，时，求长方形的周长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了列代数式和代数式求值，理解各个图形的边长之间的数量关系是解答本题的关键． （1）根据图形可得结合线段的和差、正方形的性质即可解答； （2）分别表示出和，然后再表示出周长，最后将，代入计算即可． 【详解】（1）解：如图，    ，， ∴； ∴； （2）∵，， ∴长方形的周长为， 当，时， 【题型3】（2023七年级·重庆北碚·期末）对多项式（x，y，z，m，n均不为零），任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号，然后按给出的运算顺序重新运算，称此一系列操作为“变括操作”．例如：，，下列说法： ①不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②只有一种“变括操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减，理解“变括操作”的定义是解题关键．根据“变括操作”的定义，利用整式加减的运算法则逐个判断即可得． 【详解】解：由“变括操作”的定义可知，任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号， 所以不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等；说法①正确； 要使其运算结果与原多项式之和为0， 则只有一种“变括操作”，即，说法②正确； 若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”有以下五种： ， ， ， ， ， 由此可知，若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果．说法③正确； 综上，正确的个数是3个， 故选：D． 模块三 整式的加减 整式的加减： 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。 【考点1 整式的加减】 【例1.1】（2023·河北唐山·七年级期末）要使的化简结果为单项式，则（）中可以填（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，掌握整式加减的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A.，是多项式，不符合题意； B.，是多项式，不符合题意； C. ，是单项式，符合题意； D.，是多项式，不符合题意； 故选：C． 【例1.2】（2023·江苏南京·七年级期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据数轴上点的位置判断式子符号，化简绝对值，根据题意得到是解题的关键．先根据数轴上点的位置推出，，，然后化简绝对值即可得到答案． 【详解】解：根据在数轴上的位置可得， ，，， ． 故选：D． 【例1.3】（2023六年级下·黑龙江大庆·期中）一名同学在计算时，误将“”看成了“”，求得的结果是，已知，则的正确答案为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加减．根据题意列出相应的式子，结合整式的加减的相应的法则进行运算即可． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式1.1】（2023六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出运算式是解题的关键．设这个多项式为A，由题意得：，再求解即可． 【详解】解：设这个多项式为A，由题意得：， ∴， 故答案为：． 【变式1.2】（2023七年级·江苏南京·期中）无论、取何值，多项式的值是 ． 【答案】2 【分析】合并同类项即可求解． 【详解】 ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了整式加减－化简求值，关键是熟练掌握合并同类项法则． 【变式1.3】（2023七年级·广东潮州·期中）已知 ． (1)求； (2)若，求C． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把 代入，再去括号，合并同类项，即可作答． （2）先得出，再结合，代入计算化简，即可作答． 【详解】（1） （2） ∵ ∴ ． 【考点2 整式加减的应用】 【例2.1】（2023·陕西商洛·七年级期末）某村种植了土豆、玉米、水稻三种农作物，土豆种植面积是亩，水稻种植面积是土豆种植面积的3倍，玉米种植面积比土豆种植面积的2倍少2亩．请通过计算判断，水稻种植面积和玉米种植面积哪一个更大． 【答案】水稻种植面积更大 【分析】本题主要考查了列代数式及整式的加减，熟练根据题意列出代数式以及掌握相关运算法则是解本题的关键． 先根据题意用含a的式子分别表示出水稻种植面积和玉米种植面积，并进行作差比较即可解答． 【详解】解：由题意得，水稻种植面积为，玉米种植面积为． ． ， ，即． 水稻种植面积更大． 【例2.2】（2023六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形是边长为的正方形，四边形是边长为的正方形，点在线段上，连接，． (1)用含的代数式表示的面积； (2)用含的代数式表示阴影部分面积，并求出当时，阴影部分面积是多少？ 【答案】(1) (2)；当时， 【分析】本题考查列代数式，代数式求值； （1）直接利用三角形的面积公式，计算即可； （2）分割法表示出阴影部分的面积，再代值计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：三角形的面积为 ； （2）阴影部分的面积为 当时， 【例2.3】（2023七年级·重庆黔江·期中）为落实“阳光体育”工程，某校计划采购网球及网球拍．已知网球拍每块250元，网球每桶30元，甲、乙两个商场推出如下优惠活动： 甲商场：按购买金额打九折付款； 乙商场：买一块网球拍送一桶网球． 现学校需要购买网球拍18块，网球x桶． (1)分别求出甲、乙两个商场的购买费用；（用含x的整式表示） (2)如果可以在甲、乙两个商场购买，则购买18块这种网球拍和40桶网球在那个商场更省钱一些？ 【答案】(1)甲商场的购买费用元；乙商场的购买费用元 (2)到甲商场更省钱一些 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，解题的关键是理解题意，准确计算． （1）因为甲商场：按购买金额打九折付款，乙商场：买一块网球拍送一桶网球，现学校需要购买网球拍18块，网球桶，依此可得甲、乙两个商场的购买费用； （2）分别求出到两个商场需要的费用，进行比较即可． 【详解】（1） 解：甲商场的购买费用元； 乙商场的购买费用元； （2） 解：甲商场的购买费用为：（元）； 乙商场的购买费用为：（元）； ∵， ∴购买18块这种网球拍和40桶网球，到甲商场更省钱一些． 【变式2.1】（2023七年级·吉林松原·阶段练习）数学老师对同学们说：请你默想一个一位数，把这个数乘以2，加上5，再乘以50，加上1773，最后再减去你出生的年份．把运算的结果告诉我，我就能猜中你默想的那个一位数和你今年（2023年）的年龄． 注：年龄只考虑出生年份，不考虑月份，如2000年月出生，今年（2023年）都是23岁． 你知道数学老师是怎么做到的吗？ (1)举例说明数学老师是如何猜中同学默想的一位数和今年（2023年）的年龄的； (2)解释其中的原理． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】 本题主要考查了列代数式，正确列出代数式是解题关键． （1）根据题意举例即可； （2）设默想的一位数为a，出生的年份为b，根据题意列出代数式，化简即可． 【详解】（1）解：（1）例如： 假如小明2010年出生，默想的一位数是6， ， 结果中百位数字即是小明默想的一位数，后面的两位数是小明的年龄， 小明默想的一位数是6，小明今年（2023年）的年龄为13岁； （2）设默想的一位数是，小明的出生的年份是． 根据题意，得 ． ∴结果的百位数字是a，后两位数字是，即小明的年龄． 【变式2.2】（2023七年级·吉林松原·阶段练习）如图，公园有一块长为米，宽为米的长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出宽都是米的小路，余下部分设计成花圃，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． (1)花圃的宽为______米，花圃的长为______米；（用含的式子表示） (2)求篱笆的总长度；（用含的式子表示） (3)若，篱笆的单价为元/米，请计算篱笆的总价． 【答案】(1)； (2)所用篱笆的总长度为米； (3)全部篱笆的造价为元． 【分析】（）利用图中尺寸计算即可； （）先根据所给的图形，得出花圃的长和宽，然后根据长方形周长公式即可求出篱笆总长度； （）将和的值代入第（）问所求的式子中求出篱笆的总长度，再乘以篱笆的单价即可求出总价； 本题考查整式的加减的实际应用，列代数式，代数式求值，根据题意，正确列出代数式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，米，米， 故答案为：， （2）解：由图可得，花圃的长为米，宽为米， ∴篱笆的总长度为米； （3）解：当，时， 篱笆的造价为元， 答：全部篱笆的造价为元． 【变式2.3】（2023七年级·湖南张家界·期末）每一个新生命的诞生都会给亲人带来欢乐和希望．我们可以把人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差称为关联年份．例如，提出“华氏定理”、被美国数学家贝特曼称为“中国的爱因斯坦，足以成为全世界所有著名科学院的院士”的数学家华罗庚出生于1910年，他的关联年份是． (1)你出生于 年，你的关联年份是 ．某人出生于1981年，他的关联年份是 ． (2)观察猜想：这些关联年份最大都能被 整除．请你用所学的数学知识说明你的猜想． 【答案】(1)2000（答案不唯一），1998（答案不唯一），1962 (2)9，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算、整式的加减的应用，理解题意，正确列式进行计算是解此题的关键． （1）根据关联年份公式计算即可； （2）观察猜想：这些关联年份能被9整除，设出生年份为1000a+100b+10c+d，则关联年份=1000a+100b+10c+d−(a+b+c+d)，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：你出生于2000年，你的关联年份是； 某人出生于1981年，他的关联年份是； 故答案为：2000，1998，1962； （2）解：观察猜想：这些关联年份能被9整除， 理由：设出生年份为， 则关联年份为： ， ∴关联年份能被9整除， 故答案为：9． 【考点3 整式的求值】 【例3.1】（2023七年级·浙江杭州·期中）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1），；（2），． 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，注意整体代入思想的应用． （1）去括号，合并同类项，对原式进行化简，再代入，计算即可； （2）去括号，合并同类项，对原式进行化简，再将整体代入计算即可． 【详解】解：（1） 原式 ， 当，时， 原式； （2） ． ， 原式． 【例3.2】（2023七年级·河北石家庄·期中）已知整式． （1）若A的值与x无关，则m= ； （2）当时，． ①化简 ； ②当整式A取得最小值时，此时的值为 ． 【答案】 3 6 【分析】（1）将化简成，即可求解 （2）①将代入中，直接整理化简即可 ②由，可知时，整式A取得最小值时，此时 【详解】（1） ∴，即 故答案为3 （2）①∵， ∴， ∴ ； 故答案为； ②∵，且， ∴当时，A有最小值， ∴ 故答案为6 【点睛】本题主要考查了整式的运算和化简，关键是要能够熟练合并同类项. 【例3.3】（2023七年级·重庆·阶段练习）若，，则整式的值为（   ） A． B． C．9 D．0 【答案】D 【分析】已知两等式相减求出c−b的值，进而确定出b−c的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：∵a−b＝2，a−c＝， ∴（a−b）−（a−c）＝a−b−a＋c＝−b＋c＝c−b＝2−＝， ∴b−c＝−， ∴原式＝（−）2＋3×（−）＋＝． 故选：D． 【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式3.1】（2023七年级·四川遂宁·阶段练习）若，，则 ． 【答案】16 【分析】由第一个等式表示出，由第二个等式表示出，然后代入所求式子，化简后即可求出值． 【详解】解：，， ，， 则． 故答案为：16 ． 【点睛】此题考查了整式的化简求值，根据已知的两等式表示出与是解本题的关键． 【变式3.2】（2023七年级·河南驻马店·期末）若a和b互为相反数，则代数式的值为 . 【答案】﹣4 【分析】由a和b互为相反数，可得a+b＝0，再将所求代数式去括号化简，即可求解． 【详解】解：∵a和b互为相反数， ∴a+b＝0， ， 故答案为：-4． 【点睛】本题主要考查了整式的加减混合运算中的化简求值，熟练掌握整式的加减混合运算法则是解题的关键．括号前是“−”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 【变式3.3】（2023七年级·广西南宁·期中）（）先化简，再求值：，其中，， （）若，，且，求的值． 【答案】（），；（）或． 【分析】（）先利用去括号、合并同类项法则化简整式，再代入求值即可； （）先利用绝对值的意义及的和的绝对值是它本身确定确定的值，再代入计算的值即可； 本题考查了整式的化简求值，绝对值的意义，代数式求值，掌握整式的运算法则和绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：（） ， ， 当，时， 原式 ， ； （）∵，， ∴，， ∵， ∴，， 当，时， ； 当，时， ； ∴的值为或． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023七年级·吉林·期末）定义一种新运算“”：．例如：． (1)求的值； (2)若，化简A． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的加减．读懂题意，掌握新定义运算的运算法则是解题关键． （1）根据新定义的运算法则计算即可； （2）根据新定义的运算法则展开运算即可得出答案． 【详解】（1）解：． （2）解：， ． 【题型2】（2023七年级·湖南衡阳·期中）若，，且，则的值是 ． 【答案】或/24或 【分析】本题考查的是绝对值方程的应用，整式的加减运算中的化简求值，本题根据绝对值的含义先求解，的值，再结合可得，或，，再去括号，合并同类项得到化简的结果，再分两种情况求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， 解得：或， ∵， ∴，或，， ∵ ， ∴当，时，原式， 当，时，原式； 故答案为：或． 【题型3】（2023七年级·甘肃天水·阶段练习）已知关于x的多项式A，B，其中，． (1)化简：； (2)若的结果不含项和项，求m，n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了整式的加减，多项式的项，涉及去括号合并同类项化简整式． （1）先将A式子乘以2，再加B式子，然后去括号合并同类项即可； （2）根据题意可得，，即可求出m，n的值． 【详解】（1）解：其中，， ； （2）由（1）得， ∵的结果不含x项和项， ∴，， 解得，． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·河北·阶段练习）小明在计算多项式减去多项式时，误计算成加上这个多项式，结果得到答案，若，互为倒数，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用整式的加减运算法则计算得出M，再根据，互为倒数，即，代入计算即可． 【详解】解：根据题意，得 ∴ ∵，互为倒数，即， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了整式的加减运算，倒数，正确掌握相关运算法则是解题关键． 【题型2】（2023七年级·浙江杭州·期末）如图，长方形内放置三个相同的小长方形①②③，若小长方形①的周长为5，则图中④和⑤部分的周长和为 . 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的实际应用，设小长方形的长为，宽为，由小长方形的周长得，分别列出第④⑤部分周长并用整式加法求和，代入计算，即可求解；能根据图形求出表示周长的整式，用整体代换的思想求解是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， ， 第④部分的周长为 ， 第⑤部分的周长为 ， 第④⑤部分的周长和为 ． 【题型3】（2023七年级·云南昆明·期中）若关于x，y的两个多项式与的差为多项式C，通过计算小明发现多项式C的结果与x的大小没有关系． (1)求a，b的值； (2)求多项式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、无关性问题等知识点，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）先列出C的代数式，然后合并同类项，由题意可得和x的系数为0，然后求解即可 （2）直接运用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵多项式C的结果与x的大小没有关系， ∴， ∴． （2）解： ， 当时，． 模块四 课后作业 1．（2023·甘肃武威·七年级期末）下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项，合并同类项时只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数部分保持不变，据此求解即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 2．（2023七年级·广东潮州·期中），在括号里填上适当的项应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用添括号法则将原式变形得出答案．此题主要考查了添括号法则，正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是正确的； D、，故该选项是错误的； 故选：C． 3．（2023·安徽蚌埠·七年级期末）若则代数式的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键．由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 4．（2023·河北唐山·七年级期末）能与相加得0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，各个选项与题目式子相加看结果为多少即可． 【详解】解：A．，故不符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意； D．，故符合题意； 故选：D． 5．（2023七年级·山东济南·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块．除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，则阴影的较短边和阴影的较短边之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减的应用，由题意得出阴影的较短边长为，阴影的较短边长为，再求和即可得出答案，正确表示出阴影的较短边长和阴影的较短边长是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：阴影的较短边长， 阴影的较短边长， 阴影的较短边和阴影的较短边之和为， 故选：C． 6．（2023七年级·上海青浦·期中）若关于x的多项式合并同类项后是一个三次二项式，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了合并同类项和多项式的相关定义，先将原式进行合并同类项，根据多项式是三次二项式可知二次项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解：， ∵合并同类项后是一个三次二项式， ∴，解得， 故答案为：1． 7．（2023七年级·四川成都·期中）有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，且a与b互为相反数，则的值为 ． 【答案】0 【分析】 本题考查相反数、绝对值和数轴，添括号，去括号的应用，解题的关键是掌握相反数、绝对值的运算． 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等．在数轴上找出a，b，c的位置，比较大小．在此基础上化简给出式子进行计算． 【详解】解：由数轴得，，且a与b互为相反数 ∴，，， ∴ ， ， 故答案为：0． 8．（2023七年级·全国·专题练习）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解代数式的值，掌握整体代入法求解代数式的值是解本题的关键，由条件可得，，再整体代入求解代数式的值即可． 【详解】解：根据题意，，， ∴，， ∴原式． 故答案为：． 9．（2023七年级·河南安阳·期末）“整体思想”是数学中的一种重要的思想方法，它广泛应用于数学运算中．例如：已知，，则，利用上述思想方法计算：已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握“整体代入法求代数式的值”是解题的关键． 先将化简，然后将，，代入计算即可． 【详解】解： ； ∵，， ∴． 故答案为：． 10．（2023·吉林长春·七年级期末）某学校计划购买甲、乙两种品牌的电子白板共20台．甲、乙两种品牌电子白板的单价分别为3万元/台和2万元/台．若购买甲品牌电子白板费用为万元，则购买乙品牌电子白板费用为 万元．（用含x的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，根据各数量之间的关系，找出购买乙品牌电子白板的数量是解题的关键． 利用数量=总价÷单价，可找出购买甲品牌电子白板的数量，结合购买甲、乙两种品牌电子白板的总数量，可得出购买乙品牌电子白板的数量，再利用总价=单价×数量，即可得出购买乙品牌电子白板的总费用． 【详解】解：∵甲品牌电子白板的单价为3万元/台，购买甲品牌电子白板费用为万元， ∴购买甲品牌电子白板台， ∵该学校计划购买甲、乙两种品牌的电子白板共20台， ∴购买乙品牌电子白板台， 又∵乙品牌电子白板的单价为2万元/台， ∴购买乙品牌电子白板费用为万元． 故答案为：． 11．（2023六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减混合运算： （1）根据整式的加减混合运算法则进行去括号，合并同类项即可得解； （2）根据整式的加减混合运算法则进行去括号，合并同类项即可得解． 熟练掌握整式加减的运算法则，去括号法则等方法是解决本题的关键． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 12．（2023六年级下·黑龙江大庆·期中）化简求值： (1)，其中，． (2)，其中 【答案】(1)； (2)；1 【分析】本题主要考查了整式的加减，正确合并同类项和掌握去括号法则是解题关键， （1）直接去括号合并同类项，再把已知数据代入得出答案； （2）原式先去括号，然后合并同类项进行化简，然后再求值． 【详解】（1）解：原式 ， 当，时， 原式 ． （2）解：原式 ． ∵，且，， ，， 解得：，， ∴原式 13．（2023六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某同学做一道题，已知两个多项式、，求的值．他误将“”看成“”，经过正确计算得到的结果是，其中． (1)请你帮助这位同学求出正确的结果； (2)若是最大的负整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握多项式的运算，即可． （1）根据题意，求出代数式，即可； （2）先求出代数式，根据题意，则求出的值，把代入，即可． 【详解】（1）∵， ∴ ∴． （2）∵，， ∴， ∵是最大的负整数， ∴， ∴． 14．（2023七年级·湖南常德·期中）已知代数式． 若代数式中不含x的项． (1)求y的值； (2)求代数式 的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，注意计算的准确性即可． （1）计算，令x的项的系数为零即可求解； （2）将代入计算即可. 【详解】（1）解： ∵代数式中不含x的项， ∴， 解得： （2）解： 15．（2023七年级·江苏镇江·期中）如图，在一条笔直的马路边有A、B、C、D四个小区，A、B和C、D之间的距离相等都为，B、C之间的距离为，现某学校计划建一个校车接送停靠点． (1)若停靠点建在A小区，则四个小区到停靠点的路程总和为______（用含a的代数式表示）； (2)若停靠点建在B、C之间（不含B、C），则四个小区到停靠点的路程总和为______（用含a的代数式表示）； (3)若某学校的学生在A小区有5人，B小区有7人，C小区有8人，D小区有9人，为使所有学生步行到停靠点的路程和最小，则停靠点应设置在哪个小区？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)停靠点设置在时，路程总和最小，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减． （1）求出，，到的路程，然后求和即可； （2）假设停靠点距离为，然后求出路程总和，消去即可； （3）分别计算设置在四个小区时的路程总和，然后比较大小，找出最短路程即可． 理解题意，列出代数式是解决问题的关键． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）设停靠点距离点，则距离点， 路程总和为： ， 故答案为：； （3）停靠点设置在时，路程总和最小，理由如下： 停靠点在时： ， 停靠点在时： ， 停靠点在时： ， 停靠点在时： ， ∵， ∴， ∴停靠点设置在时，路程总和最小． 16．（2023七年级·重庆黔江·期中）在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“平等数”定义：对于自然数n，若的结果各数位数字都相等，则称这个自然数n为“平等数”．例如：2是“平等数”，因为；10是“平等数”，因为；20不是“平等数”，因为． (1)判断1和21是否是“平等数”？请说明理由； (2)求出所有的不大于100的“平等数”？ 【答案】(1)1和21都是“平等数”，理由见解析 (2)0，1，2，10，21，32，36，74 【分析】 本题主要考查了新定义，有理数的加法计算，整式的加减计算： （1）根据题目中的新定义即可解答本题； （2）根据“平等数”的定义可知，“平等数”是3的倍数，然后根据不大于100的“平等数”可以分一位数的、两位数的、三位数的“平等数”三种情况讨论，即可得出答案． 【详解】（1）解：1和21都是“平等数”，理由如下： ∵， ∴1是“平等数”； ∵， ∴21是“平等数”； （2）解：设（n为小于100的自然数）， ∴s一定是3的倍数， 当s为一位数时，满足n是“平等数”的s有3，6，9，对应的n的值为0，1，2， 当s为两位数时，满足n是“平等数”的s有33，66，99，对应的n的值为10，21，32， 当s为三位数时，满足n是“平等数”的s有111，222，对应的n的值为36，74， ∴所有的不大于100的“平等数”有0，1，2，10，21，32，36，74． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 整式的加减 【苏科版】 ·模块一 合并同类项 ·模块二 去括号 ·模块三 整式的加减 ·模块四 课后作业 模块一 合并同类项 同类项： （1）概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项（与系数无关，与字母的排列顺序无关）. （2）合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变. 【考点1 同类项】 【例1.1】（2023·四川内江·中考真题）下列单项式中，的同类项是（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023七年级·四川成都·期中）如果和是同类项，那么的值为 ． 【例1.3】（2023七年级·湖北恩施·期末）关于、、、的多项式（其中、为正整数）中，恰有两项是同类项，则是 ． 【变式1.1】（2023六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列两项是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1.2】（2023七年级·山西晋城·期中）已知单项式与单项式是同类项． (1)填空： ， ． (2)求多项式的值． 【变式1.3】（2023七年级·全国·专题练习）下列各组中的两项是不是同类项？为什么？ (1)与． (2)与． (3)与． (4)与． (5)与． 【考点2 合并同类项及其应用】 【例2.1】（2023七年级·江西吉安·开学考试）下列运算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【例2.2】（2023七年级·山西吕梁·期末）如图，从标有单项式的四张卡片中找出所有能合并的同类项，若它们合并后的结果为，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例2.3】（2023七年级·河南安阳·期末）阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：，类似地，我们把看成一个整体，则． 尝试应用： 把看成一个整体，合并的结果是______． 已知，求的值． 拓展探索： 已知，，，求的值． 【变式2.1】（2023七年级·湖北·期末）已知m，n为正整数，若多项式合并同类项后只有两项，则的值为 ． 【变式2.2】（2023七年级·江西赣州·期末）如果关于的两个单项式和是同类项（其中） (1)求的值； (2)如果这两个单项式的和为0，求的值． 【变式2.3】（2023七年级·北京怀柔·期末）指出下列单项式中的同类项，并将所有同类项写成一个多项式，再合并同类项． ﹣y2x、2xy、2xy2、x、y、﹣3xy、﹣yx、2． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023七年级·陕西西安·期中）若多项式3x3﹣2x2﹣（15﹣6x﹣kx2）中不含x2项，则k的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣2 D．±2 【题型2】（2023七年级·福建漳州·期中）“整体思想”是中学数学解题中一种重要的思想方法，如果把看作一个整体，合并的结果是 ． 【题型3】（2023七年级·四川泸州·阶段练习）我们知道，于是，那么合并同类项的结果是（ ） A． B． C．   D． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·贵州铜仁·学业考试）已知多项式合并后结果为，则的关系是 ． 【题型2】（2023七年级·浙江杭州·期末）关于a、b的单项式ma2b3与﹣2a2bn﹣1合并同类项后得﹣5a2b3，则m＝ ，n＝ ． 【题型3】（2023七年级·全国·课后作业）（1）水库水位第一天连续下降了，每小时平均下降；第二天连续上升了，每小时平均上升，这两天水位总的变化情况如何？ （2）某商店原有5袋大米，每袋大米为．上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋．进货后这个商店有大米多少千克？ 模块二 去括号 去（添）括号： （1）去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； （2）若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号. 【考点1 去括号】 【例1.1】（2023七年级·全国·课堂例题）去括号的依据是（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律与分配律 【例1.2】（2023七年级·河南信阳·期末）下列去括号与添括号变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【例1.3】（2023七年级·浙江杭州·期末）若，则 ． 【变式1.1】（2023七年级·全国·课后作业）去括号： （1）；（2）． 【变式1.2】（2023·河北石家庄·七年级期末）下列式子中，去括号后得的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.3】（2023七年级·河北沧州·期中）在等式中，括号里应填（    ） A． B． C． D． 【考点2 去括号的简单应用】 【例2.1】（2023七年级·浙江杭州·期末）三个连续的奇数，中间的一个是，则三个数的和为（    ） A． B． C． D． 【例2.2】（2023·河北石家庄·七年级期末）某校举办的知识竞赛，共道题，规定答对一道题加x分，答错一道题（不答按错）扣分，小明答错了2道题，他得到的分数是（　　） A． B． C． D． 【例2.3】（2023七年级·浙江宁波·期中）如图，6张全等的小长方形纸片放置于矩形中，设小长方形的长为，宽为，若要求出两块黑色阴影部分的周长差，则只要测出下面哪个数据（    ） （小蜜蜂提醒：小长方形有部分重叠） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023七年级·四川成都·阶段练习）三个小队植树，第一队种棵，第二队种的树比第一队种的树的2倍还多4棵，第三队种的树比第二队种的树的一半少6棵，三队共种树 棵． 【变式2.2】（2023七年级·河南驻马店·期中）已知两艘轮船从同一港江同时出发反向而行，“艺鸣号”在顺水中航行，“前进号”在逆水中航行，两艘轮船在静水中的速度都为千米/小时，已知水流速度为千米/小时． (1)1.5小时后两船相距多远？ (2)小时后，“艺鸣号”比“前进号”多航行多少千米? 【变式2.3】（2023七年级·陕西西安·期中）对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：，其中称a为“数1”，b为“数2”，为“数3”，为“数4”，为“数5”，若将任意两个数交换位置，则称这个过程为“换位思考”，例如：对上述代数式的“数1”和“数5”进行“换位思考”，得到：；又如对“数2”和“数3”进行“换位思考”，得到：．下列说法： ①代数式进行一次“换位思考”，化简后只能得到1种结果； ②代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到5种结果； ③代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到6种结果； ④代数式进行一次“换位思考”，化简后可以得到8种结果，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【规律方法综合练】 【题型1】（2023七年级·全国·假期作业）（ ） A． B． C． D． 【题型2】（2023七年级·山东临沂·期中）如图是两种长方形铝合金窗框，已知窗框的长都是y米，宽都是x米，若一用户需①型的窗框2个，②型的窗框2个． (1)该用户制作窗框至少需铝合金 米长（损耗忽略不计，用含x，y的式子表示）； (2)若铝合金价格为100元/米，加工费（含配件费用）为50元/平方米，求当时，该用户制作窗户共需多少元钱？ 【题型3】（2023·湖北武汉·七年级期末）在多项式中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”，例如，，…．在所有可能的“加算操作”中，不同的运算结果共有（    ） A．8种 B．16种 C．24种 D．32种 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·江苏泰州·期末）如图，点A、B、C、D分别表示四个车站的位置． (1)A、D两站的距离是_______，C、D两站的距离是______；（用含a、b的代数式表示） (2)若已知C、D两站之间的距离是，求A、D两站之间的距离． 【题型2】（2023七年级·贵州贵阳·期末）如图所示，用三种大小不同的正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形．其中有4个相同小正方形的边长为a，长方形的长为b．    (1)看图填空： ， ；（用含a，b的代数式表示） (2)当，时，求长方形的周长． 【题型3】（2023七年级·重庆北碚·期末）对多项式（x，y，z，m，n均不为零），任意加括号（括号里至少有两个字母，且括号中不再含有括号）并同时改变括号前的符号，然后按给出的运算顺序重新运算，称此一系列操作为“变括操作”．例如：，，下列说法： ①不存在“变括操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②只有一种“变括操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③若同时添加两个括号，所有可能的“变括操作”共有4种不同运算结果． 其中正确的个数是（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 模块三 整式的加减 整式的加减： 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。 【考点1 整式的加减】 【例1.1】（2023·河北唐山·七年级期末）要使的化简结果为单项式，则（）中可以填（    ） A． B． C． D． 【例1.2】（2023·江苏南京·七年级期末）有理数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C．0 D． 【例1.3】（2023六年级下·黑龙江大庆·期中）一名同学在计算时，误将“”看成了“”，求得的结果是，已知，则的正确答案为 ． 【变式1.1】（2023六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若一个多项式加上，结果得，则这个多项式为 ． 【变式1.2】（2023七年级·江苏南京·期中）无论、取何值，多项式的值是 ． 【变式1.3】（2023七年级·广东潮州·期中）已知 ． (1)求； (2)若，求C． 【考点2 整式加减的应用】 【例2.1】（2023·陕西商洛·七年级期末）某村种植了土豆、玉米、水稻三种农作物，土豆种植面积是亩，水稻种植面积是土豆种植面积的3倍，玉米种植面积比土豆种植面积的2倍少2亩．请通过计算判断，水稻种植面积和玉米种植面积哪一个更大． 【例2.2】（2023六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，四边形是边长为的正方形，四边形是边长为的正方形，点在线段上，连接，． (1)用含的代数式表示的面积； (2)用含的代数式表示阴影部分面积，并求出当时，阴影部分面积是多少？ 【例2.3】（2023七年级·重庆黔江·期中）为落实“阳光体育”工程，某校计划采购网球及网球拍．已知网球拍每块250元，网球每桶30元，甲、乙两个商场推出如下优惠活动： 甲商场：按购买金额打九折付款； 乙商场：买一块网球拍送一桶网球． 现学校需要购买网球拍18块，网球x桶． (1)分别求出甲、乙两个商场的购买费用；（用含x的整式表示） (2)如果可以在甲、乙两个商场购买，则购买18块这种网球拍和40桶网球在那个商场更省钱一些？ 【变式2.1】（2023七年级·吉林松原·阶段练习）数学老师对同学们说：请你默想一个一位数，把这个数乘以2，加上5，再乘以50，加上1773，最后再减去你出生的年份．把运算的结果告诉我，我就能猜中你默想的那个一位数和你今年（2023年）的年龄． 注：年龄只考虑出生年份，不考虑月份，如2000年月出生，今年（2023年）都是23岁． 你知道数学老师是怎么做到的吗？ (1)举例说明数学老师是如何猜中同学默想的一位数和今年（2023年）的年龄的； (2)解释其中的原理． 【变式2.2】（2023七年级·吉林松原·阶段练习）如图，公园有一块长为米，宽为米的长方形土地（一边靠着墙），现将三面留出宽都是米的小路，余下部分设计成花圃，并用篱笆把花圃不靠墙的三边围起来． (1)花圃的宽为______米，花圃的长为______米；（用含的式子表示） (2)求篱笆的总长度；（用含的式子表示） (3)若，篱笆的单价为元/米，请计算篱笆的总价． 【变式2.3】（2023七年级·湖南张家界·期末）每一个新生命的诞生都会给亲人带来欢乐和希望．我们可以把人出生的年份减去组成这个年份的数字之和，所得的差称为关联年份．例如，提出“华氏定理”、被美国数学家贝特曼称为“中国的爱因斯坦，足以成为全世界所有著名科学院的院士”的数学家华罗庚出生于1910年，他的关联年份是． (1)你出生于 年，你的关联年份是 ．某人出生于1981年，他的关联年份是 ． (2)观察猜想：这些关联年份最大都能被 整除．请你用所学的数学知识说明你的猜想． 【考点3 整式的求值】 【例3.1】（2023七年级·浙江杭州·期中）（1）先化简，再求值：，其中，． （2）已知，求代数式的值． 【例3.2】（2023七年级·河北石家庄·期中）已知整式． （1）若A的值与x无关，则m= ； （2）当时，． ①化简 ； ②当整式A取得最小值时，此时的值为 ． 【例3.3】（2023七年级·重庆·阶段练习）若，，则整式的值为（   ） A． B． C．9 D．0 【变式3.1】（2023七年级·四川遂宁·阶段练习）若，，则 ． 【变式3.2】（2023七年级·河南驻马店·期末）若a和b互为相反数，则代数式的值为 . 【变式3.3】（2023七年级·广西南宁·期中）（）先化简，再求值：，其中，， （）若，，且，求的值． 【规律方法综合练】 【题型1】（2023七年级·吉林·期末）定义一种新运算“”：．例如：． (1)求的值； (2)若，化简A． 【题型2】（2023七年级·湖南衡阳·期中）若，，且，则的值是 ． 【题型3】（2023七年级·甘肃天水·阶段练习）已知关于x的多项式A，B，其中，． (1)化简：； (2)若的结果不含项和项，求m，n的值． 【拓广探究创新练】 【题型1】（2023七年级·河北·阶段练习）小明在计算多项式减去多项式时，误计算成加上这个多项式，结果得到答案，若，互为倒数，则多项式的值为（    ） A． B． C． D． 【题型2】（2023七年级·浙江杭州·期末）如图，长方形内放置三个相同的小长方形①②③，若小长方形①的周长为5，则图中④和⑤部分的周长和为 . 【题型3】（2023七年级·云南昆明·期中）若关于x，y的两个多项式与的差为多项式C，通过计算小明发现多项式C的结果与x的大小没有关系． (1)求a，b的值； (2)求多项式的值． 模块四 课后作业 1．（2023·甘肃武威·七年级期末）下列计算中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023七年级·广东潮州·期中），在括号里填上适当的项应该是（　　） A． B． C． D． 3．（2023·安徽蚌埠·七年级期末）若则代数式的值为（    ） A．2024 B． C．2025 D． 4．（2023·河北唐山·七年级期末）能与相加得0的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023七年级·山东济南·期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块．除阴影外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，则阴影的较短边和阴影的较短边之和为（   ） A． B． C． D． 6．（2023七年级·上海青浦·期中）若关于x的多项式合并同类项后是一个三次二项式，则 ． 7．（2023七年级·四川成都·期中）有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，且a与b互为相反数，则的值为 ． 8．（2023七年级·全国·专题练习）已知，，则 ． 9．（2023七年级·河南安阳·期末）“整体思想”是数学中的一种重要的思想方法，它广泛应用于数学运算中．例如：已知，，则，利用上述思想方法计算：已知，，则 ． 10．（2023·吉林长春·七年级期末）某学校计划购买甲、乙两种品牌的电子白板共20台．甲、乙两种品牌电子白板的单价分别为3万元/台和2万元/台．若购买甲品牌电子白板费用为万元，则购买乙品牌电子白板费用为 万元．（用含x的代数式表示） 11．（2023六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)． 12．（2023六年级下·黑龙江大庆·期中）化简求值： (1)，其中，． (2)，其中 13．（2023六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某同学做一道题，已知两个多项式、，求的值．他误将“”看成“”，经过正确计算得到的结果是，其中． (1)请你帮助这位同学求出正确的结果； (2)若是最大的负整数，求的值． 14．（2023七年级·湖南常德·期中）已知代数式． 若代数式中不含x的项． (1)求y的值； (2)求代数式 的值． 15．（2023七年级·江苏镇江·期中）如图，在一条笔直的马路边有A、B、C、D四个小区，A、B和C、D之间的距离相等都为，B、C之间的距离为，现某学校计划建一个校车接送停靠点． (1)若停靠点建在A小区，则四个小区到停靠点的路程总和为______（用含a的代数式表示）； (2)若停靠点建在B、C之间（不含B、C），则四个小区到停靠点的路程总和为______（用含a的代数式表示）； (3)若某学校的学生在A小区有5人，B小区有7人，C小区有8人，D小区有9人，为使所有学生步行到停靠点的路程和最小，则停靠点应设置在哪个小区？请说明理由． 16．（2023七年级·重庆黔江·期中）在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数—“平等数”定义：对于自然数n，若的结果各数位数字都相等，则称这个自然数n为“平等数”．例如：2是“平等数”，因为；10是“平等数”，因为；20不是“平等数”，因为． (1)判断1和21是否是“平等数”？请说明理由； (2)求出所有的不大于100的“平等数”？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$