专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质 （四大题型）-2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：根的判别式 我们知道，对于一元二次方程（），用配方法可以将其变形为．① 因为，所以，．于是 （1）当时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根； （3）当时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程（）的根的情况可以由来判定，我们把叫做一元二次方程（）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程（），有 (1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当Δ<0时，方程没有实数根． 知识点2：根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程（）有两个实数根 ，， 则有； ． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果（）的两根分别是，，那么，．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程，若，是其两根，由韦达定理可知 ，， 即，， 所以，方程可化为，由于，是一元二次方程的两根，所以，，也是一元二次方程． 知识点3：二次函数图像的伸缩变换 问题 函数与的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出，，的图象，通过这些函数图象与函数的图象之间的关系，推导出函数与的图象之间所存在的关系． 先画出函数，的图象． 先列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数，的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数的图象可以由函数的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到． 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数，的图象，并研究这两个函数图象与函数的图象之间的关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y=ax2(a≠0)的图象可以由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到． 知识点4：二次函数图像的平移变换 函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y=2(x+1)2+1与y=2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y=2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2(x+1)2+1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点． 类似地，还可以通过画函数y=－3x2，y=－3(x－1)2+1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方法： 由于y=ax2+bx+c=a(x2+)+c=a(x2++)+c－ ， 所以，y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数y=ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质： （1）当a>0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x=－；当x<时，y随着x的增大而减小；当x>时，y随着x的增大而增大；当x=时，函数取最小值y=． （2）当a<0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x=－；当x<时，y随着x的增大而增大；当x>时，y随着x的增大而减小；当x=时，函数取最大值y=． 【典例例题】 题型一：根的判别式 【典例1-1】（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【典例1-2】（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，满足，求的值． 【变式1-1】（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）关于x的方程， 的两个实数根为 (1)若等腰三角形，其中两边的长度为 且另一边的边长为6，求 的周长； (2)若 求m的值 【变式1-2】（2024·甘肃金昌·三模）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 【变式1-3】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 【变式1-4】（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【变式1-5】（23-24八年级下·四川成都·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 题型二：根与系数的关系（韦达定理） 【典例2-1】（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）关于的一元二次方程一个实数根为2，则另一实数根和的值分别为（    ） A．6， B．， C．6，4 D．，4 【典例2-2】（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【变式2-2】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根和． (1)求实数的取值范围； (2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 题型三：二次函数图像的伸缩变换 【典例3-1】（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）材料一：对于任意的实数a，其绝对值都是一个非负数，即  同理，对于任意关于 x 的绝对值函数都有 例如 材料二：数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在函数学习中，常应用函数图象解决代数问题．例如关于的不等式，可解读为函数的图象不高于函数的图象，不等式的解集则可理解为该部分图象上所有点的横坐标所构成的取值范围，通过图象(如图)，可得该不等式的解集为   　　　 根据材料完成下列题目： (1)认真阅读材料一，解关于x的方程： ，要求写出解答过程． (2)认真阅读材料二，仿照该方法解关于x的不等式： 请完善下列解答思路： 步骤 1：利用数形结合思想不等式可理解为：函数 的图象不低于函数 的图象． 步骤2：在方格纸中画出图象． 步骤3：解出交点坐标，观察图象，并得出不等式的解集为 ． (3)若关于x的不等式有解，请直接写出k的取值范围． 【典例3-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）抛物线与的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是，求抛物线的表达式，它是由抛物线怎样得到的？ 【变式3-1】（2024·重庆·三模）如图，抛物线交轴于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上的一点，过点作轴交于点，作轴交于点，求的最大值以及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线上的一个动点，连接，将沿着直线翻折到同一平面内得到，连接，当∠时，直接写出点的坐标，并写出求解其中一个坐标的过程． 【变式3-2】（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，抛物线经过点，与y轴交于点C，直线l：经过点C，与抛物线交于点A，与x轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为直线l上方抛物线上一点，作于点Q，求的最大值以及此时点P的坐标． (3)如图2，将抛物线沿着射线方向平移个单位得到抛物线，与x轴分别交于点D、点E，与y轴交于点F，连接，与对称轴交于点N．点M是抛物线对称轴上一点，当时，求点M的坐标． 题型四：二次函数图像的平移变换 【典例4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线向右平移个单位，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 【典例4-2】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）， （1） ； （2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 ． 【变式4-1】（2024·广东珠海·三模）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为 . 【变式4-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于，两点（在的左边），与轴正半轴交于点，的面积为4． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点是第一象限抛物线上一点，外接圆的圆心在抛物线的对称轴上，若点的纵坐标为2，求的值； (3)如图3，已知直线，将抛物线沿直线方向平移，平移过程中抛物线与直线相交于，两点．设平移过程中若抛物线的顶点的横坐标为，在轴上存在唯一的一点，使，求的值． 【过关测试】 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 2．（2024·广东佛山·三模）已知是方程的一个根，则它的另一根是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏盐城·三模）设方程的两个根为，那么的值等于（   ） A．－3 B．1 C．－1 D．2 5．（2024·江苏南京·二模）关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根， 一个负根 D．无实数根 6．（2024·江苏南京·三模）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·广东梅州·模拟预测）关于方程的根的说法中，正确的是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．两个实数根的和为2 D．两个实数根的积为-3 8．（2024·河南驻马店·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 10．（浙江省嘉兴市文理科联赛2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“限根方程”．关于x的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 11．（2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 12．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）将抛物线   向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到新抛物线 则的值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 13．（2024·江苏徐州·二模）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 14．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 15．（2024·江苏盐城·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ． 16．（2024·江西南昌·二模）已知，为关于的方程的两个实数根，若，则 ． 17．（24-25八年级上·上海·假期作业）关于x的方程． （1）有实数根，则k的取值范围是 ； （2）无实数根，则k的取值范围是 ； （3）有两个相等的实数根，则k的取值范围是 ； （4）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 18．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ． 19．（2024·甘肃定西·三模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 20．（2024·江苏镇江·二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 21．（2024年吉林省/长春市初中毕业生水平考试模拟试题（二）数学试题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 22．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ． 三、解答题 23．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，且，求m的值． 24．（2024·北京石景山·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 25．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)当时，求的值． 26．（23-24八年级下·四川广安·期末）已知关于的方程． (1)若是方程的一个根，求的值及另一个根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 27．（2024·北京延庆·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 28．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 29．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）（1）已知、是一元二次方程的两个根，求的值． （2）若是整数，且关于的一元二次方程只有整数根，求的值． （3）已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解；问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 30．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 31．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有实数根； (2)如果方程有两个实数根，当时，求m的值． 32．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线：与轴分别交于、两点，与轴交于点，分别连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线向右平移个单位得到抛物线，两条抛物线相交于点，分别连接、，若，求的值． 33．（2024·湖北武汉·模拟预测）小明在一块平整场地玩弹力球，并以此情境编制一道数学题： 如图，在平面直角坐标系中，小明从点处将弹力球（看成点）扔向地面，在地面上的点B处弹起后其运动路线为抛物线，抛物线，在点C处达到最高，之后落在地面上的点D处，已知，点C坐标为． (1)求抛物线的表达式及点D坐标； (2)弹力球在点D处再次弹起，其运动路线为抛物线，抛物线与的形状一致且在E处最高，点E与点O的水平距离为， ①求抛物线与最高点的高度差； ②有一竖直放置的隔板高，且，若弹力球沿C下落过程中要落在隔板上（含端点），其他条件都不变的情况下，需要将起弹点B右移n米，直接写出n的取值范围． 34．（2024·河南郑州·三模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在点的右边，． (1)求抛物线的表达式； (2)为抛物线上任意一点，将点向上平移个单位长度得到点，若点关于原点的对称点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，求的取值范围． 35．（2024·河北邯郸·三模）如图某桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．    (1)按如图所示的坐标系，求该桥拱的函数表达式； (2)要保证高米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于米），求小船的最大宽度是多少？ (3)如图，桥拱所在的函数图象的抛物线的轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．现将新函数图象向右平移（）个单位长度，使得平移后的函数图象在之间，且随的增大而减小，请直接写出的取值范围． 36．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线（a、c为常数，）经过点、，顶点为P，连接． (1)求的长； (2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，点P的对应点为，当四边形是面积为12的平行四边形，且点在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线的表达式． 37．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 38．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）已知抛物线 与轴交于点， 且经过点． (1)求抛物线的解析式，并求出该抛物线顶点的坐标； (2)若点是直线下方抛物线上一点(不与点 ， 重合)，则当点  时，求出此时点 的坐标，并求出四边形 的面积； (3)若x轴上有一点 且  于点 ，现将绕着原点顺时针旋转 得到若旋转过程中，所在直线与所在直线交于点，所在直线与所在直线交于点，当  为等腰三角形时，直接写出此时的值，并写出其中一个值的解答过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程与二次函数的图象、性质 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：根的判别式 我们知道，对于一元二次方程（），用配方法可以将其变形为．① 因为，所以，．于是 （1）当时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根； （2）当时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根； （3）当时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根． 由此可知，一元二次方程（）的根的情况可以由来判定，我们把叫做一元二次方程（）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程（），有 (1)当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当Δ<0时，方程没有实数根． 知识点2：根与系数的关系（韦达定理） 若一元二次方程（）有两个实数根 ，， 则有； ． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果（）的两根分别是，，那么，．这一关系也被称为韦达定理． 特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程，若，是其两根，由韦达定理可知 ，， 即，， 所以，方程可化为，由于，是一元二次方程的两根，所以，，也是一元二次方程． 知识点3：二次函数图像的伸缩变换 问题 函数与的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出，，的图象，通过这些函数图象与函数的图象之间的关系，推导出函数与的图象之间所存在的关系． 先画出函数，的图象． 先列表： x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … 2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数，的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数的图象可以由函数的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到． 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数，的图象，并研究这两个函数图象与函数的图象之间的关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y=ax2(a≠0)的图象可以由y=x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到． 知识点4：二次函数图像的平移变换 函数y=a(x+h)2+k与y=ax2的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y=2(x+1)2+1与y=2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y=2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y=2(x+1)2+1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点． 类似地，还可以通过画函数y=－3x2，y=－3(x－1)2+1的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的方法： 由于y=ax2+bx+c=a(x2+)+c=a(x2++)+c－ ， 所以，y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可以看作是将函数y=ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)具有下列性质： （1）当a>0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向上；顶点坐标为，对称轴为直线x=－；当x<时，y随着x的增大而减小；当x>时，y随着x的增大而增大；当x=时，函数取最小值y=． （2）当a<0时，函数y=ax2+bx+c图象开口向下；顶点坐标为，对称轴为直线x=－；当x<时，y随着x的增大而增大；当x>时，y随着x的增大而减小；当x=时，函数取最大值y=． 【典例例题】 题型一：根的判别式 【典例1-1】（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)若，且，，都是整数，求的值． 【解析】（1）∵，是关于的方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）∵，由（1）得， ∴， ∴整数的值有，，， 当时，方程为， 解得：，（都是整数，此情况符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 当时，方程为， 解得：（不是整数，此情况不符合题意）； 综上所述，的值为． 【典例1-2】（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，满足，求的值． 【解析】（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 即的取值范围为； （2）∵，是方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得． 【变式1-1】（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）关于x的方程， 的两个实数根为 (1)若等腰三角形，其中两边的长度为 且另一边的边长为6，求 的周长； (2)若 求m的值 【解析】（1）∵的两个实数根为 ∴ 解得： 当时，， 则 解得： ∵等腰三角形其中两边的长度为 且另一边的边长为6， ∴周长为 当，则有一个根为， ∴ 解得：或（舍去） ∴原方程为 解得: ∴的周长为， 综上所述，的周长为或 （2）∵的两个实数根为 ∴ 又∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴或 由（1）可得，当时， 当时， ∴ ∴ 解得： 综上所述，或 【变式1-2】（2024·甘肃金昌·三模）已知关于的一元二次方程． (1)当时，求方程的解； (2)若该方程有实数根，求的取值范围． 【解析】（1）当时，原方程可化为， 配方，得， 解得； （2）∵该方程有实数根， ∴， 解得， 即若该方程有实数根，的取值范围是． 【变式1-3】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)当时，解这个方程； (2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由； (3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值. 【解析】（1）当时，原方程化为， ， 或， ∴，； （2）方程有两个实数解． 理由如下： ， 当时，，方程有两个相等的实数解； 当时，，方程有两个不相等的实数解； 综上所述，方程有两个实数解； （3）依题意，解方程得或， ， 或， 当时，， 、为正整数， 当时，；当时，； 当时，， 综上所述，的值为1或2． 【变式1-4】（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【解析】（1）根据题意得， 解得； （2）时，方程变为， 设方程的两个实数根分别为，， ，， ． 【变式1-5】（23-24八年级下·四川成都·期中）已知关于的方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若，求的值． 【解析】（1）由题意得， ，解得； （2）由根与系数的关系得， ∴ ∵， ∴， ，解得或5， 由（1）知，则． 题型二：根与系数的关系（韦达定理） 【典例2-1】（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）关于的一元二次方程一个实数根为2，则另一实数根和的值分别为（    ） A．6， B．， C．6，4 D．，4 【答案】D 【解析】 设关于的一元二次方程实数根为和， 则：，， ，解得， ，解得， 故选：D． 【典例2-2】（2024·江苏宿迁·三模）关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． 【变式2-1】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【解析】若方程的两个根是和2，则， ∴， ∴； 故①正确； 若是方程的一个根，则， ∴或， 故②错误； 若，则， 即有一个根是； 故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：C 【变式2-2】（23-24八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程有两个实根和． (1)求实数的取值范围； (2)是否存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）关于的一元二次方程有两个实根和， ， 解得：； （2）和一元二次方程的两根， ，， 和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为， ， ， ， 解得：， ，， 不符合题意， 不存在矩形，和是这个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为． 题型三：二次函数图像的伸缩变换 【典例3-1】（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）材料一：对于任意的实数a，其绝对值都是一个非负数，即  同理，对于任意关于 x 的绝对值函数都有 例如 材料二：数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在函数学习中，常应用函数图象解决代数问题．例如关于的不等式，可解读为函数的图象不高于函数的图象，不等式的解集则可理解为该部分图象上所有点的横坐标所构成的取值范围，通过图象(如图)，可得该不等式的解集为   　　　 根据材料完成下列题目： (1)认真阅读材料一，解关于x的方程： ，要求写出解答过程． (2)认真阅读材料二，仿照该方法解关于x的不等式： 请完善下列解答思路： 步骤 1：利用数形结合思想不等式可理解为：函数 的图象不低于函数 的图象． 步骤2：在方格纸中画出图象． 步骤3：解出交点坐标，观察图象，并得出不等式的解集为 ． (3)若关于x的不等式有解，请直接写出k的取值范围． 【解析】（1） 当时，即时，， 解得： 当时，即时，， 解得：或 （2）步骤 1：利用数形结合思想不等式可理解为：函数的图象不低于函数的图象 步骤2：在方格纸中画出函数，的图象，如图所示． 步骤3：当时，即时，， 解得：（舍去）或 当时， ∴交点坐标为， 当时，即时，，此方程无解； 观察图象，得出不等式的解集为 （3）当时，， 当时， ∵时， 又， ∴的解集为或 则的解集为 ∴当时， 当时， 同理可得时， 当时，， ∴ ∵ ∴函数的图象不高于的函数图象部分的自变量的取值范围即为不等式的解， 当时，如图所示， 观察图象可得，当与只有1个交点时，则， 则方程，即有两个相等的实数根， ∴ 解得：， ∴时，观察函数图象可得 【典例3-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）抛物线与的形状大小，开口方向都相同，且顶点坐标是，求抛物线的表达式，它是由抛物线怎样得到的？ 【解析】抛物线与的形状、大小相同，开口方向也相同， ． 又∵其顶点坐标为． ． ∴抛物线的表达式为：． 它是由抛物线向上平移3个单位得到的． 【变式3-1】（2024·重庆·三模）如图，抛物线交轴于点，点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方抛物线上的一点，过点作轴交于点，作轴交于点，求的最大值以及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点是新抛物线上的一个动点，连接，将沿着直线翻折到同一平面内得到，连接，当∠时，直接写出点的坐标，并写出求解其中一个坐标的过程． 【解析】（1）∵过，， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）由（）得：抛物线的表达式为， 当时，， ∴点， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵抛物线的表达式为， ∴设， ∴，， ∴， ∴， 当时，有最大值， 此时， ∴点； （3）∵， ∴原抛物线的顶点为， ∵将原抛物线沿射线方向平移个单位，即向右平移个单位，向上平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， 如图，过作交延长线于点，过作轴于点， ∴，， ∵，垂直平分， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（舍去）， ∴点； 如图， 同理求得， ∴直线的解析式为， 联立，解得：（舍去）或， ∴； 如图， 同理求得， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（舍去）， ∴； 同理得点，直线的解析式为， 联立，解得：（舍去）或， ∴点； 综上可知：点或或或． 【变式3-2】（23-24九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图1，抛物线经过点，与y轴交于点C，直线l：经过点C，与抛物线交于点A，与x轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为直线l上方抛物线上一点，作于点Q，求的最大值以及此时点P的坐标． (3)如图2，将抛物线沿着射线方向平移个单位得到抛物线，与x轴分别交于点D、点E，与y轴交于点F，连接，与对称轴交于点N．点M是抛物线对称轴上一点，当时，求点M的坐标． 【解析】（1）当时，， ∴， ∵抛物线经过点，与y轴交于点C， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）当时，，解， ∴， ∴，即，是等腰直角三角形， ∴， 过Q点轴于点G，过P点作轴，交直线于点H， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 即， ∵轴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据题意设，且， ∵，直线的解析式为：， ∴设直线的解析式为：， 将点代入， 有：，解得：， ∴直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴点Q的横坐标为：， 当时，， ∴， ∴， 当时，有， 解得：， ∴点H的横坐标为：， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 最大值为：， ∴； （3）在（2）中已得， 即直线与x轴的夹角为， ∵抛物线沿着射线AB方向平移个单位得到抛物线， ∴抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，即可得到抛物线， ∵， ∴抛物线解析式为：， 即抛物线对称轴为：， 设点， 当时，，或者， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∵，，，， ∴，，， 如图， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴，或者． 题型四：二次函数图像的平移变换 【典例4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线向右平移个单位，所得抛物线与轴的交点的坐标是 ． 【答案】 【解析】将抛物线向右平移个单位， 得到抛物线的解析式为：， 令，则， 平移后的抛物线与轴的交点的坐标是， 故答案为：． 【典例4-2】（2024·河北石家庄·模拟预测）如图，点A，B的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动．与x轴交于C、D两点（C在D的左侧）， （1） ； （2）若点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 ． 【答案】 4 8 【解析】抛物线的顶点坐标为：， ∵顶点在线段上运动，点A，B的坐标分别为和， ∴，， 当点C的横坐标最小值为时，抛物线顶点在线段的最左端点处， 即对称轴为， 此时D点横坐标为5， 当抛物线顶点在线段的最右端点处，此时点D的横坐标有最大值， 此时顶点向右平移了与线段等长的距离， ∵，平移前D点横坐标为5， ∴平移后D点横坐标为：， 此时D点横坐标最大，故点D的横坐标最大值为8． 故答案为：4，8． 【变式4-1】（2024·广东珠海·三模）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后的函数解析式为 . 【答案】 【解析】的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到 ， 即． 故答案为： 【变式4-2】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1，抛物线与轴交于，两点（在的左边），与轴正半轴交于点，的面积为4． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，点是第一象限抛物线上一点，外接圆的圆心在抛物线的对称轴上，若点的纵坐标为2，求的值； (3)如图3，已知直线，将抛物线沿直线方向平移，平移过程中抛物线与直线相交于，两点．设平移过程中若抛物线的顶点的横坐标为，在轴上存在唯一的一点，使，求的值． 【解析】（1）∵抛物线， 令，得， ， ． 令，得， ， ，， ，，则． ， ， ， ． （2）作于点． ， ∵点的纵坐标为2，则，解得或0（舍去）， ， ． ， ． 又， ， ． （3）抛物线沿直线方向平移， 可设顶点沿直线平移，将代入，得， ． ，平移后的顶点， 抛物线平移后解析式为， 联立， 得， ，， ， 则的中点． ①如图4，当与轴相切时，， ， 而， ， ， ； ②如图5，当与轴有一个交点是直线与轴交点时，也有唯一点，使， 将代入抛物线， 得， ， ，解得． 综上可知，或． 【过关测试】 一、单选题 1．（24-25九年级上·全国·假期作业）设，是方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】B 【解析】是方程的实数根， ， ， ， ，是方程的两个实数根， ， ． 故选：B． 2．（2024·广东佛山·三模）已知是方程的一个根，则它的另一根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设另一根是，则有 ， 解得：， 故选：C． 3．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）若，且有，及，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据，方程除以得， 故是方程的两个根， 根据根与系数关系定理，得， 故是． 故选：A． 4．（2024·江苏盐城·三模）设方程的两个根为，那么的值等于（   ） A．－3 B．1 C．－1 D．2 【答案】C 【解析】方程的两个根为， ， 故选：C． 5．（2024·江苏南京·二模）关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根， 一个负根 D．无实数根 【答案】C 【解析】， ， 即有， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程两个不相等的实数根异号， 方程有一个正根， 一个负根， 故选：C． 6．（2024·江苏南京·三模）若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设关于的方程的两个根为， ∴，， ∴关于y的方程的两根为， ∴． 故选C． 7．（2024·广东梅州·模拟预测）关于方程的根的说法中，正确的是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．两个实数根的和为2 D．两个实数根的积为-3 【答案】B 【解析】对于方程， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B 8．（2024·河南驻马店·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A．∵， ∴方程没有实数根，不符合题意； B．∵， ∴方程有两个相等的实数根，不符合题意； C．方程化为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意； D．∵， ∴方程没有实数根，不符合题意； 故选：C． 9．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【解析】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 10．（浙江省嘉兴市文理科联赛2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题）定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，且，所以一元二次方程为“限根方程”．关于x的一元二次方程，有下列两个结论：①当时，该方程是“限根方程”；②若该方程是“限根方程”，则m有且只有一个整数解．对于这两个结论判断正确的是（    ） A．①②都正确 B．①②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确 【答案】C 【解析】①当时，原方程为： ， 解得 ， ， ∴ ， ∵， ∴该方程是“限根方程”； ∴ ①正确； ②∵， ∴， ∴或， ∴，，或，． ∵此方程为“限根方程”， ∴此方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 当，时， ∵， ∴， 解得：， ∵m只是一个整数， ∴m值不存在； 当，时，， 解得：， ∴m值不存在． 综上所述，m的值不存在． ∴②错误． ∴①正确，②错误． 故选：C． 11．（2024·北京·中考真题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 【答案】C 【解析】∵方程，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 12．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）将抛物线   向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到新抛物线 则的值为（    ） A．12 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【解析】依题意，向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到： ∴ 解得： ∴， 故选：B． 13．（2024·江苏徐州·二模）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的表达式是，即． 故选：D． 二、填空题 14．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【解析】，是一元二次方程的两个实数根， ，， ∴， 故答案为：． 15．（2024·江苏盐城·二模）已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ． 【答案】 【解析】∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴ ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．（2024·江西南昌·二模）已知，为关于的方程的两个实数根，若，则 ． 【答案】 【解析】根据题意可知， 即， 解得． ∵，是方程的根， ∴，． ∵， 则， 解得． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·上海·假期作业）关于x的方程． （1）有实数根，则k的取值范围是 ； （2）无实数根，则k的取值范围是 ； （3）有两个相等的实数根，则k的取值范围是 ； （4）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 / / 且 【解析】（1）当，即时，方程化为， 解得； 当时， ， 解得且， 综上所述，k的取值范围为． 故答案为： ； （2） 当时， ，解得 故答案为：； （3） 当时， ， 解得． 故答案为：； （4） 当时， ， 解得且． 故答案为：且 ； 18．（2024·河南·中考真题）若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ． 【答案】/ 【解析】解∶∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 19．（2024·甘肃定西·三模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【解析】∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得，且， 故答案为：且． 20．（2024·江苏镇江·二模）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 21．（2024年吉林省/长春市初中毕业生水平考试模拟试题（二）数学试题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【解析】根据题意得：， 解得． 故答案为：． 22．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】∵关于x的方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 当时，解不等式得：， ∴； 当时，解不等式得：， ∴此时无解； 综上分析可知：． 故答案为：． 三、解答题 23．（23-24八年级下·山东淄博·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根为，且，求m的值． 【解析】（1）证明： ， ∵ 无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系，得，， 由，得， 解得． 24．（2024·北京石景山·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 【解析】（1）证明：依题意，得， 此方程有两个不相等的实数根； （2）， ， 解得， ∵， ，， ， ， ． 25．（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)当时，求的值． 【解析】（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，解得， ∴m的取值范围为； （2）∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，， ∵  ， ∴， ∴，解得． 26．（23-24八年级下·四川广安·期末）已知关于的方程． (1)若是方程的一个根，求的值及另一个根； (2)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【解析】（1）设另一个根为， 由根与系数的关系得出， 解得：； （2）∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 27．（2024·北京延庆·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 【解析】关于的方程有实数根， ． ， ． ， 为正整数， ． 此时的方程为：． 方程的解为：． 28．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【解析】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 29．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）（1）已知、是一元二次方程的两个根，求的值． （2）若是整数，且关于的一元二次方程只有整数根，求的值． （3）已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解；问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）、是一元二次方程的两个根， ， ； （2）存在，当时， 由变形得： 由变形得：， 把代入，并整理得：， 由题意可知，，是方程的两个不相等的实数根，故有： 即： 解得：． 30．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）对于实数，定义新运算“”：，例如：，因为，所以． (1)求和的值； (2)若是一元二次方程的两个根，且，求的值． 【解析】（1） ； ； （2）是一元二次方程的根， ， 根据根与系数的关系得， ． 31．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值时，方程总有实数根； (2)如果方程有两个实数根，当时，求m的值． 【解析】（1）证明：∵ ， ∴无论m取何值时，方程总有实数根； （2）根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， 解得， 即m的值为． 32．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线：与轴分别交于、两点，与轴交于点，分别连接、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)将抛物线向右平移个单位得到抛物线，两条抛物线相交于点，分别连接、，若，求的值． 【解析】（1）∵抛物线经过和， ，解得： ， ∴抛物线的表达式为 ； （2）当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 又∵， ∴， ∴， 当时，，解得：或， ∴平移距离为； 当时，，或， 平移距离为；， 故平移距离为或． 33．（2024·湖北武汉·模拟预测）小明在一块平整场地玩弹力球，并以此情境编制一道数学题： 如图，在平面直角坐标系中，小明从点处将弹力球（看成点）扔向地面，在地面上的点B处弹起后其运动路线为抛物线，抛物线，在点C处达到最高，之后落在地面上的点D处，已知，点C坐标为． (1)求抛物线的表达式及点D坐标； (2)弹力球在点D处再次弹起，其运动路线为抛物线，抛物线与的形状一致且在E处最高，点E与点O的水平距离为， ①求抛物线与最高点的高度差； ②有一竖直放置的隔板高，且，若弹力球沿C下落过程中要落在隔板上（含端点），其他条件都不变的情况下，需要将起弹点B右移n米，直接写出n的取值范围． 【解析】（1）设抛物线的表达式为 将代入，得， 解得 ∴ 当时， 解得， ∴． （2）①设抛物线的表达式为 将代入，得， 解得 ∴ ∴ ∴抛物线与最高点的高度差为． ②设平移后再次弹起抛物线的表达式为 当经过点时，， 解得，（舍） 当经过点时，， 解得，（舍） ∴n的取值范围是． 34．（2024·河南郑州·三模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点在点的右边，． (1)求抛物线的表达式； (2)为抛物线上任意一点，将点向上平移个单位长度得到点，若点关于原点的对称点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，求的取值范围． 【解析】（1）当时，， ， ， ， 将点代入中，， ， 抛物线的解析式为； （2）设， 将点向上平移个单位长度得到点， ， 关于原点对称的点的坐标为， ， 解得， 或； （3）平移后的抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ， ， 解得， ， ． 35．（2024·河北邯郸·三模）如图某桥拱截面可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽，桥拱顶点到水面的距离是．    (1)按如图所示的坐标系，求该桥拱的函数表达式； (2)要保证高米的小船能够通过此桥（船顶与桥拱的距离不小于米），求小船的最大宽度是多少？ (3)如图，桥拱所在的函数图象的抛物线的轴下方部分与桥拱在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．现将新函数图象向右平移（）个单位长度，使得平移后的函数图象在之间，且随的增大而减小，请直接写出的取值范围． 【解析】（1）∵，且点在轴上， ∴， 根据抛物线的特点确定抛物线的对称轴为直线， ∴点， 设抛物线的解析式为，把原点代入得 ， 解得， ∴此二次函数的表达式． （2）∵二次函数的表达式， ∴令得： ， 解得：，， ∴小船的最大宽度为：米． （3）根据平移规律得到点平移后的对应点为，对称轴平移后的对称轴为，点平移后的对应点为，根据图像性质，得到函数在或上，满足随的增大而减小， ∴或， 解得或， 故的取值范围是或． 36．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线（a、c为常数，）经过点、，顶点为P，连接． (1)求的长； (2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线，点A的对应点为，点P的对应点为，当四边形是面积为12的平行四边形，且点在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线的表达式． 【解析】（1）将、代入中， 得 解得 抛物线L的表达式为． 顶点． 过点P作轴于点D，则， ，，， ，， ． （2）由题意知，四边形是面积为12的平行四边形， 当抛物线沿x轴平移时，可得点在x轴上， 由于，即要使的面积为12，只需， 点P'在y轴左侧， 抛物线L沿x轴向左平移3个单位长度可得抛物线， 此时，抛物线L'的表达式为； 当抛物线沿y轴平移时，可得点在直线上， 由于，要使的面积为12，只需， 抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物线， 此时，抛物线L'的表达式为或． 综上，抛物线L'的表达式为或或． 37．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图①，点的坐标为______，点的坐标为______； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图②，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【解析】（1）如图：过点C作 ∵四边形是平行四边形，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：， （2）①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴是等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴； 当与点重合时， 此时与的交点为E与A重合， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点为E与B重合， ∴的取值范围为； ②如图：过点C作 由（1）得出， ∴， ∴ 当时， ∴，开口向上，对称轴直线 ∴在时，随着的增大而增大 ∴； 当时，如图： ∴，随着的增大而增大 ∴在时；在时； ∴当时， ∵当时，过点E作，如图： ∵由①得出是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值 ∴ ∴在时， ∴ 则在时，； 当时，如图， ∴，随着的增大而减小 ∴在时，则把分别代入 得出， ∴在时， 综上： 38．（23-24八年级下·重庆北碚·阶段练习）已知抛物线 与轴交于点， 且经过点． (1)求抛物线的解析式，并求出该抛物线顶点的坐标； (2)若点是直线下方抛物线上一点(不与点 ， 重合)，则当点  时，求出此时点 的坐标，并求出四边形 的面积； (3)若x轴上有一点 且  于点 ，现将绕着原点顺时针旋转 得到若旋转过程中，所在直线与所在直线交于点，所在直线与所在直线交于点，当  为等腰三角形时，直接写出此时的值，并写出其中一个值的解答过程． 【解析】（1）∵抛物线 与轴交于点， 且经过点． ∴ 解得： ∴抛物线解析式为 ∵ ∴顶点； （2）∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且 如图所示，延长至使得，，连接，交轴于点， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴， 又∵， ∴点在上， ∵，， 设，则 解得：，， ∴； 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：或 ∴； ∵，当时，， ∴，则， ∴四边形的面积为 ； （3） 如图所示， ∵ ∴ ∴ 取的中点，则 ∴是等边三角形， ∴ ∵是等腰直角三角形，则， 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 由旋转可知， ①如图所示，当时，，则 在四边形中， ，， ∴ ∴即 ②如图所示，当时， 在中，， ∴， ∴，又 则是等边三角形， ∴，即； ③当时， ∴ ∴ 在四边形中， ∴ ∴，即 综上所述， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$