1.2子集、全集、补集（教学课件）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修第一册）

苏教版2019高一数学（必修一）第一章 集合 1.2 子集、全集、补集 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.理解集合之间的包含的含义.(数学抽象) 2.能识别给定集合的子集、真子集,会判断集合间的关系.(逻辑推理) 3.理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集.(数学运算) 情景导入 给出下列三个集合: A={班上参加足球队的同学}, B={班上没有参加足球队的同学}, S={全班同学}, 那么集合S,A,B的关系如何? 观察下列各组集合： (1) A＝ {－1，1}，B＝{－1，0，1，2}； (2) A＝N，B＝R； (3) A＝{ x∣x 为正方形}，B＝{ x∣x 为四边形}. ●集合A与B之间具有怎样的关系? ●如何用数学语言来表述这种关系? 1.子集与真子集 新知探究 观察(1)，可以发现，集合 A 中的每个元素都是集合 B 的元素观察(2)(3)，它们也有同样的特征. (1) A＝ {－1，1}，B＝{－1，0，1，2}； (2) A＝N，B＝R； (3) A＝{ x∣x 为正方形}，B＝{ x∣x 为四边形}. 这时称 A 是 B 的子集. 子集 定义 如果集合A的_______一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集. 任意 概念归纳 A是B的子集 Venn图： 或 符号表示：_________ 或 _________ 读法：集合 A _______ 集合 B 或集合 B ________ 集合A B A A (B) 包含于 包含 A ⊆ B B ⊇ A 概念归纳 例如，{1，2，3} ⊆ N，N ⊆ R， { x∣x 为正方形} ⊆ {x∣x为四边形}等. A ⊆ B可以用 Venn图来表示. B A 根据子集的定义，我们知道A ⊆ A也就是说，任何一个集合是它本身的子集. 对于空集 ∅，我们规定 ∅ ⊆ A，即空集是任何集合的子集. 概念归纳 【思考】 符号“∈”与“⊆”有什么区别? 提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系， 比如 1∈N，－1∉N. ②“⊆”是表示集合与集合之间的关系， 比如 N⊆R，{1，2，3}⊆{3，2，1}. ③“∈”的左边是元素，右边是集合， 而“⊆”的两边均为集合. 例1.判断下列各组集合中，A 是否为 B 的子集. (1) A＝ {0，1}，B＝{－1，0，1，－2}； 解：因为0∈B，1∈B，即A中的每一个元素都是B 的元素，所以 A 是 B 的子集. 解：因为1∈A，但 1 ∉ B， 所以 A不是B 的子集. (2) A＝ {0，1}，B＝ { x∣x＝2k，k∈N} 思 考 A⊆B 与 B⊆A能否同时成立? 能； A是B的子集；同时B也是A的子集； 此时A＝B； 就是两集合相等的定义. 例2.写出集合 {a，b} 的所有子集. 解： 集合{a，b}的所有子集是∅，{a}，{b}，{a，b}. 集合{al，a2，a3，a4}有多少个子集? 真子集 定义 如果集合 A ⊆ B，并且 A≠B，那么集合 A 称为集合 B 的真子集. 概念归纳 A是B的真子集 Venn图： 符号表示：_________ 或 _________ 读法：集合 A ________ 集合 B 或集合B ________ 集A B A A ⫋ B B ⫌ A 真包含于 真包含 概念归纳 【思考】 集合 M，N 是两个至少含有一个元素的集合，试画图说明这两个集合关系有哪几种? 提示：有以下五种关系 1 2 3 4 5 例3.下列各组的 3 个集合中 ，哪 2 个集合之间具有包含关系? (1) S＝{－2，－1，1，2}，A＝{－1，1}，B＝{－2，2}； (2) S＝R，A＝ { x∣x≤0，B＝ { x∣x＞0)； (3) S＝ { x∣x为整数}，A＝ { x∣x 为奇数}， B＝ { x∣x 为偶数}. 解：在(1)(2)(3)中都有 A⫋S，B⫋ S可以用图1-2-2来表示. 集合间关系的性质 (1) 任何一个集合是它本身的子集，即_______. (2) 对于空集，我们规定⌀⊆A，即空集是任何集合的子集. A⊆A 概念归纳 例4指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}； 解　(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对， 故A与B之间无包含关系. (2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A⫋B. 典例剖析 (4)由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故NM. (3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}. 解　(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B， 如图所示，由图可知A⫋B. 典例剖析 判断集合关系的方法 (1)观察法：一一列举观察. (2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. (3)数形结合法：利用数轴或Venn图. 归纳总结 　例5(1)集合{a，b，c}的所有子集为_______________________________，其中它的真子集有________个. 　解析　集合{a，b，c}的子集有： ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}， 其中，除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个. ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}， {a，c}，{b，c}，{a，b，c} 7 典例剖析 (2)写出满足{3，4}P⊆{0，1，2，3，4}的所有集合P. 解　由题意知，集合P中一定含有元素3，4， 并且是至少含有三个元素的集合， 因此所有满足题意的集合P为： {0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}， {0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}. 典例剖析 1.假设集合A中含有n个元素，则： (1)A的子集有2n个； (2)A的非空子集有(2n－1)个； (3)A的真子集有(2n－1)个； (4)A的非空真子集有(2n－2)个. 2.求给定集合的子集的两个注意点： (1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写； (2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身. 归纳总结 例6.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围. 解　(1)当B≠∅时，如图所示. 解这两个不等式组得2≤m≤3. (2)当B＝∅时， 由m＋1>2m－1，得m<2. 综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}. 典例剖析 (1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时， 可化抽象为直观，要注意端点值的取舍， “含”用实心点表示，“不含”用空心点表示. (2)涉及到“A⊆B”或“AB且B≠∅”的问题， 一定要分A＝∅和A≠∅两种情况讨论， 不要忽视空集的情况. 归纳总结 1.思考辨析，判断正误 (1)1⊆{1，2，3}.( ) 提示　“⊆”表示集合与集合之间的关系，而不是元素和集合之间的关系. (2)任何集合都有子集和真子集.( ) 提示　空集只有子集，没有真子集. (3)若a∈A，则{a}A.( ) 提示　也有可能{a}＝A. (4)若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.( ) × × × √ 练一练 B 2.已知集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有(　　) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 解析　根据题意，在集合A的子集中， 含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}, 故选B. 练一练 3.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，则(　　) A.A＝B B.A⊆B C.A⫋B D.B⫋A 解析　∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，∴B⊆A. 又1∈A且1∉B， ∴B是A的真子集，故选D. D 练一练 4.已知集合A＝{－1，3，m}，B＝{3，4}，若B⊆A，则实数m＝________. 解析　∵B⊆A， ∴ 元素3，4必为A中元素， ∴m＝4. 4 练一练 观察例 3 中每一组的 3个集合，它们之间还有什么关系? 2.补集与全集 新知探究 在例3中，观察(1)，可以发现，A ⊆ S，S中的元素－2，－1，1，2 去掉 A 中的元素－1，1后，剩下的元素为－2，2，这两个元素组成的集合就是 B. 观察 (2)(3)，它们也有同样的特征这时称 B 是 A 在 S中的补集. 补集 1. 定义 文字语言 设A ⊆ S，由_____________的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作 CsA，读作“_________________”. S中不属于A A在S中的补集 概念归纳 符号语言 CsA＝______________________ { x∣x∈S，且 x ∉ A } 图形语言 2. 本质 补集既是集合之间的一种关系，也是集合的基本运算之一. 3. 作用 ①依据定义求集合的补集； ②求参数的值或范围； ③补集思想的应用. 概念归纳 全集 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的_____元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. 所有 概念归纳 例7.设全集U＝R，不等式组 的解集为 A， 试求A 及∁UA，并把它们分别表示在数轴上. 2x－1＞0 3x－6≤0 解：A ＝{x∣2x－1＞0，且3x－6＜0}＝{x∣＜x ≤2}， ∁UA＝{x∣x，或 x＞2}，在数轴上分别表示如下. 注意:实心点与空心点的区别. 例8.(1)设集合U＝R，M＝{x|x>2或x<－2}，则∁UM＝(　　) A.{x|－2≤x≤2} B.{x|－2<x<2} C.{x|x<－2或x>2} D.{x|x≤－2或x≥2} (2)已知全集为U，集合A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}，∁UB＝{1，4，6}， 则集合B＝______________. 解析　(1)如图，在数轴上表示出集合M，可知∁UM＝{x|－2≤x≤2}. A {2，3，5，7} (2)A＝{1，3，5，7}，∁UA＝{2，4，6}， 则U＝{1，2，3，4，5，6，7}，∁UB＝{1，4，6}， ∴B＝{2，3，5，7}. 典例剖析 求补集的方法 (1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合. (2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合. 总结归纳 例9.设全集U＝{3，6，m2－m－1}，A＝{|3－2m|，6}，∁UA＝{5}，求实数m. 解　∵∁UA＝{5}，∴5∈U且|3－2m|＝3， 由m2－m－1＝5，得m2－m－6＝0， ∴m＝－2或m＝3. 由|3－2m|＝3，得m＝0或m＝3. ∴m＝3. 典例剖析 集合A与∁UA中没有公共元素；若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合Venn图求解，若集合中元素有无限个时，可利用数轴分析法求参数. 总结归纳 例10.已知集合A＝{x|2a－2<x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∁RB，求实数a的取值范围. 解　∁RB＝{x|x≤1或x≥2}≠∅. ∵A∁RB， ∴分A＝∅和A≠∅两种情况讨论. ①若A＝∅，此时有2a－2≥a，∴a≥2. 综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤1或a≥2}. 典例剖析 如果所给集合是无限集，一般用数轴分析法求出其补集，要注意端点的取舍；结合两集合的子集、真子集关系，要注意分空集与非空集合两种情况讨论. 总结归纳 解析 D 练一练 解析 D 练一练 解析 B 练一练 解析 －1或2 练一练 BD 解析 练一练 解析 B 练一练 解析 A 练一练 解析 B 练一练 解析 B 练一练 解析 {x|－2≤x≤－1或0≤x≤2} 解析 A＝P 练一练 解 练一练 课本练习 1.写出下列集合的所有子集： （1）{1}； （2）{1，2}； （3）{1，2，3}. 解：（1） ，{1}. （2） ，{1}，{2}，{1，2}. （3） ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}. 2.已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，分别根据下列条件求∁UA. （1）A={0，2，4，6}； （2）A={0，1，2，3，4，5，6}； （3）A = . 课本练习 解： （1）{1，3，5}. （2） . （3）{0，1，2，3，4，5，6}. 3.判断下列表述是否正确： 课本练习 解：（1）不正确.（2）不正确.（3）正确.（4）正确. （5）不正确.（6）不正确.（7）正确.（8）正确. 4.若U=Z，A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈Z）， 则 ∁UA = . ∁UB = . 5. ∁U(∁UA) = . 6，已知U=R，A={x|x<0}，求∁UA. 课本练习 B A A ∁UA={x|x≥0}. 习题1.2 感受·理解 1.如图，试说明集合A，B，C之间有什么包含关系. 解：ABC 2.指出下列各组集合A与B之间的关系： （1）A={-1.1}.B=Z； （2）A={-1，0，1}，B={x|x²-1=0}； （3）A={1，3，5，15}，B={x|x是15的正约数}； （4）A= ，B=N. 解（1）AB；（2） BA（3） AB（4） AB 3，已知U={x|x是至少有一组对边平行的四边形），A={x |x是平行四边形），求∁UA. 解：{x|x 是梯形}. 4.（1）已知U={1，2，3，4），A={1，3}，求 ∁UA ； （2）已知U={1，3}，A={1，3}，求∁UA ； （3）已知U=R，A={x|x≥2}，求∁UA ； （4）已知U=R.A=（x|-2≤x<2），求∁UA. 解:（1）{2，4}. （2）. （3）{x|x<2}. （4）{x|x<-2或x≥2}. 感受·理解 思考·运用 5.设A是一个集合，下列关系是否成立？ （1）A={A}；（2）A{A）；（3）A∈{A} . 6.已知A B，A C，B ={0，2，4），C=（0，2，6），写出所有满足上述条件的集合 A. 解： ，{0}，{2}，{0,2}. 解：（1）不成立.（2）不成立.（3）成立. 7.设 m为实数，若U=R，A ={x|x<1}，B=（x|x>m）. （1）当∁UA 时，求m的取值范围； （2）当∁UA 时，求m的取值范围. 解：（1）{m|m<1}.（2）{m|m≥1}. 思考·运用 探究·拓展 8.子集符号“”与不等号“≤”看起来很相似.“≤”具有下面的性质： （1）如果a≤b且b≤c，那么a≤c； （2）如果 a≤b且b≤a，那么a=b. 试写出“”相应的“性质”，并判断其正确性. 解：性质： （1）如果 A B 且 B C，那么 A C； （2）如果A B且 B A，那么 A=B. （1）（2）均正确. 易错点1　混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 解析 AC 错因分析 易错点2　忽视对空集的讨论而致错 解析 C 错因分析 易错点3　忽略端点的取值情况而致错 解析 C 错因分析 一、选择题 1.已知集合N＝{1，3，5}，则集合N的真子集个数为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 C 解析　集合N的真子集有23－1＝7(个). 分层练习-基础 知识点一：子集与真子集 70 2.已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列式子：①{1}∈A；②－1⊆A；③∅⊆A； ④{1，－1}⊆A.其中表示正确的有(　　) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析　因为A＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，所以{1}⊆A，①不正确；－1∈A，②不正确； ∅⊆A，符合子集的定义，所以③正确； {－1，1}⊆A，符合子集的定义，所以④正确. 综上可知，正确的式子有2个. B 分层练习-基础 3.已知集合A＝{x|0<x<3}，B＝{x|x≤5}，则(　　) A.A∈B B.A ⫋ B C.B ⫋ A D.B⊆A 解析　由数轴易知A中元素都属于B，B中至少有一个元素如－2∉A，故有A⫋ B. B 分层练习-基础 4.(多选题)设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，则满足B⊆A的实数m的值可以为(　　 ) ABD 解析　∵A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，又∵B⊆A，∴当m＝0时，mx＋1＝0无解，故B＝∅，满足条件； 分层练习-基础 C 5.已知集合A＝{x∈Z|(x－1)(x＋2)<0}，则集合A的一个真子集为(　　) A.{x|－2<x<0} B.{x|0<x<2} C.{0} D.{∅} 解析　A＝{x∈Z|(x－1)(x＋2)<0}＝{－1，0}， 所以A的真子集为∅，{0}，{－1}，故选C. 分层练习-基础 二、填空题 6.集合A＝{x|ax－3＝0，a∈Z}，若A ⫋ N*，则实数a的所有取值组成的集合为____________. {0，1，3} 解析　当a＝0时，A＝∅，满足题意； 分层练习-基础 7.已知集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}，则集合A＝____________. 若集合B满足{0} ⫋ B⊆A，则集合B＝____________. 解析　∵解方程x2＋x＝0，得x＝－1或x＝0， ∴集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}＝{－1，0}. 又{0} ⫋B⊆A，∴B＝{－1，0}. {－1，0} {－1，0} 分层练习-基础 8.设A＝{x|2<x<4}，B＝{x|a－1<x<a}，若BA，则实数a的取值范围是______________. 解析　因为B⫋A，又B≠∅， {a|3≤a≤4} 所以3≤a≤4，即a的取值范围是{a|3≤a≤4}. 分层练习-基础 三、解答题 9.判断下列集合间的关系： (1)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}； (2)A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}. 所以可利用数轴判断A，B的关系.如图所示，AB. (2)因为A＝{x∈Z|－1≤x<3}＝{－1，0，1，2}， B＝{x|x＝|y|，y∈A}， 所以B＝{0，1，2}， 所以B⫋A. 分层练习-巩固 10.已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B⊆A，求实数a的取值范围. 解　由题意知B的可能情况有B≠∅和B＝∅两种. ①当B≠∅时，∵B⊆A， ②当B＝∅时，由a>2a－1，解得a<1. 综上可知，实数a的取值范围是{a|a<1或a>3}. 分层练习-巩固 A 11.若集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，则A，B，C的关系是(　　) A.CA＝B B.A⊆C⊆B C.A＝BC D.B⊆A⊆C 解析　∵A＝{x|x＝2(k＋1)－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝2×2k－1，k∈Z}， ∴CA＝B， 故选A. 分层练习-巩固 80 12.若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}至多有一个真子集，求实数a的取值范围. ②当A只有一个真子集时，A为单元素集，这时有两种情况： 当a＝0时，方程化为2x＋1＝0， 解　①当A无真子集时，A＝∅，即方程ax2＋2x＋1＝0无实根， 当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0， 解得a＝1. 综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是{a|a＝0或a≥1}. 分层练习-巩固 13.已知集合M＝{x|x2＋2x－a＝0}. (1)若∅M，求实数a的取值范围； 解　由题意得方程x2＋2x－a＝0有实数解， ∴Δ＝22－4·(－a)≥0，得a≥－1， ∴实数a的取值范围是{a|a≥－1}. 分层练习-巩固 (2)若N＝{x|x2＋x＝0}且M⊆N，求实数a的取值范围. 解　∵N＝{x|x2＋x＝0}＝{0，－1}，且M⊆N， ∴当M＝∅时，Δ＝22－4·(－a)<0，得a<－1； 当M≠∅时， i)当Δ＝0时，a＝－1， 此时M＝{－1}，满足M⊆N，符合题意. ii)当Δ>0时，a>－1，M中有两个元素， 综上，实数a的取值范围为{a|a≤－1}. 14.已知三个集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}，C＝{x|x2－bx＋2＝0}，同时满足BA，C⊆A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b所有的值；若不存在，请说明理由. 解　A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}. ∵B＝{x|x2－ax＋(a－1)＝0}＝{x|(x－1)[x－(a－1)]＝0}，∴1∈B. 又∵BA，∴a－1＝1，即a＝2. ∵C＝{x|x2－bx＋2＝0}，且C⊆A， 当C＝{1，2}时，b＝3； 当C＝{1}或{2}时，Δ＝b2－8＝0， ∴C＝∅或{1}或{2}或{1，2}. 当C＝∅时，Δ＝b2－8<0， 分层练习-拓展 一、选择题 1.已知全集U＝{x|－1≤x≤5，x∈Z}，集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}，则∁UA＝(　　) A.{x|－1≤x<0或3<x≤5} B.{x|－1≤x<0或3≤x≤5} C.{－1，3，4，5} D.{3，4，5} C 解析　U＝{x|－1≤x≤5，x∈Z}＝{－1，0，1，2，3，4，5}，A＝{x|0≤x<3，x∈N}＝{0，1，2}， ∴∁UA＝{－1，3，4，5}. 知识点二：全集和补集 分层练习-基础 85 2.(多选题)已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3或4＜x＜6}，集合B＝{x|2≤x＜5}，则下列结论正确的是(　　) A.∁UA＝{x|x＜1或3＜x≤4或x≥6} B.∁UB＝{x|x＜2或x≥5} C.∁UA⊆∁UB D.∁UB⊆∁UA 解析　由补集的定义知A，B正确； 由子集的定义知C，D都不正确. AB 分层练习-基础 3.已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，∁UA＝{3}，则实数a等于(　　) A.0或2 B.0 C.1或2 D.2 D 分层练习-基础 4.若全集U＝{0，1，2，3，4，5}，且∁UA＝{x∈N*|1≤x≤3}，则集合A的真子集共有(　　) A.3个 B.4个 C.7个 D.8个 C 解析　∁UA＝{x∈N*|1≤x≤3}＝{1，2，3}， ∴A＝{0，4，5}， ∴集合A的真子集共有23－1＝7(个). 分层练习-基础 5.设全集U＝R，集合A＝{x|x<0，或x≥1}，B＝{x|x≥a}，若∁UA⊆∁UB，则实数a的取值范围是(　　) A.{a|a>1} B.{a|a≥1} C.{a|a<1} D.{a|a≤1} B 解析　由题意知∁UA＝{x|0≤x<1}，∁UB＝{x|x<a}， 画出数轴并表示出∁UA与∁UB. 因为∁UA⊆∁UB， 所以结合数轴可得a≥1. 分层练习-基础 －3 二、填空题 6.设U＝{0，1，2，3}，A＝{x|x2＋mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝________. 解析　∵∁UA＝{1，2}，∴A＝{0，3}， ∴0，3是方程x2＋mx＝0的两个根， ∴m＝－3. 分层练习-基础 7.已知全集U＝R，A＝{x|1≤x<b}，∁UA＝{x|x<1或x≥2}，则实数b＝________. 解析　因为∁UA＝{x|x<1或x≥2}， 所以A＝{x|1≤x<2}. 所以b＝2. 2 分层练习-基础 8.若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S＝R时，∁SA＝__________________； 当S＝{x|－4≤x≤1}时，∁SA＝_______________________. 解析　∵A＝{x|－1≤x<1}， ∴S＝R时，∁SA＝{x|x<－1或x≥1}； S＝{x|－4≤x≤1}时，∁SA＝{x|－4≤x<－1或x＝1}. {x|x<－1或x≥1} {x|－4≤x<－1或x＝1} 分层练习-基础 三、解答题 9.(1)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求∁UA和∁UB； (2)U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是等腰三角形}，B＝{x|x是等边三角形}，求∁UB和∁AB； (3)U＝R，A＝{x|1<x<5}，求∁UA，并分别在数轴上表示A和∁UA. 解　(1)根据题意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}， 所以∁UA＝{4，5，6，7，8}，∁UB＝{1，2，7，8}. (2)∁UB＝{x|x是三边不都相等的三角形}； ∁AB＝{x|x是有且仅有两边相等的三角形}. (3)∁UA＝{x|x≤1，或x≥5}，A与∁UA在数轴上分别表示如下. 分层练习-巩固 10.已知集合A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|m≤x<1＋3m}.若B⊆∁RA，求实数m的取值范围. 解　∁RA＝{x|x≤－1或x>3}. 综上可知，实数m的取值范围是 当B≠∅时，要使B⊆∁RA成立， 分层练习-巩固 11.设全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{x|x2－mx＋n＝0，x∈U}， 若∁UA＝{2，3}，则m＋n＝________. 9 解析　因为∁UA＝{2，3}， 所以A＝{x|x2－mx＋n＝0，x∈U}＝{1，4}， 即方程x2－mx＋n＝0的两个实根为1和4， 得m＝5，n＝4，m＋n＝9. 分层练习-巩固 95 12.已知全集U＝R，集合P＝{x|x≤0或x≥6}，M＝{x|a<x<2a＋4}，则集合∁UP＝____________；若M⊆∁UP，则实数a的取值范围为____________________. 解析　∵全集U＝R，∴∁UP＝{x|0<x<6}. 若M＝∅，即a≥2a＋4，解得a≤－4，符合M⊆∁UP. 若M≠∅，要使M⊆∁UP， {x|0<x<6} {a|a≤－4或0≤a≤1} ∴a≤－4或0≤a≤1. 分层练习-巩固 13.设全集U＝R，M＝{x|3a<x<2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M⫋∁UP，求实数a的取值范围. 解　∁UP＝{x|x<－2，或x>1}. ∵M ⫋∁UP， ∴分M≠∅和M＝∅两种情况讨论： 若M＝∅，则3a≥2a＋5，∴a≥5. 分层练习-拓展 14.设全集U＝R，集合A＝{x|x≤2或x≥5}. (1)求∁UA；(2)若B＝{x|2a－3≤x≤－a}且B⊆∁UA，求实数a的取值范围. 解　(1)由题意∁UA＝{x|2＜x＜5}. (2)当B＝∅时，有－a＜2a－3，∴a＞1； 综上实数a的取值范围为{a|a＞1}. 1.理解5个概念——(1)子集；(2)真子集；(3)空集；(4)全集；(5)补集. 2.掌握3种方法 (1)会判断两集合的关系，当所给的集合是与不等式有关的无限集时，常借助数轴，利用数形结合思想判断. (2)会求子集、真子集的个数问题. (3)对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数范围时，常采用数形结合思想，借助数轴. 课堂小结 3.注意3个易错点 (1)∅是任何集合的子集； (2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论. (3)混淆元素与集合、集合与集合之间的关系而致错 4.掌握1个策略——正难则反 补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思想，在正向思维受阻时，改用逆向思维，如若直接求A困难，则使用“正难则反”策略，先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A. 课堂小结 ∴或 即 ②若A≠∅，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－2<a，,a≤1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－2<a，,2a－2≥2.))∴a≤1. 1.已知集合A＝{x|－1<x<6}，B＝{x|2<x<3}，则(　　) 　A．A∈B B．A⊆B C．A＝B D．B⊆A 集合A＝{x|－1<x<6}，B＝{x|2<x<3}， A，B两个数集之间应是包含关系不是属于关系，故选项A不正确．由条件可得B⊆A，且A≠B，所以选项B，C错误，选项D正确．故选D. 2．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是(　　) A．{2，4，5} B．{1，2，5} C．{1，6} D．{1，3} 由题图可知B⊆A.由A＝{1，2，3}，结合选项可知{1，3}⊆A，故选D. 3．[江苏南京三校2021高一期中联考]集合A＝{1，2}的非空子集个数为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 集合A＝{1，2}的子集为{1}，{1，2}，{2}，∅，因为要求非空子集，所以共有3个． 【归纳总结】若集合A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的真子集有(2n－1)个，A的非空真子集有(2n－2)个． 4．已知集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a＝__________． ∵B⊆A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a. ①由a2－a＋1＝3得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时， A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，满足B⊆A；当a＝2时， A＝{1，3，2}，B＝{1，3}，满足B⊆A.②由a2－a＋1＝a得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.当a＝1时， A＝{1，3，1}，不满足集合中元素的互异性． 综上，若B⊆A，则a＝－1或a＝2. 5．(多选)下列说法中，正确的有(　　) A．空集是任何集合的真子集 B．若A⫋B，B⫋C，则A⫋C C．任何一个集合必有两个或两个以上的真子集 D．如果不属于B的元素一定不属于A，则A⊆B 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故选项A错； 真子集具有传递性，故选项B正确； 若一个集合是空集，则没有真子集，故选项C错； 由Venn图易知选项D正确．故选BD. 6．若x，y∈R，集合A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|eq \f(y,x)＝1}，则集合A，B间的关系为(　　) A．A⫋B B．A⫋B C．A＝B D．A⊆B ∵B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）|\f(y,x)＝1))＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，∴BA. 7．[北京海淀区2022高一月考]已知A＝{x|1<x<2 021}，B＝{x|x≤a}，若A⫋B，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|a≥2 021} B．{a|a>2 021} C．{a|a≥1} D．{a|a>1} 因为A＝{x|1<x<2 021}，B＝{x|x≤a}，AB，所以a≥2 021.故选A. 8．已知∅⫋{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a＜\f(1,4))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤\f(1,4))))) C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≥\f(1,4))))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a＞\f(1,4))))) ∵∅⫋{x|x2－x＋a＝0}，∴方程x2－x＋a＝0有实根， ∴Δ＝1－4a≥0，解得a≤eq \f(1,4).故选B. 9．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，则 ∁UA＝(　　) A．{1，3} B．{1，3，6} C．{2，3，6} D．{2，3，5} ∵集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4，5}，∴∁UA＝{1，3，6}．故选B. 11．设全集U和集合A，B，P满足A＝∁UB，B＝∁UP，则A与P的关系是________． 由A＝∁UB，得∁UA＝B.又∵B＝∁UP，∴∁UP＝∁UA，即P＝A. 10．已知全集U＝{x|－2≤x≤3}，集合A＝{x|－1<x<0或2<x≤3}，则∁UA＝________． 在数轴上表示出全集U，集合A(如图所示)，根据补集的概念可知 ∁UA＝{x|－2≤x≤－1或0≤x≤2}． 12．设全集是数集U＝{2，3，a2＋2a－3}，已知A＝{b，2}，∁UA＝{5}，求实数a，b的值． ∵∁UA＝{5}，∴5∈U且5∉A. 又b∈A，∴b∈U， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋2a－3＝5，,b＝3.)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝3))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝3，))经检验都符合题意． 1．(多选)如下四个结论中，正确的有(　　) A．∅⊆∅ B．0∈∅ C．{0} ⫋ ∅ D．{0}＝∅ 空集是自身的子集，A正确；0不是空集中的元素，B错误；空集是任何非空集合的真子集，C正确；{0}是含一个元素0的集合，不是空集，D错误． 2．设集合A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|1≤a≤3} B．{a|a≥3} C．{a|a≥1} D．{a|1<a<3} 因为B⊆A，所以当B＝∅时，符合题意，则有2a>a＋3，即a>3；当B≠∅时，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a≤a＋3，,2a≥2，,a＋3≤6，))解得1≤a≤3.综上，实数a的取值范围是{a|a≥1}，故选C. 3．[江苏扬州中学2022高一月考]已知集合M＝{x|2x＋1<3}，N＝{x|x<a}，若N⊆M，则实数a的取值范围为(　　) A．{a|a≥1} B．{a|a≥2} C．{a|a≤1} D．{a|a<1} ∵集合M＝{x|2x＋1<3}＝{x|x<1}，且N⊆M，∴a≤1.故选C. A. B.－ C. D.0 若B≠∅，则B＝{－3}或B＝{2}，即m＝eq \f(1,3)或m＝－eq \f(1,2)，故满足条件的实数m∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0，\f(1,3))). 当a≠0时，x＝eq \f(3,a)∈N*，则a＝1或a＝3. 所以或 解　(1)因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}，B＝{x|2x－5≥0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥\f(5,2)))， ∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>3，,a≤2a－1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a－1<－2，,a≤2a－1))，解得a>3. 解得x＝－，符合题意； 所以所以a>1. 若M⊆N，则M＝N，从而eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1＋0＝－2，,（－1）×0＝－a，))无解. 即－2<b<2. 综上可知，存在a＝2，b＝3或－2eq \r(2)<b<2eq \r(2)满足要求. 即b＝±2，此时x＝±(舍去)； 解析　由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,a2－2a＋3＝3，))则a＝2. 则或解得m>3. . 当B＝∅时，即m≥1＋3m，得m≤－eq \f(1,2)，满足B⊆∁RA. 则需解得0≤a≤1. 综上得a≤－或a≥， 即实数a的取值范围是. 若M≠∅，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a<2a＋5，,2a＋5≤－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a<2a＋5，,3a≥1，)) ∴a≤－或≤a<5. 当B≠∅时，有∴a∈∅. $$