7.3 离散型随机变量的数字特征(第1课时）课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7．3　离散型随机变量的数字特征 第1课时　离散型随机变量的均值 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 加权平均数 平均水平 aE(X)＋b C B A 0.75 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 二 A 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 C 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 D 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2 0 2 5 看 观 谢 谢 要点1　离散型随机变量的均值概念 离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝_________为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望． eq \o(∑,\s\up12(n),\s\do10(i＝1))xipi 要点2　离散型随机变量的均值意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的___________，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的_________． 要点3　离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝____________． 要点4　两点分布的均值 如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 1．离散型随机变量的均值与样本平均值之间的关系如何？ 答：(1)区别：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化． (2)联系：对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值． 2．离散型随机变量的均值的性质证明 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量．因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1，2，3，…，n，所以Y的分布列为： Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 课 时 学 案 题型一　利用定义求离散型随机变量的均值 例1　已知离散型随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P eq \f(1,3) eq \f(1,6) 缺失数据 则随机变量X的期望为(　　) A.eq \f(13,4)　　　　　　　　　　 B.eq \f(11,4) C.eq \f(13,6) D.eq \f(11,6) 【思路分析】　利用分布列的性质求出缺失数据，然后求解期望即可． 【解析】　由分布列的各概率的和为1，可得缺失数据＝1－eq \f(1,3)－eq \f(1,6)＝eq \f(1,2)，所以随机变量X的期望为1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,6)＋3×eq \f(1,2)＝eq \f(13,6).故选C. 【讲评】　本题考查离散型随机变量的分布列的性质以及数学期望的求法，属于基础题． 思考题1　(1)一台机器生产某种产品，生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品要赔20元．已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利(　　) A．39元 B．37元 C．20元 D.eq \f(100,3)元 【解析】　设这台机器生产一件产品获利ξ元．易知随机变量ξ的分布列为： ξ 50 30 －20 P 0.6 0.3 0.1 ∴E(ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×0.1＝37. (2)某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分．如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，且三道题目之间相互独立．求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值． 【解析】　根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4，1，3，6. ∴P(X＝－4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq \f(1,9)， P(X＝1)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(7,18)， P(X＝3)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(2,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(7,18)， P(X＝6)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,18)＝eq \f(1,9). ∴X的分布列为： X －4 1 3 6 P eq \f(1,9) eq \f(7,18) eq \f(7,18) eq \f(1,9) ∴E(X)＝(－4)×eq \f(1,9)＋1×eq \f(7,18)＋3×eq \f(7,18)＋6×eq \f(1,9)＝eq \f(16,9). 题型二　离散型随机变量均值的性质 例2　已知随机变量X的分布列如下： X －2 －1 0 1 2 P eq \f(1,4) eq \f(1,3) eq \f(1,5) m eq \f(1,20) (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y)． 【思路分析】　解答本题可先由分布列的性质求出m的值，然后由随机变量的均值计算公式求出相应的均值，而对于(3)可以直接利用公式，E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3，也可以先写出Y的分布列，再求E(Y)． 【解析】　(1)由随机变量分布列的性质，得 eq \f(1,4)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)＋m＋eq \f(1,20)＝1，解得m＝eq \f(1,6). (2)E(X)＝(－2)×eq \f(1,4)＋(－1)×eq \f(1,3)＋0×eq \f(1,5)＋1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(1,20)＝－eq \f(17,30). (3)方法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b， 得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,30)))－3＝－eq \f(62,15). 方法二：因为Y＝2X－3，所以Y的分布列如下： Y －7 －5 －3 －1 1 P eq \f(1,4) eq \f(1,3) eq \f(1,5) eq \f(1,6) eq \f(1,20) 所以E(Y)＝(－7)×eq \f(1,4)＋(－5)×eq \f(1,3)＋(－3)×eq \f(1,5)＋(－1)×eq \f(1,6)＋1×eq \f(1,20)＝－eq \f(62,15). 思考题2　已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为(　　) ξ 1 2 3 4 P eq \f(1,4) m n eq \f(1,12) A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,8) 【解析】　因为η＝12ξ＋7， 则E(η)＝12E(ξ)＋7， 即E(η)＝12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×\f(1,4)＋2×m＋3×n＋4×\f(1,12)))＋7＝34. 所以2m＋3n＝eq \f(5,3)，① 又eq \f(1,4)＋m＋n＋eq \f(1,12)＝1，所以m＋n＝eq \f(2,3)，② 由①②可解得m＝eq \f(1,3). 题型三　两点分布的均值 例3　已知小明投篮的命中率为p＝0.6，求小明投篮一次命中次数X的数学期望． 【解析】　方法一：由投篮命中率p＝0.6，可得投篮一次，命中次数X的分布列为： X 0 1 P 0.4 0.6 ∴E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6. 方法二：由题意，命中次数X服从两点分布，∴E(X)＝p＝0.6. 【讲评】　方法一是定义法，利用随机变量均值的定义求解；方法二利用命中次数X服从两点分布，直接使用两点分布的均值公式，显然更简单．故对于特殊的分布列，求均值时一定要注意到它的特殊性，往往可以简化运算． 思考题3　设X是一个离散型随机变量，其分布列如下表，若关于x的方程ax2－x＋b＝0(a≠0)的两根之积为3，则E(X)＝________． X 0 1 P a b 【解析】　由根与系数的关系知eq \f(b,a)＝3，∴b＝3a.① 由分布列的性质得a＋b＝1，② 联立①②得a＝0.25，b＝0.75，满足Δ>0.又由题意知X服从两点分布，∴E(X)＝b＝0.75. 题型四　均值的实际应用 例4　随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X. (1)求X的分布列； (2)求1件产品的平均利润(即X的均值)； (3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 【解析】　(1)X的所有可能取值为6，2，1，－2， P(X＝6)＝eq \f(126,200)＝0.63，P(X＝2)＝eq \f(50,200)＝0.25， P(X＝1)＝eq \f(20,200)＝0.1，P(X＝－2)＝eq \f(4,200)＝0.02. 故X的分布列为： X 6 2 1 －2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)由(1)知E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34，即1件产品的平均利润为4.34万元． (3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0<x<0.29)， 依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73， 解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%. 思考题4　某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种． 方案一：每满200元减50元； 方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别) 红球个数 3 2 1 0 实际付款 半价 7折 8折 原价 若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较可知方案______更划算． 【解析】　若选择方案一，则付款金额为320－50＝270(元)． 若选择方案二，记付款金额为X元，则X的可能取值为160，224，256，320. P(X＝160)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(3,32)， P(X＝224)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,4)×eq \f(3,4)＋eq \f(3,4)×eq \f(2,4)×eq \f(1,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(13,32)， P(X＝256)＝eq \f(3,4)×eq \f(2,4)×eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,4)×eq \f(3,4)＋eq \f(1,4)×eq \f(2,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(13,32)， P(X＝320)＝eq \f(1,4)×eq \f(2,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,32)， 则X的分布列为： X 160 224 256 320 P eq \f(3,32) eq \f(13,32) eq \f(13,32) eq \f(3,32) 所以E(X)＝160×eq \f(3,32)＋224×eq \f(13,32)＋256×eq \f(13,32)＋320×eq \f(3,32)＝240(元)． 因为270＞240，所以方案二更为划算． 课 后 巩 固 1．已知离散型随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P eq \f(3,5) eq \f(3,10) eq \f(1,10) 则X的数学期望E(X)＝(　　) A.eq \f(3,2)　　　　　　　　　　　 B．2 C.eq \f(5,2) D．3 解析　E(X)＝1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(3,10)＋3×eq \f(1,10)＝eq \f(15,10)＝eq \f(3,2).故选A. 2．离散型随机变量X的分布列为P(X＝n)＝na，n＝1，2，3，则E(X)＝(　　) A．4a B．6a C.eq \f(7,3) D．6 解析　∵离散型随机变量X的分布列为P(X＝n)＝na，n＝1，2，3，∴a＋2a＋3a＝1，解得a＝eq \f(1,6)，∴E(X)＝1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(2,6)＋3×eq \f(3,6)＝eq \f(7,3).故选C. 3．已知离散型随机变量ξ的概率分布列如下： ξ 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则E(2ξ＋1)＝(　　) A．1 B．4.8 C．2＋3m D．5.8 解析　由已知得0.5＋m＋0.2＝1⇒m＝0.3⇒E(ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4⇒E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝5.8. 4．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个小球，记抽取到红球的个数为X，则随机变量X的均值E(X)＝________． eq \f(5,6) 解析　X的所有可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝eq \f(C21C51,C61C61)＝eq \f(5,18)，P(X＝1)＝eq \f(C41C51＋C21,C61C61)＝eq \f(11,18)，P(X＝2)＝eq \f(C41C11,C61C61)＝eq \f(1,9)，故随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 P eq \f(5,18) eq \f(11,18) eq \f(1,9) 所以E(X)＝0×eq \f(5,18)＋1×eq \f(11,18)＋2×eq \f(1,9)＝eq \f(5,6). 5．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验；若试验失败，再重新试验一次；若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为eq \f(2,3)，求此人试验次数ξ的期望． 解析　试验次数ξ的可能取值为1，2，3， 且P(ξ＝1)＝eq \f(2,3)，P(ξ＝2)＝eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，P(ξ＝3)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)＋\f(1,3)))＝eq \f(1,9). 所以ξ的分布列为： ξ 1 2 3 P eq \f(2,3) eq \f(2,9) eq \f(1,9) ∴E(ξ)＝1×eq \f(2,3)＋2×eq \f(2,9)＋3×eq \f(1,9)＝eq \f(13,9). $$