精品解析：辽宁省抚顺市新宾满族自治县2023-2024学年九年级下学期5月月考数学试题

辽宁省抚顺市新宾满族自治县2023-2024学年九年级下学期5月月考数学试题 （本试卷共23小题 满分120分 考试时间：120分钟） 注意事项：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效. 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达8016000000元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据8016000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够完全重合，称这个图形是轴对称图形，中心对称图形是图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，可得选项、、不符合题意，选项符合题意． 【详解】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 、不轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称和中心对称图形的定义，掌握两者的定义是解题的关键． 3. 如图所示的钢块零件的俯视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从不同位置看简单组合体，根据从不同位置看简单组合体的定义和画法画出它的俯视图即可． 【详解】解：这个组合体的俯视图为： 故选：D． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式运算，熟记法则并根据法则计算是解题关键． 根据同底数幂的乘法，可判断A；根据合并同类项，可判断B；根据幂的乘方，可判断C；根据同底数幂的除法，可判断D． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B错误； C、，故C正确； D、，故D错误； 故选：C． 5. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是　　 A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】根据根的判别式进行求解即可得答案. 【详解】，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键. 一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 6. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 5和5 B. 5和4 C. 5和6 D. 6和5 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数和中位数的概念求解． 【详解】解：将数据重新排列为3，4，5，5，6，7， 所以这组数据的众数为5，中位数， 故选：A． 【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 7. 将方程 去分母，两边同乘后的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据等式的性质方程两边乘得出，问题即可作答． 【详解】解： 方程两边同时乘，得， 故选：D． 8. 如图，用平移法说明平行四边形的面积公式时， 若平移到，，，则的平移距离为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，平移的性质，根据平移的性质结合矩形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 由平移的性质得， ∴， ∴平行四边形的面积=矩形的面积， ∴的平移距离为4． 故选：C． 9. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，解直角三角形等知识，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积公式是解题的关键．过点作于点，设等边三角形的边长为，求出等边的面积为，根据“莱洛三角形”的面积为列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：过点作于点，设等边三角形的边长为， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴等边的面积为， ∴， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴等边三角形的边长为， 故选：A． 10. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置判断①；由抛物线的对称性可判断②；由二次函数与方程的关系，以及根与系数的关系可判断③；由二次函数的性质可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线对称轴为直线时，， ∴时，， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点是， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， 若且，则点到对称轴的距离小于到直线的距离， ∴，故不正确． 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义，即被开方数为非负数，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义 ∴， 解得． 故答案为： 12. 一个扇形的弧长是π，半径是2，则此扇形的圆心角为_______度． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的计算问题．直接利用弧长公式，代入弧长，半径的值即可求解． 【详解】解：这里，，代入得，， 解得， 故答案为：90． 13. 某校组织“歌唱祖国”合唱比赛，七年一班准备从《我和我的祖国》、《国家》、《龙的传人》三首歌曲中选择两首进行排练，那么该班恰好选中《国家》、《龙的传人》这两首歌的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表得出共有6种等可能的结果，其中该班恰好选中《国家》、《龙的传人》这两首歌的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把《我和我的祖国》、《国家》、《龙的传人》三首歌曲分别记为A、B、C， 列表如下： 歌曲 A B C A B C 由上表可知，共有6种等可能的结果，其中该班恰好选中《国家》、《龙的传人》这两首歌的结果有2种， ∴该班恰好选中《国家》、《龙的传人》这两首歌的概率是， 故答案为：． 14. 如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点A和对角线的交点E，若点D的坐标为，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，根据题意可以设出点的坐标，从而可以得到点的坐标，进而求得的值，从而可以解答本题．解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的知识解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过正方形的顶点A和对角线的交点E，若点D的坐标为， ∴点A的坐标为， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点是斜边边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，点为线段的中点，连接，若，，则线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了中位线的定义，三角函数，相似三角形的判定，勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；根据题意，延长至点，使，连接，，由相似三角形性质和勾股定理可得出答案． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，， 点是中点，点是中点， 是的中位线， ， 作，垂足为， ，， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，，， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在上取点，使， 则， ， ， 在 中，， ， ， ． 如图所示，同理可求，． 综上所述：线段的长为或． 故答案为：或． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据零指数幂运算法则，算术平方根定义进行计算即可； （2）根据分式加、减、乘、除混合运算法则进行计算即可． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”．为了更好地落实文件精神，某县对辖区内部分初中学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间（用t表示，单位h）状况设置了如下四个选项，分别为A：，B：，C：，D：，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次调查，选项A中的学生人数是多少？ （2）在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为多少？ （3）如果该县有15000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有多少人？ （4）请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议． 【答案】（1）8人 （2） （3）9600人 （4）见解析 【解析】 【分析】（1）用选项C中的学生人数除以其所占比例求出总人数，然后用总人数减去其它三个组的人数即可求出选项A的人数； （2）用乘以其所占比例即可求出答案； （3）利用样本估计总体的思想解答即可； （4）答案不唯一，合理即可；如可以结合（3）小题的结果分析． 【小问1详解】 解：此次调查的总人数是人， 所以选项A中的学生人数是（人）； 【小问2详解】 ， 选项D所对应的扇形圆心角的大小为； 小问3详解】 ； 所以估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有9600人； 【小问4详解】 我的作业时间属于B选项；从调查结果来看：仅有的学生符合“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”，还有的学生每天完成书面作业的时间超过了90分钟，所以布置的作业应该精简量少．（答案不唯一，合理即可）． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图以及利用样本估计总体等知识，正确理解题意、从统计图中获取解题所需要的信息是解题的关键． 18. “健康湖南，云动潇湘”，为迎接2023年全民健身线上运动会，某中学计划购进一批篮球和排球．若购买3个篮球和1个排球共需元；若购买5个篮球和3个排球共需元． （1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元？ （2）该学校计划购进篮球和排球共个，且购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】（1）篮球元/个，排球元/个 （2）当学校购买进篮球个，购进排球个，总费用最少，最少费用是元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．根据题意正确的列等式和不等式是解题的关键． （1）设篮球x元/个，排球y元/个，依题意，得：，计算求解即可； （2）设购进篮球m个，则购进排球个，设总费用为w元，则，解得．依题意，得：，根据一次函数的性质进行判断作答即可． 【小问1详解】 解：设篮球x元/个，排球y元/个， 依题意，得：， 解得， 答：设篮球元/个，排球元/个． 【小问2详解】 解：设购进篮球m个，则购进排球个，设总费用为w元， ∵购买篮球的个数不少于排球个数的3倍， ∴， 解得． 依题意，得：， ∵， ∴w随m值的增大而增大， ∴当学校购买进篮球个，购进排球个，总费用最少，最少费用是元． 19. 为了提高学生身体素质，某学校组织学生跑步训练．男女生在相同起点出发，开始男生跑停下，等女生跑到处时，男生、女生同时开始匀速跑步至终点．已知男生的匀速跑速度为，男生、女生从开始匀速跑步到停止跑步的时间与男生、女生跑过的路程之间的关系如图所示． （1）求男生、女生跑步的路程a； （2）求男生、女生相遇时，跑过的路程． 【答案】（1）男生、女生跑步的路程a为； （2）男生、女生相遇时，跑过的路程为． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）先求出男生从开始匀速跑步到停止跑步的路程，进而可以求得； （2）先求出他们的函数解析式，联立函数解析即可求得相遇时跑过的路程． 【小问1详解】 解：由图象得，男生从开始匀速跑步到停止跑步共用时， 开始时男生跑了，男生的跑步速度为， 男生跑步的路程：， 答：男生、女生跑步的路程a为． 【小问2详解】 由题意的，男生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：， 设女生从开始匀速跑步到停止跑步的直线解析式为：，经过， ，解得， ， ，解得， 答：男生、女生相遇时，跑过的路程为． 20. 如图1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽为1.2米 （参考数据：，，，，，） （1）当车门打开角度为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由 （2）若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？ 【答案】（1）车门不会碰到墙，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图：过点A作，垂足为点G．解三角形求出AC的长度，然后比较即可； （2）如图：过点A作，垂足为D，，求出即可． 【小问1详解】 解：车门不会碰到墙，理由如下： 如图：过点A作，垂足为点C． 在中，， ∴， ∵， ∴车门不会碰到墙． 【小问2详解】 解：过点A作，垂足为D， 在中， ∵， ∴． ∴， 又∵正弦值随着角度增大而增大， ∴靠墙一侧车门能打开的最大角度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确构建直角三角形并灵活解直角三角形是解答本题的关键． 21. 如图，四边形是的内接四边形，为的直径，点D为的中点，连接，是的切线， 交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若 ， 求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质，弧的中点，平行线的性质证明即可． （2）根据切线性质，勾股定理，圆的内接四边形，三角形相似的判定和性质，解答即可． 本题考查了切线性质，圆内解四边形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 小问1详解】 连接， 是的切线， ，即， D为的中点， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 为直径， ， ，， ， D为的中点， ， ， ， 又四边形是的内接四边形， ， ， ， ， ， 即， ， 答：的长是． 22. 【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1的边加长长度为，加长后水池1的总面积为 ，则关于x的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于x的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图3． 【问题解决】 （1）求关于x的函数解析式； （2）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值； （3）假设水池的边的长度为，其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称水池3)，则水池3的总面积，关于的函数解析式为：，若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求b的值． 【答案】（1） （2）当时，面积差的最大值为 （3）b的值为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据二次函数性质，求出最值即可； （3）根据面积相等列出方程，根据求解即可． 【小问1详解】 解：由图象得，经过点C，E， 点C的横坐标为1，点E的横坐标为4， 当时，，当时，， ，， 经过经过点，， ，解得， ； 【小问2详解】 由图象得，在范围内，， 两个水池面积差， ，抛物线开口向下， 函数有最大值， 当时，函数有最大值， 答：当时，面积差的最大值为． 【小问3详解】 水池3与水池2的面积相等， ， 整理得，， x有唯一值， ，解得，， 答：b的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图像与性质，求函数解析式，二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数图像与性质是解题关键． 23. 【问题初探】 （1）用数学的眼光观察：如图1，在菱形中，，点E是对角线上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转得到EF，连接，，求的度数． 【类比分析】 （2）用数学的思维思考：如图2，在正方形中，点E是对角线上一动点，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，，判断C，D，F三点的位置关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）用数学的语言表达：如图3在矩形中，，点E是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，连接，，若是以为腰的等腰三角形，求的长度． 【答案】（1）；（2）C，D，F三点共线，理由见解析；（3）的长度为或． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质，得到为等边三角形，进而证明，即可得出结果； （2）过点作，交于点，利用正方形的性质和旋转的性质，证明，推出，即可得出结论； （3）过点作，交于点，先证明，进而得到点的运动轨迹，然后分，，两种情况，设，结合相似三角形的性质，解直角三角形，利用勾股定理列出方程进行求解即可． 【详解】解：（1）∵菱形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 将绕点E顺时针旋转得到， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）C，D，F三点共线，理由如下：过点E作EG⊥DE，交AD于点G， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 将绕点E顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线； （3）如图，过点作，交于点， ∵矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上移动， 当是以为腰的等腰三角形，分两种情况讨论： ①当时：过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：（负值已舍掉）； ∴， ∴； ②当时：过点作， ∵矩形， ∴， ∴， 设，则：， 由（1）知， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：（负值已舍掉）， ∴． 综上：或． 【点睛】本题考查旋转的性质，菱形，正方形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，解题的关键是掌握相关性质，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省抚顺市新宾满族自治县2023-2024学年九年级下学期5月月考数学试题 （本试卷共23小题 满分120分 考试时间：120分钟） 注意事项：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效. 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达8016000000元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据8016000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的钢块零件的俯视图为（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是　　 A. 有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 6. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 5和5 B. 5和4 C. 5和6 D. 6和5 7. 将方程 去分母，两边同乘后式子为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，用平移法说明平行四边形的面积公式时， 若平移到，，，则的平移距离为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 9. “莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径作弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”，若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为（ ） A. 1 B. C. D. 2 10. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③；④抛物线上有两点和，若且，则．正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 二次根式在实数范围内有意义，x的取值范围是________． 12. 一个扇形的弧长是π，半径是2，则此扇形的圆心角为_______度． 13. 某校组织“歌唱祖国”合唱比赛，七年一班准备从《我和我的祖国》、《国家》、《龙的传人》三首歌曲中选择两首进行排练，那么该班恰好选中《国家》、《龙的传人》这两首歌的概率是________． 14. 如图，反比例函数的图象经过正方形的顶点A和对角线的交点E，若点D的坐标为，则k的值为________． 15. 如图，在中，，，点是斜边边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接线段，点为线段的中点，连接，若，，则线段的长为______． 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”．为了更好地落实文件精神，某县对辖区内部分初中学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间（用t表示，单位h）状况设置了如下四个选项，分别为A：，B：，C：，D：，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图． 请根据以上提供的信息解答下列问题： （1）此次调查，选项A中学生人数是多少？ （2）在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为多少？ （3）如果该县有15000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有多少人？ （4）请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议． 18. “健康湖南，云动潇湘”，为迎接2023年全民健身线上运动会，某中学计划购进一批篮球和排球．若购买3个篮球和1个排球共需元；若购买5个篮球和3个排球共需元． （1）求每个篮球和每个排球的价格分别是多少元？ （2）该学校计划购进篮球和排球共个，且购买篮球的个数不少于排球个数的3倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少总费用． 19. 为了提高学生身体素质，某学校组织学生跑步训练．男女生在相同起点出发，开始男生跑停下，等女生跑到处时，男生、女生同时开始匀速跑步至终点．已知男生的匀速跑速度为，男生、女生从开始匀速跑步到停止跑步的时间与男生、女生跑过的路程之间的关系如图所示． （1）求男生、女生跑步的路程a； （2）求男生、女生相遇时，跑过的路程． 20. 如图1，是一辆小汽车与墙平行停放实物图片，图2是它的俯视图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽为1.2米 （参考数据：，，，，，） （1）当车门打开角度为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由 （2）若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？ 21. 如图，四边形是的内接四边形，为的直径，点D为的中点，连接，是的切线， 交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若 ， 求的长． 22. 【生活情境】 为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的矩形水池进行加长改造（如图1，改造后的水池仍为矩形，以下简称水池1），同时，再建造一个周长为12m的矩形水池（如图2，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池1边加长长度为，加长后水池1的总面积为 ，则关于x的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于x的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图3． 【问题解决】 （1）求关于x的函数解析式； （2）在范围内，求两个水池面积差的最大值和此时x的值； （3）假设水池边的长度为，其他条件不变(这个加长改造后的新水池简称水池3)，则水池3的总面积，关于的函数解析式为：，若水池3与水池2的面积相等时，有唯一值，求b的值． 23. 【问题初探】 （1）用数学的眼光观察：如图1，在菱形中，，点E是对角线上一动点，连接，将绕点E顺时针旋转得到EF，连接，，求的度数． 【类比分析】 （2）用数学的思维思考：如图2，在正方形中，点E是对角线上一动点，且，连接，将绕点E顺时针旋转得到，连接，，判断C，D，F三点的位置关系，并说明理由； 【学以致用】 （3）用数学的语言表达：如图3在矩形中，，点E是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，连接，，若是以为腰的等腰三角形，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$