专题04 方程与不等式（两大题型）-2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题04 方程与不等式 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：二元二次方程组的解法 方程 是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做二元二次方程．其中，，叫做这个方程的二次项，，叫做一次项，6叫做常数项． 我们看下面的两个方程组： ， 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 知识点2：一元二次不等式的解法 为了方便起见，我们先来研究二次项系数时的一元二次不等式的解． 我们知道，对于一元二次方程（），设，它的解的情形按照分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线与轴分别有两个公共点、一个公共点和沿有公共点（如图所示），因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式与的解． （1）当时，抛物线与轴有两个公共点和，方程有两个不相等的实数根和，由图2．3-2①可知 不等式的解为，或； 不等式的解为． （2）当时，抛物线与轴有且仅有一个公共点，方程有两个相等的实数根，由图②可知 不等式的解为； 不等式无解． （3）如果，抛物线与轴没有公共点，方程没有实数根，由图2．3-2③可知 不等式的解为一切实数； 不等式无解． 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于雪，则可以先在不等式两边同乘以，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式． 【典例例题】 题型一：一元二次不等式的解法 【典例1-1】（2024·湖南永州·一模）已知不等式的解集是，其中，则不等式的解集 ． 【典例1-2】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知关于x的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，解关于x的不等式． 【变式1-1】（2024·山东济宁·一模）根据有理数乘法(除法)法则可知: ①若 (或)，则或     ②若 (或)，则或； 根据上述知识，求不等式的解集； 原不等式可化为： 或，解得: ，或， 答：原不等式的解集为:：或． 请你运用所学知识，并结合材料回答下列问题: (1)求不等式的解集(写出解答过程) (2)求不等式的解集( 要求写出解答过程). 【变式1-2】（23-24九年级上·广西桂林·期末）【阅读与理解】 【材料阅读】我们学习了一元一次方程后，类比一元一次方程的解法，知道了一元一次不等式的解法．现在，我们又学习了一元二次方程的解法，如何解一元二次不等式呢？ 例：解不等式 由于一元二次方程有两个实数根，分别为，， 所以二次三项式可因式分解为：， 因此，原不等式可变形为， 根据乘法法则“同号得正，异号得负”可得 ……①）或……② 分别解不等式组①和②，得：或． 从而原不等式的解集为或． 【问题解决】请仿照材料中不等式的解法，解答下列问题： (1)将多项式在实数范围内因式分解； (2)解不等式； (3)解不等式． 题型二：二元二次方程组的解法 【典例2-1】（23-24八年级下·上海浦东新·期中）下列方程组是二元二次方程组的是（  　  ） A． B． C． D． 【典例2-2】（23-24八年级下·上海松江·期中）下列方程组中，二元二次方程组的个数是（    ） ；；； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（2024八年级下·上海·专题练习）二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是 ． 【变式2-2】（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知和是方程的两个解，则 ． 【变式2-3】（23-24八年级下·上海长宁·期末）解方程组： 【变式2-4】（23-24八年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 【变式2-5】（23-24八年级下·上海金山·期末）解方程组： 【过关测试】 一、单选题 1．（23-24八年级下·上海金山·期中）下列说法正确的是（    ） A．是二项方程 B．是无理方程 C．是分式方程 D．是二元二次方程 2．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．方程是二元二次方程； B．方程不是分式方程； C．判断一个方程是否是无理方程的关键就是看方程中是否出现了根号，如果出现了根号，那么就是无理方程； D．方程组是二元二次方程组． 3．（23-24八年级下·上海·阶段练习）下列方程组中，是二元二次方程组的是（    ） A． B． C． D． 4．（20-21八年级下·上海浦东新·期中）下列方程组中，属于二元二次方程组的是（   ） A． B． C． D． 5．（21-22八年级下·上海·期中）下列方程中，是二元二次方程的为（    ） A． B． C． D． 6．（21-22九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在和两点之间(包含端点)．下列结论中正确的是（   ） ①不等式的解集为或； ②； ③一元二次方程的两个根分别为，； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 7．（18-19九年级·浙江杭州·）关于的不等式的解集为，则的值为（    ） A．10 B．14 C．-10 D．-14 二、填空题 8．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）方程组 二元二次方程组（填“是”或“不是”）． 9．（23-24九年级上·湖北恩施·阶段练习）已知抛物线（，n为常数）的一般形式为：（，a，b，c为常数）．该抛物线与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③一元二次方程的两根，，则；④对于任意实数m，不等式恒成立．其中正确的说法有 （填序号） 三、解答题 10．（23-24八年级下·上海虹口·期末）解方程组： 11．（23-24八年级下·上海闵行·期末）解方程组： 12．（2024·上海·中考真题）解方程组：． 13．（2024八年级下·上海·专题练习）（1）解方程：． （2）解方程组：． 14．（2024八年级下·上海·专题练习）解方程组：． 15．（21-22九年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知直线l：y=kx-2k与抛物线． (1)求证：直线l与该抛物线总有交点； (2)当k=-2时，利用函数图象求不等式的解集． 16．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）定义一种新运算：对于任意非零实数和，，例如：，，请回答下列问题： (1)计算； (2)解方程： (3)直接写出不等式的解． 17．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数 (1)求函数图象与轴的交点坐标． (2)利用函数图象直接写出不等式的解． 18．（2024·江苏南京·二模）（1）解方程：． （2）直接写出二次函数的图像与x轴交点的坐标． （3）直接写出不等式的解集． 19．（2024·四川达州·一模）在研究一次函数的图象和性质时，小明将正比例函数y＝x的图象通过平移得到了一次函数y＝x－1的图象，通过观察图象与y轴交点的位置，小明说：“将直线y＝x向下平移一个单位即可得到直线y＝x－1”；小颖观察了图象与x轴交点的位置后，说：“也可以看成将直线y＝x向右平移1个单位得到直线y＝x－1”；老师说：（“你俩说的都对，利用点左右平移坐标的变化，对于直线y＝ax＋b，将它向右平移m个单位，再向上平移n个单位，其解析式变成y＝a（x－m）＋b＋n（a≠0，m＞0，n＞0），例如：直线y＝2x＋3向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则解析式变为y＝2（x－2）＋3＋1，即y＝2x．” (1)利用上述方法，将直线y＝x＋2向下平移2个单位，再向左平移3个单位，其解析式为_____． (2)知识应用：参考上述方法，我们也可以得到： 将反比例函数y＝的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到函数y＝(m＞0，n＞0）的图象． 解答下列问题： ①如图，已知在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋2的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，求A、B两点的坐标并利用图象写出不等式x＋2＞的解集； ②利用上述知识解不等式x＞，其解集为__________． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 方程与不等式 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点1：二元二次方程组的解法 方程 是一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做二元二次方程．其中，，叫做这个方程的二次项，，叫做一次项，6叫做常数项． 我们看下面的两个方程组： ， 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组． 下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 知识点2：一元二次不等式的解法 为了方便起见，我们先来研究二次项系数时的一元二次不等式的解． 我们知道，对于一元二次方程（），设，它的解的情形按照分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线与轴分别有两个公共点、一个公共点和沿有公共点（如图所示），因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式与的解． （1）当时，抛物线与轴有两个公共点和，方程有两个不相等的实数根和，由图2．3-2①可知 不等式的解为，或； 不等式的解为． （2）当时，抛物线与轴有且仅有一个公共点，方程有两个相等的实数根，由图②可知 不等式的解为； 不等式无解． （3）如果，抛物线与轴没有公共点，方程没有实数根，由图2．3-2③可知 不等式的解为一切实数； 不等式无解． 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于雪，则可以先在不等式两边同乘以，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式． 【典例例题】 题型一：一元二次不等式的解法 【典例1-1】（2024·湖南永州·一模）已知不等式的解集是，其中，则不等式的解集 ． 【答案】或 【解析】不等式的解集为， 则，是一元二次方程的实数根，且，，其中， ，， 则不等式化为， ，可化为， 或， ， ， 不等式的解集为：或， 故答案为：或． 【典例1-2】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知关于x的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，解关于x的不等式． 【解析】（1）原不等式可化为， 由题知，是方程的两根， 由根与系数的关系得，解得； （2）原不等式可化为， 因为，所以原不等式化为， 当，即时，解得； 当，即时，解得； 当，即时，解得， 综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 【变式1-1】（2024·山东济宁·一模）根据有理数乘法(除法)法则可知: ①若 (或)，则或     ②若 (或)，则或； 根据上述知识，求不等式的解集； 原不等式可化为： 或，解得: ，或， 答：原不等式的解集为:：或． 请你运用所学知识，并结合材料回答下列问题: (1)求不等式的解集(写出解答过程) (2)求不等式的解集( 要求写出解答过程). 【解析】（1）原不等式可化为：， 即， 所以或， 解得：或； 即原不等式的解集为：或； （2）原不等式可化为：或， 解第一个不等式无解，解第二个不等式得解集为：； 故不等式的解集为：． 【变式1-2】（23-24九年级上·广西桂林·期末）【阅读与理解】 【材料阅读】我们学习了一元一次方程后，类比一元一次方程的解法，知道了一元一次不等式的解法．现在，我们又学习了一元二次方程的解法，如何解一元二次不等式呢？ 例：解不等式 由于一元二次方程有两个实数根，分别为，， 所以二次三项式可因式分解为：， 因此，原不等式可变形为， 根据乘法法则“同号得正，异号得负”可得 ……①）或……② 分别解不等式组①和②，得：或． 从而原不等式的解集为或． 【问题解决】请仿照材料中不等式的解法，解答下列问题： (1)将多项式在实数范围内因式分解； (2)解不等式； (3)解不等式． 【解析】（1）由于一元二次方程有两个实数根，分别为，， ∴； （2）∵， ∴， ∴由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，有 ①或② ∴解不等式组①，得， 解不等式组②，得无解， 故原不等式的解集为， 即一元二次不等式的解集为． （3）不等式化为， 令， 解得，， ∴， ∴由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，有 ①或② ∴解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 故原不等式的解集为或， 即不等式的解集为或． 题型二：二元二次方程组的解法 【典例2-1】（23-24八年级下·上海浦东新·期中）下列方程组是二元二次方程组的是（  　  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】．此方程组为二元一次方程组，不是二元二次方程组，故A错误； B．含分式方程，不是二元二次方程组，故B错误； C．是二元二次方程组，故C正确； D．含无理方程，不是二元二次方程组，故D错误． 故选：C． 【典例2-2】（23-24八年级下·上海松江·期中）下列方程组中，二元二次方程组的个数是（    ） ；；； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】，是二元二次方程组； ，第一个式子不整式方程，故不是二元二次方程组； ，未知数的最高次数是三次，故不是二元二次方程组； ，是二元二次方程组； 综上所述，二元二次方程组共有2个， 故选：B． 【变式2-1】（2024八年级下·上海·专题练习）二元二次方程可以化为两个一次方程，它们是 ． 【答案】， 【解析】， ， ，． 故答案为：，． 【变式2-2】（23-24八年级下·上海宝山·期中）已知和是方程的两个解，则 ． 【答案】3 【解析】将，代入方程得， ，解得， ． 故答案为：3． 【变式2-3】（23-24八年级下·上海长宁·期末）解方程组： 【解析】， 将②变形可得， 即或， 故方程组可变形得或， 解得或， 故原方程组的解为或． 【变式2-4】（23-24八年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 【解析】， 将变形可得， 即或， 故方程组可变形得或， 解得或， 故原方程组的解为或． 【变式2-5】（23-24八年级下·上海金山·期末）解方程组： 【解析】： 由①得：； 把③代入②中， 整理得：， 解得：， 把上述值代入③中，得：， 故方程组的解为：，． 【过关测试】 一、单选题 1．（23-24八年级下·上海金山·期中）下列说法正确的是（    ） A．是二项方程 B．是无理方程 C．是分式方程 D．是二元二次方程 【答案】D 【解析】A．方程的左边两项都含未知数，故本选项不符合题意； B．根号内没有未知数，不是无理方程，故本选项不符合题意； C．分母中不能未知数，不是分式方程，故本选项不符合题意； D．方程是二元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·上海浦东新·阶段练习）下列说法中，正确的是（   ） A．方程是二元二次方程； B．方程不是分式方程； C．判断一个方程是否是无理方程的关键就是看方程中是否出现了根号，如果出现了根号，那么就是无理方程； D．方程组是二元二次方程组． 【答案】D 【解析】选项A，方程是分式方程，错误，不符合题意， 选项B，方程是分式方程，错误，不符合题意， 选项C，判断一个方程是否是无理方程的关键就是看根号下是否出现未知数，如果出现了根号，那么就是无理方程，错误，不符合题意， 选项D，方程组是二元二次方程组，正确，故符合题意， 故选：D 3．（23-24八年级下·上海·阶段练习）下列方程组中，是二元二次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、不是整式方程组，故不是二元二次方程组，不符合题意； B、含有3个未知数，故不是二元二次方程组，不符合题意； C、是二元二次方程组，符合题意； D、不是整式方程组，故不是二元二次方程组，不符合题意； 故选：C． 4．（20-21八年级下·上海浦东新·期中）下列方程组中，属于二元二次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A、，为二元一次方程组，选项不符合题意； B、，不是整式方程组，不符合题意； C、，不是整式方程组，不符合题意； D、，为二元二次方程组，符合题意； 故选：D 5．（21-22八年级下·上海·期中）下列方程中，是二元二次方程的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A、的未知数再分母上，是分式方程，故A不是二元二次方程，不符合题意； B、是含有两个未知数，且含有未知数项的最高次数是二的整式方程，故B是二元二次方程，符合题意； C、的未知数的次数是1，故C不是二元二次方程，不符合题意； D、中只含有一个未知数，故D不是二元二次方程，不符合题意； 故选：B． 6．（21-22九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点在和两点之间(包含端点)．下列结论中正确的是（   ） ①不等式的解集为或； ②； ③一元二次方程的两个根分别为，； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【解析】∵对称轴，， ∴抛物线交于x轴的另一点坐标为， ∴结合图象可知的解集为或，故①正确； ∵对称轴， ∴，即，故②错误； ∵中根与系数的关系：， 假设方程的根为和， ∴， ∴， 因式分解得： ∴， ∴的两个根分别为，，故③正确； ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴，即，故④正确； 综上所述：正确的有①③④， 故选：D． 7．（18-19九年级·浙江杭州·）关于的不等式的解集为，则的值为（    ） A．10 B．14 C．-10 D．-14 【答案】D 【解析】解:∵关于的不等式的解集为， ∴a＜0，且，是方程的两个实数根， ∴，， 解得：a=﹣12，b=2， 经检验，a=﹣12，b=2是所列方程的根， ∴a－b=﹣12－2=﹣14． 故选：D． 二、填空题 8．（23-24八年级下·上海奉贤·期中）方程组 二元二次方程组（填“是”或“不是”）． 【答案】是 【解析】方程组是二元二次方程组； 故答案为：是． 9．（23-24九年级上·湖北恩施·阶段练习）已知抛物线（，n为常数）的一般形式为：（，a，b，c为常数）．该抛物线与x轴的一个交点在点和之间．则下列结论：①；②；③一元二次方程的两根，，则；④对于任意实数m，不等式恒成立．其中正确的说法有 （填序号） 【答案】①②/②① 【解析】抛物线与x轴的一个交点在点和之间， 抛物线开口向下，对称轴为直线，与x轴的一个交点在点和之间， 时，，故①正确； 对称轴为直线， ，故②正确； 一元二次方程的两根，，则，故③错误； ， ， ， ， ，，故④错误； 综上可知，正确的有①②， 故答案为：①②． 三、解答题 10．（23-24八年级下·上海虹口·期末）解方程组： 【解析】 由①可得， 将③代入②得， 整理得， 或 解得， 将代入③得，； 将代入③得，． ∴方程组的解为或． 11．（23-24八年级下·上海闵行·期末）解方程组： 【解析】 由②得： ∴或 由①③组成方程组为：， 解得：； 由①④组成方程组为：， 解得：， ∴原方程组解为：或． 12．（2024·上海·中考真题）解方程组：． 【解析】， 由得：代入中得： ， ， ， ， 解得：或， 当时，， 当时，， ∴方程组的解为或者． 13．（2024八年级下·上海·专题练习）（1）解方程：． （2）解方程组：． 【解析】（1）原方程可转化为， 去分母，方程两边同时乘以，得：， 整理得：， 解得：，， 检验：当时，， 当时，， 是增根， 原方程的解为：； （2）由，得：， ， 原方程中可转化为①，②， 解①得：； 解②得：． 原方程组的解为：；． 14．（2024八年级下·上海·专题练习）解方程组：． 【解析】由①得：， 把代入②得：， 整理，得：， 解得：，； 当时，； 当时，； 方程组的解为：或． 15．（21-22九年级上·湖北咸宁·阶段练习）已知直线l：y=kx-2k与抛物线． (1)求证：直线l与该抛物线总有交点； (2)当k=-2时，利用函数图象求不等式的解集． 【解析】（1）证明：令， 整理得， ∴， 无论k取何值时， ∴直线l与该抛物线总有交点； （2）当k=-2时，由， 解得 ，， 如图： ∵抛物线开口向上， ∴x＜-1或x＞2时，抛物线在直线上方， ∴不等式的解集为x＜-1或x＞2． 16．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）定义一种新运算：对于任意非零实数和，，例如：，，请回答下列问题： (1)计算； (2)解方程： (3)直接写出不等式的解． 【解析】（1）∵对于任意非零实数和，， ∴， （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， （3）①当时，， 两边同时乘以，得， ， 解得：， ∴不等式的解为：； ②当时， ∴ ， ∴不等式的解， ③当时， ， 解得：， ∴不等式的解为， 综上，不等式的解为：或或． 17．（22-23九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数 (1)求函数图象与轴的交点坐标． (2)利用函数图象直接写出不等式的解． 【解析】（1）令， 解得：， ∴函数图象与轴的交点坐标为和． （2）∵该函数二次项系数大于0， ∴该图象开口向上， ∴不等式的解集为． 18．（2024·江苏南京·二模）（1）解方程：． （2）直接写出二次函数的图像与x轴交点的坐标． （3）直接写出不等式的解集． 【解析】（1）x2+x1=0 x2+x=1， x2+x+=1+， （x+）2=， x1=，x2=． （2）令x2+x-1=0， 解得x1=，x2=． ∴抛物线y=x2+x-1与x轴交点坐标为（，0），（，0）． （3）∵抛物线开口向上， ∴x＜或x＞． 19．（2024·四川达州·一模）在研究一次函数的图象和性质时，小明将正比例函数y＝x的图象通过平移得到了一次函数y＝x－1的图象，通过观察图象与y轴交点的位置，小明说：“将直线y＝x向下平移一个单位即可得到直线y＝x－1”；小颖观察了图象与x轴交点的位置后，说：“也可以看成将直线y＝x向右平移1个单位得到直线y＝x－1”；老师说：（“你俩说的都对，利用点左右平移坐标的变化，对于直线y＝ax＋b，将它向右平移m个单位，再向上平移n个单位，其解析式变成y＝a（x－m）＋b＋n（a≠0，m＞0，n＞0），例如：直线y＝2x＋3向右平移2个单位，再向上平移1个单位，则解析式变为y＝2（x－2）＋3＋1，即y＝2x．” (1)利用上述方法，将直线y＝x＋2向下平移2个单位，再向左平移3个单位，其解析式为_____． (2)知识应用：参考上述方法，我们也可以得到： 将反比例函数y＝的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到函数y＝(m＞0，n＞0）的图象． 解答下列问题： ①如图，已知在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋2的图象与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，求A、B两点的坐标并利用图象写出不等式x＋2＞的解集； ②利用上述知识解不等式x＞，其解集为__________． 【解析】（1）向下平移两个单位，即， 接着向左平移3个单位：即， 故答案为：； （2）①联立，解得，， 则设A点在B点左侧，有A(-5,-3)，B(3,5)， 一次函数和反比例函数图象如图所示： 由上图可知当或时， 一次函数的图象在反比例函数图象上方，即， 故的解集为：或； ②不等式可变为：， 即新的不等式含义为：现将一次函数和反比例函数均向右移3个单位，此时一次函数图象在反比例函数图象上方时，x的取值范围， 则只需要将①中的x的范围也向右平移3的单位即可得到的解集， 则将或向右平移3个单位为：或， 即解集为：或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$