精品解析：湖北省仙桃市田家炳实验高级中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题

仙桃市田家炳实验高中2024年春季学期期中考试 高二数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项是正确的 ） 1. 若＝18，则m等于（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 2. 已知函数，则（　　） A. B. C. D. 3. 用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 A. 24 B. 30 C. 40 D. 60 4. 已知的展开式中含的项的系数为，则等于（ ）． A. B. C. D. 5. 从甲、乙等5人中选3人排成一列,则甲不在排头的排法种数是(　　) A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 6. 已知，为的导函数，则的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数为奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有两个或两个以上选项是正确的.选对部分正确答案只得2分，选对全部正确答案得5分 ） 9. 已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（ ） A. B. 展开式中二项式系数之和为256 C. 展开式中常数项为 D. 展开式系数的绝对值的和为 10. A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ） A. 若A、B两人站在一起有24种方法 B 若A、B不相邻共有72种方法 C. 若A在B左边有60种排法 D. 若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法 11. 关于的方程在上有个解.则实数可以等于（ ） A. B. C. D. 12. 如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（    ） A. 在上是增函数 B. 当时，取得极小值； C. 在上是增函数、在上是减函数； D. 当时，取得极大值 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案写在横线上的 ） 13. 函数（）在处有极值，则曲线在原点处的切线方程是__________． 14. 若二项式（x﹣）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是___________． 15. 将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）； 16. 已知关于方程恰有三个不同的实数根，则当函数时，函数 的极大值为_________，实数的取值范围是__________. 四、解答题解答题（本大题共6小题，共70分.解答必须写出完整的文字、推理过程 ） 17. 已知函数在处的切线为. （1）求实数的值； （2）求的单调区间. 18. 若函数，当时，函数有极值. （1）求函数的极值； （2）若关于的方程有三个零点，求实数的取值范围. 19. 从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件选法数. （1），必须被选出； （2）至少有2名女生被选出； （3）让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任. 20. 已知展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项，求展开式中含的项的二项式系数. 21. 一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为(4－x)万元，且每万件国家给予补助万元.(e为自然对数的底数，是一个常数) （1）写出月利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式； （2）当月产量在[1,2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值(万元)及此时的月生产量值(万件).(注：月利润＝月销售收入＋月国家补助－月总成本) 22. 已知函数 (mR) （1）当时， ①求函数在x=1处的切线方程； ②求函数在上最大，最小值． （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 仙桃市田家炳实验高中2024年春季学期期中考试 高二数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项是正确的 ） 1. 若＝18，则m等于（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由A＝m(m－1)(m－2)(m－3)＝18·，得m－3＝3，m＝6. 2. 已知函数，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：先求导，再求，再化简得解. 详解：由题得， ∴. 因为=， ∴=1 故选A. 点睛：本题主要考查导数的运算和导数的定义，属于基础题. 3. 用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有 A. 24 B. 30 C. 40 D. 60 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：按偶数字在个位分类：个位只能是2或者4，十位在余下4个中选择，百位在余下3个中选择．所以答案是2×4×3=24，故选A． 考点：主要考查分步计数原理的应用． 点评：特别注意偶数其个位必定是偶数字． 4. 已知的展开式中含的项的系数为，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，令， 可得解得. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的运用，属于容易题. 5. 从甲、乙等5人中选3人排成一列,则甲不在排头的排法种数是(　　) A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】D 【解析】 【详解】解：(1)不选甲的排列就是，（2）选甲，甲不在排头的情况有，，这样所有的情况共有48种 6. 已知，为的导函数，则的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简，再求其导数，得出导函数是奇函数，排除B，D．再根据导函数的导函数小于0的的范围，确定导函数在上单调递减，从而排除C，即可得出正确答案． 【详解】由， ∴，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D． 又，当＜x＜时，＞，∴＜0， 故函数y＝在区间 上单调递减，故排除C． 故选A． 【点睛】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题． 7. 已知函数在内不是单调函数，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 求出，根据已知在存在变号零点，即可求解. 【详解】∵，在内不是单调函数， 故在存在变号零点，即在存在零点， ∴. 故选：A. 【点睛】本题考查函数导数与函数单调性的关系，考查计算求解能力，属于基础题. 8. 设函数为奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数在上为增函数，又由于函数为奇函数，所以在上单调递增，再由奇函数的性质对变形，得，从而得，进而可求得解集 【详解】解：由，得， 因为，所以， 所以在上单调递增， 因为函数为奇函数，所以在上单调递增， 由，得， 因为函数为奇函数，所以， 因为上单调递增，所以，得 故选：D 【点睛】此题考查奇函数的性质的应用，考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，属于中档题 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.每小题有两个或两个以上选项是正确的.选对部分正确答案只得2分，选对全部正确答案得5分 ） 9. 已知的展开式中各项系数的和为1，则下列结论正确的有（ ） A. B. 展开式中二项式系数之和为256 C. 展开式中常数项为 D. 展开式系数的绝对值的和为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项，令二项式中的为1得到展开式的各项系数和得到，求解；对于B选项，因为二项式系数和为,由于，从而展开式中二项式系数之和为128；对于C选项，通项公式，令得到，从而得到展开式中没有常数项；对于D选项，展开式系数的绝对值的和为的展开式各项系数之和，最后在二项式中令求解即可. 【详解】令二项式中的为1得到展开式的各项系数和为， 所以，则，故A正确； 展开式中二项式系数之和为，故B错误； 展开式的通项为， 令，得，故展开式中无常数项，故C错误； 展开式系数的绝对值的和为的展开式各项系数之和， 令得，故D正确. 故选：AD 【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 10. A、B、C、D、E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有（ ） A. 若A、B两人站在一起有24种方法 B. 若A、B不相邻共有72种方法 C. 若A在B左边有60种排法 D. 若A不站在最左边，B不站最右边，有78种方法 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分类加法，分步乘法原理，结合排列的相关知识点，对选项一一分析. 【详解】对于A，先将A，B排列，再看成一个元素，和剩余的3人，一共4个元素进行全排列，由分步原理可知共有种，所以A不正确； 对于B，先将A，B之外的3人全排列，产生4个空，再将A，B两元素插空，所以共有种，所以B正确； 对于C，5人全排列，而其中A在B的左边和A在B的右边是等可能的，所以A在B的左边的排法有种，所以以C正确； 对于D，对A分两种情况：一是若A站在最右边，则剩下的4人全排列有种，另一个是A不在最左边也不在最右边，则A从中间的3个位置中任选1个，然后B从除最右边的3个位置中任选1个，最后剩下3人全排列，即，由分类加法原理可知共有种，所以D正确， 故选：BCD 【点睛】方法点睛：捆绑法解决相邻问题，插空法解决不相邻问题. 11. 关于的方程在上有个解.则实数可以等于（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】将题意转化为与图象在上有个交点，根据图像可得实数的取值范围，即可判断满足条件的选项. 【详解】在上有个解， 即在上有个解， 转化为与图象在上有个交点. . 令，得， 时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减. 如图所示： 由图像可知， 满足题意的是. 故选：. 【点睛】本题主要考查的是方程的根与函数的零点间的关系，利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想的应用，考查学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力，是中档题. 12. 如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（    ） A. 在上是增函数 B. 当时，取得极小值； C. 在上是增函数、在上是减函数； D. 当时，取得极大值 【答案】BC 【解析】 【分析】由图可判断的正负号，即可判断的单调性，即可选出答案. 【详解】由图可知：当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 当时，函数取得极小值，其中不是函数的极值点. 故选：BC 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案写在横线上的 ） 13. 函数（）在处有极值，则曲线在原点处的切线方程是__________． 【答案】 【解析】 【详解】,则曲线在原点处的切线方程是. 故答案为： 14. 若二项式（x﹣）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，则a的值是___________． 【答案】2 【解析】 【详解】展开式的通项为 令得r=2， 所以A= 令得r=4， 所以B= ∵B=4A，即=4， 解得a=2 15. 将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有 种（用数字作答）； 【答案】90 【解析】 【详解】先选三个不同场馆中只去一名志愿者，共有种选法； 剩下的两个场馆只需各取两名志愿者，共有种选法， 由乘法原理得分配方案有种． 16. 已知关于的方程恰有三个不同的实数根，则当函数时，函数 的极大值为_________，实数的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（１）用导数来研究 的极大值； （２）将图像画出来，看直线与曲线的交点，可以求解． 【详解】（１）定义域为R，求导，令，解得． 分类讨论 极大值 极小值 则极大值为． （２）当根据（１）表格可以大概画出图像如下． 关于的方程恰有三个不同的实数根，即恰有三个不同的实数根， 则与恰有三个不同交点，则. 故答案为：；． 四、解答题解答题（本大题共6小题，共70分.解答必须写出完整的文字、推理过程 ） 17. 已知函数在处的切线为. （1）求实数的值； （2）求的单调区间. 【答案】（1）（2）减区间为增区间为 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）可求出a，b的值；（2）求出函数的解析式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； 【详解】（1）依题意可得： 又函数在处的切线为， 解得： （2）由（1）可得：f'（x）＝1+lnx， 当时，f'（x）≤0，f（x）单调递减； 当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增， ∴的单调减区间为的单调增区间为. 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于基础题． 18. 若函数，当时，函数有极值. （1）求函数的极值； （2）若关于的方程有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）极大值，极小值； （2） 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，利用，解方程组即可得解析式； 对函数求导，令，并解导数不等式，分类讨论即可得答案； （2）作出函数的图象，直线与函数图象需有3个交点，即可得答案； 【小问1详解】 ，由题意知，解得， 故所求的解析式为；， 令，得或，列表如下： 极大值 极小值 当时，有极大值，当时，有极小值； 【小问2详解】 由（1）知，得到当或时，为增函数； 当时，为减函数， ∴函数的图象大致如图， 由图可知当时，与有三个交点，有三个零点， 所以实数的取值范围为． 19. 从7名男生和5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法数. （1），必须被选出； （2）至少有2名女生被选出； （3）让选出的5人分别担任体育委员、文娱委员等5种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）从以外的人中，任选个人，由此求得选法数. （2）先计算出从人任选人的方法数，然后减去至多有名女生被选出的方法数，由此求得选法数. （3）先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的人中任选人进行安排，由此求得选法数. 【详解】（1）由于，必须被选出，再从以外的人中，任选个人，故选法数有种. （2）从人任选人的方法数有，选出的人中没有女生的方法数有，选出的人中有名女生的方法数有. 所以至少有2名女生被选出的选法数为. （3）先选出一名男生担任体育委员、然后选出一名女生担任文娱委员、再在剩余的人中任选人安排职务，故选法数为. 【点睛】本小题主要考查实际生活中的组合数、排列数的计算，属于基础题. 20. 已知的展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项，求展开式中含的项的二项式系数. 【答案】35 【解析】 【分析】 先研究的展开式的通项为．求出的展开式的各项系数之和，解方程求出，再由二项展开式的通项公式求得的项是第4项 【详解】设的展开式中的通项为. 若求常数项，则令，代入上式. 即常数项是， 又的展开式的各项系数之和为， ∴， 而的通项公式， 令，解得， 即二项式系数 【点睛】本题考查二项式的系数的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的性质，考查了利用二项式的性质进行变形，属于中档题， 21. 一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为(4－x)万元，且每万件国家给予补助万元.(e为自然对数的底数，是一个常数) （1）写出月利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式； （2）当月产量在[1,2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值(万元)及此时的月生产量值(万件).(注：月利润＝月销售收入＋月国家补助－月总成本) 【答案】（1）；（2）所获得的月利润最大值为，此时的月生产量值为（万件）. 【解析】 【分析】（1）由月利润＝月销售收入＋月国家补助－月总成本，列出函数关系式； （2）利用导数求在[1,2e]上的最大值即可 【详解】解：由题意可得 (2)的定义域为[1,2e]， 则 列表如下： x (1，e) e (e2e] f′(x) ＋ 0 － f(x) 极大值 由上表得：在定义域[1,2e]上的最大值为f(e)，且f(e)＝e2－2. 即月生产量在[1,2e]万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f(e)＝e2－2，此时的月生产量值为e(万件) . 【点睛】此题考查利用导数研究函数的单调性，求函数的最值等知识，考查利用导数解决实际问题的能力及运算求解能力，属于中档题. 22. 已知函数 (mR) （1）当时， ①求函数在x=1处的切线方程； ②求函数在上的最大，最小值． （2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围； 【答案】（1）①；②函数在上的最大值为，最小值为；（2）. 【解析】 【分析】（1）当时，求出函数的导数. ①根据导数的几何意义求出函数在x=1处的切线的斜率，写出切线的点斜式方程，最后化成一般形式即可； ②根据导函数的正负性判断出函数的单调性，进而根据函数的极值定义求出函数的极值，再比较给定区间端点函数值进行求解即可； （2）求出函数的导数，根据函数单调性和导数正负性的关系，得到不等式，常变量分离，构造新函数，判断新函数的单调性，求出新函数的最值进行求解即可. 【详解】（1）当时，. ①当x=1时，， 所以函数在x=1处的切线的斜率为，因此切线方程为： ； ②因为，所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数有极小值， 而， 所以函数在上的最大值为，最小值为； （2）， 因为函数在上单调递增， 所以 在时恒成立， 即在时恒成立，设，， 因为当时，函数单调递增，所以， 因此要想在时恒成立，只需. 所以当函数在上单调递增时，实数的取值范围为. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的在闭区间上的最值，考查了利用导数的几何意义求函数的切线，考查了已知函数的单调性求参数取值范围，考查了数学运算能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$