精品解析：2024年湖北省襄阳市枣阳市吴店镇第一中学中考模拟数学试题

2024年湖北省襄阳市枣阳市吴店一中中考数学模拟试卷（4月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　） A. 9 B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 在小明，小红，小月三人中抽2人参加比赛，小刚被抽中是随机事件 B. 要了解学校2000学生的体质健康情况，随机抽取100名学生进行调查，在该调查中样本容量是100名学生 C. 预防“新冠病毒”期间，有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包 D. 了解某班学生的身高情况适宜抽样调查 3. 企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 年月号，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时千米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以点和点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若为上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线（a，b，c，是常数，）经过点，其中．下列结论： ①； ②关于x的一元二次方程一定有一个根是小于1的正数； ③当时，y随x的增大而减小； ④分式的值小于3． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则代数式的值是___________． 12. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可） 14. 如图，是的外接圆，连接并延长交于点，若，则的度数为______． 15. 如图，在矩形中，，，点M为的中点，E是上的一点，连接，作点B关于直线的对称点，连接并延长交于点F．当最大时，点到的距离是________． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值． 17. 如图，中，，相交于点，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由． 18. 某校为了解落实“双减”政策后学生每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）的情况，在全校随机抽取部分小学生进行调查，按四个组别进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题： 抽取的学生作业时间统计表 组别 调查结果 人数（人） A 120 B a C 180 D 90 （1）这次调查抽取学生的总人数是_______，B组的学生人数______； （2）该校共有学生1500人，请估算该校每日书面作业时间不少于90分钟的学生人数； （3）请结合数据对该校“双减”工作提出一条合理性建议． 19. “为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点测得一小车从点A到点B行驶了6秒，已知，，米，问此车是否超速？请说明理由．（参考数据：，．） 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴相交于点C，已知点，，连接． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出的解集． 21. 如图，是的外接圆，为的直径，点为弧中点，连接，作的平分线交于点，连接． （1）求证：； （2）若过C点的切线与的延长线交于点F，已知，求弧、线段围成的阴影部分面积； 22. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） （1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ （3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 23. 综合与实践． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：， 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请求出的长． 24. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求E，F两点间距离的最大值； （3）如图2，连接，在抛物线上存在点Q，使，请直接写出符合题意的点Q坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年湖北省襄阳市枣阳市吴店一中中考数学模拟试卷（4月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，数轴上点A所表示的数的相反数是（　　） A. 9 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据数轴得到A表示的数，再求其相反数即可． 【详解】解：由数轴可知，点A表示的数是9，相反数为， 故选：D． 【点睛】本题考查数轴和相反数，掌握相反数的定义是解题的关键． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 在小明，小红，小月三人中抽2人参加比赛，小刚被抽中是随机事件 B. 要了解学校2000学生的体质健康情况，随机抽取100名学生进行调查，在该调查中样本容量是100名学生 C. 预防“新冠病毒”期间，有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包 D. 了解某班学生的身高情况适宜抽样调查 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件的定义、样本容量的定义、用样本的率计算总体中该项的数量、全面调查的特点依次判断即可得到答案． 【详解】解：在小明，小红，小月三人中抽2人参加比赛，小刚被轴中是不可能事件，故A选项不正确； 要了解学校2000学生的体质健康情况，随机抽取100名学生进行调查，在该调查中样本容量是100，故B选项错误； 预防“新冠病毒”期间，有关部门对某商店在售口罩的合格情况进行抽检，抽检了20包口罩，其中18包合格，故该口罩的合格率为90%，该商店共进货100包，估计合格的口罩约有90包，故C选项正确； 了解某班学生的身高情况适宜全面调查，故D选项错误； 　故选：C． 【点睛】此题考查语句判断，正确理解随机事件的定义、样本容量的定义、用样本的率计算总体中该项的数量、全面调查的特点是解题的关键． 3. 企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 4. 年月号，神舟十七号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，飞船的速度约为每小时千米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定的值． 根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1． 【详解】解：大于1，用科学记数法表示为，其中，， ∴用科学记数法表示为， 故选：C． 5. 如图是由四个相同的正方体组成的几何体，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图的定义即可得． 【详解】解：俯视图是指从上往下看几何体得到的视图．这个几何体的俯视图是由排在一行的三个小正方形组成， 观察四个选项可知，只有选项符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了俯视图，熟记定义是解题关键． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式逐项判断即可得． 【详解】A、与不是同类项，不可合并，此项错误； B、，此项正确； C、，此项错误； D、，此项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、完全平方公式，熟练掌握各运算法则是解题关键． 7. 如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线、角平分线、余角的知识； 过点B作，根据余角性质计算得；根据平行线性质，即可得的度数． 【详解】如图，过点B作， ∵， ∴ ∴ ∵与平行， ∴， 故选：B． 8. 《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设甲、乙的持钱数分别为x，y，根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组解答即可． 【详解】解：设甲、乙的持钱数分别为x，y， 根据题意可得：， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程. 9. 如图，在中，，利用尺规在上分别截取，使；分别以点和点为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若为上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质． 过点作于点．证明，利用面积法求出即可． 【详解】如图，过点作于点． 由作图过程可知：平分， ∴， 设，则有 ∴， ∵为上一动点， 则的最小值为， 故选：B． 10. 已知抛物线（a，b，c，是常数，）经过点，其中．下列结论： ①； ②关于x的一元二次方程一定有一个根是小于1的正数； ③当时，y随x的增大而减小； ④分式的值小于3． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征．将点坐标代入抛物线解析式可得根据即可判断①；根据根与系数的关系判断②；抛物线对称轴，可以确定对称轴位置，所以时y随x的增大而减小判断③；将时，，即，裂项变形即可判断④． 【详解】解：①将点坐标代入抛物线解析式得：， ， ，故结论①错误； ②令，则， 两根之和，，两根之积，， 、均大于0， 当时，，，抛物线开口向上， 抛物线有1个根在0到1之间，即有1个根在0到1之间，故②正确； ③，，把其中c替换成a，，即 ， ， ，故③正确； ④，抛物线与x轴两个交点均在正半轴， 当时，，即， ， ，， ， ，故④正确． 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 若，则代数式的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的乘除运算法则把原式化简，把的值代入计算即可． 【详解】原式= ∵， ∴， ∴原式=． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则以及运用整体代入的思想求值是解题的关键． 12. 中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】用树状图把所有情况列出来，即可求出． 【详解】 总共有12种组合， 《论语》和《大学》的概率， 故答案为：． 【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式． 13. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是____．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式求出的取值范围，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意得：此一元二次方程根的判别式， 解得， 则的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 14. 如图，是的外接圆，连接并延长交于点，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接BD，则，再根据AD为直径，求得的度数 【详解】如图，连接BD，则 AD为直径 故答案 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，圆周角定理是中考中考查重点，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，点M为的中点，E是上的一点，连接，作点B关于直线的对称点，连接并延长交于点F．当最大时，点到的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，由题意可得：在上，过作于，由点B关于直线的对称点，可得，，，，当与切于点时，最大，此时，证明，重合，可得，，求解，证明，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，由题意可得：在上，过作于， ∵点B关于直线的对称点， ∴，，，， 当与切于点时，最大，此时， ∴， ∴，重合， ∴， ∵矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，圆的基本性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 先化简，再从，0，1，2中选择一个适当的数作为a的值代入求值． 【答案】，当时，原式为；当时，原式为． 【解析】 【分析】本题先对要求的式子进行化简，再选取一个适当的数代入即可求出结果． 【详解】解： ， 当a取，1，2时分式没有意义， 所以或0， 当时，原式； 当时，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，解题时要注意先对括号里边进行通分，再约分化简． 17. 如图，中，，相交于点，，分别是，的中点． （1）求证：； （2）设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图，连接， 四边形是平行四边形， ， 分别是，的中点， ， 四边形是平行四边形， ． （2）当时，四边形是矩形，理由： 由（1）已证：四边形是平行四边形， 要使平行四边形是矩形，则， ， ，即， ， 故当时，四边形是矩形． 【解析】 【分析】（1）连接，先根据平行四边形的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证； （2）先根据矩形的判定可得当时，四边形是矩形，再根据线段中点的定义、平行四边形的性质可得，由此即可得出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． 18. 某校为了解落实“双减”政策后学生每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）的情况，在全校随机抽取部分小学生进行调查，按四个组别进行整理，绘制成如下两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题： 抽取的学生作业时间统计表 组别 调查结果 人数（人） A 120 B a C 180 D 90 （1）这次调查抽取学生的总人数是_______，B组的学生人数______； （2）该校共有学生1500人，请估算该校每日书面作业时间不少于90分钟的学生人数； （3）请结合数据对该校“双减”工作提出一条合理性建议． 【答案】（1）600，210 （2）该校每日作业时长不少于90分钟的学生人数为675人 （3）建议该学校作业布置要减少题量或降低难度．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据总人数=A组人数÷A组所占百分比，总人数×B组百分比，即可求出本题答案；（2）1500×不低于90分钟学生的百分比，即可求出结果；（3）合理即可． 【小问1详解】 这次调查抽取学生的总人数是600，B组的学生人数； 故答案为：600，210； 【小问2详解】 （人）， 答：该校每日作业时长不少于90分钟的学生人数为675人； 【小问3详解】 该校每日作业时长不少于90分钟的学生人数占比高达45%，建议该学校作业布置要减少题量或降低难度．（答案不唯一，理由合理即可，没有结合数据得1分） 【点睛】本题考查统计表和扇形统计图，考查数据处理和分析的能力，解题关键在从不同的图中读出相应的统计量． 19. “为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点测得一小车从点A到点B行驶了6秒，已知，，米，问此车是否超速？请说明理由．（参考数据：，．） 【答案】 解：此车没有超速 理由：如图，过点C作于点H． ，米， 米， ， ， 米． 米． 千米/时米/秒， ． 此车没有超速． 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系的应用，得出的长是解题关键． 根据题意结合锐角三角函数关系得出，的长进而求出汽车的速度，进而得出答案． 【详解】略 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与x轴相交于点C，已知点，，连接． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出的解集． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为； （2）或 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，熟知一次函数及反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出m，把B坐标代入反比例函数解析式求出n，再把A和B点坐标代入一次函数解析式即可解答； （2）利用数形结合的思想即可解决问题． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数解析式得， ， 反比例函数的解析式为； 把代入得， ， 把和代入，得 ， 解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：根据图象，的解集为或． 21. 如图，是的外接圆，为的直径，点为弧中点，连接，作的平分线交于点，连接． （1）求证：； （2）若过C点的切线与的延长线交于点F，已知，求弧、线段围成的阴影部分面积； 【答案】（1） 证明：为的直径， ， 点为弧中点， ， ， 平分， ， ，， ， ； （2）1 【解析】 【分析】（1）先根据圆周角定理得到，则，然后证明得到； （2）连接、，如图，根据垂径定理得到，则利用和都为等腰直角三角形，所以，再根据切线的性质得到，接着证明为等腰直角三角形得到，然后根据扇形的面积公式，利用弧、线段、围成的阴影部分面积进行计算． 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和扇形的面积公式． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接、，如图， 点为弧中点， ， ∴和都为等腰直角三角形， ， ， ， 为的切线， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， 弧、线段、围成的阴影部分面积． 22. 网络直播销售已经成为一种热门的销售方式，某生产商在一销售平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价为6元/ ，每日销售量y（）与销售单价x（元/ ）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元/ ．设公司销售板栗的日获利为w（元）． x（元/ ） 7 8 9 y（） （1）直接写出日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为______；（不用写自变量的取值范围） （2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利w最大？最大利润为多少元？ （3）当销售单价在什么范围内时，日获利w不低于元？ 【答案】（1） （2）当销售单价定为元时，日获利w最大，最大利润为元 （3） 【解析】 【分析】（1）设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式，将，，代入得，，计算求解，进而可得结果； （2）依题意得，，由，，可知当时，日获利w最大，最大利润为元； （3）令，则，可求或，由，可得，由，可得． 【小问1详解】 解：设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式， 将，，代入得，， 解得，， ∴日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； 【小问2详解】 解：依题意得，， ∵，， ∴当时，日获利w最大，最大利润为元； 【小问3详解】 解：令，则， 解得，或， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系等知识．熟练掌握一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 23. 综合与实践． 【问题发现】 （1）如图1，在正方形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，连接，求证：， 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，E为对角线上的动点，过点B作的垂线，过点C作的垂线，两条垂线交于点F，且，连接，求的值． 【拓展延伸】 （3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线上的动点，其余条件不变，取线段的中点M，连接，，若，则当是直角三角形时，请求出的长． 【答案】（1）证明：四边形是正方形， ，，， ，， ， ，， ， ； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质和垂线的定义证明，利用全等三角形性质即可证明； （2）根据题意证明点，点E，点B，点F四点共圆，利用圆周角定理得到，进而得到，再证明，利用相似三角形性质即可得到的值； （3）由（2）知，利用得到，利用直角三角形性质得到， ，进而得到，根据E为直线上的动点，当是直角三角形，分以下情况讨论，当在线段上时，当或时，点不存在，当在延长线上时，设，则，结合勾股定理建立方程求解，即可解题； 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 点，点E，点B，点F四点共圆， ， ， ，， ， ， ，， ， ； （3）解：由（2）知：， ， ， ， ， ， 为的中点， ， 由（2）知， ， ， 又是直角三角形， ， ， 当在线段上时， 设，则， ，， ， ， ， ， 或（不合题意，舍去）， 当或时，点不存在， 当在延长线上时，设，则， ，， ， ， ， ， ， （不合题意，舍去）或， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查正方形性质，全等三角形性质和判定，四点共圆，圆周角定理，相似三角形性质和判定，直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解题的关键． 24. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求E，F两点间距离的最大值； （3）如图2，连接，在抛物线上存在点Q，使，请直接写出符合题意的点Q坐标． 【答案】（1） （2） （3）点Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由已知易得是等腰直角三角形，则；求出直线的表达式为，设点，则点，进而可表示出，求出的最大值即可得E，F两点间距离的最大值； （3）分两种情况：点Q在下方时，设交y轴于点H，由题意得，从而其正切值相等，即，从而求得点H的坐标，用待定系数法求出直线的表达式，与抛物线表达式联立即可求得点Q的坐标；点Q在上方时，过点A作轴，使，连接，在线段上截取，连接，易得四边形是矩形，则，；接着用证明，则有，进而得，最后求得点N的坐标；则可求得直线的表达式，联立抛物线表达式即可求得点Q的坐标；综合即可得结果． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由抛物线的表达式知，点， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，则， ∵轴，轴， ，， 是等腰直角三角形， ， 由点A、C的坐标得：直线的表达式为：， 设点，则点， ， ， 故有最大值，当时，的最大值为：， 则的最大值为：； 【小问3详解】 解：当点Q在下方时，如图，设交y轴于点H， ， ， ， ∴，即， ， 故； 设直线的表达式为，把点A坐标代入得：， 得， 故直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点； 当点Q在上方时，如图，过点A作轴，使，连接，在线段上截取，连接， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， 则，； ， ， ， ， ， ， ； ， ； 设直线解析式为，则有， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合；考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正切函数，解一元二次方程等知识，综合性强，注意分类讨论与数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $