16.2最简二次根式和同类二次根式（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

16.2 最简二次根式和同类二次根式 知识点一 最简二次根式 ★1.最简二次根式的概念 化简后的二次根式里: （1）被开方数中各因式的指数都为1; （2）被开方数不含分母. 被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 特别提醒 1. 这里说到的因式是指因式分解和素因数分解后的因式和因数; 2. 两个条件缺一不可. ★2.二次根式的化简 根据是二次根式的4个性质: （1） （2） （3） （4） 特别提醒 对二次根式进行化简时,要注意以下几点: (1)保证每一步所得的二次根式都有意义; (2)要化简的二次根式的被开方数是分数或分式时，分子开方化简的结果还是分子，分母开方化简的结果还是分母; (3)结果要化为最简二次根式. 知识点二 同类二次根式 ★1.同类二次根式的概念 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. ★2合并同类二次根式 合并同类二次根式与合并同类项类似，只需将同类二次根式根号外的因式进行加减,根指数与根号内的被开方数不变. 题型一 最简二次根式的概念 解题技巧提炼 最简二次根式的判断方法： 一看：看被开方数中是否有指数不是1的因式，且被开方数中是否含有分母； 二化: 若被开方数是多项式，能化成因式乘积的形式,要先化成积的形式； 三判：判断之后得出结论. 1．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海静安·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海宝山·期末）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·上海崇明·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·上海长宁·期末）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型二 复合二次根式的化简 解题技巧提炼 二次根式化简后的结果满足的三个条件： (1)被开方数中不含小数或分母,即被开方数是整数或整式; (2)被开方数中不含指数大于1的因数或因式； (3)分母中不含有根号 1．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 2．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 3．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）化简： ． 4．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 5．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 题型三 化为最简二次根式 解题技巧提炼 把二次根式化为最简二次根式的一般步骤 第1步:将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方; 第2步:化去根号下的分母或化去分母的根号 1．（23-24八年级上·上海普陀·期末）化简： ． 2．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知，化简： ． 3．（22-23八年级上·上海静安·期中）化简： 4．把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 5．将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（） (4)（，，）． 6．判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ (1)，，； (2)，，． 题型四 已知最简二次根式求参数 解题技巧提炼 解题的关键是抓住一个条件“都是最简二次根式”“是同类二次根式”和两个相同:(1)根指数相同，都为2;(2)被开方数相同.根据这两个相同列出方程组求解 1．若与最简二次根式能合并，则m的值为 2．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ． 3．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ． 4．若和都是最简二次根式，则 ． 5．已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 6．若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求、的值； (2)、平方和的算术平方根． 题型五 同类二次根式 解题技巧提炼 1.同类二次根式的判断,只与化简后的最简二次根式的被开方数有关，与根号外的因式无关. 2.判断几个二次根式是否为同类二次根式,分两步: (1)把各个二次根式化成最简二次根式； (2)观察它们的被开方数,若被开方数相同，则它们是同类二次根式: 否则就不是. 1．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海静安·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）下列二次根式，不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·上海普陀·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·上海青浦·期中）若最简二次根式与是同类根式，则 ． 7．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 题型六 二次根式的创新题 解题技巧提炼 解决二次根式的创新题，可以结合分母有理化、最简二次根式条件、同类二次根式性质等进行解答. 1. 设的整数部分为，小数部分为， . 2.若最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 3.数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若y则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题： （1）点的“横负纵变点”为　 　 ，点的“横负纵变点”为　　 ； （2）化简： 3129题型七 二次根式的探究题 解题技巧提炼 解创新规律探究题的一般方法： (1)操作:运用相关知识对给出的算式求出结果； (2)观察与发现:观察操作中所列出的式子或等式,发现其规律; (3)猜想:根据发现的规律进行猜想,得出一般性的结论; (4)应用:运用得出的一般性结论解决问题. 1.先阅读解题过程，再回答后面的问题． 如果、是正整数，且和在二次根式的加减法中可以合并成一项，求、的值． 解：∵和可以合并， ∴，即，解得． ∵、是正整数， ∴此题无解． 问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？ （2）给出正确的解答过程． 2.在一个含有两个字母的代数式中，如果任意交换这两个字母的位置．代数式的值不变，则称这个代数式为二元对称式，例如：，，，都是二元对称式，其中，叫做二元基本对称式．请根据以上材料解决下列问题： （1）下列各代数式中，属于二元对称式的是______（填序号）； ①；②；③；④． （2）若，，将用含，的代数式表示，并判断所得的代数式是否为二元对称式； （3）先阅读下面问题1的解决方法，再自行解决问题2： 问题1：已知，求的最小值． 分析：因为条件中左边的式子和求解中的式子都可以看成以，为元的对称式，即交换这两个元的位置，两个式子的值不变，也即这两个元在这两个式子中具有等价地位，所以当这两个元相等时，可取得最小值． 问题2，①已知，则的最大值是______； ②已知，则的最小值是______． 3.（1）通过计算，判断下列各式是否成立（划“√”或“×”）： 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）根据（1）中的结果，你能发现什么规律？请用含有自然数n的式子将你发现的规律表示出来，并注明n的取值范围； （3）请说明你所发现的规律的正确性． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.2 最简二次根式和同类二次根式 知识点一 最简二次根式 ★1.最简二次根式的概念 化简后的二次根式里: （1）被开方数中各因式的指数都为1; （2）被开方数不含分母. 被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 特别提醒 1. 这里说到的因式是指因式分解和素因数分解后的因式和因数; 2. 两个条件缺一不可. ★2.二次根式的化简 根据是二次根式的4个性质: （1） （2） （3） （4） 特别提醒 对二次根式进行化简时,要注意以下几点: (1)保证每一步所得的二次根式都有意义; (2)要化简的二次根式的被开方数是分数或分式时，分子开方化简的结果还是分子，分母开方化简的结果还是分母; (3)结果要化为最简二次根式. 知识点二 同类二次根式 ★1.同类二次根式的概念 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. ★2合并同类二次根式 合并同类二次根式与合并同类项类似，只需将同类二次根式根号外的因式进行加减,根指数与根号内的被开方数不变. 题型一 最简二次根式的概念 解题技巧提炼 最简二次根式的判断方法： 一看：看被开方数中是否有指数不是1的因式，且被开方数中是否含有分母； 二化: 若被开方数是多项式，能化成因式乘积的形式,要先化成积的形式； 三判：判断之后得出结论. 1．（23-24八年级上·上海青浦·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、最简二次根式的定义等知识点．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A： ， 不是最简二次根式，不符合题意； B： 被开方数是分数， 不是最简二次根式，不符合题意； C：是最简二次根式，符合题意； D： ， 不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级上·上海静安·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用最简二次根式定义判断即可；此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：A、原式，不符合题意 B、原式不符合题意 C、原式不符合题意 D、是最简二次根式，符合题意 故选：D． 3．（23-24八年级上·上海宝山·期末）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简最简二次根式的方法是解题的关键． 根据最简二次根式的定义进行解题即可 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C． 4．（23-24八年级上·上海崇明·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简，最简二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，不符合题意； B．，不是最简二次根式，不符合题意； C．不是最简二次根式，不符合题意； D．，是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 5．（23-24八年级上·上海长宁·期末）下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．本题考查的是最简二次根式，掌握最简二次根式的概念、二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，符合题意； D、是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 6．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 题型二 复合二次根式的化简 解题技巧提炼 二次根式化简后的结果满足的三个条件： (1)被开方数中不含小数或分母,即被开方数是整数或整式; (2)被开方数中不含指数大于1的因数或因式； (3)分母中不含有根号 1．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：∵有意义， ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 3．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）化简： ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 4．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 标题：双层二次根式的化简 内容：二次根式的化简是一个难点，稍不留心就会出错，我在上网还发现了一类带双层根号的式子，就是根号内又带根号的式子，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质消掉外面的一层根号． 例如：要化简，可以先思考，所以．通过计算，我还发现设（其中m，n，a，b都为正整数），则有，，_______． 这样，我就找到了一种把部分双层二次根式化简的方法． 任务： (1)文中的________． (2)化简：________． (3)已知，其中a，x，y均为正整数，求a的值． (4)化简：________．（直接写出答案） 【答案】(1) (2) (3)7或13 (4)当时，，当时， 【分析】本题主要考查了复合二次根式的化简： （1）根据题目所给信息即可得到答案； （2）根据结合完全平方公式求解即可； （3）根据，得出，，根据x，y为正整数，求出，或，，最后求出a的值即可． （4）根据进行化简求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，． 故答案为：； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：由题意得， ∴，， ∵x，y为正整数， ∴，或，， ∴或． （4）解： ， 当，即时，则原式； 当，即时，则原式； 综上所述，当时，，当时，． 5．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、完全平方公式、二次根式的混合计算，二次根式的化简： （1）根据完全平方公式即可解答； （2）先根据立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，进而得到，再把化成完全平方式，最后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵a是216的立方根，b是16的平方根， ∴， ∴ ． 题型三 化为最简二次根式 解题技巧提炼 把二次根式化为最简二次根式的一般步骤 第1步:将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方; 第2步:化去根号下的分母或化去分母的根号 1．（23-24八年级上·上海普陀·期末）化简： ． 【答案】 【分析】根据题意知，然后根据平方根的 性质化简． 本题考查的是二次根式的化简，熟练掌握二次根式性质，是解答此题的关键． 【详解】由知，， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知，化简： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值．先根据二次根式的被开方数为非负数确定m，n的取值范围，然后化简二次根式是解题关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·上海静安·期中）化简： 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得到，进而根据二次根式乘除的运算法则和最简二次根式的定义计算即可． 【详解】∵，，， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简，牢记二次根式有意义的条件（被开方数大于等于）、二次根式的乘除的运算法则和最简二次根式的定义是解题的关键． 4．把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可． （2）根据二次根式的性质化简即可． （3）根据二次根式的性质化简即可． （4）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 5．将下列二次根式化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)（） (4)（，，）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解； （2）将小数化为分数，根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解； （3）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解； （4）根据二次根式的性质，分母有理化的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解： （3）解：． （4）解：． 【点睛】本题主要考查利用二次根式的性质进行化简，掌握二次根式的性质，二次根式分母有理化的计算方法是解题的关键． 6．判断下列各组的二次根式是否为同类二次根式？ (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)不是 (2)不是 【分析】根据二次根式性质化简后，结合同类二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】（1）解：； ； ； ，，不是同类二次根式； （2）解：； ； ； ，，不是同类二次根式． 【点睛】本题主要考查二次根属性及同类二次根式的概念，熟记二次根式性质先化简再判断是解决问题的关键． 题型四 已知最简二次根式求参数 解题技巧提炼 解题的关键是抓住一个条件“都是最简二次根式”“是同类二次根式”和两个相同:(1)根指数相同，都为2;(2)被开方数相同.根据这两个相同列出方程组求解 1．若与最简二次根式能合并，则m的值为 【答案】1 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可． 【详解】解：∵，最简二次根式能与合并， ∴， 解得， 故答案为：1． 2．已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键，化成最简二次根式后被开方式相同的二次根式是同类二次根式．先把化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 3．若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义．根据同类二次根式可得，即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类根式， ∴， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，是整数，不符合题意； 综上所述，的值是1． 故答案为：1 4．若和都是最简二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根，如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得： ∴ 故答案为： 5．已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，非负数的性质．由同类二次根式的定义和非负数的性质得出①，②，③，将①、②代入③得，求得，继而可得、，将分式化简、代入计算可得． 【详解】解：最简二次根式与可以合并，， 且、， 则①，②，③， 将①、②代入③，得：， 解得：， 、， ． 6．若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求、的值； (2)、平方和的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据同类二次根式得出和的二元一次方程组，从而得出和的值； （2）将和的值代入代数式得出答案． 【详解】（1）解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴，， 解得，． （2）解：当，时． 【点睛】本题考查了算术平方根、最简二次根式，二元一次方程组的应用以及求代数式的值，熟练掌握算术平方根、最简二次根式以及二元一次方程组的应用是解题的关键． 题型五 同类二次根式 解题技巧提炼 1.同类二次根式的判断,只与化简后的最简二次根式的被开方数有关，与根号外的因式无关. 2.判断几个二次根式是否为同类二次根式,分两步: (1)把各个二次根式化成最简二次根式； (2)观察它们的被开方数,若被开方数相同，则它们是同类二次根式: 否则就不是. 1．（23-24八年级上·上海青浦·期中）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键。根据同类二次根式的定义，先化简，再判断． 【详解】解：A、与被开方数不同，故不是同类二次根式； B、不是二次根式，故与不是同类二次根式； C、与被开方数相同，故是同类二次根式； D、不是二次根式，故与不是同类二次根式． 故选C． 2．（23-24八年级上·上海闵行·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的定义判断即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】、由最简二次根式与被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； 、由，最简二次根式与被开方数相同，是同类二次根式，符合题意； 、由与被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； 、由与被开方数不同，不是同类二次根式，不符合题意； 故选：． 3．（23-24八年级上·上海静安·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质、同类二次根式的判断，关键是熟知同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，故与不是同类二次根式，不符合题意； B、，故与不是同类二次根式，不符合题意； C、，故与是同类二次根式，符合题意； D、，故与不是同类二次根式，不符合题意， 故选：C． 4．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）下列二次根式，不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据化成最简式后，且被开方数相同，判定计算即可． 【详解】∵， ∴被开方数是3， A. ，是同类二次根式，能合并，不符合题意； B. ，不是同类二次根式，不能合并，符合题意；     C. ，是同类二次根式，能合并，不符合题意； D. ，是同类二次根式，能合并，不符合题意； 故选：B． 5．（2024·上海普陀·二模）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，故A错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，故B错误，不符合题意； C、，与不是同类二次根式，故C错误，不符合题意； D、与是同类二次根式，故D正确，符合题意； 故选：D． 6．（23-24八年级上·上海青浦·期中）若最简二次根式与是同类根式，则 ． 【答案】12 【分析】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，可得，，求出a、b，代入即可求解． 【详解】二次根式与是同类根式， ，， 解得：，， ， 故答案为：12． 7．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】5 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方求解． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：， 故答案为：5． 题型六 二次根式的创新题 解题技巧提炼 解决二次根式的创新题，可以结合分母有理化、最简二次根式条件、同类二次根式性质等进行解答. 1. 设的整数部分为，小数部分为， . 【答案】 【分析】根据分母有理化进行化简,然后判断出整数部分和小数部分,相乘解出即可. 【详解】∵,,∴,∴,∴,,∴. 【点睛】本题考查分式的有理化,熟悉定义是本题关键. 2.若最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】2 【分析】根据同类二次根式的定义，建立二元一次方程组，再求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，解二元一次方程组，求解代数式的值，熟知同类二次根式的定义是解题的关键． 3.数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何将双重二次根式化简．我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系xOy中，对于点P(x，y)和Q(x，y′)给出如下定义：若y则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点(3，2)的“横负纵变点”为(3，2)，点(﹣2，5)的“横负纵变点”为(﹣2，﹣5)．问题： （1）点的“横负纵变点”为　 　 ，点的“横负纵变点”为　　 ； （2）化简： 【答案】（1），；（2）； 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义即可解决问题． （2）模仿例题解决问题即可． 【详解】解：（1）根据题目意思， ∵和, 点的“横负纵变点”为， 点的“横负纵变点”为， 故答案为：，； （2）∵2+5=7,2×5=10, ∴； 【点睛】双重二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿解决问题，属于中考常考题型． 3129题型七 二次根式的探究题 解题技巧提炼 解创新规律探究题的一般方法： (1)操作:运用相关知识对给出的算式求出结果； (2)观察与发现:观察操作中所列出的式子或等式,发现其规律; (3)猜想:根据发现的规律进行猜想,得出一般性的结论; (4)应用:运用得出的一般性结论解决问题. 1.先阅读解题过程，再回答后面的问题． 如果、是正整数，且和在二次根式的加减法中可以合并成一项，求、的值． 解：∵和可以合并， ∴，即，解得． ∵、是正整数， ∴此题无解． 问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？ （2）给出正确的解答过程． 【答案】（1）不正确，原因是没有把转化为最简二次根式；（2）见解析 【分析】（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同． （2）先把转化为最简二次根式，然后再根据两个二根式能合并列出相应方程组进行求解即可． 【详解】解：（1）不正确，原因是没有把转化为最简二次根式； （2）正确解答过程如下： ∵，和可以合并， ∴，解得：， 经检验，符合题意，∴，． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 2.在一个含有两个字母的代数式中，如果任意交换这两个字母的位置．代数式的值不变，则称这个代数式为二元对称式，例如：，，，都是二元对称式，其中，叫做二元基本对称式．请根据以上材料解决下列问题： （1）下列各代数式中，属于二元对称式的是______（填序号）； ①；②；③；④． （2）若，，将用含，的代数式表示，并判断所得的代数式是否为二元对称式； （3）先阅读下面问题1的解决方法，再自行解决问题2： 问题1：已知，求的最小值． 分析：因为条件中左边的式子和求解中的式子都可以看成以，为元的对称式，即交换这两个元的位置，两个式子的值不变，也即这两个元在这两个式子中具有等价地位，所以当这两个元相等时，可取得最小值． 问题2，①已知，则的最大值是______； ②已知，则的最小值是______． 【答案】（1）②④（2），不是；（3）①；②4 【分析】（1）根据题中二元对称式的定义进行判断即可； （2）将进行变形，然后将，，整体代入即可得到代数式，然后判断即可； （3）①根据问题1的解决方法，发现当两个代数式都为二元的对称式时，两个元相等时，另一个代数式取最值，然后即可得到答案；②令，将式子进行换元，得到两个二元对称式，即可解决问题． 【详解】（1），①不是二元对称式， ，②是二元对称式， ，③不是二元对称式， ，④是二元对称式， 故答案为：②④； （2）∵，． ∴， ∴． 当，交换位置时，代数式的值改变了， ∴不是二元对称式． （3）① 当时，即当时，有最大值，最大值为． ②令， 则，， ∴当时，取最小值，即取到最小值， ∴时，取到最小值， 所以最小值为4． 【点睛】本题考查了代数式的内容，正确理解题意，掌握换元法是解题的关键． 3.（1）通过计算，判断下列各式是否成立（划“√”或“×”）： 　 　 　 　 　 　 　 　 （2）根据（1）中的结果，你能发现什么规律？请用含有自然数n的式子将你发现的规律表示出来，并注明n的取值范围； （3）请说明你所发现的规律的正确性． 【答案】（1）√；√；√；√；（2）＝n（n为n≥1的自然数）；（3）见解析 【分析】（1）各式计算得到结果，即可作出判断； （2）根据（1）得出的规律写出即可； （3）验证得出的规律即可． 【详解】解：（1）√；√；√；√； 故答案为：√；√；√；√； （2）根据题意得：＝n（n为n≥1的自然数）； （3）等式左边＝＝＝n，右边＝n， ∵左边＝右边， ∴＝n（n为n≥1的自然数）． 【点睛】本题是对二次根式化简的考查，熟练掌握二次根式的化简是解决本题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$