精品解析：上海市彭浦第三中学2023-2024学年九年级下学期3月月考数学试题

2023-2024上海彭浦三中九下3月月考卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 一.选择题（共24分） 1. 下列单项式中，xy2同类项是（ ） A. x3y2 B. x2y C. 2xy2 D. 2x2y3 2. 下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图所示的4个选项中的曲线，不属于函数图像的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A. 1 B. C. 1或 D. 1或 5. 下列四个命题中，真命题（ ） A. 垂直于弦的直线平分弦 B. 平分弧的直径经过圆心 C. 平分弦的直线垂直于弦 D. 垂直于半径的弦过圆心 6. 最近，甘肃“天水麻辣烫”在网上爆火，吸号引了全国很多游客，为了给游客带大更便捷的体验，当地开通了天水火车站和天水南站两条“麻辣烫”公交专线，据介绍，想要成就一份香喷喷美味的麻辣烫，甘谷辣椒、秦安花椒、武山蔬菜、于擀粉缺一不可，为了了解外地游客对麻烫口味的喜爱程度，当地相关部门随机调查了部分游客的意见（A不满意；B一般；C非常满意；D较满意； E不清楚．五者任选其一），根据调查情况进行统计，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和不完整的扇形统计图．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（ ） A. 选择“C满意”的人数最多 B. 抽样调查的样本容量是240 C. 样本中“A不满意”的百分比为 D. 若周末到天水吃“麻辣烫”的人数为800人，则觉得口味“B一般”的人数大约为160人 二.填空题（共48分） 7. ________ 8. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，那么2兆＝________．（用科学记数法表示） 9. 已知正三角形的半径为4，那么正三角形的面积为________． 10. 将抛物线向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式为_____________． 11. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为_________． 12. 如图，⊙O的半径为6，如果弦AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边，那么弦BC的长为_____． 13. 如图，在梯形中，，、分别是、上的点，，如果，，，那么的长为______． 14. 已知三条中线相交于点G，，那么的面积等于___________． 15. 从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为_____． 16. 研究一类几何图形，我们首先需要给出这类图形的定义．如图，有这样一类凸四边形，满足，，这时，我们习惯上将这样的图形称为筝形．请你用文字语言给筝形下个定义：_________． 17. 已知四边形是矩形，且．如果该矩形只剪两刀就可以得到三个等腰三角形，那么的正切值为_________． 18. 两块全等的等腰直角三角板如图放置，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，当点落在直线上时，如果，那么____________ ． 三.解答题（共78分） 19. 计算：． 20. 解方程组：． 21. 如图，是的直径，是上的一点，连接，，是上的一点，过点作的垂线，与线段交于点，点在线段的延长线上，且满足． （1）求直线与的公共点个数，并说明理由； （2）当点恰为中点时，若的半径为，，求线段的长． 22. 如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D圆O分别交，于点E，F，连接． （1）求证：是圆O的切线； （2）求证：． 23. 小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长． 小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长． （1）请回答：在图2中，∠FCE的度数是 ，DE的长为 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题： （2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象与x轴正半轴交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为D，且tan∠CAO＝3． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点P是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP，交对称轴于点F，当S△CDF：S△FDP＝2：3时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将△PCD沿直线MN翻折，当点P恰好与点O重合时，折痕MN交x轴于点M，交y轴于点N，求的值． 25. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的乘积等于这个点到这边所对顶点连线段的平方，则称这个点为这个三角形该边的“好点”，如图1，在中，点是边上的一点，连接，若，则称点是中边的“好点”． （1）如图1，在中，，若点是边的“好点”，且，则线段的长是__________； （2）若一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，若点是中边的“好点”，求的值； （3）如图2，的外接圆是圆，点在边上，连接并延长，交于点，若点是中边的“好点”，，的半径为，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024上海彭浦三中九下3月月考卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 一.选择题（共24分） 1. 下列单项式中，xy2的同类项是（ ） A. x3y2 B. x2y C. 2xy2 D. 2x2y3 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类项：所含字母相同，相同字母的指数相同进行判断即可． 【详解】解：A．x3y2与xy2所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意； B．x2y与xy2所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意； C．2xy2与xy2所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故此选项符合题意； D．2x2y3与﹣3xy2所含字母相同，但相同字母的指数不同，不是同类项，故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了同类项的知识，属于基础题，理解同类项的定义是解题关键 2. 下列函数中，y随x的增大而减小的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，正比例函数的图象与性质，根据正比例函数，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，二次函数，时，开口向上，在上，y随x的增大而减小，在上，y随x的增大而增大，时，开口向下，在上，y随x的增大而增大，在上，y随x的增大而减小，解答即可． 【详解】解：A、正比例函数的y随x的增大而增大，故A错误； B、正比例函数的y随x的增大而减小，故B正确； C、二次函数的对称轴为，且开口向上，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大，故C错误； D、二次函数的对称轴为，且开口向下，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小，故D错误； 故选：B． 3. 如图所示的4个选项中的曲线，不属于函数图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了函数图像的知识，理解并掌握函数的定义及函数图像的特征是解题关键．一般地，在一个变化过程中，有两个变量和，如果对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是的函数．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 属于函数图像，不符合题意； B. 属于函数图像，不符合题意； C. 不属于函数图像，符合题意； D. 属于函数图像，不符合题意． 故选：C． 4. 如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，10，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是（　　） A. 1 B. C. 1或 D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴，分类讨论思想是解题的关键．先根据两点间的距离公式求出点A落在对应点表示的数，在利用中点公式求出C点表示的数． 【详解】设是点的对应点，由题意可知点是和的中点 当点在的右侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 当点在左侧，，表示的数为， 那么C表示的数为：， 故选：C． 5. 下列四个命题中，真命题是（ ） A. 垂直于弦的直线平分弦 B. 平分弧的直径经过圆心 C. 平分弦的直线垂直于弦 D. 垂直于半径的弦过圆心 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的命题的真假判断，根据垂径定理及其推论判断即可． 【详解】解：A．垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直线不一定平分弦，故为假命题，故该选项不符合题意； B．平分弧的直径经过圆心， 是真命题，故该选项符合题意； C．平分弦的直线不一定垂直于弦，故原命题为假命题，故该选项不符合题意； D．垂直于半径的弦不一定过圆心，故原命题为假命题，故该选项不符合题意； 故选：B． 6. 最近，甘肃“天水麻辣烫”在网上爆火，吸号引了全国很多游客，为了给游客带大更便捷体验，当地开通了天水火车站和天水南站两条“麻辣烫”公交专线，据介绍，想要成就一份香喷喷美味的麻辣烫，甘谷辣椒、秦安花椒、武山蔬菜、于擀粉缺一不可，为了了解外地游客对麻烫口味的喜爱程度，当地相关部门随机调查了部分游客的意见（A不满意；B一般；C非常满意；D较满意； E不清楚．五者任选其一），根据调查情况进行统计，绘制了如图所示的不完整的条形统计图和不完整的扇形统计图．根据统计图中的信息，下列结论错误的是（ ） A. 选择“C满意”的人数最多 B. 抽样调查的样本容量是240 C. 样本中“A不满意”的百分比为 D. 若周末到天水吃“麻辣烫”的人数为800人，则觉得口味“B一般”的人数大约为160人 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体数量等知识；由“C满意”的人数，从而可判断A；由“B一般”的人数及其占比可求得抽取的总人数，则可判断B；可以计算出样本中“A不满意”的百分比，从而判断C；根据口味“B一般”的人数占比，即可求得周末到天水吃“麻辣烫”的人数为800人中，觉得口味“B一般”的大约人数，从而判断D． 【详解】解：由题意知，选择“C满意”的人数最多，故A正确，不符合题意； 抽取的人数中，口味“B一般”的人数为20人，其占比为，则抽取的总人数为：（人），故抽样调查的样本容量是100，故B错误，符合题意； “A不满意”的人数为（人），样本中“A不满意”的百分比为，故C正确；不符合题意； 周末到天水吃“麻辣烫”的人数为800人中，觉得口味“B一般”的人数为：（人）， 即周末到天水吃“麻辣烫”的人数为800人中，觉得口味“B一般”的大约人数为160人．不符合题意； 故选B 二.填空题（共48分） 7. ________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值，代入即可 【详解】解：， 故答案为： 8. 《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，那么2兆＝________．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】2兆＝2×1万×1万×1亿＝2×1万×1万×1万×1万，根据同底数幂的乘法法则计算，结果表示成的形式即可． 详解】解：2兆＝2×1万×1万×1亿＝2×1万×1万×1万×1万， 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法、同底数幂的乘法，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则，以及科学记数法的表示方法． 9. 已知正三角形的半径为4，那么正三角形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意作出图形，构造直角三角形求得三角形的边长即可求得本题的答案． 详解】解：如图所示： 连接、、，过作于， 正三角形外接圆的半径为2， ，， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正三角形的性质、边心距、半径、面积的计算；熟练掌握正三角形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 10. 将抛物线向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 根据二次函数图象平移上加下减，进行求解作答即可． 【详解】解：由题意知，抛物线向上平移2个单位后，所得抛物线的表达式为， 故答案为：． 11. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设清酒x斗，醑酒y斗，根据拿30斗谷子，共换了5斗酒列二元一次方程组求解． 【详解】解：设清酒x斗，醑酒y斗，由题意得 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 12. 如图，⊙O的半径为6，如果弦AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边，那么弦BC的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接OA、OB、OC，作OD⊥BC于点D，根据AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边得到∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝30°，从而得到∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋30°＝120°，然后求得BC的长即可． 【详解】解：连接OA、OB、OC，作OD⊥BC于点D， ∵AB是⊙O内接正方形的一边，弦AC是⊙O内接正十二边形的一边， ∴∠AOB＝＝90°，∠AOC＝＝30°， ∴∠BOC＝∠AOB＋∠AOC＝90°＋30°＝120°， ∵OC＝OB， ∴∠OCD＝∠OBC＝30°， ∵OC＝6， ∴CD＝＝3， ∴BC＝2CD＝6， 故答案为：6． 【点睛】 考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是求得∠BOC的度数． 13. 如图，在梯形中，，、分别是、上的点，，如果，，，那么的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】延长，与的延长线交于点，易证明，得到，进而得到，再证明，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：延长，与的延长线交于点，如图， ，，， ， ∴， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解题关键． 14. 已知的三条中线相交于点G，，那么的面积等于___________． 【答案】72 【解析】 【分析】如图，首先把绕点D作中心对称变换得到，然后根据重心的性质可以分别得到，由此利用勾股定理的逆定理可以证明是直角三角形，即，再利用三角形的面积公式求出，最后可以得到，而，由此即可求解． 【详解】解：如图，把绕点D作中心对称变换得到， ， ， 是直角三角形，即， ， ， 故答案为：72． 【点睛】此题分别考查了旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，其中对于中线问题一般可以尝试中心变换，此题把三条中线的有关线段集中在一起，构造出一个规则图形--直角三角形． 15. 从三角形（非等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，该顶点与该交点间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果其中一个小三角形是等腰三角形，另一个与原三角形相似，那么我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线，如图，在△ABC中，DB＝1，BC＝2，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，则CD的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设AB=x，利用△BCD∽△BAC，得=，列出方程即可解决问题． 【详解】∵△BCD∽△BAC， ∴=， 设AB=x， ∴22=x， ∵x＞0， ∴x=4， ∴AC=AD=4-1=3， ∵△BCD∽△BAC， ∴=＝， ∴CD=． 故答案为 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是利用△BCD∽△BAC解答． 16. 研究一类几何图形，我们首先需要给出这类图形的定义．如图，有这样一类凸四边形，满足，，这时，我们习惯上将这样的图形称为筝形．请你用文字语言给筝形下个定义：_________． 【答案】有一条对角线为对称轴的四边形是筝形 【解析】 【分析】本题考查给四边形下定义，根据已知可得出有一条对角线为对称轴的四边形是筝形． 【详解】解：∵，， ∴凸四边形关于对角线对称 ∴筝形的定义：有一条对角线为对称轴的四边形是筝形 故答案为：有一条对角线为对称轴的四边形是筝形． 17. 已知四边形是矩形，且．如果该矩形只剪两刀就可以得到三个等腰三角形，那么的正切值为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意分两种情况，先画出该矩形剪两刀得到的三个等腰三角形，根据等腰三角形、矩形的性质，可得与的数量关系，即得的正切值．解题的关键是正确画出图形并掌握正切的定义． 【详解】解：该矩形只剪两刀就可以得到三个等腰三角形， ①如图，沿、剪开，得到等腰三角形、等腰三角形、等腰三角形， 此时，，， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， 连接， ∴在中，； ②如图，沿、剪开，得到等腰三角形、等腰三角形、等腰三角形， 此时，，， ∵四边形是矩形， ∴此时四边形是正方形，且点为对角线的中点， ∴，， ∴在中，； 综上所述，的正切值为或． 故答案为：或． 18. 两块全等的等腰直角三角板如图放置，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，当点落在直线上时，如果，那么____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】当点落在直线上时，有两种情况：第一种是点落在的延长线上，第二种是点落在的延长线上，然后画出两种情况所对应的图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可知，当点落在直线上时，有两种情况： 第一种是点落在的延长线上，第二种是点落在的延长线上， 当点落在的延长线上时，作交于点，作交于点，连接，如图： ， ， ， ， 等腰直角三角形的顶点与等腰直角三角形的斜边的中点重合，， ，， ，四边形为矩形， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ； 当点落在的延长线上时，延长交于点，作于点，如图， ， 等腰直角三角形的顶点与等腰直角三角形的斜边的中点重合， ，， ，， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ； ， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查图形的旋转，熟练掌握图形的旋转的性质、等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理、一元二次方程的解法是解答此题的关键． 三.解答题（共78分） 19. 计算：． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，分别根据立方根，分母有理化，负整数指数幂以及绝对值的代数意义化简各项后，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 20. 解方程组：． 【答案】，． 【解析】 【分析】先将第二个方程利用因式分解法得到两个一元一次方程，然后分别与第一个方程联立成二元一次方程组，分别解方程组即可． 【详解】 由②得：； 所以，或； 整理得：或； 解得：或； 所以，原方程组的解为，． 【点睛】本题主要考查二元二次方程组的解法，能够将原方程组转化成两个二元一次方程组是解题的关键． 21. 如图，是的直径，是上的一点，连接，，是上的一点，过点作的垂线，与线段交于点，点在线段的延长线上，且满足． （1）求直线与的公共点个数，并说明理由； （2）当点恰为中点时，若的半径为，，求线段的长． 【答案】（1）1个，理由见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到，求得，由切线的判定定理即可得到结论； （2）根据圆周角定理得到，根据得到，又根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，过F作于H，由相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）连接OC， , , , ， ， ， ， ， ， ， ， ∴CF是的切线， ∴直线CF与的公共点个数有1个； （2）∵AB是的直径， ， 的半径为10， ， ， ∴， ∴， ∵点E为BC中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过F作于H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的做出辅助线是解题的关键． 22. 如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的圆O分别交，于点E，F，连接． （1）求证：是圆O的切线； （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）如图1，连接，由平分，可得，由，可得，则，，进而可得，进而结论得证； （2）如图2，连接，由是直径，可得，则，，证明，则，即． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵是半径， ∴是圆O的切线； 【小问2详解】 证明：如图2，连接， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查了角平分线，平行线的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，等边对等角，切线的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握角平分线，平行线的判定与性质，直径所对的圆周角为直角，等边对等角，切线的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 小明遇到这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边BC上，∠DAE＝45°．若BD＝3，CE＝1，求DE的长． 小明发现，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF，联结EF（如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE＝45°，可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．解△FCE，可求得FE（即DE）的长． （1）请回答：在图2中，∠FCE的度数是 ，DE的长为 ． 参考小明思考问题的方法，解决问题： （2）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）90°，； （2），见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，可得，勾股定理解△FCE，可求得FE（即DE）的长； （2）将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG，证明点F，D，G在同一条直线上，进而证明△AEF≌△AGF，EF＝FG，由FG＝DG＋FD＝BE＋DF，即可证明EF＝BE＋FD． 【小问1详解】 解：∵将△ABD绕点A按逆时针方向旋转90º，得到△ACF， ∴ 在中， BD＝3，CE＝1， 故答案为：90°； 【小问2详解】 猜想：EF=BE＋FD； 理由如下： 如图，将△ABE绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AD重合，得到△ADG， ∴BE＝DG，AE＝AG，∠DAG＝∠BAE，∠B＝∠ADG， ∵∠B＋∠ADC＝180°，∠B＝∠ADG， ∴∠ADG＋∠ADC＝180°，即点F，D，G在同一条直线上． ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF， 即∠GAF＝∠EAF． 在△AEF和△AGF中， ∴△AEF≌△AGF， ∴EF＝FG ∵FG＝DG＋FD＝BE＋DF， ∴EF＝BE＋FD 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，掌握性质的性质是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象与x轴正半轴交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为D，且tan∠CAO＝3． （1）求这个二次函数的解析式； （2）点P是对称轴右侧抛物线上的点，联结CP，交对称轴于点F，当S△CDF：S△FDP＝2：3时，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将△PCD沿直线MN翻折，当点P恰好与点O重合时，折痕MN交x轴于点M，交y轴于点N，求的值． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）(5，8)；（3） 【解析】 【分析】（1）在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝3，求出点A的坐标，即可求解； （2）利用，即可求解； （3）证明∠ONM＝∠POH，则． 【详解】解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3的图象与y轴交于点C， ∴点C的坐标为（0，3）， ∴OC＝3， 联结AC，在Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝3， ∴OA＝1， 将点A（1，0）代入y＝ax2﹣4ax+3，得a﹣4a+3＝0， 解得：a＝1． 所以，这个二次函数的解析式为 y＝x2﹣4x+3； （2）过点C作CG⊥DF，过点P作PQ⊥DF，垂足分别为点G、Q． ∵抛物线y＝x2﹣4x+3的对称轴为直线x＝2， ∴CG＝2， ∵， ∴PQ＝3， ∴点P的横坐标为5， ∴把x＝5代入y＝x2﹣4x+3，得 y＝8， ∴点P的坐标为（5，8）； （3）过点P作PH⊥OM，垂足分别为点H， ∵点P的坐标为（5，8）， ∴OH＝5，PH＝8， ∵将△PCD沿直线MN翻折，点P恰好与点O重合， ∴MN⊥OP， ∴∠ONM+∠NOP＝90°， 又∵∠POH+∠NOP＝90°， ∴∠ONM＝∠POH， ∴． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图象的翻折、面积的计算等，具有一定的综合性，难度适中． 25. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的乘积等于这个点到这边所对顶点连线段的平方，则称这个点为这个三角形该边的“好点”，如图1，在中，点是边上的一点，连接，若，则称点是中边的“好点”． （1）如图1，在中，，若点是边的“好点”，且，则线段的长是__________； （2）若一次函数与反比例函数交于，两点，与轴交于点，若点是中边的“好点”，求的值； （3）如图2，的外接圆是圆，点在边上，连接并延长，交于点，若点是中边的“好点”，，的半径为，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据“好点”的定义知，代入即可； （2）设，则，设，，，，表示出，的长，可得，再根据“好点”定义即可得出答案； （3）连接，可证，得，再根据点是中边上的“好点”，得，则，设，则，，勾股定理得，再求出，即可解决问题． 【详解】解：（1），， ， 由题可知：， ， 故答案． （2）联立， 得：， 设，，，， 令，则， ， ， ， ， 由题可知：， ， ， ， （3）连接， ，， ， ， ， 点是中边上的“好点”， ， ， ， ， 又， ， 是的直径， ， 设， 则，， 在中， ， ， 在中， ， 点是中边上的“好点”， ， ． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质和计算，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解，以及勾股定理等知识，解决问题的关键是将“新定义”转化为“旧知识”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$