精品解析：四川省眉山市青神中学校2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

2023-2024学年青神中学校高二下学期半期考试 数学试卷 （本试卷满分150分，答题时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的考号、班级、姓名填写在答题卡密封线内，严禁在密封线外标记、书写体现个人身份的信息. 2.超出答题卡区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 一、单选题（共40分）本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 求的值为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 2. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的单调递增区间为（    ） A. B. C. D. 4. 已知的展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中第4项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 2024年3月19日，新加坡共和理工学院代表团一行3位嘉宾莅临我校，就拓宽大学与中学间的合作、深化国际人才培养等议题与我校进行了深入的交流.交流时嘉宾席位共有一排8个空座供3位嘉宾就坐，若要求每位嘉宾的两旁都有空座，且嘉宾甲必须坐在3位嘉宾中间，则不同的坐法有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 24种 6. 已知函数是定义在R上的偶函数，其导函数的图象如图所示，设．，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ） A. 180 B. 192 C. 420 D. 480 8. 已知函数，若对，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分）本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列判断正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的各二项式系数的和为64 C. 展开式的第6项的系数为30 D. 展开式中二项式系数最大的项是第4项 10. 有名男生、名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法数正确的是（ ） A. 排成前后两排，前排人，后排人，共有种方法 B. 全体排成一排，男生互不相邻，共有种方法 C. 全体排成一排，女生必须站在一起，共有种方法 D. 全体排成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边，共有种方法 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则的最小值为 D. 若方程有两个实根，则 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若函数，则_________ 13. 展开式中的系数为________（用数字作答） 14. 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”． （1）设，则在上的“新驻点”为_____． （2）如果函数与的“新驻点”分别为、，那么和的大小关系是_______． 四、解答题 15. （1）利用0，1，2，4，5，7这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有多少个？ （2）从1，3，5，7中任取3个数字，从2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？ 16. 已知函数，． （1）若，求a的值，并求出在处的切线方程； （2）若，，求最小值的最大值． 17. 已知. （1）若，求中含项的系数； （2）若，求的值； 18. 已知函数 （ 为自然对数的底数）． （1）讨论 的单调性； （2）若 ，当 时，恒成立，求实数的取值范围． 19. 关于的函数，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”. （1）证明：有唯一零点，且； （2）现在，我们任取(1,a)开始，实施如下步骤： 在处作曲线的切线，交轴于点； 在处作曲线的切线，交轴于点； …… 在处作曲线的切线，交轴于点； 可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值. （i）设，求的解析式(用表示)； （ii）证明：当，总有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年青神中学校高二下学期半期考试 数学试卷 （本试卷满分150分，答题时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的考号、班级、姓名填写在答题卡密封线内，严禁在密封线外标记、书写体现个人身份的信息. 2.超出答题卡区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.考试结束后，将答题卡收回. 一、单选题（共40分）本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 求的值为（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数的计算方法即可得解. 【详解】. 故选：B. 2. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可知切点坐标，由切线方程得到，利用导数的概念解出即可. 【详解】依题意可知切点， 函数的图象在点处的切线方程是， ，即 又 即 故选：D. 3. 已知函数，则的单调递增区间为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数真数大于零可构造不等式组求得函数定义域；利用导数可求得函数单调递增区间． 【详解】由得：，即的定义域为； 因为， 所以当时，；当时，； 所以的单调递增区间为． 故选：A. 4. 已知的展开式的二项式系数之和为256，则其展开式中第4项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二项式系数之和求出n，根据二项式展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为二项式系数之和为256，所以，得， 的展开式的通项， 令，得. 故选：A 5. 2024年3月19日，新加坡共和理工学院代表团一行3位嘉宾莅临我校，就拓宽大学与中学间的合作、深化国际人才培养等议题与我校进行了深入的交流.交流时嘉宾席位共有一排8个空座供3位嘉宾就坐，若要求每位嘉宾的两旁都有空座，且嘉宾甲必须坐在3位嘉宾中间，则不同的坐法有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 16种 D. 24种 【答案】A 【解析】 【分析】排列问题，用插空法根据要求即可解决. 【详解】共有8个座位，3个人就坐，所以还剩下5个座位； 因为要求每个人左右都有空座，所以在5个座位的4个空隙中插入3个人，共有种， 又嘉宾甲必须坐在3位嘉宾中间，所以共有种， 故选：A. 6. 已知函数是定义在R上的偶函数，其导函数的图象如图所示，设．，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导函数的图象确定函数在上的单调性，再结合偶函数性质比较判断即得. 【详解】观察导函数的图象，得当时，，因此函数在上单调递增， 依题意，，因此. 故选：D 7. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ） A. 180 B. 192 C. 420 D. 480 【答案】C 【解析】 【分析】就使用颜色的种类分类计数可得不同的涂色方案的总数. 【详解】相邻的区域不能用同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色. 若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有，相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同的涂色方案数为（种）. 若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有，相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色方案数为（种）. 若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案数为（种）. 综上，共有不同的涂色方案数为（种）. 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用，注意根据题设要求合理分类分步，此类问题属于中档题. 8. 已知函数，若对，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对不等式作等价变形，构造函数并利用函数的单调性建立不等式，再分离参数求解即得. 【详解】函数，，， 令，显然函数在上单调递增，而不等式为， 因此，， 令函数，求导得，当时，，递增， 当时，，递减，因此，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B 二、多选题（共18分）本题共3个小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列判断正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 展开式的各二项式系数的和为64 C. 展开式的第6项的系数为30 D. 展开式中二项式系数最大的项是第4项 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项式定理逐一判断即可. 【详解】解：展开式共有7项，故A错误； 展开式的各二项式系数的和为，故B正确； 展开式的第6项是，其系数为-30，故C错误； 展开式共7项，所以第4项的二项式系数最大，故D正确. 故选:. 10. 有名男生、名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法数正确的是（ ） A. 排成前后两排，前排人，后排人，共有种方法 B. 全体排成一排，男生互不相邻，共有种方法 C. 全体排成一排，女生必须站在一起，共有种方法 D. 全体排成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边，共有种方法 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用排列的知识对每个答案一一分析即可. 【详解】对于：先选出前排3人，有种排法，剩余4人随机排序有种排法，故有种方法，正确. 对于：利用插空法，4名女生随机排序有种排法，旁边有5个空位，把男生排进去有种排法，故有种方法，错误. 对于：把4名女生放在一起有种排法种排法，再和3名男生排序有种排法，故有中方法，正确. 对于：从其他6人抽出两人排在两侧有种排法，再把剩余5人随机排序有种排法，故有种方法，正确. 故选：ACD 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则的最小值为 D. 若方程有两个实根，则 【答案】BD 【解析】 【分析】求导后，结合正负可得单调性；利用零点存在定理可说明零点个数，知A错误；根据极值定义可知B正确；采用数形结合的方式可求得CD正误. 【详解】定义域为，， 当时，；当时，； 在，上单调递减，在上单调递增； 对于A，，，， 在区间和内各存在一个零点； 当时，，，恒成立； 有且仅有两个不同的零点，A错误； 对于B，由单调性可知：的极小值为，极大值为，B正确； 对于C，，作出图象如下图所示，可知方程存在另一个解， 若当时，，则，C错误； 对于D，方程有两个实根等价于与有两个不同交点， 作出图象如下图所示， 结合图象可知：，D正确. 故选：BD. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 若函数，则_________ 【答案】## 【解析】 【分析】求导，再令即可得解. 【详解】， 所以. 故答案为：. 13. 展开式中的系数为________（用数字作答） 【答案】90 【解析】 【分析】先根据展开式的通项公式求出和，从而求出答案. 【详解】展开式通项公式， 当时，， 当时，， 故展开式中的系数为. 故答案为：90 14. 定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”． （1）设，则在上的“新驻点”为_____． （2）如果函数与的“新驻点”分别为、，那么和的大小关系是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据新驻点的定义可得，结合求得答案；（2）求出的值，利用零点存在定理判断所在的区间，进而可得出与的大小关系. 【详解】（1）由，所以方程即， 可得，又，所以， 所以函数在上的新驻点为. （2）由，则， 所以，解得，即， 又，则，由新驻点定义可得， 令，， ，即函数在上单调递增， 又，， 所以函数在上存在唯一零点，且，所以. 故答案为：（1）；（2）. 四、解答题 15. （1）利用0，1，2，4，5，7这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有多少个？ （2）从1，3，5，7中任取3个数字，从2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？ 【答案】（1）48；（2）1440 【解析】 【分析】（1）按是否选0分2种情况讨论，先安排个位，再安排十位和百位，利用排列组合数计算即可； （2）从1，3，5，7中选3个数字，从2，4，6中选2个数字，再进行全排即可. 【详解】（1）不选0时，先从1，5，7中选一个数放在个位，然后剩下的4 个数中选2个排在十位和百位，则有个奇数； 选0时，先把0放在十位，然后从1，5，7中选一个数放在个位，再从剩下的3个数中选1个放百位，则有个奇数； 所以共有个奇数． （2）从1，3，5，7中任取3个数字，从2，4，6中任取2个数字， 一共可以组成个没有重复数字的五位数． 16. 已知函数，． （1）若，求a的值，并求出在处的切线方程； （2）若，，求最小值的最大值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）代入可得，再根据导数的几何意义求解即可； （2）求导分析函数的单调性可得，再求导分析的最大值即可. 【小问1详解】 ∵， ∴，即， ∴， ∴． ， ∴，则所求切线方程为，即． 【小问2详解】 由题意得，，则， 令，解得；令，解得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴． 记（），则， 令，解得；令，解得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴，即最小值的最大值为3． 17. 已知. （1）若，求中含项的系数； （2）若，求的值； 【答案】（1）99； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题知，先求展开式中含的项，然后可得； （2）分别令，，然后两式相减可得. 【小问1详解】 ， 因为展开式中的第项， 所以展开式中含项分别为， 故中含的项为， 所以中含项的系数为99. 【小问2详解】 ， 令得①， 令得②， 两式相减①-②：， 所以. 18. 已知函数 （ 为自然对数的底数）． （1）讨论 的单调性； （2）若 ，当 时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 当时，函数在上是增函数；当时，函数递减区间是，递增区间是. （2）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论导数值正负即可作答. （2）将给定的不等式等价变形，构造函数并借助导数结合函数单调性求解作答. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得：， 若，则，即在上是增函数； 若，由 得，由 得，即函数在上递减，在上递增， 所以当时，函数在上是增函数；当时，函数递减区间是，递增区间是. 【小问2详解】 当时，，， 令，依题意，当时，恒成立，即函数在上单调递增， 因此，，即恒成立，令， 求导得：，当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，，则 ，即 ， 所以实数的取值范围为. 19. 关于的函数，我们曾在必修一中学习过“二分法”求其零点近似值.现结合导函数，介绍另一种求零点近似值的方法——“牛顿切线法”. （1）证明：有唯一零点，且； （2）现在，我们任取(1,a)开始，实施如下步骤： 在处作曲线的切线，交轴于点； 在处作曲线的切线，交轴于点； …… 在处作曲线的切线，交轴于点； 可以得到一个数列，它的各项都是不同程度的零点近似值. （i）设，求的解析式(用表示)； （ii）证明：当，总有. 【答案】（1） 证明：，定义域为， 所以，在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 因为， 所以，存在唯一，使得，即：有唯一零点，且； （2）（i）； （ii）对任意的，由（i）知，曲线在处的切线方程为： ，故令， 令 所以，， 所以，当时，单调递增，当时，单调递减； 所以，恒有，即恒成立，当且仅当时等号成立， 另一方面，由（i）知，，且当时，， （若，则，故任意，显然矛盾） 因为是的零点， 所以 因为为单调递增函数， 所以，对任意的时，总有 又因为，所以，对于任意，均有， 所以 所以， 综上，当，总有. 【解析】 【分析】（1）根据函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可； （2）（i）由导数的几何意义得曲线在处的切线方程为，进而得； （ii）令，进而构造函数，结合函数单调性证明，再根据证明即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）由（1）知， 所以，曲线在处的切线斜率为， 所以，曲线在处的切线方程为，即 令得 所以，切线与轴的交点，即， 所以，. (ii)略 【点睛】本题考查利用导数的几何意义，不等式的证明，考查运算求解能力，逻辑推理能力，是难题.本题第二问解题的关键在于结合切线方程，构造函数，进而结合函数的单调性证明不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $