精品解析：天津市朱唐庄中学2023-2024学年高一下学期阶段性检测数学试卷

朱唐庄中学2023-2024学年度第二学期阶段性检测 高一数学 本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分120分，考试时间100分钟.考生务必填写清楚班级、姓名、学号.将答案填写在答题卡上，考试结束后上交. 第Ⅰ卷（共 40 分） 一、单项选择（每题 4 分，共 40 分.每题仅有一个正确选项，请将正确选项写到答题卡上） 1. 已知向量，，则 A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 中，已知则等于（ ） A. 4 B. 3 C. D. 5. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ） A. ①棱台，②不是圆台 B. ②是圆台，③是棱锥 C. ③是棱锥，④是棱台 D. ③是棱锥，④是棱柱 6. 向量，，，若，则实数等于（ ） A. B. C. D. 7. 边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得，，米，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB＝（ ）米. A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共 80 分） 二、填空题（每题 5 分，共 30 分.） 11. i是虚数单位，化简的结果为__________________. 12. 在中，内角所对边分别是，若，则的值为____________. 13. 已知向量，，若，则与的夹角为_____________. 14. 已知，，若，则在方向上投影向量为_________________. 15. 侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的体积为_____；外接球表面积为______． 16. 在中，，，.若，，且，则的值为______. 三、解答题（共 50 分.） 17. 已知，与的夹角求： （1）； （2）值； （3）. 18. 已知是虚数单位，复数，. （1）当时，求； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 19. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2，c，cosA. （1）求sinC和b的值 ； （2）求的值. 20. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，PO⊥平面，，为中点. （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积. 21. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且. （1）求角A的大小； （2）若，，求边c和的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 朱唐庄中学2023-2024学年度第二学期阶段性检测 高一数学 本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分120分，考试时间100分钟.考生务必填写清楚班级、姓名、学号.将答案填写在答题卡上，考试结束后上交. 第Ⅰ卷（共 40 分） 一、单项选择（每题 4 分，共 40 分.每题仅有一个正确选项，请将正确选项写到答题卡上） 1. 已知向量，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以=（5，7），故选A. 考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题. 2. 已知为虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的运算求出，再根据其几何意义即可判断． 【详解】因为，所以其在复平面上对应的点在第二象限． 故选：B． 3. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥底面半径为1，母线长为2， 则圆锥的侧面积为 ． 故选：． 4. 在中，已知则等于（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求出． 【详解】由余弦定理可得，，所以． 故选：C． 5. 如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（ ） A. ①是棱台，②不是圆台 B. ②是圆台，③是棱锥 C. ③是棱锥，④是棱台 D. ③是棱锥，④是棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台、圆台的概念与几何特征即可判断. 【详解】对于A：①不是棱台，因为侧面不都是平行四边形，故A错误； 对于B：②不是圆台，因为上下底面不平行，故B错误； 对于C：④是棱柱，故C错误； 对于D：③是棱锥，④是棱柱，故D正确. 故选：D 6. 向量，，，若，则实数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，进而可解得实数的值. 【详解】由已知可得， ，所以，，解得. 故选：B. 7. 边长为的正方形，其水平放置的直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用斜二测画法求解即可. 【详解】作出正方形直观图，如图： 则面积为， 故选：A. 8. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦定理把化为，再结合余弦定理求角即可 【详解】∵，∴，结合即可求得． 由余弦定理可得. 又∵，∴． 故选：D 9. 如图，在平行四边形中，E是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的平行四边形法则和三角形法则求即可. 【详解】因为E是的中点，所以又 所以 所以 故选:C. 10. 如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得，，米，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高AB＝（ ）米. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】中，根据正弦定理解得，在中，利用三角函数关系得到. 【详解】因为，，所以， 在中，根据正弦定理可知 即，解得． 在中， 所以． 故选：A． 第Ⅱ卷（共 80 分） 二、填空题（每题 5 分，共 30 分.） 11. i是虚数单位，化简的结果为__________________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数除法运算可得答案. 【详解】. 故答案为：. 12. 在中，内角所对的边分别是，若，则的值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理可得答案. 【详解】若，则， 可得， 由余弦定理得. 故答案为：. 13. 已知向量，，若，则与的夹角为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量夹角公式求解. 【详解】设与的夹角为， 则，又， 所以，即与的夹角为. 故答案为： 14. 已知，，若，则在方向上的投影向量为_________________. 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解即可. 【详解】在方向上的投影向量为 故答案为：. 15. 侧棱长为3，底面边长为正四棱柱的体积为_____；外接球表面积为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由体积公式计算体积，根据正四棱柱的体对角线等于外接球的直径，利用勾股定理计算得到球的直径，进而利用球的表面积公式计算得到表面积. 【详解】如图所示，在已知正四棱柱中，连接. 根据正四棱柱的定义可得底面为正方形且底面， 所以. 该正四棱柱的体积为：; 外接球的直径, ∴外接球的表面积. 故答案为：24；. 16. 在中，，，.若，，且，则的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】结合已知，用表示，然后结合向量数量积的运算性质即可求解． 【详解】∵，， ∴. ， ∵， ∴， 则，解得. 故答案为：. 三、解答题（共 50 分.） 17. 已知，与的夹角求： （1）； （2）的值； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接代入向量的数量积公式计算即可； （2）根据向量的运算律计算即可； （3）根据向量模的公式计算即可. 【小问1详解】 ===； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ， 所以，. 18. 已知是虚数单位，复数，. （1）当时，求； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据复数的模长公式，可得答案； （2）根据纯虚数的定义，建立方程组，可得答案； （3）根据复数的几何意义，建立不等式组，可得答案. 小问1详解】 当时，，所以. 【小问2详解】 若复数是纯虚数，则，解得，所以. 【小问3详解】 复数在复平面内对应的点位于第二象限，则，即， 所以，实数的取值范围是. 19. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2，c，cosA. （1）求sinC和b的值 ； （2）求的值. 【答案】（1），1 （2） 【解析】 【分析】（1）由，代入即得解，利用可得，再利用正弦定理可得解； （2）先求解，利用两角和的余弦公式展开，即得解. 【小问1详解】 因为， 且，， 所以； 因为，且， 所以 又， 解得； 【小问2详解】 因为， ， 所以 20. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为中点，PO⊥平面，，为中点. （1）证明：平面； （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由三角形中位线性质可得，由线面平行判定可得结论； （2）利用三棱锥体积公式可求得结果 【小问1详解】 如图所示，连接， 因为为平行四边形，是中点， 所以是平行四边形的对角线，所以是中点， 又因为是中点，所以是中位线，所以， 因为平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 . 21. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且. （1）求角A的大小； （2）若，，求边c和的面积. 【答案】（1）；（2），的面积为. 【解析】 【分析】（1）先由向量共线得到，再由正弦定理，结合题中条件，即可得出结果； （2）根据余弦定理，先求出；再由三角形面积公式，即可得出面积. 【详解】（1）因为，，且， 所以，由正弦定理可得， 因为A，B为的内角，所以， 因此可化为，即，所以； （2）因为，，， 由余弦定理可得，即，即， 解得或（舍）， 所以面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$