精品解析：2024年广东省佛山市南海区大沥镇大沥中学中考模拟数学试题

2024年大沥中学九年级数学学科学业检测 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 是单项式 B. 的系数为 C. 不是单项式 D. 的次数是3 5. 如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 7. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，两点之间的距离是，，则摆盘的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示： 月用水量（吨） 3 4 5 6 户数 4 6 8 2 关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是（ ） A. 众数是5 B. 平均数是7 C. 中位数是5 D. 方差是1 9. 下图1是某地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上， 点A，点C在反比例函数，若直线BC的函数表达式为，则反比例函数表达式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标是_______． 12. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 13. 函数 中自变量x的取值范围是_______． 14. 一个不透明的口袋中装有若干个红球，小明又放入10个黑球，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程后发现摸出红球的频率稳定在，则估计口袋中红球的数量为__________个． 15. 如图，已知的两条直角边，将绕直角边中点G旋转得到，若的锐角顶点D恰好落在的斜边上，则 ____________________． 三、解答题（共8小题，第16题10分，第17-18题各7分，第19-21题各9分，第22-23题各12分） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值，，其中． 17. 如图，，，． （1）求证：； （2）用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 某款SUV型汽车后备箱门正常开启时如图所示，该车型高，后备箱门长，当后备箱门正常开启后，．某车主的储藏室空间高度为m，问该车停入储藏室后能否正常开启后备箱门． 19. 如图，中，，反比例函数的图象经过点A． （1）求点A的坐标． （2）直线垂直平分，交于点C，交y轴于点D，交x轴于点E，求线段的长． 20. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了________名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角________度； （2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 21. 2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍． （1）求售卖一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？ （2）一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？ 22. 如图，点C是以为直径的半圆O上的动点，，连接，点D是上一动点，连接，且与相交于点F．过点C作与的延长线交于点E使得． （1）求证：是的切线； （2）当四边形是平行四边形时，判断形状，并说明理由； （3）当点F为中点且时，求的长． 23. 如图1，矩形OABC的顶点O是直角坐标系的原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（8，4），将矩形OABC绕点A顺时针旋转得到矩形ADEF，D、E、F分别与B、C、O对应，EF的延长线恰好经过点C，AF与BC相交于点Q． （1）证明：△ACQ是等腰三角形； （2）求点D的坐标； （3）如图2，动点M从点A出发在折线AFC上运动（不与A、C重合），经过的路程为x，过点M作AO的垂线交AC于点N，记线段MN在运动过程中扫过的面积为S；求S关于x的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年大沥中学九年级数学学科学业检测 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是符号相反的数即可解答． 【详解】解：的相反数是． 故选：A． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项的法则、积的乘方和幂的乘方法则、同底数幂的除法法则以及完全平方公式解答即可． 【详解】A、2a与3b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； B、原计算正确，故此选项符合题意； C、原计算错误，故此选项不符合题意； D、原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了幂的运算、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3. “斗”是我国古代称量粮食的量器，它无盖，其示意图如图所示，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是掌握：俯视图是从上面看到的图形．据此可得答案． 【详解】解：从上面看，看到的图形为一个正方形，在这个正方形里面还有一个小正方形，且四条线段连接对应顶点， A．该图形不是“斗”的俯视图，故此选项不符合题意； B．该图形不是“斗”的俯视图，故此选项不符合题意； C．该图形是“斗”的俯视图，故此选项符合题意； D．该图形不是“斗”的俯视图，故此选项不符合题意． 故选：C． 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 是单项式 B. 的系数为 C. 不是单项式 D. 的次数是3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查单项式及其次数和系数，解题的关键是掌握单项式的相应概念，数或字母的积组成的式子叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 【详解】解：A、不是单项式，故错误，不合题意； B、的系数为，故错误，不合题意； C、是单项式，故错误，不合题意； D、的次数是3，故正确，符合题意； 故选：D． 5. 如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得的度数，由平行线的性质可得同旁内角互补，可得结论． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，题目比较基础，熟练掌握性质是解题的关键． 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上，若，则和的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似的概念和性质，根据题意求出，根据相似三角形的性质求出即可求解，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴和的周长之比为， 故选：． 7. 中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，两点之间的距离是，，则摆盘的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先证明是等边三角形，求出，再根据，求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题考查扇形面积的计算、等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8. 为了解某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的某月用水量，统计结果如下表所示： 月用水量（吨） 3 4 5 6 户数 4 6 8 2 关于这若干户家庭的该月用水量的数据统计分析，下列说法正确的是（ ） A. 众数是5 B. 平均数是7 C. 中位数是5 D. 方差是1 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数、平均数、中位数、方差的定义及求法，即可一一判定． 【详解】解：5吨出现的次数最多，故这组数据的众数是5，故A正确； 这组数据的平均数为：(吨)，故B不正确； 这组数据共有20个，故把这组数据从小到大排列后，第10个和第11个数据的平均数为这组数据的中位数，第10个数据为4，第11个数据为5，故这组数据的中位数为：，故C不正确； 这组数据的方差为：，故D不正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数、方差的定义及求法，熟练掌握和运用众数、平均数、中位数、方差的定义及求法，是解决本题的关键． 9. 下图1是某地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图所示过作于，过作于， 则 中，， ∴， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：D． 10. 如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上， 点A，点C在反比例函数，若直线BC的函数表达式为，则反比例函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：在中，令，则， 令，则， ，， ，， 过作轴于，过作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ∴， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图象上， ， ，（不合题意舍去）， ， ， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标是_______． 【答案】（3，-4） 【解析】 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点P（-3，4）关于原点对称的点的坐标为：（3，-4）． 故答案为：（3，-4）． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键． 12. 一元二次方程x2＝2x的解为________． 【答案】x1＝0，x2＝2 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0， 解得x=0或x=2． 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 13. 函数 中自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 14. 一个不透明的口袋中装有若干个红球，小明又放入10个黑球，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程后发现摸出红球的频率稳定在，则估计口袋中红球的数量为__________个． 【答案】15 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．解题的关键是根据黑球的频率得到相应的等量关系．设口袋中红球有x个，用黑球的个数除以球的总个数等于摸到黑球的频率，据此列出关于x的方程，解之可得答案． 【详解】设口袋中红球有x个， 根据题意，得：， 解得， 经检验：是分式方程的解， 所以估计口袋中大约有红球15个 故答案为：15 15. 如图，已知的两条直角边，将绕直角边中点G旋转得到，若的锐角顶点D恰好落在的斜边上，则 ____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，连接，根据，可说明，从而求出的长，再利用，得，设，则，，进而得出x的值． 【详解】解：如图，连接， ， 由勾股定理得，， ∵点G为的中点， ， 的锐角顶点D恰好落在的斜边上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 解得， 经检验，是方程的解， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，第16题10分，第17-18题各7分，第19-21题各9分，第22-23题各12分） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值，，其中． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）代入特殊角的三角函数值、计算乘方、绝对值、负整数指数幂后，进行混合运算即可； （2）先计算括号内的运算，再计算除法，得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解：（1） （2） 当时， 原式 17. 如图，，，． （1）求证：； （2）用直尺和圆规作图：过点作，垂足为．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； （2）所作图形如图， 【解析】 【分析】（1）根据边角边证明即可证明结论成立； （2）根据过直线外一点向直线最垂线的作法得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，过直线外一点向直线最垂线的作法，熟练记忆正确作法是解题关键． 18. 某款SUV型汽车后备箱门正常开启时如图所示，该车型高，后备箱门长，当后备箱门正常开启后，．某车主的储藏室空间高度为m，问该车停入储藏室后能否正常开启后备箱门． 【答案】该车停入储藏室后能够正常开启后备箱门 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题关键．过点C作交延长线于点D，求出即可判断． 【详解】解：过点C作交延长线于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∵， ∴该车停入储藏室后能够正常开启后备箱门． 19. 如图，中，，反比例函数的图象经过点A． （1）求点A的坐标． （2）直线垂直平分，交于点C，交y轴于点D，交x轴于点E，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，解直角三角形： （1）根据题意，得到点的纵坐标为2，代入解析式求出点的坐标即可； （2）先求，证明出，则由正弦值相等得：即可求解． 【小问1详解】 解：， 点的横坐标为， 点在反比例函数的图象上， ， ． 【小问2详解】 解： ∴，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：． 20. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了________名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角________度； （2）若该校有3200名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数； （3）刘老师计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）①200； ②补全的条形统计图如图所示： ③54 （2）1120 （3） 【解析】 【分析】（1）①由组的人数及其所占百分比可得样本容量；②由总人数减去除组的人数即可得到组的人数；③用乘以 组人数所占比例即可； （2）用乘以组人数所占比例即可； （3）根据题意列出树状图即可求解 【小问1详解】 解：（1）①； ② 组人数， ③； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 从甲、乙、丙、四位学生中随机抽取两人共有12种等可能性的结果，恰好抽中甲、乙两人的所有等可能性结果有2种， 因此，（恰好抽中甲、乙两人）． 【点睛】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 21. 2024年龙年春晚吉祥物形象“龙辰辰”正式发布亮相，作为中华民族重要的精神象征和文化符号，千百年来，龙的形象贯穿文学、艺术、民俗、服饰、绘画等各个领域，也呈现了吉祥如意、平安幸福的美好寓意．吉祥物“龙辰辰”的产生受到众人的热捧．某工厂计划加急生产一批该吉祥物，决定选择使用A、B两种材料生产吉祥物．已知使用B材料的吉祥物比A材料每个贵50元，用3000元购买用A材料生产吉祥物的数量是用1500元购买B材料生产吉祥物数量的4倍． （1）求售卖一个A材料、一个B材料的吉祥物各需多少元？ （2）一所中学为了激励学生奋发向上，准备用不超过3000元购买A、B两种材料的吉祥物共50个，来奖励学生．恰逢工厂对两种材料吉祥物的价格进行了调整：使用A材料的吉祥物的价格按售价的九折出售，使用B材料的吉祥物比售价提高了，那么该学校此次最多可购买多少个用B材料的吉祥物？ 【答案】（1）购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元 （2）该学校此次最多可购买10个B材料的吉祥物 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设使用材料生产的吉祥物的单价为元个，则使用材料生产的吉祥物的单价为元个，利用数量=总价单价，结合用3000元购买用材料生产吉祥物的数量是用1500元购买材料生产吉祥物数量的4倍，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出使用材料生产的吉祥物的单价，再将其代入中，即可求出使用材料生产的吉祥物的单价； （2）设该学校此次购买m个使用材料生产的吉祥物，则购买个使用材料生产的吉祥物，利用总价单价数量，结合总价不超过3000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购买一个A材料的吉祥物需x元，则购买一个B材料的吉祥物需元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：购买一个A材料的吉祥物需50元，购买一个B材料的吉祥物需100元； 【小问2详解】 设该学校此次购买m个B材料的吉祥物，则购买个A材料的吉祥物， 依题意，得：， 解得：． ∴m的最大值为10， 答：该学校此次最多可购买10个B材料的吉祥物． 22. 如图，点C是以为直径的半圆O上的动点，，连接，点D是上一动点，连接，且与相交于点F．过点C作与的延长线交于点E使得． （1）求证：是的切线； （2）当四边形是平行四边形时，判断形状，并说明理由； （3）当点F为中点且时，求的长． 【答案】（1） 证明：由题意知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是半径， ∴是的切线． （2） 是等边三角形． 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由垂径定理可知， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知，，由可知，则，由可知，进而可证结论； （2）由平行四边形的性质可得，，则，，，由垂径定理可知，证明，有，，则，，进而可证是等边三角形； （3）如图，补全圆，延长交于，连接，由圆周角定理得，由是的直径可得，由可知，；在中，由勾股定理得，证明，则即，求的值，根据求的值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，补全圆，延长交于，连接， ∵， ∴， 由题意知是的直径， ∴， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴即， 解得， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了切线的判定，等边对等角，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直径所对的圆周角为90°，平行四边形的性质，垂径定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，正弦，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 23. 如图1，矩形OABC的顶点O是直角坐标系的原点，点A、C分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（8，4），将矩形OABC绕点A顺时针旋转得到矩形ADEF，D、E、F分别与B、C、O对应，EF的延长线恰好经过点C，AF与BC相交于点Q． （1）证明：△ACQ是等腰三角形； （2）求点D的坐标； （3）如图2，动点M从点A出发在折线AFC上运动（不与A、C重合），经过的路程为x，过点M作AO的垂线交AC于点N，记线段MN在运动过程中扫过的面积为S；求S关于x的函数关系式． 【答案】（1）证明：∵四边形OABC，四边形FADE都是矩形， ∴∠AOC＝90°，∠AFE＝∠AFC＝90°，BC∥OA， ∵∠CFA＝∠AOC＝90°，AC＝AC，AO＝AF， ∴Rt△ACO≌Rt△ACF（HL）， ∴∠CAO＝∠CAF， ∵BC∥OA， ∴∠BCA＝∠CAO， ∴∠BCA＝∠ACF， ∴QC＝QA， ∴△ACQ是等腰三角形． （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）想办法证明∠QCA＝∠QAC即可解决问题． （2）设CQ＝AQ＝x，利用勾股定理求出x，如图1中，过点D作DH⊥x轴于H．利用相似三角形的性质求出AH，DH即可解决问题． （3）分两种情形：①当0＜x≤8时，如图2中，延长MN交AO于H，作QJ∥AB交AC于J．利用相似三角形的性质求出AH，MN即可解决问题．②当8＜x＜12时，如图3中，作QJ∥AB交AC于J，作EK∥AB交BC于T，设MN交BC于R．利用相似三角形的性质求出MN，AR即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：设CQ＝AQ＝x， ∵B（8，4）， ∴BC＝8，AB＝4， 在Rt△AQB中，∵AQ2＝BQ2+AB2， ∴x2＝（8﹣x）2+42， ∴x＝5， ∴BQ＝3， 如图1中，过点D作DH⊥x轴于H． ∵∠QAD＝∠BAH＝90°， ∴∠QAB＝∠DAH， ∵∠B＝∠AHD＝90°， ∴△ABQ∽△AHD， ∴， ∴， ∴AH＝，DH＝， ∴OH＝OA+AH＝8+＝， ∴D（）． （3）①当0＜x≤8时，如图2中，延长MN交AO于H，作QJ∥AB交AC于J． ∵QJ∥AB， ∴， ∴， ∴QJ＝， ∵MN∥QJ， ∴△AMN∽△AQJ， ∴， ∴ ∴MN＝，AH＝， ∴S＝•MN•AH＝·x·＝x2． ②当8＜x＜12时，如图3中，作QJ∥AB交AC于J，作EK∥AB交BC于T，设MN交BC于R． ∵FK∥AB，JQ∥AB， ∴FK∥JQ， ∴△AQJ∽△AFK， ∴， ∴， ∴FK＝4，BT＝， ∴CT＝BC﹣BT＝8﹣＝， ∵MN∥FK， ∴△CMN∽△CFK， ∴， ∴， ∴MN＝12﹣x，CR＝（12﹣x）， ∴S＝S△ACF﹣S△CMN＝×4×12﹣×（12﹣x）×（12﹣x）＝． 综上所述，S＝． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $