精品解析：江苏省泰州市北片区部分学校2023—2024学年七年级下学期5月月考数学试题

2024年春学期第二次独立作业 七年级数学 （考试时间：120分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知直线，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用20分钟，他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的速度是70米/分，他家离学校的距离是3350米．设他骑自行车和步行的时间分别为x、y分钟，则列出的二元一次方程组是（ ） A. B. C. D. 6. 对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法： ①； ②； ③当，为非负整数时，有； ④若，则非负实数x的取值范围为； ⑤满足的所有非负实数x的值有4个． 以上说法中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7. 已知方程，用含的代数式表示，则_________． 8. 若，，则的值为____． 9. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 10. 笔记本5元/本，铅笔3元/支，某同学购买笔记本和铅笔（两种都要买），恰好用去50元，那么共有________种购买方案． 11. 已知是完全平方公式，则的值为______． 12. 如图，直角三角形中，，，将直角三角形沿方向平移2个单位长度得到直角三角形，与交于点，且，则图中阴影部分的面积为______． 13. 已知不等式的解集是，则的取值范围是_______． 14. 已知不等式的正整数解只有2个，则a的取值范围是__________． 15. 如图，是的中线，点是边上一点，，交于点，设的面积为，的面积为，若，则的值为__________． 16. 按如下程序进行运算，并规定：程序运行到“结果是否大于45”为一次运算，且运算进行3次才停止．则可输入的整数的个数是__________． 三、解答题（本大题共102分．把解答过程写在相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用铅笔） 17. （1）计算： （2）因式分解 18. 解方程组 （1） （2） 19. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 20. 化简求值：已知，求代数式的值． 21. 画图并填空，如图：方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． （1）请画出平移后的； （2）若连接，，则这两条线段的关系是 ； （3）利用网格画出中边上的中线以及边上的高； （4）线段在平移过程中扫过区域的面积为 ． 22. 如图，在中，点在上，点在上，交于点．已知交于点，平分，交于点． （1）求的度数． （2）若，，求的度数． 23. （1）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．用两种不同的方法计算图②中的阴影部分的面积： 或 ．观察分析这两个结果，你发现代数式、、间的等量关系是 ． （2）如图③所示，用若干块型长方形和型、型正方形硬纸片拼成一个新的长方形．试根据图形写出一个等式 ． （3）现有若干块型长方形和型、型正方形硬纸片，请你用拼图的方法推出因式分解的结果，并画出你拼出的图形． 24. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台． ①求A种型号的电风扇最多能采购多少台? ②若超市销售完这50台电风扇能实现利润超过1850元的目标，有哪几种采购方案? 25. 阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则________，________； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ （3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________． 26. 我们约定一种新运算，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． （1）若，． ①求常数a、b的值； ②若关于m的不等式组无解，求有理数p的取值范围； （2）非零常数a、b应满足什么条件时，才能使对于任意有理数t都成立？请写出推理过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年春学期第二次独立作业 七年级数学 （考试时间：120分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A．是轴对称图形，故本选项错误； B．是轴对称图形，故本选项错误； C．是轴对称图形，故本选项错误； D．不是轴对称图形，故本选项正确． 故选D． 2. 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二元一次方程定义，关键是根据二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程．据此解答即可． 【详解】解：A、中，的次数为2，不是二元一次方程，故不合题意； B、符合二元一次方程定义，是二元一次方程，故符合题意； C、，不是整式方程，故不合题意； D、中，的次数为2，不是二元一次方程，故不合题意； 故选：B． 3. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、当为正，为负，且时，，故选项错误； B、，故选项错误； C、当时，，故选项错误； D、，故选项正确； 故选D． 4. 如图，已知直线，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、垂线的定义和直角三角形的性质，掌握相关知识点是解题关键．根据平行线的性质得到的度数，再根据垂线的定义和直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ． 故选：B． 5. 小明早上骑自行车上学，中途因道路施工步行一段路，到学校共用20分钟，他骑自行车的平均速度是200米/分，步行的速度是70米/分，他家离学校的距离是3350米．设他骑自行车和步行的时间分别为x、y分钟，则列出的二元一次方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：由他骑自行车和步行的时间分别为x、y分钟，根据关键语句“到学校共用时20分钟”可得方程：x+y=20，根据关键语句“骑自行车的平均速度是200米/分，步行的平均速度是70米/分．他家离学校的距离是3350米”可得方程：200x+70y=3350，两个方程组合可得方程组：． 故选D． 6. 对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．反之，当n为非负整数时，若，则．例如：，．给出下列说法： ①； ②； ③当，为非负整数时，有； ④若，则非负实数x的取值范围为； ⑤满足的所有非负实数x的值有4个． 以上说法中正确的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了近似数、解一元一次不等式，根据新定义即可判断①；利用举反例的方法即可判断②；根据题意所述利用不等式的性质即可判断③；由题意得出，计算即可判断④；设，为整数，则，得出关于的不等式关系求出即可判断⑤，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：①，故原说法正确，符合题意； ②当时，，，故原说法错误，不符合题意； ③为非负整数，则，故当时，，故原说法正确，符合题意； ④∵， ∴， ∴，故原说法错误，不符合题意； ⑤∵，为整数， ∴设，为整数，则， ∴， ∴，， 解得：， ∴，，，， ∴，，，，共个，原说法正确，符合题意； 综上所述，正确的有①③⑤，共个， 故选：B． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 7. 已知方程，用含的代数式表示，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程，把看作已知数求出即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 8. 若，，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】先进行同底数幂的除法运算变形，再代入求出即可． 【详解】由， 故答案为：． 【点睛】此题考查了同底数幂的除法的逆运算，能正确根据同底数幂的除法进行变形是解此题的关键． 9. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 10. 笔记本5元/本，铅笔3元/支，某同学购买笔记本和铅笔（两种都要买），恰好用去50元，那么共有________种购买方案． 【答案】3 【解析】 【分析】首先设某同学买了x本笔记本，则买了y支铅笔，根据题意购买笔记本的花费＋购买铅笔的花费＝50元，即可求解． 【详解】解：设某同学买了x本笔记本，则买了y支铅笔，根据题意得： 5x＋3y＝50， 则． ∵x，y为正整数，且两种都要买， ∴y为5的倍数， ∴从而得出y＝5，10或15， 当y＝5时，， 当y＝10时，， 当y＝15时，， ∴有三种购买方案： 购买的笔记本1本，铅笔15支， 购买的笔记本4本，铅笔10支， 购买的笔记本7本，铅笔5支； 故答案是：3． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的整数解．解题的关键是挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程． 11. 已知是完全平方公式，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：是完全平方公式， ， 即， 故答案为：． 12. 如图，直角三角形中，，，将直角三角形沿方向平移2个单位长度得到直角三角形，与交于点，且，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．同时考查了梯形的面积公式．解题的关键是熟知平移的基本性质． 根据平移的性质可得，则阴影部分的面积梯形的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵沿的方向平移距离得， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， 即图中阴影部分的面积为8． 故答案为：8． 13. 已知不等式的解集是，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式两边同时除以不等号的方向发生了改变，可知，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是， ， ． 14. 已知不等式的正整数解只有2个，则a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先把 当作已知求出 的取值范围，再根据其正整数解列出不等式，解此不等式即可； 【详解】解: 解不等式 得，， ∵其正整数解为 1,2 ， ∴， 解得 ； 故答案为： 【点睛】考查了一元一次不等式的整数解，此题比较简单，根据 的取值范围正确确定 的范围是解题的关键，解不等式时要根据不等式的基本性质 15. 如图，是的中线，点是边上一点，，交于点，设的面积为，的面积为，若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，由是的中线，得出，由得出，再根据计算即可得出答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 按如下程序进行运算，并规定：程序运行到“结果是否大于45”为一次运算，且运算进行3次才停止．则可输入的整数的个数是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式组的应用，分别表示出前3次的输出结果，再根据题意列出不等式组，解不等式组即可得出答案． 【详解】解：由题意得： 第1次：， 第2次：， 第3次：， 列不等式组得：， 解得：， ∴可输入的整数为、、、、，共个， 故答案为：． 三、解答题（本大题共102分．把解答过程写在相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用铅笔） 17. （1）计算： （2）因式分解 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，综合提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再计算加减即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 解方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练采用加减消元法和代入消元法是解此题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【小问1详解】 解：， 由①可得：， 将③代入②得：， 解得：， 将代入③得：， ∴原方程组的解为 【小问2详解】 解：整理得：， 由得：， 将代入①得：， ∴原方程组的解为． 19. 解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴原不等式组的解集为 20. 化简求值：已知，求代数式的值． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据完全平方公式，单项式乘以多项式，平方差公式化简代数式，然后将代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 原式＝ ， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查了整式的乘法化简求值，掌握乘法公式是解题的关键． 21. 画图并填空，如图：方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． （1）请画出平移后的； （2）若连接，，则这两条线段的关系是 ； （3）利用网格画出中边上的中线以及边上的高； （4）线段在平移过程中扫过区域的面积为 ． 【答案】（1） 解：如图，即为所作， （2）平行且相等 （3） 解：如图，、即为所作， （4） 【解析】 【分析】本题考查了作图—平移变换，平移的性质，三角形的高、中线等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）根据平移的性质即可得出答案； （3）利用网格得出的中点即可得出答案；利用网格得出高即可得出答案； （4）根据线段在平移过程中扫过区域为平行四边形，计算即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，，则这两条线段的关系是平行且相等； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：如图，连接， 线段在平移过程中扫过区域的面积为． 22. 如图，在中，点在上，点在上，交于点．已知交于点，平分，交于点． （1）求的度数． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，熟练掌握各性质，理清角之间的关系是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，由角平分线的定义可得，最后由平行线的性质即可得到答案； （2）根据三角形的外角的定义及性质结合得出，最后由三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， 平分， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ， ． 23. （1）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．用两种不同的方法计算图②中的阴影部分的面积： 或 ．观察分析这两个结果，你发现代数式、、间的等量关系是 ． （2）如图③所示，用若干块型长方形和型、型正方形硬纸片拼成一个新的长方形．试根据图形写出一个等式 ． （3）现有若干块型长方形和型、型正方形硬纸片，请你用拼图的方法推出因式分解的结果，并画出你拼出的图形． 【答案】（1），，； （2）； （3）， 如图所示： ， 故拼出的图形是长为，宽为的长方形， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了几何图形与整式的乘法，熟练掌握运算法则，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）用两种方法表示出阴影部分的面积即可得出答案； （2）用两种方法表示出大长方形的面积即可得出答案； （3）根据，画出图形，结合图形即可得出答案． 【详解】解：（1）图②中的阴影部分的面积：或， 代数式、、间的等量关系是； （2）由图可得： 面积为或， ∴； （3）略 24. 某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本） 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台． ①求A种型号的电风扇最多能采购多少台? ②若超市销售完这50台电风扇能实现利润超过1850元的目标，有哪几种采购方案? 【答案】（1）A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元 （2）①超市最多采购A种型号电风扇37台②相应方案有两种：采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； （2）①设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，根据金额不多于7500元，列不等式求解；②根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润=一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：，解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元． 【小问2详解】 解：①设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：， ∵a是整数， ∴a最大是37， 答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元． ②设采购A种型号电风扇x台，则采购B种型号电风扇台，根据题意得： ， 解得：， ∵，且x应为整数， ∴超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种： 当时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； 当时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 25. 阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足①，②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： （1）已知二元一次方程组，则________，________； （2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？ （3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________． 【答案】（1）-1，5；（2）购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；（3）-11 【解析】 【分析】（1）已知，利用解题的“整体思想”，①-②即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值； （2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意列出方程组，根据（1）中“整体思想”，即可求解； （3）根据，可得，，，根据“整体思想”，即可求得的值． 【详解】（1） ①-②，得x-y=-1 ①+②，得3x+3y=15 ∴x+y=5 故答案为：-1，5 （2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，则 ①×2，得40x+6y+4z=64③ ③-②，得x+y+z=6 ∴5(x+y+z)=30 ∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元 答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元 （3）∵ ∴①，②， ∴②-①，得③ ∴④ ①+②，得⑤ ⑤-④，得 ∴ 故答案为：-11 【点睛】本题考查了利用“整体思想”解二元二次方程组，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，引入了新运算，根据定义结合“整体思想”求代数式的值． 26. 我们约定一种新运算，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． （1）若，． ①求常数a、b的值； ②若关于m的不等式组无解，求有理数p的取值范围； （2）非零常数a、b应满足什么条件时，才能使对于任意有理数t都成立？请写出推理过程． 【答案】（1）①，；② （2）解：当时，对于任意有理数t都成立，理由： ， ， ， ， ， ， 对于任意有理数都成立， ， ． 【解析】 【分析】（1）①根据新定义运算法则列出方程组即可求出与的值．②根据新定义运算法则列出方程组即可求出； （2）根据新定义运算法则代入原式即可求出答案． 【小问1详解】 解：①，．由新运算得， ， 整理得， ①②得：， ， 将代入②得， ，； ②， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查新定义运算，解题的关键是正确理解新定义运算法则，并根据法则列出方程组和不等式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $