精品解析：上海市彭浦第三中学2023-2024学年九年级下学期期中考试数学试卷

上海彭浦三中2023-2024学年九下期中测试卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 一．选择题（共24分） 1. 32400000用科学记数法表示为（ ） A. 0.324×108 B. 32.4×106 C. 3.24×107 D. 324×108 2. 现有甲、乙两个合唱队，队员的平均身高都是，方差分别是、，如果，那么两个队中队员的身高较整齐的是（       ） A. 甲队 B. 乙队 C. 两队一样整齐 D. 不能确定 3. 在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（　　） A. 当时，点B在圆A上 B. 当时，点B在圆A外 C. 当时，点B在圆A内 D. 当时，点B在圆A内 4. 将抛物线平移后得到抛物线，以下平移方式正确的是（ ） A. 向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度 B. 向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度 C. 向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度 5. 对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 （　　） A. 正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴 B. 正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心 C. 正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角 D. 正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线相等的四边形是等腰梯形 B. 两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 D. 平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形 二．填空题（共48分） 7. 的倒数是_____． 8. 绝对值等于7的数是____. 9. 今年春节黄金周上海共接待游客约5090000人，5090000这个数用科学记数法表示为______． 10. 下表是某班所有学生体育中考模拟测试成绩的统计表，表格中的每个分数段含最小值，不含最大值，根据表中数据可以知道，该班这次体育中考模拟测试成绩的中位数落在的分数段是__． 分数段 18分以下 18～22分 22～26分 26～30分 30分 人数 3 7 9 13 8 11. 如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是_____． 12. 如图，△ABC中，过重心G的直线平行于BC，且交边AB于点D，交边AC于点E，如果设=，=，用，表示，那么=___． 13. 已知函数，那么______．(填“＞”、“=”或“＜”) 14. 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为_____． 15. 我们规定：一个多边形上任意两点间距离的最大值称为该多边形的“直径”．现有两个全等的三角形，边长分别为4、4、．将这两个三角形相等的边重合拼成对角线互相垂直的凸四边形，那么这个凸四边形的“直径”为______． 16. 如果当a≠0，b≠0，且a≠b时，将直线y=ax+b和直线y=bx+a称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为(1，4)的一对“对偶直线”：______． 17. 如图，点M的坐标为，点D从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向右移动，同时过点D的直线l也随之左右平移，且直线l与直线平行，如果点M关于直线l的对称点落在坐标轴上，如果点D的移动时间为t秒，那么t的值为__________ 18. 如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知AD=5，AE=2，AF=4．如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是______． 三．解答题（共78分） 19. 计算：． 20. 解方程组： 21. 如图，在⊙O中，两条弦AC，BD垂直相交于点E，等腰△CFG内接于⊙O，FH为⊙O直径，且AB＝6，CD＝8． （1）求⊙O的半径； （2）若CF＝CG＝9，求图中四边形CFGH的面积． 22. 甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲登山上升的速度是每分钟 米，乙在地时距地面的高度为 米； （2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式． （3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？ 23. 如图，已知∠MON两边分别为OM、ON，sin∠O=且OA=5，点D为线段OA上的动点（不与O重合），以A为圆心、AD为半径作⊙A，设OD=x． （1）若⊙A交∠O 的边OM于B、C两点，BC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）将⊙A沿直线OM翻折后得到⊙A′． ①若⊙A′与直线OA相切，求x的值； ②若⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切，求x的值． 24. 已知：抛物线，经过点A(-1,-2)，B(0,1). （1）求抛物线的关系式及顶点P的坐标. （2）若点B′与点B关于x轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′. ①求∠P′B B′的大小. ②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M处，设点N在（1）中的抛物线上，当△MN B′的面积等于6时，求点N的坐标. 25. 在正方形中，点为正方形内一点，过点将绕点逆时针旋转，得到，延长，分别交，于、两点，交的延长线于点． （1）数学兴趣小组探究发现，如图，连接，当点移动时，总有，请你证明这个结论； （2）如图，连接，若，请直接写出线段、、的数量关系为______； （3）如图，在的条件下，连接，，若，的面积为，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海彭浦三中2023-2024学年九下期中测试卷 （满分：150分 考试时间：100分钟） 一．选择题（共24分） 1. 32400000用科学记数法表示为（ ） A. 0.324×108 B. 32.4×106 C. 3.24×107 D. 324×108 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】32400000用科学记数法表示为3.24×107. 故选C. 【点睛】本题考查的是科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键. 2. 现有甲、乙两个合唱队，队员的平均身高都是，方差分别是、，如果，那么两个队中队员的身高较整齐的是（       ） A. 甲队 B. 乙队 C. 两队一样整齐 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．根据方差的意义，方差越小，数据越稳定，比较方差后可以作出判断． 【详解】根据方差的意义，方差越小，数据越稳定， ∵，甲、乙队员的平均身高相同， ∴甲的方差小于乙的方差， ∴甲队队员的身高较为整齐． 故选． 3. 在直角坐标平面内，点A的坐标为，点B的坐标为，圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（　　） A. 当时，点B在圆A上 B. 当时，点B在圆A外 C. 当时，点B在圆A内 D. 当时，点B在圆A内 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系和坐标与图形性质的应用，当时，点在圆上，当时，点在圆外，当时，点在圆内．画出图形，根据的坐标和圆的半径求出圆与轴的交点坐标，根据已知和交点坐标即可求出答案． 【详解】解：如图： ，的半径是2， ， ，， A、当时，点在上，即在上，正确，故本选项不合题意； B、当时，，即说点在圆外正确，故本选项不合题意； C、当时，在外，即说当时，点在圆内错误，故本选项符合题意； D、当时，在内正确，故本选项不合题意； 故选：C． 4. 将抛物线平移后得到抛物线，以下平移方式正确的是（ ） A. 向左平移1个单位长度，向上平移1个单位长度 B. 向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度 C. 向左平移1个单位长度，向下平移1个单位长度 D. 向右平移1个单位长度，向下平移1个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键． 根据抛物线的顶点坐标即可判断． 【详解】解：将抛物线配方可得：， ∵抛物线的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，可得到抛物线． 故选：C. 5. 对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 （　　） A. 正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴 B. 正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心 C. 正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角 D. 正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补 【答案】B 【解析】 【分析】利用正多边形的对称轴的性质、对称性、中心角的定义及中心角的性质作出判断即可． 【详解】解：A、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故此选项错误； B、正奇数多边形多边形不是中心对称图形，错误，故本选项正确； C、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故本选项错误； D、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的理解正多边形的有关的定义． 6. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线相等的四边形是等腰梯形 B. 两个相邻的内角相等的梯形是等腰梯形 C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形 D. 平行于等腰三角形底边的直线截两腰所得的四边形是等腰梯形 【答案】D 【解析】 【分析】根据等腰梯形的判定定理即可判断出A、B、C、D选项是否正确, 【详解】解析:对于A选项, 应为两条对角线相等的梯形是等腰梯形; 对于B选项, 为同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形; 对于C选项,应为一组对边平行,另一组对边不平行且相等的四边形是等腰梯形; 故选D. 【点睛】本题主要考查等腰梯形的判定. 等腰梯形的判定: (1)一组对边平行,另一组对边不平行且相等的四边形是等腰梯形; (2)对角线相等的梯形是等腰梯形; (3)两腰相等的梯形是等腰梯形; (4)同一底边上的两个底角相等的梯形是等腰梯形 二．填空题（共48分） 7. 的倒数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查倒数的概念，乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数，将带分数化为假分数，再根据倒数定义求解． 【详解】解：， ∵， ∴的倒数是，即的倒数是， 故答案为：． 8. 绝对值等于7的数是____. 【答案】. 【解析】 【分析】绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数. 【详解】绝对值等于7的数有2个，一个是7，一个是﹣7. 【点睛】本题主要考查绝对值性质，熟悉掌握是关键. 9. 今年春节黄金周上海共接待游客约5090000人，5090000这个数用科学记数法表示为______． 【答案】5.09×106 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】5090000=5.09×106， 故答案是：5.09×106． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 10. 下表是某班所有学生体育中考模拟测试成绩的统计表，表格中的每个分数段含最小值，不含最大值，根据表中数据可以知道，该班这次体育中考模拟测试成绩的中位数落在的分数段是__． 分数段 18分以下 18～22分 22～26分 26～30分 30分 人数 3 7 9 13 8 【答案】26∽30分 【解析】 【分析】直接利用利用表格得出数据个数，再利用中位数的定义求出答案． 【详解】由表格中数据可得本班一共有：3+7+9+13+8＝40（人）， 故中位数是第20个和第21个数据的平均数， 则该班这次体育中考模拟测试成绩的中位数落在的分数段是26∽30分． 故答案为：26∽30分． 【点睛】此题主要考查了中位数，正确把握中位数的定义是解题关键． 11. 如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】共个数，大于的数有个， （大于）； 故答案为． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ． 12. 如图，△ABC中，过重心G的直线平行于BC，且交边AB于点D，交边AC于点E，如果设=，=，用，表示，那么=___． 【答案】 【解析】 【分析】连接AG，延长AG交BC于F．首先证明DG=GE，再利用三角形法则求出即可解决问题． 【详解】连接AG，延长AG交BC于F． ∵G是△ABC的重心，DE∥BC， ∴BF=CF， ， ∵，， ∴， ∵BF=CF， ∴DG=GE， ∵，， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查三角形的重心，平行线的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13. 已知函数，那么______．(填“＞”、“=”或“＜”) 【答案】> 【解析】 【分析】把x=，x=分别代入函数解析式进行计算，然后比较结果即可得解． 【详解】解：∵， 故答案为：>. 【点睛】本题考查了函数值求解，把自变量的值代入函数关系式计算，比较结果即可． 14. 正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为_____． 【答案】2： 【解析】 【分析】如图，设正六边形ABCDEF的内切圆与外接圆的圆心为O，切点为H，连接OH、OB，根据切线性质可得OH⊥AB，根据正六边形的性质可得∠OBH=60°，根据含30°角的直角三角形性质即可得答案． 【详解】解：如图，设正六边形ABCDEF的内切圆与外接圆的圆心为O，切点为H，连接OH、OB， ∴外接圆的半径为OB，内切圆的半径为OH，∠OBH=60°， ∵AB是⊙O的切线， ∴OH⊥AB，∠BOH=30°， ∴BH=OB，OH==OB， ∴OB：OH=2： ∴正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：． 故答案为2：． 【点睛】考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形． 15. 我们规定：一个多边形上任意两点间距离的最大值称为该多边形的“直径”．现有两个全等的三角形，边长分别为4、4、．将这两个三角形相等的边重合拼成对角线互相垂直的凸四边形，那么这个凸四边形的“直径”为______． 【答案】6或3 【解析】 【分析】①如图1，由题意得，AB=AC=BD=CD=4，求得四边形ABDC是菱形，根据菱形的性质得到AD⊥BC， AO=OD，根据勾股定理得到 ②如图2，由题意得，AB=AC=AD=4，得到AC垂直平分BD，求得AC⊥BD，BO=DO，设AO=x，则CO=4-x，根据勾股定理得到于是得到结论． 【详解】解：①如图1，由题意得，AB=AC=BD=CD=4， ∴四边形ABDC是菱形， ∴AD⊥BC，AO=OD， ∴ ∴AD=6＞=BC， ∴这个凸四边形的“直径”为6； ②如图2，由题意得，AB=AC=AD=4， ∴AC垂直平分BD， ∴AC⊥BD，BO=DO， 设AO=x，则CO=4-x， 由勾股定理得，AB2-AO2=BC2-CO2， 解得：x=， ∴AO=， ∴ ∴BD=2BO=， ∵BD=＞4=AC， ∴这个凸四边形的“直径”为， 综上所述：这个凸四边形的“直径”为6或， 故答案为6或 ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，线段垂直平分线的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 16. 如果当a≠0，b≠0，且a≠b时，将直线y=ax+b和直线y=bx+a称为一对“对偶直线”，把它们的公共点称为该对“对偶直线”的“对偶点”，那么请写出“对偶点”为(1，4)的一对“对偶直线”：______． 【答案】 【解析】 【分析】把（1,4）代入两函数表达式可得：a+b=4,再根据“对偶直线”的定义，即可确定a、b的值. 【详解】把（1,4）代入得：a+b=4 又因为，，且， 所以当a=1是b=3 所以“对偶点”为（1,4）的一对“对偶直线”可以是： 故答案为 【点睛】此题为新定义题型，关键是理解新定义，并按照新定义的要求解答. 17. 如图，点M的坐标为，点D从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向右移动，同时过点D的直线l也随之左右平移，且直线l与直线平行，如果点M关于直线l的对称点落在坐标轴上，如果点D的移动时间为t秒，那么t的值为__________ 【答案】2或##3或2 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的性质、一次函数与几何等知识点，根据图示分类讨论点M关于直线l的对称点落在轴上、点M关于直线l的对称点落在轴上两种情况即可求解． 【详解】解：由题意设直线l： 当直线l运动到如图所示位置时，点M关于直线l的对称点落在轴上： 则直线l垂直平分 ∴ 由直线l：可知 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； 当直线l运动到如图所示位置时，点M关于直线l的对称点落在轴上： 同理可得： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 故答案为：2或． 18. 如图，在矩形ABCD中，过点A的圆O交边AB于点E，交边AD于点F，已知AD=5，AE=2，AF=4．如果以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，那么r的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】因为以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，则圆D与圆O相交，圆心距满足关系式：|R-r|<d<R+r，求得圆D与圆O的半径代入计算即可. 【详解】连接OA、OD，过O点作ON⊥AE，OM⊥AF. AN=AE=1，AM=AF=2，MD=AD-AM=3 ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠BAD=∠ANO=∠AMO=90°， ∴四边形OMAN是矩形 ∴OM=AN=1 ∴OA=,OD= ∵以点D为圆心，r为半径的圆D与圆O有两个公共点，则圆D与圆O相交 ∴ 【点睛】本题考查了圆与圆相交的条件，熟记圆与圆相交时圆的半径与圆心距的关系是关键. 三．解答题（共78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，二次根式混合运算，分数指数幂，分别根据相关运算法则进行计算即可 【详解】解： 20. 解方程组： 【答案】或. 【解析】 【分析】将①左边因式分解，化为两个二元一次方程，分别与②联立构成两个二元一次方程组求解即可. 【详解】 由①得，即或， ∴原方程组可化为或. 解得；解得. ∴原方程组的解为或. 21. 如图，在⊙O中，两条弦AC，BD垂直相交于点E，等腰△CFG内接于⊙O，FH为⊙O直径，且AB＝6，CD＝8． （1）求⊙O的半径； （2）若CF＝CG＝9，求图中四边形CFGH的面积． 【答案】（1）⊙O的半径为5；（2）S四边形CFGH 【解析】 【分析】（1）作DM＝AB，连接CM．则，只要证明CM是圆的直径即可解决问题； （2）设直径CM交FG于点N，设FN＝x，ON＝y，构建方程组求出x、y即可解决问题． 【详解】解：（1）如图作DM＝AB，连接CM．则， ∴， ∴∠ABD＝∠MDB， ∵∠ABD+∠BAE＝90°，∠BAE＝∠BDC， ∴∠MDB+∠BDC＝90°， ∴∠CDM＝90°， ∴CM是直径， ∴CM10， ∴⊙O的半径为5． （2）∵FH是直径， ∴∠FCH＝90°， ∴CH， 设直径CM交FG于N，设FN＝x，ON＝y， 则有， 解得， 可得GH＝2ON，FG＝2FN， ∴S四边形CFGH＝S△CFH+S△FGH． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与圆心，等腰三角形的性质，圆的有关知识，解题的关键是学会添加辅助线，根据直角三角形的性质解决问题，难度适中． 22. 甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲登山上升的速度是每分钟 米，乙在地时距地面的高度为 米； （2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度（米）与登山时间（分）之间的函数关系式． （3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？ 【答案】（1）10；30；（2）；（3）4分钟、9分钟或15分钟． 【解析】 【分析】（1）根据速度=高度÷时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度=速度×时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值； （2）分0≤x≤2和x≥2两种情况，根据高度=初始高度+速度×时间即可得出y关于x的函数关系； （3）当乙未到终点时，找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者做差等于50即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x值；当乙到达终点时，用终点的高度-甲登山全程中y关于x的函数关系式=50，即可得出关于x的一元一次方程，解之可求出x值．综上即可得出结论． 【详解】（1）（300-100）÷20=10（米/分钟）， b=15÷1×2=30． 故答案为：10；30． （2）当0≤x≤2时，y=15x； 当x≥2时，y=30+10×3（x-2）=30x-30． 当y=30x-30=300时，x=11． ∴乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为． （3）甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为y=10x+100（0≤x≤20）． 当10x+100-（30x-30）=50时，解得：x=4； 当30x-30-（10x+100）=50时，解得：x=9； 当300-（10x+100）=50时，解得：x=15． 答：登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米． 【点睛】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据高度=初始高度+速度×时间找出y关于x的函数关系式；（3）将两函数关系式做差找出关于x的一元一次方程． 23. 如图，已知∠MON两边分别为OM、ON，sin∠O=且OA=5，点D为线段OA上的动点（不与O重合），以A为圆心、AD为半径作⊙A，设OD=x． （1）若⊙A交∠O 的边OM于B、C两点，BC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）将⊙A沿直线OM翻折后得到⊙A′． ①若⊙A′与直线OA相切，求x的值； ②若⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切，求x的值． 【答案】（1）y=2（0＜x＜5）；（2）①x=；②． 【解析】 【分析】（1）作AH⊥OM于H，如图1，在Rt△OAH中，根据正弦的定义求出AH=3，根据垂径定理由AH⊥BC得CH=BH=BC=y，由于OD=x，则AD=5-x，然后在Rt△ACH中利用勾股定理得到（y）2=（5-x）2-32，再整理即可得到y与x的函数关系； （2）①作A′E⊥OA于E，根据折叠的性质得A′H=AH=3，⊙A′的半径为5-x，在Rt△OAH中，利用勾股定理计算出OH=4；由于⊙A′与直线OA相切，根据切线的性质得A′E=5-x，再证明Rt△OAH∽Rt△A′AE，利用相似比得到5：6=4：（5-x），然后解方程可得到x的值； ②作A′G⊥OA于G，连结A′D，根据两圆相切的性质得A′D=x+5-x=5，再证明Rt△OAH∽Rt△A′AG，利用相似比可计算出AG=，A′G=，则DG=AG-AD=x-，然后在Rt△A′GD中，根据勾股定理得到（）2+（x-）2=52，整理得x2-x=0，然后解方程即可． 【详解】（1）作AH⊥OM于H，如图1， 在Rt△OAH中，OA=5，sin∠AOH=， ∴AH=3， ∵AH⊥BC， ∴CH=BH=BC=y， ∵OD=x， ∴AD=5-x， 在Rt△ACH中，AC=5-x，AH=3，CH=y， ∴（y）2=（5-x）2-32， ∴y=2（0＜x＜5）； （2）①作A′E⊥OA于E，如图， ∵⊙A沿直线OM翻折后得到⊙A′， ∴A′H=AH=3，⊙A′的半径为5-x， 在Rt△OAH中，OH==4， ∵⊙A′与直线OA相切， ∴A′E=5-x， ∵∠HAO=∠EAA′， ∴Rt△OAH∽Rt△A′AE， ∴OA：AA′=OH：A′E，即5：6=4：（5-x）， ∴x=； ②作A′G⊥OA于G，连结A′D，如图3， ∵⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切， ∴A′D=x+5-x=5， ∵∠HAO=∠GAA′， ∴Rt△OAH∽Rt△A′AG， ∴，即， ∴AG=，A′G=， ∴DG=AG-AD=-（5-x）=x-， 在Rt△A′GD中，∵A′G2+GD2=A′D2， ∴（）2+（x-）2=52， 整理得x2-x=0，解得x1=0（舍去），x2=， ∴x的值为． 24. 已知：抛物线，经过点A(-1,-2)，B(0,1). （1）求抛物线的关系式及顶点P的坐标. （2）若点B′与点B关于x轴对称，把（1）中的抛物线向左平移m个单位，平移后的抛物线经过点B′，设此时抛物线顶点为点P′. ①求∠P′B B′的大小. ②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°，点P′落在点M处，设点N在（1）中的抛物线上，当△MN B′的面积等于6时，求点N的坐标. 【答案】（1），顶点坐标；（2）①，②当时，点的坐标为或. 【解析】 【分析】（1）把点A（-1，-2）B（0,1）代入即可求出解析式；（2）①设抛物线平移后为，代入点B’(0,-1)即可求出m，得出顶点坐标 ，连结，P’B’，作P’H⊥y轴，垂足为，得,HB=1，P’B=2 求出, 得,故可得的度数 ②根据题意作出图形，根据旋转的性质与，解得三角形的高；故设或分别代入即可求出N的坐标. 【详解】（1）把点A（-1，-2）B（0,1）代入得 解得 ∴抛物线的关系式为：，得y=-(x-1)2+2； ∴顶点坐标为. （2）①设抛物线平移后为，代入点B’(0,-1)得， -1=-(m-1)2+2解得，（舍去）； ∴，得顶点 连结，P’B’，作P’H⊥y轴，垂足为， 得,HB=1，P’B==2 ∵, ∴, ∴. ②∵,即, ∴; ∵线段以点为旋转中心顺时针旋转，点落在点处; ∴, ∴轴，; 设在边上的高为，得：，解得； ∴设或分别代入得 解得：或 ∴或， 方程无实数根舍去， ∴综上所述：当时，点的坐标为或. 【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，并根据题意作出图形进行求解. 25. 在正方形中，点为正方形内一点，过点将绕点逆时针旋转，得到，延长，分别交，于、两点，交的延长线于点． （1）数学兴趣小组探究发现，如图，连接，当点移动时，总有，请你证明这个结论； （2）如图，连接，若，请直接写出线段、、的数量关系为______； （3）如图，在的条件下，连接，，若，的面积为，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形 ，， ， ， ， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，从而得出结论； （2）可证得是的中位线，从而得出，结合，进而得出结果； （3）作于，于，取的中点，连接，，，可证得、、、四点共圆，从而，进而证明，从而，设，可得，从而得出，进而得出的长，设，，，根据，得出，从而解得的值，进一步得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是正方形， ，，， ，， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图， 作于，于，取的中点，连接，，， ， 、、、四点共圆， ，， 为的中位线， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 设， ， ， ， 设，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，三角形的中位线定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $