第02讲 最简二次根式和同类二次根式（九大题型）-【暑假自学课】2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版）

第02讲 最简二次根式和同类二次根式（九大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（九大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、 掌握二次根式的性质3和性质4； 2、 进一步巩固二次根式的化简； 3、 理解并掌握最简二次根式和同类二次根式的概念，学会合并同类二次根式. 一、二次根式的性质（续） ①二次根式的性质3 ＝•（a≥0，b≥0） 即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. ②二次根式的性质4 ＝（a≥0，b＞0） 即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 二、二次根式的化简（续） 化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 三、最简二次根式 （1）被开方数不含有分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 要点：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开方数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式. 四、同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 【规律方法】(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； 　　(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式 　　合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 【规律方法】　(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 题型1：最简二次根式 1．下列各式中最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，即“被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数不含分母”，由此即可求解，掌握最简二次根式的定义，二次根式的性质是解题的关键． 【解析】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次格式，符合题意； D、是三次根式，不符合题意； 故选：C． 2．下列式子为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义，掌握最简二次根式必须满足的两个条件是解题关键．最简二次根式满足：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据定义判断即可． 【解析】解：A． ，故不符合题意； B． 是最简二次根式，符合题意； C． ，故不符合题意； D． ，故不符合题意． 故选：B 3．在二次根式，，，，，中，最简二次根式个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可． 【解析】解：不能再化简，是最简二次根式； ，不是最简二次根式， ，不是最简二次根式， 不能再化简，是最简二次根式； ，不是最简二次根式， 即最简二次根式有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握二次根式的性质、最简二次根式的概念是解题的关键． 4．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．本题考查的是最简二次根式，掌握最简二次根式的概念、二次根式的性质是解题的关键． 【解析】解：A、是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，符合题意； D、是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 题型2：符合最简二次根式的条件 5．二次根式因为不符合最简二次根式的条件： ，所以它不是最简二次根式． 【答案】被开方数不含分母 【分析】最简二次根式：被开方数不能含有分母，被开方数不能含有开得尽方的因数或因式，从而可得答案． 【解析】解：因为的被开方数含分母， 所以它不是最简二次根式． 故答案为：被开方数不含分母． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 6．二次根式因为不符合最简二次根式的条件： ，所以它不是最简二次根式． 【答案】被开方数中不含能开的尽方的因式 【分析】最简二次根式必须同时符合两个条件：一是被开方数中不含能开的尽方的因数或因式，二是被开方数中不含分母，据此解答即可． 【解析】解：∵， ∴二次根式因为不符合最简二次根式的条件：被开方数中不含能开的尽方的因式，所以它不是最简二次根式． 故答案为：被开方数中不含能开的尽方的因式． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键． 题型3：根据二次根式的性质1—性质4化简二次根式为最简二次根式 7．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质：是解题的关键． （1）根据二次根式的性质计算即可； （2）根据二次根式的性质计算即可； （3）根据二次根式的性质计算即可． 【解析】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：（3）原式． 8．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式乘的除法及二次根式的化简． （1）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案； （3）直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【解析】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 9．化简以下二次根式： (1)； (2)； (3)（）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式性质进行的化简即可得解； （2）根据二次根式性质进行的化简即可得解； （3）根据二次根式性质进行的化简即可得解． 【解析】（1）解：； （2）解：由二次根式非负性得， ∴， ∴； （3）解：由二次根式非负性得，又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次根式的性质和化简，掌握被开方数化为因式积的形式，正确开方化简是解题关键． 10．化简： 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简． 【解析】原式． 【点睛】本题考查二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质进行化简． 11． 【答案】 【分析】直接根据二次根式的性质化简即可． 【解析】==． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键，，． 12．将下列式子化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据二次根式的双重非负性，判断被开方数中a的符号，再根据化简即可. （2）先根据二次根式的双重非负性，判断被开方数中a的符号，再化简即可. （3）先根据二次根式的双重非负性，判断被开方数中a-1的符号，再化简即可. 【解析】（1）      ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号． 题型4：复合二次根式的化简 13．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是把化简为． 先把化简为，然后根据已知条件求出a、b的值，即可计算的值． 【解析】解：∵， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 14．有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； （2）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； 【解析】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键． 15．已知=7，则+= ． 【答案】50 【分析】整体代入法求值把进行配方，，平分方法求，整体代入即可． 【解析】=7， ， =， =49-2+， =47+3， =50． 故答案为：50． 【点睛】本题考查的是条件求值问题，把代数式进行公式化为关键，要记准公式，会公式变形应用． 16．阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m 和 n， 使且 ，则可变为，即变成，从而使得化简． 例如： ∵， ∴ 请你仿照上例解下面问题: (1) (2) (3)当时，请化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）计算得到，代入即可得到答案； （2）计算得到，代入即可得到答案； （3）计算得到，，再代入即可得到答案． 【解析】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴； （3）当时， ∵， ， ∴ 【点睛】此题考查了复合二次根式的化简，熟练掌握二次根式的运算法则和完全平方公式是解题的关键． 题型5：根据复合二次根式的化简求参数范围 17．若，则的取值范围是 ． 【答案】-2≤x≤0 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，二次根式的值是非负数，可得答案． 【解析】解：， x≤0，x+2≥0， 解得-2≤x≤0， 故答案为：-2≤x≤0． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质． 18．若，那么x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据完全平方公式和二次根式的性质化简，然后根据绝对值的性质和分式有意义的条件列出不等式即可求出结论． 【解析】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得： 故答案为：． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简、绝对值的性质和分式有意义的条件，掌握完全平方公式、二次根式的性质、绝对值的性质和分式有意义的条件是解题关键． 题型6：同类二次根式 19．在二次根式中，与是同类二次根式的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，把二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这样的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【解析】解：，，，， ∴与是同类二次根的有，共3个， 故选：C． 20．下列二次根式中，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式，“把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式”．先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【解析】解：A、与不是同类二次根式，故A错误； B、与不是同类二次根式，故B错误； C、与不是同类二次根式，故C错误； D、与是同类二次根式，故D正确； 故选：D． 21．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 先把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【解析】解：A、与不是同类二次根式，故A错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，故B错误，不符合题意； C、，与不是同类二次根式，故C错误，不符合题意； D、与是同类二次根式，故D正确，符合题意； 故选：D． 22．在根式中，同类二次根式有（    ）组 ①和；②和；③和；④和；⑤和 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据同类二次根式的定义，把各个二次根式化简为最简二次根式，找出被开方数相同的一组即可得求解． 【解析】①，，不是同类二次根式； ②是最简二次根式， ，是同类二次根式； ③和，不是同类二次根式； ④，，是同类二次根式； ⑤，，是同类二次根式； 同类二次根式有三组， 故选：C． 【点睛】本题考查同类二次根式的定义，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．把二次根式正确化简为最简二次根式是解题关键． 题型7：求能与已知二次根式合并的二次根式 23．下列根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式的定义．根据题意，能够与合并即与为同类二次根式，逐项判断即可． 【解析】解：A.能与合并，此项符合题意； B.不能与合并，此项不符合题意； C.不能与合并，此项不符合题意； D.不能与合并，此项不符合题意． 故选：A． 24．下面能与合并的二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义是解此题的关键，注意：几个二次根式化成最简二次根式以后如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再看看是否是同类二次根式即可． 【解析】解：A．从整体上看不是二次根式，故本选项不符合题意； B． ，不能与合并，故本选项不符合题意； C． ，能与合并，故本选项符合题意； D．，不能与合并，故本选项不符合题意； 故选：C 25．在二次根式，，，，中，能与合并的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握二次根式的化简及同类二次根式的概念．先将各二次根式进行化简，再根据同类二次根式的概念求解即可． 【解析】解：∵；；；． ， ∴能与合并的是、， 故选：B． 26．下列说法正确的是（    ） A．与可以合并 B．与可以合并 C．与可以合并 D．与可以合并 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，同类二次根式，根据二次根式的性质逐项判断即可解答． 【解析】解：A. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意；     B. 与可以合并，故该选项正确，符合题意； C. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意；     D. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 题型8：根据最简二次根式和同类二次根式的概念求参数（含最值问题） 27．若二次根式与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式．先将化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可得． 【解析】解：， ∵即与最简二次根式能合并， ∴， 解得， 故选C． 28．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（    ） A．3 B． C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，根据“最简二次根式与是同类二次根式”可得，进行计算即可得出答案，熟练掌握同类二次根式的概念是解此题的关键． 【解析】解：最简二次根式与是同类二次根式， 它们的被开方数相等， ， 解得：， 故选：B． 29．若最简二次根式与是同类根式，则 ． 【答案】12 【分析】此题考查了同类二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，可得，，求出a、b，代入即可求解． 【解析】二次根式与是同类根式， ，， 解得：，， ， 故答案为：12． 30．若最简二次根式和可以合并，则 ． 【答案】 【分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解． 【解析】解：∵最简二次根式 与 可以合并， ∴是同类二次根式， ∴，， ，， ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 31．已知最简二次根式与，可以合并，则＝ ． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式能够合并，得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组进行求解即可． 【解析】解：由题意，得：， 解得：， ∴； 故答案为：1． 【点睛】本题考查根据同类二次根式求参数．解题的关键是得到两个最简二次根式是同类二次根式． 32．如果与是同类二次根式，那么满足条件的中最小整数是 . 【答案】3 【分析】根据题意，是最简二次根式，且与的被开方数相同，列出方程求解即可． 【解析】根据题意得，5x-8=7， 解得，x=3. 即与是同类二次根式时，x的最小整数为3. 故答案为3. 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 33．最简根式与能是同类根式吗？若能，求出、的值；若不能，请说明理由. 【答案】它们不能是同类根式，理由见解析. 【分析】先假设它们是同类根式，再根据同类根式的定义得出关于x、y的方程组，在解出方程组的解后再根据二次根式有意义的条件即得结论. 【解析】解：假设它们是同类根式，则： ，解得. ∵ 当时，，， ∴ 两根式皆无意义. ∴ 假设错误，它们不能是同类根式. 【点睛】本题考查了同类根式的定义、二元一次方程组的解法和二次根式有意义的条件，本题的易错点是容易忽略二次根式有意义的条件，从而得出错误的结果. 题型9：合并同类二次根式 34．计算： 【答案】. 【分析】按照合并同类二次根式的法则进行运算即可. 【解析】解： = =. 【点睛】本题考查了同类二次根式的运算法则，类似于同类项的合并，只要同类二次根式的系数相加减即可. 35．合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接合并同类二次根式求解即可得到答案； （2）提公因式即可求解； （3）根据二次根式的性质先化简，再利用合并同类二次根式的运算法则求解即可得到答案； （4）去括号后，直接合并同类二次根式即可求解． 【解析】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题主要考查二次根式的加减运算，涉及二次根式性质化简及合并同类二次根式运算法则，先化简再利用合并同类二次根式的运算法则计算是解决问题的关键． 一、单选题 1．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义化简即可； 【解析】，故A错误； ，故B正确； 不能再化简，故C错误； ，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的判断，准确分析计算是解题的关键． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是  （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【解析】选项A，，不是最简二次根式； 选项B，是最简二次根式； 选项C，，不是最简二次根式； 选项D，，不是最简二次根式. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 3．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质化简，根据同类二次根式的概念判断即可． 【解析】解：A、，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、，和是同类二次根式，故本选项符合题意； C、，和不是同类二次根式，故本选项不符合题意； D、和不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 4．下列说法中，正确的是（    ） A．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式 B．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式 C．与是同类二次根式 D．与是同类二次根式 【答案】D 【分析】根据同类二次根式的概念判断． 【解析】解：A、被开方数不同的二次根式可以是同类二次根式，故本选项不符合题意； B、化简后被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式，故本选项不符合题意； C、两根式中，被开方数都是不含开得尽方的因数或因式，且被开方数不一样，故本选项不符合题意； D、与是同类二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 5．二次根式与是同类二次根式，则x的最小正整数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把x=4、5、6、 分别代入进行计算并且化简，根据同类二次根式的定义和题目要求即可得到答案． 【解析】解：A．时，，与是同类二次根式，故此项正确，符合题意； B．时，，与是不同类二次根式，故此项错误，不符合题意； C．时，，与是不同类二次根式，故此项错误，不符合题意； D．时，，与是不同类二次根式，但不是正整数，故此项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式，理解同类二次根式的定义是解答关键． 6．如果最简根式和是同类根式,那么a,b的值是（   ） A．a=1，b=2 B．a=1，b=1 C．a=-1，b=2 D．a=2，b=13 【答案】B 【分析】根据最简根式的定义，可得被开方数相等，且开的次方相等，据此列出方程组即可求解． 【解析】依题意，得 解得． 故选B． 【点睛】本题考查了同类最简根式，掌握最简根式的定义是解题的关键．最简根式是指被开方数的指数与根指数互质、被开方数的每一因式的指数都小于根指数、被开方数不含分母的根式． 7．下列等式成立的个数为（    ） ①.②.    ③.④. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据二次根式的化简及二次根式的定义，结合各项进行判断即可． 【解析】解：①∵ ∴无意义 ∴，故①错误； ②∵是最简二次根式 ∴，故②错误； ③ ∴，故③错误； ④∵ ∴，故④错误. 故选A. 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简及二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质与化简是解题的关键. 8．化简二次根式得（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件可推测，利用积的算术平方根以及商的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来即可． 【解析】∵， ∴， ∴． 故选Ａ． 【点睛】本题考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的意义以及化简方法为解题关键． 9．下列四个式子中，与的值相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件可得出，可得，由此可将变形得出答案． 【解析】由题意得：，可得， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，关键是由等式可确定出． 10．设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解． 【解析】解：两侧同时平方，得到 ∴ ∴, ， ∴xyz＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，x、y、z对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键． 二、填空题 11．二次根式、中与是同类二次根式的是 ． 【答案】 【分析】先将二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可得出结论． 【解析】解：∵=，=，=2 ∴与是同类二次根式的是 故答案为：． 【点睛】此题考查的是同类二次根式的判断，掌握二次根式的性质和同类二次根式的定义是解题关键． 12．在二次根式；；；；；；中是最简二次根式的是 ． 【答案】，， 【分析】根据最简二次根式的定义：如果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式，那么，这个根式叫做最简二次根式；判断即可． 【解析】解：，不是最简二次根式； ，是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，是最简二次根式； ，是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ∴是最简二次根式的有：，，， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟知最简二次根式的定义是解本题的关键． 13．若两个最简二次根式，与是同类二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】根据同类二次根式的性质即可求出答案． 【解析】解：∵最简二次根式，与是同类二次根式， ∴ 解得：a=2 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念． 14．若最简二次根式和是同类根式,则使有意义的的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先根据两个最简二次根式是同类根式，可以求得，使得二次根式有意义的条件是，将代入即可解题. 【解析】解：由已知条件，得 解得 ，即为 解得 故答案为. 【点睛】此题主要考查利用二次根式的性质进行求解. 15．将式子﹣（m﹣n）化为最简二次根式 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【解析】由题意可知：m﹣n＜0，∴n﹣m＞0，∴原式＝﹣（m﹣n）•． 故答案为． 【点睛】本题考查了最简二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 16．已知，化简二次根式的正确结果是 【答案】 【分析】二次根式有意义，y＜0，结合已知条件得y＜0，化简即可得出最简形式． 【解析】解：根据题意，xy＞0， 得x和y同号， 又∵中， ∴y＜0， ∴x＜0，y＜0， 则原式=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，注意开平方的结果为非负数是解题的关键． 17．若，化简= ． 【答案】 【分析】被开方数通分后，再根据二次根式的性质、已知条件和分式的约分解答即可． 【解析】解：∵， ∴， 原式= = = = = =． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，属于常考题型，掌握化简的方法、细心计算是解题的关键． 18．整数的取值范围是，若与是同类二次根式，则 【答案】8或18 【分析】根据同类二次根式的定义可知，将化简为最简二次根式后，如果根式部分与相同，则为所求. 【解析】解：∵与是同类二次根式，，， ∴或， 故答案为8或18. 【点睛】本题考查的是同类二次根式的定义，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 三、解答题 19．分别求出满足下列条件的字母a的取值： (1)若最简二次根式与﹣是同类二次根式； (2)若二次根式与﹣是同类二次根式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案； （2）根据同类二次根式的被开方数相同列出方程，通过解方程求得答案． 【解析】（1）∵﹣＝﹣2，最简二次根式与﹣是同类二次根式， ∴3a＝2， 解得． （2）∵二次根式与﹣是同类二次根式， ∴3a＝2n2， 解得a＝． 【点睛】考查了同类二次根式和最简二次根式．同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 20．把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可． （2）根据二次根式的性质化简即可． （3）根据二次根式的性质化简即可． （4）根据二次根式的性质化简即可． 【解析】（1） （2） （3） （4） 21．化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次根式性质进行的化简即可得解； （2）根据二次根式性质进行的化简即可得解； （3）根据二次根式性质进行的化简即可得解． 【解析】（1）解：∵， ， ∴， ∴原式=； （2）解：由二次根式非负性，即有，可得， 原式=； （3）解：原式=． 【点睛】考查二次根式的性质和化简，掌握被开方数化为因式积的形式，正确开方化简是解题关键． 22．把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）先将带分数化为分数再开方． （2）直接开方再分母有理化； （3）直接开方即可． （4）将小数化为分数后再开方． （5）通分后再开方． （6）通分后再开方，然后再分母有理化． 【解析】解：（1）原式==； （2）原式=x2=x； （3）原式==； （4）原式==ab； （5）原式==； （6）原式==． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，难度不大，注意要耐心运算，否则很容易出错． 23．如果最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+． 【答案】（1）a=3；（2）4 【分析】（1）根据同类二次根式的定义列出方程求解即可； （2）根据二次根式的性质化简即可 【解析】解：（1）4a-5=13-2a， 解得a=3． （2）∵a≤x≤2a， ∴， = = = 【点睛】本题考查了二次根式的化简和同类二次根式，解题关键是熟记，准确进行计算求解． 24．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）； (2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2)（或） (3)；2030 【分析】此题考查二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． （1）根据二次根式的性质进行判断即可； （2）根据二次根式的性质进行回答即可； （3）由m的值可知，根据二次根式的性质得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【解析】（1）解：根据二次根式的性质可知，小亮的解答过程是错误的； 故答案为：小亮 （2）小亮错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质，二次根式的性质：（或）， 故答案为：（或） （3）原式， ， ， 原式            ． 25．定义：若两个二次根式、满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． （1）若与是关于的共轭二次根式，则 ； （2）若与是关于的共轭二次根式，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值． 【解析】解：（1）与是关于的共轭二次根式， ，， （2）与是关于的共轭二次根式， ， ， ． 【点睛】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会用二次根据的性质进行计算． 26．观察下列各式，发现规律： ， ， ， （1）填空： ， ； （2）计算（写出计算过程）：； （3）请用含正整数的代数式把你们所发现的规律表示出来. 【答案】（1），；（2）；（3）. 【分析】（1）先通分，然后把分子中两数的积运用平方差公式变形，再根据二次根式的性质化简即可； （2）与（1）的步骤相同； （3）与（1）的步骤相同. 【解析】（1）， ； （2）， 原式 ； （3）. 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，平方差公式，通分后能运用平方差公式变形是解答本题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 最简二次根式和同类二次根式（九大题型） 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点精准练（九大题型） 模块四 小试牛刀过关测 1、 掌握二次根式的性质3和性质4； 2、 进一步巩固二次根式的化简； 3、 理解并掌握最简二次根式和同类二次根式的概念，学会合并同类二次根式. 一、二次根式的性质（续） ①二次根式的性质3 ＝•（a≥0，b≥0） 即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积. ②二次根式的性质4 ＝（a≥0，b＞0） 即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 二、二次根式的化简（续） 化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 三、最简二次根式 （1）被开方数不含有分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式. 要点：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况： （1) 被开方数是分数或分式； （2）含有能开方的因数或因式. 四、同类二次根式 1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式. 【规律方法】(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同； 　　(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关. 2.合并同类二次根式 　　合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 【规律方法】　(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式. 题型1：最简二次根式 1．下列各式中最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子为最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 3．在二次根式，，，，，中，最简二次根式个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．下列二次根式中，不是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 题型2：符合最简二次根式的条件 5．二次根式因为不符合最简二次根式的条件： ，所以它不是最简二次根式． 6．二次根式因为不符合最简二次根式的条件： ，所以它不是最简二次根式． 题型3：根据二次根式的性质1—性质4化简二次根式为最简二次根式 7．把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 8．化简： (1)； (2)； (3)． 9．化简以下二次根式： (1)； (2)； (3)（）． 10．化简： 11． 12．将下列式子化成最简二次根式： (1)； (2)； (3)． 题型4：复合二次根式的化简 13．已知a、b为有理数，且满足，则等于（　　） A． B． C．2 D．4 14．有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 15．已知=7，则+= ． 16．阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m 和 n， 使且 ，则可变为，即变成，从而使得化简． 例如： ∵， ∴ 请你仿照上例解下面问题: (1) (2) (3)当时，请化简：． 题型5：根据复合二次根式的化简求参数范围 17．若，则的取值范围是 ． 18．若，那么x的取值范围是 ． 题型6：同类二次根式 19．在二次根式中，与是同类二次根式的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．下列二次根式中，如果与是同类二次根式，那么这个根式是（    ） A． B． C． D． 21．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 22．在根式中，同类二次根式有（    ）组 ①和；②和；③和；④和；⑤和 A．1 B．2 C．3 D．4 题型7：求能与已知二次根式合并的二次根式 23．下列根式中能与合并的是（    ） A． B． C． D． 24．下面能与合并的二次根式的是（   ） A． B． C． D． 25．在二次根式，，，，中，能与合并的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 26．下列说法正确的是（    ） A．与可以合并 B．与可以合并 C．与可以合并 D．与可以合并 题型8：根据最简二次根式和同类二次根式的概念求参数（含最值问题） 27．若二次根式与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C． D．3 28．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（    ） A．3 B． C．1 D．0 29．若最简二次根式与是同类根式，则 ． 30．若最简二次根式和可以合并，则 ． 31．已知最简二次根式与，可以合并，则＝ ． 32．如果与是同类二次根式，那么满足条件的中最小整数是 . 33．最简根式与能是同类根式吗？若能，求出、的值；若不能，请说明理由. 题型9：合并同类二次根式 34．计算： 35．合并下列各式中的同类二次根式： (1)； (2)； (3)； (4)． 一、单选题 1．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是  （   ） A． B． C． D． 3．在下列各组根式中，是同类二次根式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．下列说法中，正确的是（    ） A．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式 B．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式 C．与是同类二次根式 D．与是同类二次根式 5．二次根式与是同类二次根式，则x的最小正整数为（　　） A． B． C． D． 6．如果最简根式和是同类根式,那么a,b的值是（   ） A．a=1，b=2 B．a=1，b=1 C．a=-1，b=2 D．a=2，b=13 7．下列等式成立的个数为（    ） ①.②.    ③.④. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．化简二次根式得（  ） A． B． C． D． 9．下列四个式子中，与的值相等的是（   ） A． B． C． D． 10．设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．二次根式、中与是同类二次根式的是 ． 12．在二次根式；；；；；；中是最简二次根式的是 ． 13．若两个最简二次根式，与是同类二次根式，则 ． 14．若最简二次根式和是同类根式,则使有意义的的取值范围为 . 15．将式子﹣（m﹣n）化为最简二次根式 ． 16．已知，化简二次根式的正确结果是 17．若，化简= ． 18．整数的取值范围是，若与是同类二次根式，则 三、解答题 19．分别求出满足下列条件的字母a的取值： (1)若最简二次根式与﹣是同类二次根式； (2)若二次根式与﹣是同类二次根式． 20．把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 21．化简： (1)； (2)； (3)． 22．把下列各式化成最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 23．如果最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+． 24．先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解答过程是错误的（填“小亮”或“小芳”）； (2)错误的解答过程原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______（请用符号语言表达）； (3)先化简，再求值：，其中． 25．定义：若两个二次根式、满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． （1）若与是关于的共轭二次根式，则 ； （2）若与是关于的共轭二次根式，求的值． 26．观察下列各式，发现规律： ， ， ， （1）填空： ， ； （2）计算（写出计算过程）：； （3）请用含正整数的代数式把你们所发现的规律表示出来. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$